CC BY
71
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 2(13). C. 73-78. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2016-13-2-73-78
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
УДК 51-8
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ «ВИТУС БЕРИНГ -2016»
Г. М. Водинчар, О. К. Жданова, А. С. Пережогин, О. В. Шереметьева, Т.П. Яковлева
Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: kafmat@mail.ru
В статье приведены задачи олимпиады по математике «Витус Беринг - 2016» для старших школьников, которая проходила на базе Камчатского государственного университета в апреле 2016 года.
Ключевые слова: олимпиадные задачи по математике для школьников
© Г.М. Водинчар и др., 2016
TEACHING MATERIALS
MSC 97A90
SOLUTIONS OF MATHEMATICAL OLYMPIAD «VITUS BERING - 2016»
G. M. Vodinchar, O. K. Zhdanova, A. S. Perezhogin, O. V. Sheremet'eva, T. P. Yakovleva
Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: kafmat@mail.ru
We consider solutions of Mathematical Olympiad «Vitus Bering - 2016» for high school students. It was held at Kamchatka State University in April 2016.
Key words: mathematical olympiad for high school students.
© Vodinchar G.M., etc., 2016
Введение
Настоящая заметка не содержит результатов оригинальных исследований или обзора таких результатов. Она посвящена математической олимпиаде школьников старших классов «Витус Беринг - 2016», которая проводилась Камчатским государственным университетом имени Витуса Беринга в начале апреля 2016 года и содержит задачи олимпиады и их решения. Эта вторая математическая олимпиада, проводимая на физико-математическом факультете в 2015/2016 уч. году. Задачам первой олимпиады этого года, проходившей в ноябре 2015 года, посвящена статья [1].
Предметные являются эффективным и испытанным временем средство привлечения талантливых школьников к науке и организации отбора в высшие учебные заведения.
Введение отбора абитуриентов в вузы через систему Единого государственного экзамена увеличил заинтересованность вузов к проведению своих олимпиад. Победители и призеры вузовских олимпиад получают, как правило, дополнительные баллы к баллам ЕГЭ при поступлении в соответствующий вуз.
Математическая олимпиада «Витус Беринг - 2016» проводилась в один тур и включала в себя 6 задач различной сложности для школьников 9-11 классов. На выполнение заданий участникам олимпиады было выделено 3 часа. При подготовке олимпиадных заданий организаторы использовали некоторые типовые задания из сборника [2].
Далее приводятся задания этой олимпиады и их решения. Задания олимпиады
1) (10 баллов) Дана последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... , в которой ап+2 = ап+1 + ап для всякого п = 1, 2, ... Найти наибольший общий делитель чисел
«100 и а99.
2) (10 баллов) В интернет-магазине, имеющем менее 20 моделей смартфонов, число шестидюймовых смартфонов кратно числу пятидюймовых смартфонов, которых в свою очередь, в три раза меньше, чем четырехдюймовых. Если число шестидюймовых смартфонов увеличить в два раза, то их станет на 14 больше, чем пятидюймовых. Сколько четырехдюймовых смартфонов в интернет-магазине?
3) (10 баллов) Дан многочлен 1(х) = х2 + х + 2016. Многочлен Н(х) = х3 + ах2 + Ьх + с имеет только три различных действительных корня, при этом многочлен Н(/(х)) не имеет действительных корней. Доказать, что Н(2016) > 1/64.
4) (10 баллов) Дана функция /(х) = 3. 1 . Найти /(.../(/(^2016)))).
V1 - х3 4-V-'
2016
5) (10 баллов) Найти все простые числа р, q такие, что р + q = (р — д)3.
6) (10 баллов) Доказать, что произведение (п + 1)(п + 2)..(2п — 1)2п делится на п!.
7) (10 баллов) При каком а система
Г y = 2 - Va2 - 9 + 6x - x2 \ -x2 + 3x + yx + 3y + 18 = 0
имеет ровно 2 решения? Решения
1) При n = 98 получим aioo = a99 + a98. Применим алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя к этому выражению. Тогда остаток от деления ri = aioo : a99 = a98.
При n = 97 получим a99 = a98 + a97. Применим алгоритм Евклида и тогда остаток от деления будет равен r2 = a99 : a98 = a97.
Продолжая аналогичным образом далее, при n = 1 получим аз = a2 + ai и остаток Г98 = аз : а2 = ai. А так как а2 = 1 и ai = 1, то Г99 = 0 и алгоритм Евклида завершается.
Таким образом, НОД^,a2) = НОД^2,a3) = ... = НОД^ш,a99) = 1.
2) Пусть т4, т5, тб - число четырех-, пяти- и шестидюймовых телефонов. Из условия задачи составим следующие ограничения:
{т4 + т5 + тб < 20, тб = к ■ т5, т4 = 3 т5, 2 тб = т5 + 14.
Воспользуемся вторым и третьим уравнениями для и преобразования первого и четвертого выражений:
Исходя из условия задачи, к и т5 должны быть целыми. Тогда из последнего уравнения получаем, что 2к — 1 = 7 и т5 = 2, откуда к = 4 и т5 = 2.
Найденные значения удовлетворяют неравенству (4 + к) т5 < 20.
Тогда число четырехдюймовых равно т4 = 3 ■ 2 = б.
Ответ. 6.
3) Так как многочлен Н(х) имеет три действительных корня, то он представим в виде
Ответ. 1.
3 m5 + m5 + k • m5 < 20, 2 k • m5 = m5 + 14,
(4 + k) m5 < 20,
(2 k - 1) m5 = 14 = 7 • 2.
