Решение задачи управления пространственным движением центра масс летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2010. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.977

А. Н. Квитко, А. Нвохири

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Введение. Одним из важных и сложных аспектов проблемы динамики управляемого полета являются вопросы, связанные с переводом центра масс беспилотных летательных аппаратов в заданную точку фазового пространства. Классические подходы решения этих вопросов подразумевают использование программных траекторий и траекторий наведения. В первом случае летательный аппарат движется по заранее заданной траектории, которая не может быть изменена в процессе движения, и по сути решается задача ее стабилизации (см. [1-6]). Однако это обстоятельство значительно ограничивает возможности систем управления. Во втором случае управление движением в каждый момент времени осуществляется в зависимости от положения объекта управления относительно точки наведения с таким расчетом, чтобы обеспечить заданным перевод (см. [1, 5-8]). Такой метод управления требует постоянного отслеживания точки наведения различными техническими средствами. Поэтому его применение снижает автономность системы управления.

В последние десятилетия появились технические возможности создавать гибкие автономные системы управления, которые с помощью бортовых вычислительных комплексов и навигационных систем могут самостоятельно определять траекторию перевода, используя только информацию о начальном или текущем положении объекта управления. Математические подходы, направленные на решение этих технических вопросов, тесно связаны с задачами терминального управления движением центра масс летательного аппарата. В работах [4, 8-12] на основе трудоемких численных методов, требующих итеративных процедур, получены алгоритмы решения задач терминального управления для плоского и пространственного перевода центра масс летательного аппарата в заданную точку. При этом используются жесткие ограничения на правую часть: линейная зависимость правой части от управления, независимость аэродинамических коэффициентов от управления, постоянство массы и т. д.

Главное отличие результатов данной статьи от известных в мировой и отечественной литературе состоит в том, что в ней для более широкого класса систем дифференциальных уравнений, которые значительно точнее описывают поведение объекта управления, предложен достаточно простой для численной реализации алгоритм

Квитко Александр Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 75. Научное направление: управление динамическими системами. E-mail: [email protected].

Нвохири Антони — магистрант факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. А. Н. Квитко. Научное направление: управление динамическими системами. E-mail: [email protected].

© А. Н. Квитко, А. Нвохири, 2010

пространственного перевода центра масс летательного аппарата из начального состояния в заданное конечное состояние. Одновременно найдены конструктивные критерии выбора конечных состояний, в которые возможен указанный переход с учетом ограничений на управление и фазовые координаты. Предлагаемая процедура дает возможность находить часть искомых функций фазовых координат в аналитическом виде. Это обстоятельство позволяет осуществлять контроль исправности функционирования бортовых вычислительных комплексов.

В настоящей статье развивается подход, предложенный в работе [13], в которой для достаточно широкого класса нелинейных управляемых систем доказана теорема существования, утверждающая, что если существует решение задачи терминального управления, то существует такое решение, что часть соответствующих функций фазовых координат может быть найдена в виде полиномов некоторой степени. Ниже для системы дифференциальных уравнений, описывающей управляемое движение центра масс летательного аппарата, часть искомых функций фазовых координат находится в виде полиномов второго порядка. Это обстоятельство позволило получить достаточно простой для численной реализации алгоритм, а также критерий выбора начальных и конечных состояний, гарантирующий заданный перевод центра масса летательного аппарата. В дальнейшем предполагается решение задачи стабилизации полученных программных движений, которое может быть осуществлено традиционными методами.

Постановка задачи. Система дифференциальных уравнений, описывающая управляемое пространственное движение центра масс летательного аппарата, имеет вид

т^- = Р cos а — X — mg sin в,

mV= -Р sin a cos v + Y cos v — Z sin v — mg cos 0,

—mV cos в ^ = P sin a sin v + Y sin v + Z cos v,

dt (1) = Vcosecost/j,

f = ysin0,

= V cos 0 sin?/’,

m = -q, q > 0,

¿1 ^ tg в ^ ¿2, т 1 ^ tg ф ^ т2, (2)

п п

о <«<«!<-, и < к, о < к < (3)

