CC BY
74
УДК 536.46:531
ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПОВЕРХНОСТНОЙ ОБРАБОТКИ МАТЕРИАЛОВ И НАНЕСЕНИЯ ПОКРЫТИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ИСТОЧНИКОВ
А.Г. Князева, О.Н. Крюкова, Н.В. Букрина, С.Н. Сорокова*
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, г. Томск *Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
На примерах конкретных моделей технологических процессов и их стадий анализируются проблемы моделирования необратимых процессов, приводящих к формированию свойств поверхностей и покрытий. Показано, что основные проблемы численного моделирования связаны сразномасштабностью физико-химических и механических процессов, их взаимовлиянием и отсутствием надежных экспериментальных данных по зависимостям свойств от состава.
Ключевые слова:
Моделирование технологических процессов и их стадий, неравновесная термодинамика, поверхностная обработка материалов, нанесение покрытий.
Key words:
Modeling of the technological processes and them stages, nonequilibrium thermodynamics, surface material treatment, coating.
1. Введение
Обработку поверхностей материалов и нанесение покрытий осуществляют различными способами с целью модификации структуры, улучшения прочностных и иных свойств, увеличения срока службы и т. д. Моделирование поведения материалов с покрытиями и тонкими пленками при механическом нагружении, конечно, позволяет частично выявить особенности технологий. Формирование структуры и свойств поверхностных слоев происходит непосредственно в процессе обработки и является следствием разнообразных необратимых процессов. Например, в ходе электронно-лучевой обработки наблюдаются нагрев и плавление, перераспределение легирующих элементов. В свою очередь, изменение фазового и химического состава, а также изменяющееся во времени неоднородное температурное поле влекут за собой появление механических напряжений самой разной физической природы. В ходе технологического процесса происходит частичное растворение одних фаз и выделение новых, наблюдаются процессы кристаллизации и рекристаллизации, формирование пор и полостей, микроразрушение.
Более сложные физико-химические процессы сопровождают обработку материалов потоками ионов, т. к. в подобных технологиях наблюдаются сложные физико-химические процессы, приводящие к изменению состава и структуры. Экспериментатор имеет в своем распоряжении только исходный материал, технологические условия и конечный результат обработки и может лишь догадываться по косвенным данным о тех процессах, которые привели к полученному результату. Более того, в условиях лабораторного эксперимента или реальной технологии не удается четко выявить роль отдельных факторов в формировании структуры и свойств материалов и их поверхностей. Поэтому математическое моделирование в этой области
весьма актуально. Об этом свидетельствуют и публикации [1-7] и др.
Математическое моделирование технологических процессов сталкивается с многочисленными трудностями, обойти которые удается лишь при целенаправленном решении конкретных задач [8]. Общего рецепта, к сожалению, предложить пока не удается.
Например, процессы, которые приводят к формированию свойств материалов, характеризуются различными пространственными и временными масштабами, что приводит к необходимости разработки специальных численных алгоритмов. Имеющиеся мощные пакеты не в состоянии решать связанные задачи.
Свойства исходных материалов известны с большой погрешностью, что не дает уверенности в численных значениях ни температуры в зоне обработки, ни состава.
Формально-кинетические параметры химических реакций, фазовых переходов, коэффициенты диффузии являются предметом изучения в различных областях физики и химии. Несмотря на наличие большого количества прикладных термодинамических пакетов, развитых методов молекулярной динамики, методов Монте-Карло, использование их для моделирования сложных технологических процессов затруднительно.
Даже если результатом моделирования является конкретная структура и определенный фазовый состав материала, покрытия или поверхностного слоя, на основе известных методов механики сплошных сред не представляется возможным оценить надежно механические свойства. В этом случае весьма хорошим результатом будет оценка возможной области изменения механических свойств материала в результате обработки, если известен фазовый состав к концу процесса обработки.
Еще одной проблемой всех технологий является оценка или предсказание остаточных напряжений, которые в значительной степени определяют механические свойства.
Все эти проблемы имеют место как при традиционных способах обработки материалов с использованием высокоэнергетических источников, так и при их обработке с целью получения заданной ми-кро- и наноструктуры.
