Асимптотический анализ задачи о распространении безгазового горения в вязкоупругой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Асимптотический анализ задачи о распространении безгазового горения в вязкоупругой среде

А.Г. Князева, С.Н. Сорокова

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Задача о распространении стационарного фронта превращения в вязкоупругой среде максвеловского типа в приближении малых деформаций решена методом сращиваемых асимптотических разложений. Решение задачи найдено для предельных случаев малого и большого времени релаксации вязких напряжений. Показано, что в модели существуют как дозвуковая, так и сверхзвуковая скорость распространения фронта реакции, как и в связанных моделях твердофазного горения для термоупругого тела. Тип решения зависит от соотношений характерных скоростей различных физических процессов: характерной скорости превращения, скорости релаксации вязких напряжений и скорости распространения упругих волн.

Asymptotic analysis of gasless combustion wave propagation in a viscoelastic medium

A.G. Knyazeva and S.N. Sorokova

The problem on stationary front propagation in a viscoelastic medium of the Maxwell type is solved with help of the method of joint asymptotical expansion in the approximation of small strains. The problem solution was found for a limiting case of short and long relaxation time of viscous stresses. It was shown that two modes (sub- and supersonic one) of reaction propagation exist in this model, as well as in the coupling model of solid-phase combustion for the thermoelastic body. Solution type depends on the ratio of characteristic rates of various physical processes, including chemical transformation, relaxation of viscous stresses and propagation of elastic waves.

1. Введение

К числу твердофазных процессов относятся те, в которых одна из фаз, участвующих в превращении, является твердой. Как и реакции в газах и жидкостях, твердофазные превращения бывают быстрые и медленные, экзотермические и эндотермические, гомогенные и гетерогенные, протекающие без изменения химического состава фазы и с изменением химического состава. На протекание химических реакций в твердом теле оказывают влияние, кроме температуры, механические напряжения, диффузия, структура образца, напряженность электрического поля, окружающая среда. В твердом веществе все процессы взаимосвязаны и могут влиять друг на друга как прямо, так и косвенным образом.

Для описания твердофазных превращений, сопровождающихся появлением напряжений и деформаций в зоне реакции, можно использовать связанные модели, основанные на уравнениях механики сплошной среды. К числу реакций, протекающих в конденсированной фазе (без образования газообразных продуктов), относят, например, металлотермические превращения. Свя-

занная модель для реакции такого типа была предложена в работе [1].

Целью данной работы является нахождение решений задачи о распространении фронта превращения в форме бегущей волны.

2. Постановка задачи

Стационарная математическая модель распространения металлотермических реакций (фронт реакции движется вправо) с учетом связного характера различных процессов следует из [1] и имеет вид:

дТ

- Ссриг----=

Е п дх

= Х т д-Тг + 3КатТип — - Qг ип , (1)

т дХ2 п дХ ^ п дХ У '

- ип дх=кгQc ф( у) ехр(- 1Т ] ’ (2)

ри2 е = стп, (3)

© Князева А.Г., Сорокова С.Н., 2004

дсти ц .. де

-ип-д7Г + _а11 --ип(2ц + Х) ^7-

дХ к дХ

- 3Кат ип Ц К (е - 3ат(Г - Т0)),

дХ к

где ф(у) - 1 - у.

В области реагентов возмущения нулевые

де

Х ^ : Т - То - 0, у - 0, е - —— - О,

дХ

в области продуктов возмущения конечны

(4)

дТ П 1 -----= 0, у = 1.

ЭХ ’у

(5)

(6)

В (1)-(6) приняты следующие обозначения: Т — температура; X — пространственная координата; у —сте-

пень превращения;

є = є

11— компонента тензора де-

формаций в направлении распространения фронта; се, р, Xт — теплоемкость, плотность и теплопроводность твердого вещества, не зависящие от Т и у; К - X + 2 ц/3 — изотермический модуль всестороннего сжатия; X, ц — коэффициенты Ламэ (ц соответствует модулю сдвига в теории упругости); ат — линейный коэффициент теплового расширения; к — сдвиговой коэффициент вязкости; Qг — суммарное тепловыделение (поглощение) тепла в ходе реакции; ^ — пред-экспоненциальный множитель; Еа — энергия активации суммарной реакции; R — универсальная газовая постоянная. Температура продуктов реакции Ть отлична от температуры продуктов тепловой теории горения и должна быть найдена в ходе анализа задачи, также как и скорость стационарного фронта ^п.