где ¿1, ¿2, т 1, т-2, М, К, «1 - известные величины; Р - тяга двигателя; т (£) -

масса летательного аппарата; q - расход топлива; Я - площадь крыльев; V - модуль

скорости; в - угол наклона траектории; ф - угол поворота траектории; х - дальность по поверхности земли; Н - высота; г - боковое отклонение; V - угол крена; а - угол атаки (угол между направлением вектора скорости и характерным продольным направлением); X - лобовое сопротивление; Y - подъемное сопротивление; Z - боковое сопротивление; Сх (а), Су (а), С% (а) - известные дифференцируемые функции угла атаки, удовлетворяющие ограничениям

X = Cx (a) Y = Су (a) Z = Cz (V)

Cl < Cx (a) < Cl Cl < Cy (a) < C¡; C¡ < Cz (V) < C¡; ^ > 0;

a, v - управляющие параметры, которыми мы можем распоряжаться, CX, Cy, C^, Cy, C\, C2 - известные постоянные величины.

Пусть заданы состояния

t = to : V = Vo, в = во, ф = фо, x = xo, h = ho, a (to) = ao, v (to) = vo;

z = zo; (5)

t = ti : h = hi, z = z\, x = xi.

Задача 1. Найти функции V (t), в (t), ф (t), x (t), h (t), z (t), a (t), v (t) так, чтобы

они удовлетворяли системе (1) и условиям (5).

Определение 1. Указанный набор функций будем называть решением задачи (1), (5).

Решение задачи. Интегрируя последнее уравнение системы (1), находим

m (t) = mo — qt,

(6)

mi ^ m (t) ^ mo.

Будем искать решение поставленной задачи, удовлетворяющее условию

x > 0. (7)

Если подставить (6) в (1) и разделить все уравнения полученной системы на четвертое уравнение, то будем иметь систему

= Р cos a-X-mg sin в = f ,у f s dx m(t) V cos U cos ф j i \ i •>•>}•>

dd _ P sin a eos v-\-Y eos v—Z sin v—rng sin в _ г /т r , \

dx m(t)V2 eos 9 eos чр J2 \ i i ^) i

dф P sin a sin v+Y sin v+Z cos v x /т/ _ .„n

di = -----m(t)V¿ eos2 в cos 4>-- = J3(V,a,v,t,x),

(8)

£ = tg0^

i = tgv>,

7Г = V----\----Г = /б (V, X) ,

dx V cos U cos ф J6 \ 7 ) 1

П П

0 <a<ai<-, \v\ < К, 0 < К < —.

Пусть заданы состояния

x = xo : V = Vo, в = eo, ф = 4^o, h = ho,z = zo,t = to,a = ao, v = vo;

(9)

x = xi : h = hi, z = zi,

ho > 0, hi > 0.

Определение 2. Набор функций V (х), в (х), ф (х), Н (х), г (х), £ (х), а (х), V (х), удовлетворяющий системе (8) и условиям (9), будем называть решением задачи (8), (9).

Замечание. Пусть выполнено условие (7). Тогда нетрудно видеть, что из решения задачи (8), (9) после определения функции х (£), обратной к £ (х), и ее подстановки в решение задачи (8) получим решение исходной задачи (1), (5).

Будем искать функции в (х), ф (х), являющиеся решениями задачи (8), (9), в виде

u (x) = tg ф (x) = Ay (x - xo)2 + Ai (x - xo) + tg фo, v (x) = tg в (x) = B2 (x - xo)2 + Bi (x - xo) + tgeo.

(10)

Используя правые части второго и третьего уравнений системы (8), а также начальные условия (9), получим значения коэффициентов Ai, Bi

- (р sin «о sin Щ + o)Sin,o + g,(T/o)coS,o)\

^1 = (l + tg2 фо) --------------------------ТР2-2 д----/------------------’ (И)

mo V2 cos2 вo cos фo

, 9 х Рвтаосовщ + p{ho)Vo2s{Cy{ao)c°s,'^CÁVo)s[n,'o) -mgsinfl0

в1= i + tg20o ----------22^—f--------------------------;------------------------• 12

m0V02 cos в0 cos ф0

Интегрируя пятое уравнение системы (8) после подстановки в его правую часть функции u (x) с учетом граничного условия (9), найдем значение коэффициента A2

-г0 - А!(Х1 2Хо) -(x1-xo)tgфo

А2-Л--------------------------3-------------. (1Л)

(х1 - хо)

