CC BY
17
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 4(20). C. 76-82. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2017-20-4-76-82
ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДК 517.958:537.84
ИНВЕРСИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ СО СТОХАСТИЧЕСКИМИ aQ -ГЕНЕРАТОРАМИ
Г.М. Водинчар1, 2, А.Н. Годомская1, О.В. Шереметьева1, 2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, c. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский край, ул.Пограничная, 4
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
В работе исследуется вопрос о возможности возникновения инверсий в рамках мало-модовой модели a Q-динамо с флуктуирующими интенсивностями a - и Q-генераторов. Определены режимы генерации магнитного поля и построен фазовый портрет в плоскости параметров Rem, Ra.
Ключевые слова: крупномасштабная модель динамо, aQ-динамо, магнитное поле, инверсии.
(с) Водинчар Г.М., Годомская А.Н., Шереметьева О.В., 2017 GEOPHYSICAL FIELDS AND THEIR INTERACTION
MSC 65N80
REVERSAL OF MAGNETIC FIELD IN THE DYNAMIC SYSTEM WITH STOCHASTIC a ^-GENERATORS
G.M. Vodinchar1, 2, A.N. Godomskaya1, O.V. Sheremetyeva1, 2
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
In the paper investigates the question of the possibility of a reversal in the framework of low-mode model, a Q-dinamo with fluctuating intensities of a - and Q-generators. The regimes of generating a magnetic field are determined and the phase portrait is constructed in the parameter plane Rem, Ra.
Key words: aQ-dynamo, magnetic field, reversal, large-scale dynamo.
Vodinchar G.M., Godomskaya A.N., Sheremetyeva O.V., 2017
Введение
Свойством динамо систем является наличие инверсии без существенной перестройки движения проводящей среды. В реальных системах такие инверсии носят как регулярный характер, так и хаотический [2]. При сильном дифференциальном вращении генерацию магнитного поля описывают с помощью аП-динамо [1]. В данной работе инверсии магнитного поля моделируются в простой динамической модели а П-динамо с флуктуирующими интенсивностями а - и П-генераторов. Источниками этих флуктуаций является результат синхронизации высших отброшенных мод поля скорости и магнитного поля [4].
Основной целью работы в рамках принятой модели аП-динамо является получение решений системы магнитогидродинамического типа в сферическом слое с флуктуирующими интенсивностями а- и П-генераторов, при которых возникают различные режимы генерации магнитного поля в случае относительного постоянства поля скорости.
Постановка задачи
В модели а П-динамо предполагаем аксиальную симметричность поля скорости v и магнитного поля B в сферической оболочке вязкой несжимаемой жидкости, вращающейся вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью П. Считаем, что поле скорости вязкой жидкости v нулевое на внутренней r = rj и внешней r = Г2 сферических границах оболочки (граничные условия прилипания), магнитная проницаемость внутреннего и внешнего ядра одинаковы, среда вне ядра (r > Г2 ) не проводящая (принимаются вакуумные граничные условия на внешней границе и условия ограниченности в центре Земли). Полагаем, что среднее течение v носит характер дифференциального вращения, которому соответствуют моды vTi о из линейной оболочки {vT 1 0 , Vp 2 0 , vT3 3 0 , Vp 4 0 , ...} инвариантной относительно кориолисо-ва сноса. Любая такая мода порождает остальные по цепочке [5]. Аппроксимируем скорость следующей комбинацией:
v = u(t)v0 = u(t)(aivTj , 0 + a2vp2 ,0 + aзv0,з 0 + ajjvf,j , 0 + ai3vT3 , 0), (1)
где v0 - мода Пуанкаре, | v0 |= 1, u(t) - амплитуда скорости, компоненты поля скорости считаются независимыми от времени. Магнитное поле представляется минимальным количеством низших собственных мод B^ j 0 , BT 2 0 , B^ 3 0, достаточных для получения осциллирующего динамо [3]
B = BT2(t )B0T,2,0(r) + BP(t )Bf,i,0(r) + Bp3(t )BP,3,0 (r), (2)
где компоненты магнитного поля считаются независимыми от времени и составляющая Bpi0(r) является дипольной, B\(t) - амплитуды компонент магнитного поля.