В переменных

Т - То й- ипХ у - е

У---------, ь------, У, е-—,

кт е*

Т* - Т0

где

Т* = ТЬ0 = Т0 +

О-.

сєр.

ЯТ*

V * У

є* =

3Кат (Т* - Т,) 2ц + Х '

после частичного интегрирования стационарная задача принимает вид:

de а20

, de d у

-

ту = Ф( у)ехр

1 -е Р(0+^)

(7)

(8)

4е а - к ае 0 (1 -а)-ГГ +-----------е ^-г+ —

а2е

: 0 = у = е = — = —- = 0,

de

где а = -

Т* - Та

ю =

(3атК)2 Т*- Т, Х + 2ц сєр

(9)

(10)

(11)

— коэффициент

связанности полей деформации и температуры; тv -- к^2/(цкт) — время (скорость) релаксации вязких напряжений; к - К/(Х + 2ц) — отношение объемной и продольной скоростей звука; а- (ип/с1 )2 — аналог числа Маха для твердофазного горения [1]; в - RT* /Еа , у - cерRTJ2 /(Е^г) — малые параметры тепловой теории горения; т - (1/у)(ип/ип*)2 — скорость распространения фронта реакции, которая является собственным значением задачи.

Понизим порядок системы уравнений введением переменной Р - d9/dЬ, тогда получаем

а у (

ту—Р = Ф( у)ехр а0

1-0 Р(0 + ^)

Л

ае а - к 0

(1 -а^~ Р+------------е = Р + —,

ГЇ0 т,, т,,

0 ^ 0: р = —— ^ 0. у = 0. е = 0.

(12)

(13)

(14)

(15)

0^0Ь: Р ^ 0, у ^ 1. (16)

Требуется найти распределение в волне горения температуры, напряжений и деформаций, а также опреде-

Т -Т

лить температуру продуктов 9Ь - —-----0

распространения фронта реакции т.

Т* - Т0

и скорость

3. Асимптотический анализ задачи

Решение задачи получено методом сращиваемых асимптотических разложений. Метод сращиваемых асимптотических разложений заключается в представлении решения в виде разложений по малым параметрам, каждое из которых пригодно в некоторой части рассматриваемой области. Так как области применимости предельных решений перекрываются, возможно провести их сращивание [2].

Решение получено при условии у << 1 и для двух предельных случаев большого и малого времени релаксации вязких напряжений тv.

Рис. 1. Зависимость температуры продуктов и скорости фронта для низкоскоростного режима а < 1 от параметров в модели при тv » 1, о = 0.3, ш = 0.1 (1); 0.5 (2); 1 (3)

В случае большого времени релаксации ти >> 1 уравнение для температуры продуктов имеет вид:

а9\ + Ь9Ь + с9ь + d - 0,

(18)

где

а - -

Ь -т

с -т

d -1.

ш

.а - к

V У V

1 -

1 - а а-к

У

1 -

1 -а

а-у.

V у

ш

/

а-к

\

ош 1

-----1—

V3 2/

1ш

2 а -

1-

1 - а а-к

ош

/

а-к

ош

\

+1 а-к

- 1 -

ош

а-к

В случае малого времени релаксаций ти << 1 имеем

1 -9ь -ш1

9 ь -

+ — (1 - 2а + к) х

г

\ /

о + -

ш1

1п

2 + 9 ь Ш1 + 2ош1

2 + 2оШт

- 0, (19)

где ш1 - ш/(1 - а).

Уравнение для скорости стационарного фронта одинаково в обоих предельных случаях:

т0 ~ ехр

9 ь -1 У

(20)

температурой. Уравнения получаются громоздкими и здесь не приведены.

4. Параметрический анализ задачи

Подробное исследование полученных уравнений для температуры продуктов и скорости фронта осуществлено для ти - 0.1 (ти << 1) и ти -10 (ти >> 1). Параметры а, ш, о менялись в широких пределах. Параметры У - 0.01, к = 0.83 зафиксированы и не менялись при параметрическом исследовании.