Используя определенные выше константы А1, А2, по формуле (10) получим известную функцию и (х). Если подставить ее и функцию и (х) с известным коэффициентом В1 в правую часть четвертого уравнения системы (8), будем иметь

*^=и(х)^1 + и (ж)2. (14)

Подставив в (14) известную функцию и (х), придем к уравнению

^ = (-В2 {х - Х0)2 + В1 (х - х0) + tg во) \/1 + А2 (х - Х0)2 + А-1 (х - х0) + tg ф0- (15) Интегрируя уравнение (15), получим

X

к (х) = к0 + В2 J (т - х0)2 + и (г)2(1т +

Хо

X X

+ В1 ! {т - Хо) \!I + и (т)2(1т + tg во ! + и (т)2 ¿т. (16)

Подставив в (16) значение х = х1 с учетом граничного условия (9), найдем значение коэффициента В2

Х1 2 /-----------------------------2 Ж1 /--------------------------------------2

Н (Х1) = Н\ = Но + В2 / (х — хо) л/1+ и (х) ¿х + Б\ § (х — хо) у 1+ и (х) ¿х +

Х0 Х0

х\ !----------------------

+ ^£ $о / у 1+ и (х)2 ¿х,

Х0

Ж1 /----------------------------2 Ж1 /-------------------------------2

Н1 — Но — В^ (х — хо) у 1 + и (х) ¿х — tg во / (у 1 + и (х) ¿х

~1 2 / ^

/ (х — хо) у 1 + и (х) ¿х

В2 =------------------------------------------- 2 Жо----------------------• (17)

х — хо) \ 1 + и (х) '

Из пятого уравнения системы (8) имеем

г(х) = (х - х0)3 + -у- (ж - ж0)2 + (ж - ж0) tg ^о- (18)

В результате получим известные функции к (х), г (х), ф (х), в (х).

Лемма 1. Существуют константы У1 > 0, У2 > 0, Н1, Н2 такие, что решение

задачи Коши для первого, четвертого и пятого уравнений системы (8) с начальными данными (9) (при условии, что в их правую часть подставлены известные непрерывные функции в (х), ф (х) из области (2)) удовлетворяет неравенствам

У1 7 У (х) 7 У2, Н1 7 Н1 (х) 7 Н2, г1 7 г (х) 7 Х2, (19)

где У1, У2, Н1, Н2, г1, Х2 - постоянные величины.

Доказательство. Рассмотрим пятое уравнение системы (8) и второе неравенство системы (2). Неравенство ^ 7 т2 даст

г (х) 7 Но + т2 (х — хо) 7 Но + т2 (х1 — хо) = г2.

Аналогично, неравенство ^ ^ гй\ даст оценку

г (х) ^ Но + т 1 (х — хо) 7 Но + т2 (х1 — хо) = г1.

Рассмотрим систему (2) и четвертое уравнение системы (8):

(Iк , Г ~

1г (а-) < 1г,1 + к\!\ + (*1 - *о) = Ь,2.

Аналогично,

¿Н

~Г~ ^ к,

¿х

Н (х) ^ Но + 11 (х1 — хо) = Н1. Введем в рассмотрение множество

0 7 а 7 а1; 11 7 tg в 7 12;

п1 = Н ЛЛ:’ 7 Т . (20)

Н1 7 Н 7 Н2; то 7 т 7 т1 1

dV

-r-<fi(V,x), (21)

dx

(22)

dx

где fi = max fi (V, a, h, в, t, m), fi = min fi (V, a, h, в, t, m).

Qi Qi

Интегрируя неравенства (21), (22) на промежутке [xo,xi] с начальным условием V (хо) = Vo, находим известные функции V (х) и V(x) соответственно.

Положим V2 = max V (ж), V\ = min V(x). В результате получены константы,

[х0 , XI} [х0 , XI}

фигурирующие в правых и левых частях неравенств (19).

Лемма доказана.

