Об ортогональности решений одной спектральной задачи в классе полоидальных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (2). C. 26-31

УДК 517.958+517.927

ОБ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ В КЛАССЕ ПОЛОИДАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ Г.М. Водинчар1,2, Л.К. Фещенко2

1 Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

2 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

E-mail: [email protected], [email protected]

Доказывается ортогональность собственных полей спектральной задачи rot Д S + ЯrotS =

0 в пространстве полоидальных полей в сферической оболочке

Ключевые слова: спектральные задачи, сферическая оболочка, ортогональные поля

© Водинчар Г.М., Фещенко Л.К., 2011

MSC 47F05+57R25

ORTHOGONAL SOLUTIONS OF A SPECTRAL PROBLEM IN THE CLASS OF POLOIDAL FIELD G.M. Vodinchar1,2, L.K. Feschenko2

1 Kamchatka State University by Vitus Bering, 683032, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia

2 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7,

Russia

E-mail: [email protected], [email protected]

We prove the orthogonality of the eigenfields of the spectral problem rot Д S + Я rotS = 0 in the space of the poloidal field in a spherical shell

Key words: spectral problem, the spherical shell, orthogonal field

© Vodinchar G.M., Feschenko L.K., 2011 26

Введение

Модельное описание динамики вязкой несжимаемой жидкости в сферических оболочках играет большую роль в физике планет и звезд. Решение уравнения Навье-Стокса, описывающего подобные процессы, за исключение простейших случаев, можно получать только различными приближенными методами. Большую популярность при этом имеют методы, относящиеся к группе методов взвешенных невязок [1]. В этих методах искомое поле скорости жидкости раскладывается в линейную комбинацию стационарных бездивергентных полей с зависящими от времени амплитудами. Выбор системы полей для разложения можно сделать на основании различных соображений и одним из возможных подходов является использование для разложения полоидальной составляющей скорости собственных полей формулируемой ниже задачи (1).

При этом возникает важный для вычислительной устойчивости и качества аппроксимации вопрос об ортогональности используемых для разложения скорости базисных полей, исследуемый в настоящей работе.

Ортогональность собственных полей

Пусть И$ - пространство полоидальных полей в сферической оболочке П радиусов т\ и Г2, нулевых на границе этой оболочки. Рассмотрим в И$ спектральную задачу

rot Л S + ЯrotS = О,

Sid. =°. (1)

Явные выражения для собственных полей этой задачи и уравнение на собственные значения были получены в работе [2], поэтому приведем их здесь без вывода.

Если ввести сферическую систему координат с началом в центре оболочки, то собственными полями являются

Sknm = rotrot (Rfen(r)Fnm(0, ф)r),

где k = 0,1,2,... определяет дискретизацию решений задачи (1) и ее спектра по радиусу, а индексы n = 1,2,3,... и m = —n,...,n - дискретизацию по угловым переменным в и ф, т.е. по поверхности единичной сферы S2. Далее n и m будем называть сферическими индексами.

Здесь Ynm(e,ф) - сферические гармоники, которые далее будем считать нормированными следующим образом:

ß KfdS = i,

|/Ш' 2S 2

а радиальные функции R^n удовлетворяют соотношениям:

LnRkn + ^<knLnRkn = °

(2)

Rkn(ri) Rkn(r2)

dRkn

dr

__ dRkn

r=ri dr

= 0,

r=T2

где оператор

і2 2 і п(п + 1)

п (іт2 + г йг г2 ,

а Хкп - положительные собственные значения.

Каждому собственному значению Хкп соответствуют при этом 2п + 1 линейно независимых собственных полей $кпт при п = 0, ±1,..., ±п.

Рассмотрим теперь вопрос об ортогональности полей $кпт в объеме оболочки.

Теорема 1. Собственные поля спектральной задачи (1), отличающиеся хотя бы одним из сферических индексов, ортогональны относительно скалярного произведения, определяемого формулой

(р, а) = ^/ ра ІУ.

а

Доказательство. Непосредственным вычислением легко установить, что в локальном сферическом базисе

Ккп / . \ Л7т . (йКкп . Кк

где векторный дифференциальный оператор

д 1 д

у і = ев -Т— + еф- — — .

дв 81И в дф

Тогда

Г2

($кпт, ^к'п'т') = пп' (п + 1) (п' + 1) ^КкгЛк'п! ІГЦ Ії> +

Г1 ,У2

Г2 / \ /

І іКкп , Ккп\ І йКк'п' , Кк'п' \ ,„2 І І хі vmw л/т'

+ ЧЧГ + ^) [ГІГ + ^}г2 йг И Ч5¥птЧ5¥пт М.

(4)

п У2

В формуле (4) оба поверхностных интеграла при и = и' или т = т' равны нулю. Для первого это очевидно ввиду ортогональности сферических функций на единичной сфере, а для второго доказано, например в [3].

Таким образом, (8кпт,^к'п'т'} = 0 при п = пП или т = т'. □

Замечание. В случае совпадения обоих сферических индексов доказательство ортогональности собственных полей $кпт и &к'пт относительно скалярного произведения (■,■} сложнее. Учитывая нормированность сферических гармоник и равенство

Л (у^пт)2 із=п (п+1),

(у^и '2

у2

доказанное в [3], получим по формуле (4), что в этом случае

Г2

22

(^кпт, ^к'пт) п (п + 1) JКкпКк'пІг+

г1

+п (п + 1) / (ІКкп + ^) (^ + ^) г2 йг. іг г іг г

г1 (5)

Поскольку функции Якп и Як'п являются решениями спектральной задачи (2) и имеют различные (при к = к' ) собственные значения Хкп и Хк'п, то ортогональность 8кит и 8к'ит вытекает с учетом равенства (5) из следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть в пространстве С2гі] функций переменной г, задана спектральная задача

^2м + X ^пм = 0, (6)

/ N / N І^ І ІМ | ^

м(г1) = м(г2) = —-1 = —-1 = 0, (7)

У 2 ІгІг=г1 Іг г=г2 ’

и определено скалярное произведение формулой

(u, У)1 = п2 (п + 1)2 !иуйг + п (п + 1) I ^и ^ + І^г2іг

Тогда собственные функции соответствующие различными собственными значениями ортогональны.