Из разнообразных методов обработки поверхностей остановимся на электронно-лучевых технологиях. Некоторые результаты обобщены в обзоре [9].
2. Разновидности электронно-лучевых технологий
модификации поверхностей и теплофизика
Электронно-лучевые технологии поверхностной обработки и нанесения покрытий весьма разнообразны и отличаются как по технической организации процесса и материалам, так и по мощности используемых электронно-лучевых установок [10]. Традиционно моделирование стадий технологических процессов обработки с использованием энергии электронного луча осуществляли в рамках теории теплопроводности с введением эффективных подвижных или неподвижных, распределенных или точечных, поверхностных или объемных источников тепла, соответствующих разным режимам сканирования и разным технологическим параметрам. Так, если плотность мощности электронного луча не превышает #0~105...106 Вт/см2, источник тепла можно считать поверхностным. В противном случае необходимо учитывать объемное поглощение энергии. Если обработка поверхности с помощью электронного луча осуществляется в режиме сканирования, то для частот более 50 Гц эффективный источник тепла оказывается распределенным и характеризуется постоянной плотностью д0.
Характер распределения энергии в эффективном источнике зависит от режима сканирования. При обработке поверхностей импульсными сильноточными электронными пучками результат зависит не только от введенной энергии, но и от длительностей и количества импульсов и пауз между отдельными импульсами. В этом случае плотности энергии в электронном пучке оказываются настолько высокими, что необходимо говорить об активации материала в поверхностном слое или о его переходе в особое структурно-фазовое состояние [11]. Во всех случаях математические модели поверхностной обработки оказываются различными: различны не только наборы определяющих процесс параметров и учтенных явлений, геометрия, макроскопические свойства, но и определяющие соотношения.
3. Разномасштабные процессы,
протекающие совместно
Свойства поверхностей, формирующихся после термической обработки, зависят от разнообразных процессов, которые характеризуются различными
пространственными и временными масштабами. Это приводит порой к непреодолимым, на первый взгляд, трудностям вычислительного характера. С одной стороны, различие масштабов позволяет изучать разные процессы раздельно. Но за кадром остается взаимовлияние разных процессов и связанные с этим нелинейные эффекты. Например, диффузия в твердой фазе, с которой связывают различные диффузионно-контролируемые процессы рекристаллизации, ползучести, спекания с участием жидкой и твердой фаз, гетерогенные превращения, растворение и др., много медленнее, чем перенос тепла теплопроводностью, и протекает в масштабах, много меньших ширины теплового пограничного слоя. Это относится к диффузии в окрестности границы раздела реагентов и продуктов реакции, в масштабе отдельно взятых частиц в порошковой смеси [12-14].
В моделях макрокинетики это приводит к выделению специальных подзадач и построению особых кинетических законов для скоростей превращения. Иная ситуация возникает при электроннолучевой обработке материалов: перераспределение примесей в прогретом слое или насыщение поверхности примесью из остаточной плазмы или адсорбционного слоя протекает в существенно неизотермических условиях. Совместное численное решение задач теплопроводности и диффузии для твердой фазы, когда скорости изучаемых процессов различаются на 3-5 порядков даже при повышенной температуре, приводит к необходимости разработки специальных алгоритмов [15, 16] или к учету в моделях некоторых специфических особенностей.
В качестве примера рассмотрим простую задачу Предположим, что покрытие малой толщины кь предварительно нанесенное на подложку, содержит в своем составе легирующие элементы, концентрации которых обозначим как а, /=1, 2. В начальный момент времени ¡=0 легирующие элементы распределены в покрытии равномерно, а в подложке отсутствуют. При 00 система со стороны покрытия подвергается действию импульсно-периодического источника тепла, например, потока электронов. Полагаем, что радиус пучка электронов превышает поперечные размеры образца, что позволяет ограничиться одномерной постановкой задачи, которая включает в себя уравнение теплопроводности и уравнения диффузии легирующих элементов из покрытия в основу,
дТ д (п дТ
с р--------= —I АТ----------
дt дг I дг
да1
t > 0, 0 < г < +да,
дt дг
дг
дг
(1)
где /=1,2 - парциальные диффузионные коэффициенты; Т - температура; с, р, ХТ - теплоем-
кость, плотность и коэффициент теплопроводности, зависящие от температуры, концентраций диффундирующих веществ и координаты (т. е. все коэффициенты различны для покрытия и подложки). Примем, что толщина покрытия к1 много меньше, чем толщина подложки к. Кроме того, пусть к^уьЩ; к^уйк, где к=ЯТ1/(с1р1); Ь - характерное время процесса, верхний индекс «1» у коэффициентов диффузии относится к покрытию. Эти неравенства позволяют не рассматривать распределение температуры и концентрации в покрытии.