Ниже будем предполагать, что конечное состояние xi выбрано так, что hi > 0. Если подставить функции (10)-(13), (17), (18) в левую и правую части второго и третьего уравнений системы (8) и продифференцировать полученные равенства по x, то будем иметь систему

(Те

dx2

dx2

а/2 а/2 \ / da

da dv \ І dx

а/з 3£з / \ du

da dv / \ dx

+

где

Фі

Ф2

d/2 dV і d/2 dt і иj2

ГІГУ і г)+ г] Гґ> і J~)rf>

dV dx

dt dx

dfi

дх

d_hdv_ 1 а/з di 1 а/з

dV dx ' dt dx ' dx '

Обозначим

/ Фі \ \ ф2 J

(23)

(24)

A (а, v, t, V, x)

а/2 а/2

da du

а/з а/з

da du

(25)

Разрешив систему (23) относительно ^ и будем иметь

da

dx

du

dx

Из (8), (25) получаем

A-

dz6

dx2

d2ip

dx2

( Фі

V ф2

)\

(26)

A =

( P COS OL COS U~\~ pV2 S COS U

m(t)V2 cos 9 cos чр

P COS OL sin U~\~ -Q^r pV S sin и m(t)V2 cos2 9 cos чр

— (P sin OL sin U~\~Y sin u-\-Z cos u) \ m(t)V2 cos 9 cos чр

(P sin Oi cos u-\-Y cos u—Z sin u) m(t)V2 cos2 9 cos чр

(27)

d2ip

і

Из вида матрицы (27) следует

(Р соэ а + ^^рУ^З) (Р эш асов V (соэ V + эт г/) + У)

det А =

т2У4 СОЯ3 в соо2 ф

Согласно (3), det А = 0. Тогда

/ Р эт а соэ у+У соэ v—Z эт у т(і)У2 соє2 в сое чр

Р эт а эт іу-\-У эт u-\-Z соэ у \ т{і)У2 сое в сое чр

-Р

— &да } РУ2 si.ll V \

А“1 =

С помощью (28) построим систему

т(і)У2 соє2 в сое чр

Р соє а. соє и-\- рУ2 Б соє V

т(і)У2 сое в сое чр /

det А

(28)

Асу.

Ах

Аи

сіх

А-

/ с?е_ \ ( Фі \

1 СІХ2

фі (У, і, а, V, х) ф2 (У, і, а, V, х)

1

ау _ ______________________

Ах т(і)У сое в сое чр

(Р соя а — X — тд яіп в) = /і (У, а, V, і, х),

1

<а ______________________________

Ах У сое в сое чр

= /6 (У,х),

(29)

а (хо) = ао, V (хо) = vo, і (хо) = іо, У (хд) = У0.

(30)

которая получена присоединением к системе (26) первого и шестого уравнений системы (8) после подстановки в их правую часть известных функций в (х), ф (х), Н (х), г (х). Систему (29), (30) с учетом (24) можно записать в виде

% = к (V, І, а, х),

^ = і£2 (V, і, а, V, ж),

■ (Р соя а — X — тд яіп в) = /і (У, а, і, х),

ау _ _____________і_________

Ах т(£)У сое в сое чр

= 17-\--Г = /б (V, х),

Ах V соб и соб ф •> 6 ^ ‘

х = хо : а (хо) = ао, V (хо) = vо, і (хо) = іо, У (хо) = Уо.

(31)

(32)

(33)

Лемма 2. Функции V (х), £ (х), а (х), V (х), являющиеся решением задачи Коши для системы (31), (32) с начальными данными (33), в совокупности с известными функциями в (х), ф (х), Н (х), г (х) удовлетворяют системе (8) и граничным условиям (9).

Доказательство. Непосредственными подстановками функций в (х), ф (х), Н (х), г (х) убеждаемся, что они обращают пятое и шестое уравнения системы (8) в тождество.

і

£(*)

ао_ і

Ах \х=хо

л-Ф I Ах Iа

( /2(V (х), а (х), V (х), і (х)) + Сі \

\ /з(V (х), а (х), V (х), і (х)) + С )

( /2(V (хо), а (хо), V (хо), і (х0)) + Сі \

Ах \х~х0

Согласно (11) и (12), находим

\ /з^ (хо), а (хо), V (хо), і (хо)) + С2 )

/2(V (хо), а (хо), V (хо), і (хо)) + Сі = /2(V (хо), а (хо), V (хо), і (хо)),

¡з(У (хо), а (хо), V (хо), £ (хо)) + С2 = ¡з(У (хо), а (хо), V (хо), £ (хо)).

Отсюда С = С2 = 0.