Физические параметры жидкости считаем неизменными, турбулентность в ядре изотропной и используем скалярную параметризацию а-эффекта в виде функции а(r, 0) = а(r)cos0, где max|a(r, 0)| = 1. Мы использовали два варианта вида радиальной части а-эффекта а(r): а(r) = const, а(r) = —sin(n(r — r1)).
Подставим разложения (1) и (2) в магнитогидродинамическую систему с введённым механизмом алгебраического подавления а-эффекта и осцилляции:
dv + Rem(vV)v = PmAv - VP - E-1 Pm(ez x v) + (1 + Z(t)) fout + (V x B) x B,
f = Rem[V x (v x B)] + AB + Ra^[V x (a(r, в)B)],
V ■ v = 0,
V ■ B = 0,
v(ri) = v(r2) = 0,
1+4 (t) I
(3)
где £ (г) и £ (г) - стохастические процессы с нулевым средним. Эти процессы моделируют спонтанно возникающее и исчезающее когерентное влияние отброшенных высших мод поля скорости и магнитного поля. Структура процессов определялась также, как в работе [3], а именно, на оси времени задаётся случайная последовательность точек 0 < т1 < 01 < т2 < 02 < ... < < вк < .... Считаем, что к-ая по счету когерентная структура образуется в момент тк и разрушается в момент 0к. Тогда Т? = — 0к-1 - время ожидания формирования очередной структуры, а Тк = 0к —
- время ее существования. В течение времени ожидания процессы £ (г) и £ (г)
- нулевые, а в течение времени существования £ (г) = и £ (г) = £к, где £к и £к -независимые случайные величины с нулевым средним, равномерно распределённые на отрезках [—0.01;0.01] и [—0.1;0.1], соответственно. При моделировании использовался показательный закон распределения для времен ожидания Т^ и существования Тк, причем сами эти величины были независимыми. Средние значения (Т^) = 5 и (Тк) = 30, т. е. характерное время существования когерентных структур значительно меньше времени их ожидания.
и
□
Rem
Rem
а)
б)
Рис. 1. Характер генерации магнитного поля в зависимости от параметров Ra (турбулентный генератор) и Rem(крупномасштабный генератор). а -эффект задаётся функциями а) а(r) = const, б) а(r) = —sin(n(r — ri)). Белая область -магнитное поле затухает без осцилляций, зелёная - генерация поля с нарастающими оссциляциями, синяя - с затухающими оссциляциями, красная -генерация поля без оссциляций.
Применим к системе (3) метод Галёркина и получим систему следующего вида:
du = -Pmu(t) IalXk + (1 + Z(t)) fout + I aLijkBjBk, d t k i, j, k
д Bi
dr = Remu(t) I ajWijkBk - m + Ra 1+gg IW£Bt
д t k n k
где Re — число Рейнольдса, Rem — магнитное число Рейнольдса, Rа — амплитуда а-эффекта, — внешняя сила, ^ — коэффициент вязкой диссипации, Яi — собственные значения моды Пуанкаре. Коэффициенты Lijk, Wijk, — это объёмные интегралы от рассматриваемых полей.
На рис. 1 изображены области осциллирующего и неосциллирующего динамо для используемых в работе видов задания а-эффекта при рассмотрении модели (4) в линейном приближении без использования подавления а-эффекта и осцилляций и без включения случайных процессов £ (г) и ^ (г).
Далее проведём численное исследование режимов динамо в окрестности точки бифуркации ^ет, Rа), выбираемой в зависимости от используемого вида задания а -эффекта. В данном случае при фиксированном значении а-эффекта на границе двух областей возможен переход из режима затухающих осцилляций к генерации поля с незатухающими осцилляциями и обратно за счёт воздействия крупномасштабного генератора, которое в данной модели обеспечивается числом Рейнольдса, являющегося аналогом среднеквадратического значения скорости. В случаях включения меньшего количества мод в разложение магнитного поля инвесии либо отсутствуют, либо магнитное поле быстро затухает.