Тогда в качестве граничного условия для температуры при ¿=0 будет справедливо граничное условие в виде дифференциального уравнения:
0 . дТ дТ ^ (Т4 Т4) .
г = 0: \ — = И1с1р1— + ае(Т -Те )-д(0, дг 8t
где слагаемое ае(Т-Т*) описывает тепловые потери по закону Стефана-Больцмана; а- постоянная Больцмана; е - степень черноты; Те - температура окружающей среды или стенок вакуумной камеры, а вид функции д(1) и начальные условия зависят от описываемой стадии технологического процесса.
Для концентраций на границе имеем аналогичные условия:
г = 0: ^ = п.,^
1 дг
г_ = ^
П 8t 21 дг
°12 дг
-в22 ^
22 дг
Вдали от нагретой области источники и стоки тепла и массы отсутствуют:
да, да2 да, да2
г ^<Х: £)ц д +-0,2 д — 0, П21 д + 022 д ~ 0-
дг дг дг дг
В начальный момент времени концентрация и температура в покрытии однородны.
Зависимости теплофизических свойств от температуры аппроксимируются полиномами. Коэффициенты диффузии в общем случае зависят от концентраций по степенному закону, а от температуры - по закону Аррениуса. Теплоемкости веществ резко возрастают в окрестности температур плавления, причем покрытие и подложка в общем случае имеют различные температуры плавления Т Т
-*ркД> х рк'
Матрица диффузионных коэффициентов должна удовлетворять определенным требованиям. Так, в трехкомпонентной системе должно выполняться неравенство В11В22-В12В21>0, следующее из термодинамических ограничений.
Использование специально разработанного алгоритма [15], основанного на описании задач теплопроводности и диффузии на раздельных согласованных сетках (имеющих общие узлы), позволило сократить время счета для одного варианта в
10...100 раз.
Анализ результатов численного решения задачи для модельной системы показывает, что распреде-
ление и максимальное значение температуры и концентрации в обрабатываемом образце зависят от максимальной плотности мощности, числа и длительности импульсов, а так же от частоты источника. На рис. 1, а, б, в качестве примера представлена зависимость температуры от времени в точке ¿=0. К концу первого импульса (рис. 1, а, б, кривая 1) длительностью 0,005 с температура в покрытии и на поверхности подложки при данном наборе параметров не превышает 1100 К. За это время концентрация легирующих элементов в покрытии изменяется слабо (рис. 1, в, кривая 1). Диффузия наблюдается лишь при температуре Т,>700...900 К и протекает в поверхностном слое за Д/»0,02 с. Второй импульс, действующий за первым после времени паузы ?р=0,015 с, приводит к большему повышению температуры, которая ускоряет диффузию так, что за время второго импульса и при остывании до температуры Т, концентрация элементов в покрытии уменьшается до а, »0,01173, а а2* »0,1212.
Пяти импульсов (рис. 1, а, б, кривые 4) достаточно для того, чтобы концентрация первого элемента а1 в покрытии уменьшалась почти до нуля, а трех - до а2*»0,00982. Пики на кривой зависимости температуры от времени соответствуют окончанию импульсов, плато - плавлению (во время действия третьего импульса и кристаллизации - при остывании после 5 импульсов). Концентрации легирующих элементов в покрытии во времени практически отслеживают поведение температуры (рис. 1, в, г).