В свою очередь, первое и второе уравнения системы (32) совпадают с первым и шестым уравнениями системы (8).

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть для конечного состояния х\ выполнено неравенство

где

ао > Кі (хі — хо), аі — ао ^ Кі (хі — хо), К2 (хі — хо) 7 К — VI,

Кі = тах \ фіІ, К2 = тах |^>21, 0.2 0.2

(34)

0.2.

V, в, ф, Н, х, т\, Уі 7 V (х) 7 У2, ¡і 7 tg в 7 ¡2, Ні 7 Н 7 Н2,

т\ 7 tgф 7 тг2, то 7 т 7 т\, хо 7 х 7 х\

Тогда компоненты а (х), V (х) решения задачи Коши для системы (31), (32) с начальными данными (33) удовлетворяют ограничениям (3).

Доказательство. Интегрируя систему (31) с начальными данными (33), получим

X

а (х) = ао + / ф\йх,

V (х) = vо + / ф2йх. о

Из (34) следует

X

0 7 а (х) = ао + / (р\йх 7 а\, о

X

V (х) \ = V + / ^2&х\ 7 К.

о

Из оценок (35) следует справедливость утверждения леммы 3. Лемма доказана.

(35)

Лемма 4. Пусть для функций в (х), ф (х), определенным по формулам (10)—(13), (17), выполнены условия

(Х1—Х0)

Ш1 - tgV^o (х1 - хо)2 ¡1 - tg во

- Аг < о,

(Х1-Хо) 1 ’

11-^ I

- В1 < 0,

гп^що _ А > о

(Х1-Хо) 1 ’

Ь-^ (

(Х!-Х0)

- В1 > 0,

Аи I

Ах 1жо

<$и_ ш2 - tg фо

Аи |

Ах 1жо

хо

Ау |

(¿ж 1жо

< <^и < /2 - tg 6»0

Ау | с£ж 1жо

(х 1 - х0)2 Х1 - хо Лх2 (х 1 - х0)2 Х1 - хо'

Тогда будет иметь место ограничение (2).

Доказательство. Из неравенств (36), (37) имеем

Х

т 1 - tg фо Ли Г ¿2и т2 - tg фо Ли

7 Жо ^ / Л 9 ^ л 1ж07

х1 - хо ах ] ах2 х1 - хо ах

Хо

т1 - tgфo ¿м то2 - tgфо

х1 - хо ах х1 - хо

(36)

(37)

(38)

аи

т1 - tg фо 7 — 7 т2 - tg фо,

т-1 7 и (х) 7 т-2. Аналогично, из неравенства (36), (38) получим

¡1 7 и (х) 7 ¡2.

Лемма доказана. Обозначим

М\ = ^ ^То1 + 5tgV’o - ^ |Жо (Ж1 - жо) + 3^1 (ж! - ж0) ) (ж! - ж0) + г0, М^ = \ ("!'2 + ^ 1®° (*1 - Ж0) + 3^1 (Ж1 - Ж0) ) (Ж1 - ж0) + 20,

1 / (

1 2 ^(Ж1-а;о)2

(¿У I \ Ж1 с\ ___________ ___________

) / (х ~ хо) V 1 + + #1 / (х — хо) V 1 + и2с!х +

®1

Х

Хо

^ $о / а/Г + и2Лх,

Ь2 — - 1

2 \(ж1-ж0)2

¿У_ I \ ^1 г\ __________ ___________

) / (х ~ хо) V 1 + и2<*х + Бх / (х — хо) V 1 + г/2с£х +

+ tg6»o / а/Г + и2Лх.

Х

Рассмотрим следующие неравенства:

(39)

Ь-1 < Н-\ < ь2

(40)

11 - tg до - В\ (х\ - хо) < °, 12 - ^до - В\ (х\ - хо) > 0, т 1 - tg фо - Ах (хх - хо) < 0, т2 - tg фо - Ах (хх - хо) > 0.

(41)

Теорема. Пусть для начальных и конечных состояний гх, Н-\_, хх выполнены условия (34), (36), (39), (40), а также неравенства (41).Тогда решение задачи Коши для систем (32), (33) с начальными условиям (34) в совокупности с функциями (10-(13), (17) дают решение задачи (8), (9).