H (x) = (x — x1 )(x — x2) (x — x3),
где x¿ - действительные числа. Рассмотрим многочлен
H (J (x)) = (J(x) — x1)(J(x) — x2)(J(x) — x3),
который по условию задачи не имеет действительных корней.
Следовательно дискриминант каждого сомножителя вида
1(х) — х[ = х2 + х + 2016 — хг-,
должен быть меньше нуля. Вычислим дискриминант
В = 1 — 4(2016 — х) < 0,
(2016 — хг') > 4,
тогда значение многочлена Н(2016) = (2016 — х1)(2016 — х2)(2016 — х3) > 64. Что требовалось доказать.
4) По условию задачи f (х) = 3 , 1 .
33
Рассмотрим f (f (x)) =
1 1 1 Ц— x
3
1 -( )3 V1 - 1—3 V1—x3
f (f (f (x))) = / 1 3 = r-1—^ = -TT = x,
3ll_ (_ 1—3У a71 + 1—x3 3/1
/(/(f (/(х)))) = -== и т. д. 4-V-' у1 — х3
4
Таким образом, суперпозиция функций f (х) принимает всего три значения
1 :, п = 1, 4, 7, ...
f (... (f(f (x)))) = ^ ^
x3'
, n = 2, 5, 8,
x
х, п = 3, 6, 9, . . .
Так как 2016 кратно 3, то мы получаем, что f (...f ^(х)))) = х.
4-*-'
2016
Откуда f (..4^(^2016)))) = ^2016
4-V-'
2016
Ответ. лУ2016.
5) По условию задачи р и д простые числа, следовательно они являются целыми числами. Тогда р + д и р — д также целые числа. Выполним замену р — д = т, где т - целое, тогда р = т + д и исходное соотношение р + д = (р — д)3 перепишется в виде
2д + т = т3.
Поделим левую и правую часть на т:
m 2q
m
(1)
Так как т - целое число, то целым числом является т2 — 1 и следовательно--
т
целое, а так как q - простое, то т = 1 либо т = 2, либо т = д. Подставим значение т = 1 в выражение (1). Тогда 2■ д = 0, откуда д = 0. Это значение не подходит, т.к. не является простым числом. При подстановке значения т = 2 в выражение (1) получаем простое число д = 3 и, вычисляя значение р = т+д = 5, получаем также простое. При т = д значение д2 = 3 и д - не целое.
Ответ. д = 3, р = 5.
6) Произведение (п + 1)(п + 2)..(2п — 1)2п можно представить в следующем виде (п + 1)(п + 2)..(2п — 1)2п = . Следовательно нужно показать, что дробь делится
I (2п)! ' '
нацело на п!, т.е. ^¡у является целым числом.
С другой стороны число сочетаний = ^^Пу-, а это целое число. Что требовалось доказать.
7) Рассмотрим первое уравнение системы у = 2 — л/а2 — 9 + 6х — х2 и преобразуем его:
которой является нижняя полуокружность с центром в точке (3;2) и радиусом г = |а|.
Рассмотрим второе уравнение —х2 + 3х + ух + 3у + 18 = 0 и преобразуем его: (х + 3)(—х + у + 6) = 0. Таким образом, получаем две прямые с уравнениями х = —3, у = х — 6. Изобразим это плоскости «переменная-значение» (рисунке).
л/я2 — 9 + 6x — x2 = 2 — y, -у/a2 — (3 — x)2 = 2 — y, откуда
Таким образом, получаем уравнение
графиком,
Рисунок. Чертеж к задаче 7 77
Система имеет два решения при r е (п; Г2] U [гз; Г4) U (Г4; +<*>).
Определим значения ri, r2, Г3, Г4: значение ri как катет из равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 5, то есть ri = 5 : л/2 = 2,5л/2, r2 = 5, гз = 6, из прямоугольного треугольника с катетами 6 и 11 найдем гипотенузу r4 = V 62 + 112 = /57.
Значит, |a| е (2,5 /2; 5] U [6;/157) и (/57; +~).
В итоге получаем a е -/57) U (->/157; -6] U [-5;-2,5 >/2) U (2,5 /; 5] U [6; /57) U (/57; +~).
Ответ. a е (-«>; - /57) U (-/57; -6] U [-5; -2,5 /2) U (2,5 /2; 5] U [6; /57) U (/57; +<*>). Заключение
В апреле 2016 года на физико-математическом факультете Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга была проведена математическая олимпиада для школьников - вторая в 2015/2016 уч. году. Ее проведение было связано с привлечением потенциальных абитуриентов вузов к специальностям физико-математического профиля и организацией дополнительного тренировочного испытания перед сдачей ЕГЭ и ГИА. Победитель и призеры олимпиады «Витус Беринг» в случае участия во вступительном конкурсе в КамГУ им. Витуса Беринга получают дополнительные баллы к результатам ЕГЭ.
Авторы надеются, что представленные задачи и их решения помогут школьникам в подготовке к экзаменационным испытаниям и поступлении в избранные ими вузы.
Список литературы
[1] Водинчар Г.М., Жданова О.К., Островерхая Л.Д., Паровик Р.И., Пережогин А.С., Шереметьева О.В., Яковлева Т.П., "Решения задач математической олимпиады «ВИТУС БЕРИНГ - 2015»", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2015, №2(11), 96-101.
[2] 34-й Турнир имени М. В. Ломоносова 25 сентября 2011 года. Задания. Решения. Комментарии, МЦНМО, М., 2013, 197 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 28.04.2016