Пространственные распределения температуры и концентраций в подложке в различные моменты времени, получаемые при численном решении, иллюстрируют тот факт, что ширина диффузионной зоны хв, много меньше (на 3-5 порядков) ширины зоны прогрева хТ, где температура превышала
700...900 К в ходе обработки. Численные значение
а,, а2* в покрытии к окончанию процесса обработки и величины хТ, хв существенно зависят от параметров внешнего воздействия. Такие зависимости представляют интерес для конкретных систем. Учет перекрестных диффузионных потоков и зависимостей коэффициентов диффузии от концентраций также оказывает существенное влияние на динамику процесса, что в моделях термической обработки [4, 5] и др. не анализировалось.
4. Зависимость свойств от структуры и состава
Вопрос о зависимости свойств от состава и структуры должен изучаться специальным образом. Практически во всех известных моделях авторы обращают внимание только на зависимости свойств от температуры. Но это не решает проблемы. В процессе обработки материала или покрытия получается новый материал с заранее неизвестным фазовым и химическим составом, а, следовательно, с неизвестными свойствами. Надежных теорий, которые были бы пригодны на этот случай, не су-
т, к
т, к
и с
а
а„
с
Рис. 7. Зависимость температуры и концентрации легирующих элементов от времени в точке 1=0 при д0: а, в) 5104; б, г) 6,1-10 Вт/см2; п=1 (1); п=2 (2); п=3 (3); п=5 (4); 1=0,005 с, гр=0,015 с
4
ществует, и приходится довольствоваться полуэм-пирическими моделями, догадками и интуицией. Если для свойств композиционных материалов имеются более или менее обоснованные теории, то зависимость свойств от химического состава - это предмет исследования. Поэтому не стоит ожидать от моделей технологических процессов обработки материалов и их поверхностей «точных» цифр или «совпадения» расчетных или экспериментальных зависимостей. В конечном итоге хотелось бы получить в результате моделирования такую цепочку сведений «исходные материалы - режимы обработки и условия + геометрия - образец с новыми свойствами, также рассчитанными в рамках моделей». Пример «пробных» результатов в этом направлении кратко описан в разделе 7 настоящей статьи.
5. Химическая кинетика
Химические превращения, протекающие в зоне обработки, могут как сопутствовать основному процессу (например, лимитируя процессы растворения, приводя к образованию переходных слоев и т. п.), так и быть определяющими в формировании
свойств покрытий и поверхностей. Если в первом случае зачастую можно учесть тепловыделение и теплопоглощение в ходе реакций и наличие соответствующих стадий за счет изменения эффективных свойств или технологических параметров (например, как это делается в теплофизических моделях сварочных процессов), то во втором случае необходим анализ кинетики превращения в полном объеме. Здесь при построении моделей появляются трудности иного характера: для большинства химических и фазовых превращений, наблюдаемых или применяемых в процессах обработки, кинетические данные неизвестны или данные разных авторов существенно различаются. В [17-19] использован классический подход, опирающийся на химическую термодинамику и позволяющий пользоваться при формулировке любых моделей стандартными таблицами. Возможности известных термодинамических пакетов и связанные с ними проблемы обсуждаются, например, в [20]. Но ничего иного, к сожалению, пока предложить не удается.
В качестве примера приведем некоторые результаты исследования модели синтеза материала
а б в
Рис. 2. Иллюстрации к организации первого (а), второго (б), третьего (в) режимов синтеза
на подложке цилиндрической формы в условиях регулируемого нагрева электронным пучком. Математическая модель соответствует рис. 2 и включает подзадачи теплопроводности и химической кинетики, которые здесь не приводим.
Кинетическая задача записана в соответствии с диаграммой состояния системы Ть№ в области атомных концентраций, интересных с практической точки зрения, и соответствует системе реакций:
Б+№^Б№; 2Б+№^Б2№; Б+3№^Б№3.
Исследованы следующие варианты организации процесса, когда диаметр прессовки 2ЛС:
• меньше диаметра подложки 2ЛС<2ЛЬ и внешний источник нагревает только поверхность прессовки, т. е. Я=ЯС. Начальная температура основы 7=1073 X. Нагрев прекращается, если средняя температура прессовки достигает Т-=1073 К (рис. 2, а);
• меньше диаметра подложки 2ЛС<2ЛЬ, а поверхность прессовки нагревается постоянным источником, меньшего размера (рис. 2, б);
• равен диаметру основы 2ЛС=2ЛЬ, поверхность прессовки нагревается постоянным источником, меньшего размера (рис. 2, в).