Результаты численного моделирования
Первоначально вычислительные эксперименты с моделью (4) проводились в окрестности точки бифуркации (Яет, Rа), где Rem е [10; 1000] и Rа е [1; 100], для принятых начальных условий и(0) = 1, В^ = 0, Вр = 0, ВТ = 0, = 1, случайные величины ^ и ^ исключили из модели, т. е. приняли равными нулю.
В результате получили следующие режимы динамо: квазипериодические с перебросами и с отсутствием перебросов, затухание поля с осцилляциями и без осцил-ляций. Увеличение собственного значения моды Пуанкаре приводит к увеличению частоты осцилляций в магнитном поле.
а) б)
Рис. 2. Режимы изменения амплитуд моды Пуанкаре и магнитых мод при Rem = 100, Rа = 30 для собственных значений моды Пуанкаре: а) Я = 159 б) Я = 356, соответсвенно.
На рис. 2 приведены примеры двух реализаций с квазипериодическим режимом осцилляций для двух собственных значений моды Пуанкаре при Rem = 100, Rа = 20. По вертикальной оси отложены безразмерные амплитуды компонент.
Аналогичные режимы получены при изменении параметров в следующих границах Rem е [80; 100], Rа е [20,50], что не совпадает с результатами приведёнными на рис. 1 для модели (4) в линейном приближении.
На следующем этапе исследования модели (4) были включены стохастические процессы £ (г) и % (г), моделирующие спонтанно возникающее и исчезающее когерентное влияние отброшенных высших мод поля скорости и магнитного поля, и взято значение /оиг = 10. Отметим, что увеличение значения /ш приводит к увеличению значений амплитуды поля скорости и(г) и двух амплитуд магнитного поля В\(г),Вр(г). Включение стохастических процессов приводит к появлению слабых флуктуаций на фоне основного режима (рис. 3), которые хорошо заметны на графике амплитуды поля скорости и(г) при сравнении рис. 3 и рис. 2. Здесь также получены различные режимы генерации магнитного поля, которые однако не совпали с той фазовой картиной, которая приведена на рис. 1.
а) б)
Рис. 3. Режимы изменения амплитуд моды Пуанкаре и магнитых мод при Rem = 100, Rа = 30 для собственных значений моды Пуанкаре: а) Я = 159 б) Я = 356, соответственно.
Как отмечено выше, для рассматриваемой модели получены режимы осцилляций, аналогичные тем, что указаны для линейного приближения, но параметры Rem, Ra при этом сильно отличаются. Чтобы оценить насколько изменяется картина смены режимов генерации магнитного поля при переходе от линейного приближения модели (4) к рассматриваемому нелинейному приближению, были построены фазовые портреты в плоскости параметров Rem, Ra по результатам численного моделирования системы для двух рассмотренных выше случаев (рис. 4).
а)
б)
Рис. 4. Характер генерации магнитного поля в зависимости от параметров Ra (турбулентный генератор) и Reот(крупномасштабный генератор). а -эффект задаётся функциями а) а(r) = const, б) а(r) = —sin(n(r — ri)). Зелёная область - генерация поля с незатухающими осцилляциями, синяя - с затухающими осцилляциями, красная - генерация поля без осцилляций. Вычисления проводились для собственного значения Я = 159 моды Пуанкаре.
Сравнительный анализ показывает, что параметры, при которых происходит генерация незатухающего магнитного поля с осцилляциями, претерпевает значительные изменения на фазовой плоскости и, как следствие, точка бифуркации смещается в другую область плоскости. Также для рассматриваемой модели характерно появление инверсий магнитного поля на фоне неизменной или слабо меняющейся амплитуды поля скорости, что позволяет считать изменение поля скорости равным нулю в первом уравнении системы (4). Тогда амплитуда u(t) может быть выражена из первого уравнения системы (4) через амплитуды магнитных мод Bj и четырёхмодовая модель преобразуется к трёхмодовой, порождающей инверсии в магнитном поле.