Доказательство. Из условия (39) получим

То1+ 5tgфo-^\x0 (а?1 —хо)-\-ЗА\ (х1-х0) 7 6|^ < то2 + 5tgV’o-^Uo (х1-х0) +

+ 3Ах (хх - хо),

т1 + 5tgфo - ^|Жо (х1 - х0) < 6 ~ А1 (Ж12ЖС|)^ ^ т2 + 5tgV'o -

(Х1 ~ хо),

(х — х )2

Ш1 - tg фо - ^\Хо (ж! - х0) < б2!-2»--4! {*1_х~){-Х1~Хо)г9'Фо ^ т2 -1ёф0 -

~ш\хо (Х1 _ жо) ,

ml-tgфo ^\Хо < е^1 ~г° ~^1(Ж1 2Жо) ~ (Д1 ~ хо) tgфо ^ т2 -tgфo ^\Хо

(хх - хо)2 хх - хо

(хх - хо)

<

(хх - хо)2 хх - хо

Отсюда имеем

т1-Ьёфо ~тгл

Аи |

Ах 1ж°

(хх - хо)2 хх - хо ^ ¿х2

Аналогично, из условия (40) находим

<^ — = 2 А2<^т2~^^° ж°

(хх - хо)2 хх - хо

Ау |

Ах 1жо

(хх - хо)2 хх - хо

1г\ — ко — В\ (ж — жо) VI + м2с£е — tg 0о VI + м2йж (ж — жо)2 %/1 + и2(1х

<

<

Ау |

1ж°

/2 — tg 9р

(ж!-ж0)2 Ж1-ж0

3

Отсюда

к — tg 6*о _ ж1ж0 < $у_ = < ¿2 - tg в0 _ ^|Жо

^ - х0)2 Х1 - хо ¿х2 (х1 - х0)2 Х1 - хо'

Используя эти неравенства и леммы 1-4, получим доказательство справедливости теоремы.

Следствие. Согласно замечанию, после перехода в решении задачи (8), (9) к исходной независимой переменной Ь получим решение задачи (1), (4).

П р и м е р. Решение задачи управления движением центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости. В качестве иллюстрации предложенного алгоритма рассмотрим задачу перевода центра масс летательного аппарата, движущегося в вертикальной плоскости.

Согласно [1], система уравнений, описывающая движение центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости, имеет вид

^ ^ (р сова -Сх (а) ^-БУ2 - тд эт в^,

Ж = Шу (Р в1п а + Су (“) Щ^вУ2 ~ т9 сое в),

(42)

# = Увтв,

аЬ ’

йЕ = У^в,

т = -д.

Задача 2. Пусть в момент Ь = Ьо заданы состояния

V = Уо, в = во, к = ко, х = хо, а = ао. (43)

Требуется найти а(Ь) так, чтобы в некоторый момент Ь = Ь центр масс летательного аппарата перешел в состояние

к (Ь') = к1, х (Ь') = х!, (44)

где х1, кх - заданные значения высоты и дальности.

Решение задачи. Система (42) и граничные условия (43), (44), если в качестве независимой переменной принять дальность по поверхности Земли, примут вид

ау _ 1

Ж - шМУсове (Рсо8а - Сх{а)^-в -то(фтй) =/1 (V, в, к, а, 1),

/2

ав _ 1

Ш - т№* со* в (Р 81п « + СУ («) - т (*) 008 в) = /2 (V, в> “> *)> (45)

(И ______ 1

Ах V сое в

= 14 (V, в),

х = хо : V = Уо; в = во; к = ко; а = ао; Ь = Ьо, х = х1 : к = к1,

ко > 0, к1 > 0.

(46)

Будем искать закон изменения, соответствующий искомому управлению, в виде и (х) = tgв (х) = В2 (х — хо)2 + Б\ (х — хо) + tg во.