Результатом каждого расчета является поле температуры в заданные моменты времени, динамика изменения максимальной температуры, распределение мольных и массовых концентраций химических соединений, атомных концентраций свободных и связанных элементов в заданные произвольные моменты времени, а также изменение во времени среднеинтегральных концентраций всех веществ и тепловыделения (поглощения тепла) в химических реакциях. В качестве примера далее на рисунках показаны пространственное распределение титана (рис. 3) в прессовке в процессе синтеза соответствующего второму режиму синтеза (в различные моменты времени, титан расходуется) и изменение во времени среднеинтегральных концентраций титана (верхняя строка на рис. 4) и И№ (нижняя строка на этом же рисунке) для разных условий организации процесса. Как видно, динамика процесса существенно зависит от условий
инициирования реакции. Перегибы на концентрационных кривых связаны с подключением реакций в разных частях образца.
В любом случае состав покрытия (прессовки) после синтеза оказывается неоднородным. Но, варьируя параметры электронно-лучевого воздействия и условия нагрева, можно найти такие условия организации процесса, что неоднородностью фазового состава после синтеза можно будет пренебречь [21].
6. Остаточные напряжения
Вопрос об оценке механических напряжений в зоне обработки является весьма актуальным. Известные в механике подходы к оценке остаточных напряжений, вообще говоря, не дают представления о том, с какими необратимыми процессами они связаны. На практике же важно знать, как изменяются напряжения в зоне обработки при изменении технологических параметров, состава обрабатываемых слоев и сопутствующих физико-химических превращений. В этом случае плодотворным оказывается путь, основанный на термодинамике необратимых процессов, вернее, ее обобщении на деформируемые среды с химическими превращениями и диффузией. Подробно обобщение модели механики с использованием идей термодинамики описано, например, в [22, 23]. Примеры моделей технологических процессов, где используется этот подход, представлены в [24].
7. Оценка механических свойств
обработанных поверхностей
В серии публикаций [9, 17, 25] и др. представлены частные варианты модели технологического процесса электронно-лучевой обработки поверхности металлов с использованием модифицирующих частиц [26]. В ванну расплава, формирующуюся за движущимся источником энергии, соответствующим сканирующему электронному лучу и перемещающейся в перпендикулярном направлении плоской детали, поступают частицы, свойства и состав которых могут быть различными (что зависит от целей обработки). Частицы могут растворяться
Рис. 3. Пространственное распределение титана в прессовке в различные моменты времени 1) 0,1; 2) 0,6; 3) 0,8; 4) 1,4; 5) 1,6; 6) 3,0 с
1
2
3
4
5
6
полностью или частично, вступать в химические превращения или поглощать тепло и быть центрами кристаллизации.
Установлено, что в случае частично растворимых частиц в зависимости от технологических параметров возможно образование как композиционного, так и однородного (гомогенного) модифицированного поверхностного слоя. Вследствие изменения в ходе процесса химического состава поверхностного слоя (образования, например, непрерывного ряда растворов), причем различным образом в разных частях поверхности (что зависит от различных условий нагрева и охлаждения), меняются не только температура кристаллизации, эффективная теплоемкость, но и результирующие механические свойства.
На рис. 5-7 представлен пример, иллюстрирующий возможность оценки области изменения модуля упругости в результате модификации поверхности. Результат зависит от технологических параметров. Расчет проведен для системы никель-медь. Некоторые технологические параметры намеренно выбраны так, чтобы результаты были видны как можно более четко: У=1 см/с (скорость движения источника), £0=0,8-1041/с, #0=4200 Вт/см2, #„,0=1,5 1/с (константа растворения, максимальная плотность мощности, расход частиц), Н0=НР=5 см (ширина сканирования и ширина области, в которую попадают частицы).
Так, рис. 5 дает представление о форме ванны расплава (темно-серый цвет) и зоны термического влияния (средняя область) для двух различных мо-
У(Т!)
