Моделирование инверсий в рамках маломодовой модели крупномасштабного динамо Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2014. № 2(9). C. 23-29. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 27.35:37.15

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНВЕРСИЙ В РАМКАХ МАЛОМОДОВОЙ МОДЕЛИ КРУПНОМАСШТАБНОГО ДИНАМО

Г.М. Водинчар1, 2, А.Н. Годомская1, О.В. Шереметьева1, 2

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

В работе исследуется вопрос о возможности возникновения инверсий в рамках мало-модовой модели динамо. Рассмотрены условия, при которых возможны более частые инверсии магнитного поля по сравнению с инверсиями в поле скоростей вязкой проводящей замагниченной жидкости.

Ключевые слова: маломодовая модель, метод Галёркина, магнитные инверсии (с) Водинчар Г.М., Годомская А.Н., Шереметьева О.В., 2014

MATHEMATICAL MODELING

MSC 35C05

MODELING INVERSIONS WITHIN LOW-MODE MODEL OF LARGE-SCALE DYNAMO

G.M. Vodinchar1, 2, A.N. Godomskaya1, O.V. Sheremetyeva1, 2

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

In this paper we investigate the question of the possibility of inversions within the low-mode dynamo model. The conditions under which the possibility of more frequent reversal of the magnetic field in comparison with inversions in the velocity field of a viscous conducting magnetized fluid.

Key words: low-mode model, the Galerkin method, magnetic inversion

© Vodinchar G.M., Godomskaya A.N., Sheremetyeva O.V., 2014

Введение

Будем рассматривать движение несжимаемой вязкой проводящей замагниченной жидкости в системе координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью П вокруг оси Ог и находящейся в поле внешних сил с массовой плотностью Г. Физические параметры жидкости считаем неизменными. Магнитогидродинамические (МГД) уравнения включают уравнение Навье-Стокса, уравнение индукции для магнитного поля В, уравнение неразрывности и условие соленоидальности поля В:

^ + (уУ) V + 2П х V + ■ х (П х г) = VАу - 1VР + — (V х В) х В + Г, д г р р/

^ = V х (V х В) + Vm Д В, (1)

д ?

Vv = VB = 0,

где V - скорость, Р - давление, г - радиус-вектор, р - плотность, V - кинематическая вязкость, Vm - магнитная вязкость, / - магнитная проницаемость.

Поскольку при постоянной угловой скорости П ускорение центробежной силы

1 2

представимо в следующем виде П х (П х г) = — -V (П х г) , то его можно объединить вместе с давлением в одно потенциальное слагаемое 1Vр', где редуцированное

давление будет задаваться выражением р' = р + 1 рV (П х г)2.

Введем характерные величины скорости и, линейного размера области Ь, времени Ь/и, давления ри2, магнитной индукции Ь^рЛ/и. Тогда в безразмерных переменных система (1) запишется в виде:

-1 + V = Я-1 Ау — Vр' — 2е—1 (ег х V) + (V х В) х В + Г, д ?

дВВ = V х (V х В) + Я-1 Д В, (2)

Vv = VB = 0,

где безразмерные параметры Я = UЬ/v - число Рейнольдса, е = и/ (ПЬ) - число Россби, Ят = UЬ/vm - магнитное число Рейнольдса.

Система (2) должна дополняться граничными условиями для скорости и магнитного поля. Вид граничных условий не существенен для настоящей работы, поэтому мы их не конкретизируем. Будем лишь предполагать, что эти условия линейные однородные.

Одним из подходов к изучению системы (2) является построение маломодовых приближений галёркинского типа [1]. Отметим, что различные варианты механизма динамо едины в том, что источником для тороидальной (полоидальной) компоненты поля В является нелинейное взаимодействие полоидальной (тороидальной) компоненты этого же поля с жидким потоком [2, 3]. В связи с этим представляется, что предельным возможным усечением, сохраняющим работу динамо, будет случай трех мод - одной гидродинамической, одной тороидальной магнитной, одной полоидаль-ной магнитной.

Рассмотрим вопрос о выборе единственной гидродинамической моды. Если для поля скорости использовать представление у(г,¿) = м(?)уо(г) и строить галёркинское

приближение для первого из уравнений системы (2), то кориолисов член приближения равен нулю

Таким образом, из получаемого приближения исчезнет информация о вращении жидкого объема. В связи с этим, единственный, по мнению авторов, способ сохранить информацию о вращении в одномодовом приближении скорости - это использовать в качестве моды одну из собственных мод свободных колебаний вязкой вращающейся жидкости. Тогда информация о вращении будет заложена в самой форме линий тока рассматриваемой моды и мнимой части её собственного значения [4]. Действительная же часть этого собственного значения будет определять время вязкой диссипации моды.