Заключение
В предложенной простой модели динамо со стохастическими аП-генераторами удаётся воспроизвести различные режимы динамо, которые наблюдаются в реальных динамо-системах. При значениях параметров Rem € [0; 1000], Rа € [0,100] четырёхмо-довая модель может быть сведена к трёхмодовой модели, генерирующей инверсии в магнитном поле. Достоинством предложенной модели является то, что источником регулярных инверсий служит её внутренняя динамика, а нарушение этой цикличности, сбои в работе динамо-машины, выход на режим хаотических инверсий -обусловлены перестройкой структуры турбулентности. Переход от линейного приближения к нелинейной модели c введённым механизмом алгебраического подавления а-эффекта и осцилляции и со стохастическими аП-генераторами приводит к значительному изменению фазового портрета на плоскости параметров Rem, Ra, и координат точки бифуркации.
Список литературы
[1] Parker E.N., "Hydromagnetic dynamo models", Astrophys. J., 1955, № 122, 293-314.
[2] Merril R.T., McElhinny M.W. and McFadden P.L., The Magnetic Field of the Earth: Paleomagnetism, the Core, and the Deep Mantle, Academic Press, London, 1996.
[3] Маломодовые модели гидромагнитного динамо, коллективная монография, ред. Во-динчар Г. М., КамГУ им. Витуса Беринга - ИКИР ДВО РАН, Петропавловск-Камчатский, 2016, 120 с. [ Malomodovye modeli gidromagnitnogo dinamo, kollektivnaja monografija, ed. Vodinchar G.M., KamGU im. Vitusa Beringa - IKIR DVO RAN, Petropavlovsk-Kamchatskij, 2016, 120 pp.]
[4] Колесниченко А. В., Маров М.Я., Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред, БИНОМ, М., 2009, 368 с. [Kolesnichenko A.V., Marov M.Ja., Turbulentnost' i samoorganizacija. Problemy modelirovanija kosmicheskih i prirodnyh sred, BINOM, M., 2009, 368 pp.]
[5] Водинчар Г.М., Фещенко Л.К., "Инверсии в модели геодинамо, управляемой 6-ячейковой конвекцией", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки., 2015, №2(11), 45-54. [Vodinchar G.M., Feshchenko L.K., "Reversals in a geodynamo model driven by 6-cell convection", Bulletin KRASEC. Physical and mathematical sciences, 11:2 (2015), 41-50].
Список литературы (ГОСТ)
[1] Parker E.N. Hydromagnetic dynamo models // Astrophys. J. 1955. no. 122. pp. 293-314
[2] Merril R.T., McElhinny M.W. and McFadden P. L. The Magnetic Field of the Earth: Paleomagnetism, the Core, and the Deep Mantle. Academic Press. London. 1996
[3] Маломодовые модели гидромагнитного динамо: коллективная монография под общ. ред. Водинчара Г.М. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга - ИКИР ДВО РАН, 2016. 120 с.
[4] Колесниченко А. В., Маров М. Я. Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред. М.: БИНОМ, 2009. 368 с.
[5] Водинчар Г.М., Фещенко Л.К. Инверсии в модели геодинамо, управляемой 6-ячейковой конвекцией // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. № 2(11). 45-54
Для цитирования: Водинчар Г. М., Годомская А. Н., Шереметьева О.В. Инверсии магнитного поля в модели крупномасштабного аQ-динамо // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 4(20). C. 76-82. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-20-4-76-82
For citation: Vodinchar G. M., Godomskaya A. N., Sheremetyeva O. V. Reversal of magnetic field in the dynamic system with stochastic аQ-generators, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2017, 20: 4, 76-82. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-20-4-76-82
Поступила в редакцию / Original article submitted: 30.11.2017