У,(Т!Ы!)
^(Т!)
^(Т!)
1 режим синтеза
У,(Т!Ы!)
2 режим синтеза
У,(Т!Ы!)
3 режим синтеза
Рис. 4. Зависимость интегральных концентраций от времени для различных значений начальной температуры основы Г„: 1) 1073; 2) 1273; 3) 1473 К
ментов времени. Частичное растворение частиц иллюстрируют поверхности на рис. 6 для тех же моментов времени. Рис. 7 дает верхнюю и нижнюю оценку для эффективного модуля упругости в обработанной к моменту /=10 с области. Учитывая, что растворение или структурообразование может
протекать и в процессе остывания образца, а сам процесс термической обработки может быть многопроходным, в результате подобных расчетов можем описать эволюцию модуля упругости при варьировании технологических параметров в заданном диапазоне.
у, СМ
20
15-
10
5
0
у, см
1 1 1 1 1 1 1 20-
- 15- / /
\ 10- \
900—. \ - 5- 900 \
1360| I 0-
8
16 24 32 40
X, СМ
а
Рис. 5. Поле температуры в моменты времени к а) 10; б) 18 с
&■
О X, СМ
у, см
у, см
а
Рис. 6. Доля нерастворившихся частиц в моменты времени к а) 10; б) 18 с
Еа,еА- ГПа 14о 1Зо
%
X, см
16
24
32 40
X, СМ
у, см
X, см
у, см
а
Рис. 7. Модуль упругости в зоне обработки. Оценка: а) верхняя; б) нижняя
Выводы
1. Дано представление о развиваемом авторами подходе к моделированию технологических процессов поверхностной обработки материалов и нанесения покрытий, а также возникающих при этом проблемах.
2. Для подробного описания необратимых физико-химических явлений, приводящих к изменению свойств материалов в процессе синтеза и обработки, предложены модели технологических процессов, основанные на неравновесной термодинамике.
3. Все предложенные модели используют опыт, накопленный в макрокинетике и химико-технологическом моделировании, и позволяют в отличие от чисто теплофизических моделей изучать в динамике то, что обычно скрыто от глаз экспериментаторов.
4. Результаты численного моделирования по определению химического и фазового состава поверхностных слоев и синтезированных материалов можно использовать для оценки механических, теплофизических и иных свойств.
0
8
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zhou B.L. Some non-equilibrium thermophysical problems to be studied in materials processing // Material Science and Engineering.
- 2000. - V. A292. - P. 133-141.
2. Постольник Ю.С., Тимошпольский В.И., Андрианов Д.Н., Ратников П.Э. Инженерные методы расчетов различных режимов нагрева термомассивных объектов в металлургических технологиях в условиях противотока 1. Состояние вопроса. Конвективный нагрев // Инженерно-физический журнал. -2004. - Т. 77. - № 3. - С. 3-12.
3. Постольник Ю.С., Тимошпольский В.И., Андрианов Д.Н., Трусова И.А. Инженерные методы расчетов различных режимов нагрева термомассивных объектов в металлургических те-плотехнологиях в условиях противотока. 2. Радиационный и радиационно-конвективный противоточный нагрев // Инженерно-физический журнал. - 2004. - Т. 77. - № 6. - С. 3-10.
4. Головин А.А., Солоненко О.П. Нестационарный сопряженный теплообмен и фазовые превращения при высокоэнергетической обработке поверхности. Ч. 1. Вычислительный метод и его реализация // Теплофизика и аэромеханика. - 2007. - Т. 14.
- № 3. - С. 413-428.
5. Солоненко О.П., Головин А.А. Нестационарный сопряженный теплообмен и фазовые превращения при высокоэнергетической обработке поверхности. Ч. 2. Моделирование технологических процессов // Теплофизика и аэромеханика. - 2007. -Т 14. - № 4. - С. 623-638.
6. Ковалев О.Б., Оришич А.М., Петров А.П. и др. Моделирование фронта плавления и разрушения пленки расплава при газолазерной резке металлов // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - Т. 45. - № 1. - С. 162-172.