Используя второе и третье уравнения системы (45) и граничные условия (46), получим

,^в~о (Р8Ьао + Су (“о) Р-ЧУ°

В\ = (l + tg26>0)-----------— (р sinao + Су (а0) V° S - mogcosOo']

v 7 moVo cos Oq \ 2 )

h\ — ho — B\ *-Xl -(xi — жо) tg $o

■D 2 = o---------------2---------,

(xi - xo)

w s (x — x0) ^ (x — x0)2 . .

h(x) = B2- ----h B\-- -----\- (x — xo) tgво + ho-

Если подставить известные функции h (x), в (x) в левую и правую части второго уравнения системы (43), продифференцировать полученное равенство по x и разрешить его относительно то находим

^ VV—- (V t \

dx у да J \dx2 dV dx dt dx dx) ’ ’ ’ ’

dh 1 („ , dCy V2a\

— = —, ,„1--т Fcosa-\—7-^0—Ь .

da m(t)V2 cos в \ da 2 J

Если подставить известные функции h (x), в (x) в правую часть первого и четвертого уравнений системы (45), то получим вспомогательную систему

dV Р eos а - Сх p(h(x))V S —m(t)g sin в(х) пг пл

Их = -------m(t)V cos 0(х)-- = ^1 ( V,a,t,в),

dt _ 1

dx ~ Veos 0(ж) — (Уіх)і (47)

dx ^ -9a J \^dx2 dV dx dt dx

с начальными данными

V (0) = Vo, t (0) = to, a (0) = ao. (48)

В процессе численного моделирования интегрировалась система (47), (48) при то = 103 кг, P = 50 • 103 нт, S = 300 м2, q = 1 кг/с, Cx = 0, 1, Cy = 1, 8 ■ sin a, в0 = 0,

h0 = 20 • 103 м, x0 = 0, xi = 50 • 103 м, hl « 17 • 103 м, V0 = 2 • 103 м/с, a0 = 9 • 10 6.

3 м/с, ао = 9 • 10 6.

На рисунке приведены графики изменения функций а (х) и V (х), соответствующие

решению поставленной задачи.

10 ООО 20 ООО 30 ООО 40 ООО 50 ООО 0 10 ООО 20 ООО 30 ООО 40 ООО 50 ООО

Зависимость изменения функций а (а) и V (б) от величины х

Заключение. Результаты численного моделирования задачи перевода центра масс летательного аппарата, движущегося в вертикальной плоскости, показывают, что полученный алгоритм решения задачи управления пространственного движения центра масс летательного аппарата может быть реализован с помощью персональной ЭВМ средних возможностей, не требующих большого объема памяти и быстродействия.

Литература

1. Лебедев А. А., Чернобровкин Л. С. Динамика полета. М.: Оборонгиц, 1962. 550 с.

2. Крищенко Л. П. Синтез алгоритмов терминального управления для нелинейных систем // Изв. АН. Техн. кибернетика. 1994. № 1. С. 48-57.

3. Привалова О. Г. Теория и системы управления // Изв. РАН. 1995. № 2. C. 151-160.

4. Leman C., Hauser J. Design and initial flight test of the champagne flyer // Pror. 33rd IEEE Conf. Decix. and Contr. 1994. Vol. 4. P. 3852-3853.

5. Акуленко Л. Д., Анальенский И. М., Бальтник Н. В., Коршев С. Б. Об одной модификации метода параллельного сближения // Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59, № 3. С. 410-418.

6. Berkman P. Prich H. Optimal control problem with third-order state constraint and varied switching structure // J. Optimiz. Theory and Appl. 1995. Vol. 85, N 1. P. 21-57.

7. Lu P., Burken J. Controlling aircraft with engine thrust only: non-linear challenges // Non-linear anal Theory Math. and Appl. 1999. Vol. 35, N 1. P. 21-35.

8. Мартьянов А. С. Реконструкция в реальном времени управления и траектории летательного аппарата // Тез. докл. Всерос. конференции 2-6 февраля 2006 г. Екатеринбург, 2006. С. 195-196.

9. Верещагин Ф. П. Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы. Пермь: Изд-во Пермск. гос. ун-та, 1972. 294 с.

10. Cazit R., Cutman S. Development of guidance laws // Dyn. and Contr. 1991. Vol. 1, N 2. P. 177-198.

11. Шкадов Л. М., Буханова Р.С., Илларионов В. Ф., Плохих Р.С. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М.: Машиностроение, 1972. 240 с.

12. Тараненко В. Т., Момджи В. Г. Прямой вариационный метод в краевых задачах динамики полета. M.: Машиностроение, 1986. 127 с.

13. Квитко А. Н. Об одной задаче терминального управления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1997. Вып. 2 (№ 8). С. 16-21.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 10 июня 2010 г.