1. В случае большого времени релаксации ти для низкоскоростного режима а < 1 уравнение (18) для температуры имеет единственное положительное решение, меньшее единицы. С увеличением а от 0 до 1 величина температуры продуктов уменьшается. При а = 1 решения не существует. При увеличении коэффициента связанности ш (рис. 1, о) значение температуры продуктов 9ь уменьшается. Следовательно, в соответствии с формулой (20), скорость распространения фронта реакции также уменьшается при увеличении ш, что видно из (рис. 1, б).

Возможность существования высокоскоростного режима (а > 1) зависит от соотношения параметров ш, о, а (рис. 2). Например, для а = 1.5 и о = 0.3 при ш > шкр решения не существует, критическое значение шкр увеличивается при увеличении а (рис. 2). В этой области параметров уравнение для температуры имеет единственное положительное решение.

2. В случае малого времени релаксации в зависимости от значений параметров ш, о, а уравнение для температуры продуктов (19) может иметь один положительный корень, два или три, что приводит к интересным, неоднозначно трактуемым результатам.

Если а < к, что соответствует низкоскоростному режиму распространения фронта, то существует область параметров, где уравнение для температуры продуктов (19) имеет три решения, которые условно обозначим 91 < 911 < 9Ш. При данном значении коэффициента связанности ш с увеличением а минимальное значение температуры 91 растет, а 911 уменьшается, при некотором значении а-акр эти решения сливаются (рис. 3, о).

1.6

1.4

1.2

1.0

1/ 2/ 3/

“ ®кр 1 1 1 ®кр 1 . ®кр ! 1 . 1

0.1

0.2

0.3

Величина деформаций в области продуктов реакции, следовательно, и напряжений, полностью определяется

Рис. 2. Зависимость температуры продуктов от коэффициента связности для о = 0.3, ^ >> 1, а = 1.5 (1); 2 (2); 2.5 (3)

Т

х

Рис. 3. Зависимость температуры продуктов для низкоскоростного режима а < 1 от параметров модели при ту << 1, о = 0.3, ш = 0.1 (1); 0.2 (2)

Третье значение температуры 9Ш (рис. 3, б) резко возрастает при уменьшении а, а при увеличении а >> акр 9Ш ^ 0. Этот результат можно трактовать различным образом:

1. Реальному значению температуры продуктов соответствует минимальный положительный корень уравнения, а максимальный корень этого уравнения должен быть отброшен как физически нереальный. Тогда а - акр соответствует переходу в область параметров, где решения не существует.

2. Все три значения температуры имеют смысл. Тогда до а - акр фронт реакции имеет трехтемпературную структуру, например такую как на рис. 3, в, а при а > акр — однотемпературную с высокой температурой продуктов и высокой скоростью (меньшей скорости звука). Скорость фронта т рассчитываем, используя минимальное значение температуры.

3. Возможно предложить и третий вариант: каждому значению температуры 91, 911 и 9Ш соответствует свое значение скорости т. Тогда а - акр есть «точка бифуркации», в которой число решений утраивается.

15

10

- \ \

" \1 V 2

0.4 0.8 1.2 1.6 со

Рис. 4. Зависимость температуры продуктов от параметров модели для высокоскоростного режима при ту »1, а — а =1, о = 0.3 (1); 0.5 (2); б — о = 0.3, а = 1 (1); 1.5 (2)

В области изменения а от к до 1 существует единственный положительный корень уравнения для температуры продуктов.

Для сверхзвукового режима характерны два значения температуры, или, что то же самое, при а > 1 уравнение (19) имеет два положительных решения. Меньший корень сначала убывает с ростом коэффициента связности ш, а потом возрастает (рис. 4), сливаясь с большим корнем при ш - шкр. Меньший корень возрастает с увеличением а, больший корень уменьшается (рис. 4, а). Аналогично влияет на корни параметр о (рис. 4, б). При ш > шкр решения не существует (рис. 4). Этот результат также можно трактовать по-разному:

1. За температуру продуктов 9ь следует принимать меньший корень.

2. Можно говорить о двухтемпературной структуре стационарного фронта горения.

Прояснить ситуацию можно будет только при численном решении задачи и при использовании качественных методов анализа дифференциальных уравнений.

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда РФФИ, грант № 03-01-00074.

Литература

1. Князева А.Г., Дюкарев Е.А. Модель распространения стационарного фронта превращения в вязкоупругой среде // Физика горения и взрыва. - 2000. - Т. 36. - № 4. - С. 41-51.

2. Найфэ А. Введение в методы возмущений. - М.: Мир, 1984. -535 с.