7. Щукин В.Г, Марусин В.В. Моделирование энергопоглощения в стали мощными выскочастотными импульсами различной частоты//Прикладная механика и техническая физика. - 2004.
- Т. 45. - № 6. - С. 154-168.
8. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1990. - 264 с.
9. Князева А.Г., Поболь И.Л., Гордиенко А.И. и др. Моделирование теплофизических и физико-химических процессов, сопровождающих формирование покрытий в электронно-лучевых технологиях модификации поверхностей металлических материалов // Физическая мезомеханика. - 2007. - Т. 10. - № 5. -С. 105-119.
10. Шипко А.А., Поболь И.Л., Урбан И.Г. Упрочнение сталей и сплавов с использованием электронно-лучевого нагрева. -Минск: Наука и техника, 1995. - 280 с.
11. Лотков А.И., Псахье С.Г, Князева А.Г и др. Наноинженерия поверхности. Формирование неравновесных состояний в поверхностных слоях материалов методами электронно-ионноплазменных технологий. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. - 276 с.
12. Гегузин Я.Е. Диффузионная зона. - М.: Наука, 1979. - 344 с.
13. Бокштейн С.З. Диффузия и структура металлов. - М.: Металлургия, 1973. - 208 с.
14. Романков П.Г, Рашковская Н.Б., Фролов В.Ф. Массообменные процессы в химической технологии (системы с твердой фазой). - Л.: Химия, 1975. - 336 с.
15. Букрина Н.В., Князева А.Г Алгоритм численного решения задач неизотермической диффузии, встречающихся в процессах поверхностной обработки // Физическая мезомеханика. -2006. - Т. 9. - № 2. - С. 55-62.
16. Букрина Н.В., Князева А.Г. Моделирование формирования диффузионной зоны при импульсной электронно-лучевой обработке материала с покрытием // Известия Томского политехнического университета. - 2007. - Т. 310. - № 1. -С. 91-95.
17. Крюкова О.Н. Численное исследование модели электроннолучевой наплавки покрытий с модифицирующими частицами с учетом физико-химических превращений // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. - № 6.
- С. 120-125.
18. СороковаС.Н., Князева А.Г. Моделирование формирования фазовой структуры покрытия в процессе электронно-лучевой обработки с использованием синтеза в твердой фазе // Теоретические основы химической технологий. - 2008. - Т. 42. -№ 4. - С. 457-465.
19. Sorokova S.N., Knyazeva A.G. Modeling of coating modification using condensed phase synthesis // Nonequilibrium Processes in Combustion and Plasma Based Technologies: Book of reports of the Intern. Workshop. - Minsk, 2008. - P. 65-69.
20. Белов ГВ. Термодинамическое моделирование: методы, алгоритмы, программы. - М.: Научный Мир, 2002. - 184 с.
21. Сорокова С.Н., Князева А.Г. Моделирование синтеза интерме-таллида на подложке цилиндрической формы // Физическая мезомеханика. - 2009. - Т. 12 - № 5. - С. 77-90.
22. Князева А.Г. О моделировании необратимых процессов в материалах с большим числом внутренних поверхностей // Физическая мезомеханика. - 2003. - Т. 6. - № 5. - С. 11-27.
23. Князева А.Г. Диффузия и реология в локально-равновесной термодинамике // В сб.: Математическое моделирование систем и процессов / под ред. П.В. Трусова. - Пермь: Изд-во ПермГТУ, 2005. - С. 45-60.
24. Букрина Н.В., Князева А.Г. Об оценке механических напряжений в материале с покрытием в условиях ионной бомбардировки // Физическая мезомеханика. - 2008. - Т. 11. - № 5. -С. 95-102.
25. Крюкова О.Н., Князева А.Г. Критические явления при растворении частиц в ванне расплава в процессе электронно-лучевой наплавки покрытий // Прикладная механика и техническая физика. - 2007. - Т. 48. - № 1. - С. 131-142.
26. Белюк С.И., Панин В.Е. Электронно-лучевая порошковая металлургия в вакууме: оборудование, технология и применение // Физическая мезомеханика. - 2002. - Т. 5. - № 1. -С. 99-104.
Поступила 03.11.2009 г.