При выбранном способе обезразмеривания такие моды определяются из решения спектральной задачи

Эта спектральная задача должна замыкаться теми же граничными условиями для скорости, что и система (2).

С математической точки зрения в этой задаче слагаемое Vр' является оператором проектирования дивергентного поля 2е(ег х V) в подпространство соленоидальных полей. Ясно также, что задача однопараметрическая и определяется отношением Я/е - числом Кориолиса (обратным числом Экмана).

Поскольку спектр задачи (3) комплексный, собственные моды также являются комплексными полями. Поэтому при построении маломодового приближения возникает необходимость рассматривать комплексные моды скорости и их комплексные амплитуды. Отметим также, что если пара (Ло,vo) является одним из решений задачи (3), то и пара (Л,,V,!)) также будет её решением. Здесь и далее звездочка (*) обозначает комплексное сопряжение. Для представления магнитного поля используем вещественные моды и их амплитуды. Таким образом, используем следующие представления вещественных полей в задаче (2):

где Ь1(г) и Ь2(г) - некоторые тороидальная и полоидальная магнитные моды, соответственно.

Введем скалярное произведение комплексных векторных полей формулой

где интегрирование ведется по объему области Б. Будем считать далее, что все рассматриваемые моды нормированы в смысле нормы этого скалярного произведения.

ЛЯ-1у + R-1Av - Vp'- 2е-1 (ez х v) = 0, Vv = 0.

(3)

v(r, t) = u(t )vo(r) + u*(t K(r), B(r, t )= Bi(t )bi(r) + B2(t )b2(r),

(4)

Галёркинское приближение для системы (2), использующее разложение (4), имеет

вид

-= Спи2 + С12ии* + С22и*2 — Я--Л0и + Ь11Б11 + Ь12В1В2 + ь22в2 + F, м

< = WlluBl + W1*1u*Bl + Щ2иВ2 + и*В2 - Я-1 /-В-, (5) А!

-В!2 = W2luBl + W2>*Bl + W22uB2 + W22и*В2 - Я-1 Д2В2,

где коэффициенты С^, Ьг-у, F, , - в общем случае комплексные числа, являющиеся следующими скалярными произведениями векторных полей:

С11 = - ((^) уо, Уо> ,

С12 = - ((^) Уо, Уо> - ((^) Уо,Уо> ,

С22 = - ((v0V) Уо, Уо> ,

Ьп = ((V х Ь1) Ь1, уо> ,

Ь12 = ((V х Ь1) Ь2, уо> + ((V х Ь2) Ь1, уо> , (6)

Ь22 = ((V х Ь2) Ь2, Уо> ,

F = Уо> ,

Щ = ^ х (уо х Ъ), Ьг->,

Л1 = - (АЪТ, Ът> > 0, /2 = - (АЪР, ЪР> > О,

При записи системы (5) мы учитывали [5], что подпространства тороидальных и полоидальных полей инвариантны относительно оператора Лапласа, ортогональность тороидальных и полоидальных полей, а также положительность оператора Лапласа.

Будем предполагать, что магнитные моды таковы, что обеспечивают взаимную генерацию друг друга, не генерируя при этом самих себя. Математически это означает, что коэффициенты Wг■г■ = 0, и тогда уравнения (5) примут вид:

-и = Спи2 + Спии* + С22и*'2 - Я-1Лои + ЬПВ- + Ь12В1В2 + Ь22В2 + F, ш

< -В- = (^2и + Wl*2U*) В2 - Я-1 /-В-, (7)

= ^-и+W2-и*) в- - Я-1 Л2В2,

А!

Исследование системы МГД уравнений в маломодовом приближении галёркинского типа на наличие инверсий

Инверсия в любом рассматриваемом поле выражается в смене знака у соответствующей моды и задача по определению условий и параметров, при которых происходит инверсия магнитного поля на фоне отсутствия инверсий в поле скоростей вязкой несжимеамой жидкости, сводится к подбору таких коэффициентов в системе

(7), чтобы на достаточно длительных промежутках времени знакопостоянства мод ы(?) и ы*(?) достаточно часто изменялся бы знак у мод ) и В2(?).