Доказательство. Прежде всего распишем подробно формулу, определяющую скалярное произведение, раскрыв скобки во втором интеграле:

г2 г2 г2

іг

(u, v)1 = n2(n + i)2 J uvdr + n(n + 1) J uvdr + n(n + 1) J u^-^rdr+ (8)

2

ri ri ri

2

r2 r2

du du dv 2

+n(n + 1) v—rdr + n(n + 1) ——rdr.

dr dr dr

Г1 Г1

Преобразуем один из интегралов в (8), интегрируя по частям и используя краевые условия (7):

Г2 Г2 Г2 Г2

r2 і dv

u—rdr = urv dr

ri

— J vd(ur) = — J vrdu — J vudr = (9)

ri ri ri ri

r2 r2

= — 1 d^vrdr — J vudr.

ri ri

Подставив (9) в (8), получаем

г2 г2

22

(u,v)1 = n2(n + 1)4uvdr + n(n + 1) / —^г2dr. (10)

dr dr

г1 г1

Далее, интегрируя по частям, преобразуем второй интеграл в (10):

г2 г2

Г2

du dv 2 2 du

-г~гГ2 dr = r2—v dr dr dr

ri

Г2 Г2

— I vdt -V

dr

ri ri

„ , du , f 2d2u ,

= —2J vrTrdr -J vrdr¡ dr

ri ri

Теперь, подставив (11) в (10), получаем:

' 2

(u v)i = J

ri

d2u du

vdr. (12)

—n(n + 1)r2 ^-2 — n(n + 1)2rdu + n2(n + l)2 u dr2 dr

Введем дифференциальный оператор

d- 2 d n(n + 1)

Nn = — n(n + 1)r

¿г2 г ¿г г2

Тогда, выражение в квадратных скобках в (12) равно Nпи и

= — n(n + 1)r-L„.

Г2

(и, у)і = J уЛпи<1г. (13)

гі

Домножая (6) на —п(п + 1)г2 и вводя оператор Мп = п(п + 1)г2^п2, запишем исследуемую спектральную задачу в виде:

^Мпи —— А- Nnu. (14)

Определим теперь следующие функции:

go(г) = п2(п + 1)2, ^1 (г) = п(п + 1)г2,

/о(г) = —п2(п + 1)2/г2, /1 (г) = 4п(п + 1), /2 (г) = п(п + 1)г2.

Тогда непосредственным вычислением легко показать, что операторы N и Мп можно представить в следующей стандартной форме при р = 1:

р , ¿к / ¿к \ 2Р ¿к / ¿к \

= к=0(— 1)к ^ ^к(г) м = к=0 (— 1)к ¿гк {/к(г) ,

Спектральные задачи вида (14) с операторами такого вида рассматривались в

[4]. Покажем, что задача (14) является самосопряженной по терминологии этого источника, т.е., что выполняются равенства:

г2 г2

J (у,Апи — и,А„у) ¿г = 0, J (уД,и — иМпу) ¿г = 0. (15)

г1 П

Справедливость первого из этих равенств очевидно вытекает из (13), поскольку

г2

J (v,Nnu — uNv) dr = (u, v) 1 — (v, u) 1 = 0.

ri

Для интеграла во втором из равенств (15) применим преобразование Дирихле [4]:

г- 2 k—l

/ (vMnu — uMnv) dr = k k (—1)k+s X ri k=0 s=0

X

dsU d

■k-s-1

drs drk-s-i

dh\ dsv dk-s-i kdrk ) drs drk-s-i

. dkU\

fklrk)

r-

ri

(16)

С учетом краевых условий (7) легко видеть, что все слагаемые двойной суммы в (16) нулевые, что и доказывает справедливость второго равенства (15).

Итак, спектральная задача (14) является самосопряженной. Тогда, для двух собственных функции Мх(г) и М2 (г), соответствующих двум различным собственным значениям Х\ и Я2 справедливы равенства [4]:

г- Г-

/U1N>2 dr=¡ UiMU2 dr=°,

ri

ri

Теперь, по формуле (13), получим (их,м2) 1 = 0, что и завершает доказательство теоремы. □

Заключение

В работе доказана ортогональность системы собственных полей задачи (1). Это свойство делает систему собственных полей удобной для использования в качестве аппроксимирующей системы при приближенном решении уравнения Навье-Стокса в сферической оболочке спектральным методом.

Литература

1. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. Т. 1. - М.: Мир, 1991. - 504 с.

2. Водинчар Г.М., Шевцов Б.М. Маломодовая модель конвекции во вращающемся шаровом слое вязкой жидкости // Вычисл. технологии. - 2009. - Т. 14. - № 4. - С. 3-15.

3. Chandrasekhar S. Hydrodynamics and hydromagnetic stability. - N.-Y.: Dover Publ. Inc, 1981. -654 p.

4. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. - М.: Наука, 1968. - 504 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 05.02.11

З1