С целью упрощения преобразований, производимых в ходе исследования, в системе (7) ведём переобозначения коэффициентов Л = Я-1 Л0, Д1 = Я-1 Д1, Д2 = Я-1 Д2 и запишем её в виде:

г йи = С11 и2 + с12ыы* + С22и*2 - Ли + Ь11В2 + Ь12Б1Б2 + Ь22б2 + м

йВх = (^12и + W1*2u*) Б2 - Д1Б1, (8)

dt dß2 dt

= (W21U + W2>*) ßj - ß2ß2,

Исследуем параметры, полученной системы (8), при которых возможна инверсия магнитного поля в условиях относительного постоянства поля скоростей.

Зафиксируем значения мод ы(?) и ы*(?) и из системы дифференциальных уравнений, образованной двумя последними уравнениями из (8), определим при каких условиях могут возникнуть изменения знака у мод Б^) и В2(?), т.е. инверсии в магнитном поле:

^ = (^2и + ^*2ы* ) В2 - Д1Б1,

/Б (9)

—2 = (W21U + W2>*) Б1 - Д2Б2. ш

В системе (9) осцилляции могут возникнуть лишь в случае, когда решение имеет вид

Б() = а^*, к е С, (10)

где к является комплексным корнем характеристического уравнения системы (9):

- - k Wl2u + W12U W21u + W^u* -ß2 - k

= 0

с отрицательным дискриминантом

В = (Д2 - Д1)2 + 16^ ( ^2Ы) И ( ^21 и) < 0 (11)

и = Ж(и) +13(и), и* = Я(и) -13(и),

Wl2 = *№) + 13^), ^*2 = ЗД2) - 13(^2), W2l = ВДи) + 13№), W2*l = - 13(W2l).

Исходя из условия (11), область значений моды ы(?) на комплексной плоскости - это область, ограниченная линией гиперболического типа с центорм симметрии в начале координат. Для любого значения ы(?) из заданной области значения мод ВЦ?) и Б2(1) в общем случае могут быть выбраны произвольно, что следует из вида решения (10). Будем задавать значения мод ВЦ?) и В2(?), так чтобы выполнялось равенство

Б(?) = ^В2(?) + В2(?) = 1, что позволит исследовать взаимное изменение значений мод В1 (?) и В2(?), а также изменение значений амплитуды Б(?).

Если в системе (8) не учитывать диссипативные члены (Ли, д-В-, Д2В2) и внешние воздействия то процесс взаимной генерации полей будет незатухающим (рис.1). Исключение только внешнего воздействия из системы (8) в зависимости от значений параметров, входящих в уравнения, приводит либо к затуханию процесса (рис.2), либо к незатухающему процессу (рис.3).

шишшш тмттт

1 м м м м W W W 1л1 п п W 1а МММ W W \f \Л М М М М |У J W w w W w 1 и г а) W \л лл aI W И а)

VWV W\ ш ж W а

Рис. 1. Визуализация численного решения системы (8) без учёта диссипативных членов и внешних воздействий (Я = 10-3, д = 4)

О 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 Д50 Д75 500 t

Рис. 2. Визуализация численного решения системы (8) без учёта внешних воздействий (Я = 10-6, д = 10-2)

Рис. 3. Визуализация численного решения системы (8) без учёта внешних воздействий (А = 10-7, д = 10-3)

Заключение

Система МГД уравнений галёркинского типа в маломодовом приближении (8), где не учитываются внешние воздействия, при различных значениях входящих пра-метров содержит численные решения с инверсиями как в магнитном поле, так и в поле скоростей вязкой жидкости, причём присутствуют не только случаи затухания полей, но и их незатухающая взаимная генерация, что говорит об адекватности описания процессов протекающих в ядре Земли в рамках маломодовой модели.

Библиографический список

1. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов А.М. Системы гидродинамического типа и их применение. - М.: Наука, 1981. 368 с.

2. Zeldovich Ya.B., Rusmaikin A.A., Sokoloff D.D. Magnetic fields in astrophysics. The Fluid Mechanics of Astrophysics and Geophysics. New York: Gordon and Breach, 1983.

3. Krause F., Radler K.H. Mean-filed magnetohydrodynamics and dynamo theory. Pergamon Press, 1980.

4. Гринспен Х. Теория вращающихся жидкостей. - Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 304 с.

5. Chandrasekhar S. Hydrodynamics and Hydromagnetic Stability. N.Y.: Dover Publ. Inc., 1981. 654 p.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 05.11.2014