О приближенном расчете одного класса траектории планирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИМАГИ 7зйГ~~ ~~ “

№ 1

УДК 629.78.015.076.8

О ПРИБЛИЖЕННОМ РАСЧЕТЕ ОДНОГО КЛАССА ТРАЕКТОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ

В. Г, Коняев

Рассматриваются траектории квазистационарного планирования летательного аппарата при постоянных управлениях углом атаки и углом крена. Определяются области параметров, при которых возможны такие траектории. Находятся приближенные формулы для вычисления продольной и боковой дальностей планирующего спуска летательного аппарата в зависимости от его характеристик.

Траектория движения летательных аппаратов в атмосфере планеты характеризуется рядом параметров, описывающих ее в целом. Эти параметры (например, продольная и боковая дальности, максимальное значение полной перегрузки и т. д.) позволяют проводить сравнительный анализ различных траекторий, в связи с чем при изучении какого-нибудь класса траекторий желательно получение зависимостей между основными параметрами траектории и характеристиками аппарата.

В настоящей работе рассматривается класс траекторий планирования, для которых удается получить такие приближенные соотношения, обобщающие полученные ранее аналогичные зависимости.

1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Уравнения движения планирующего летательного аппарата в атмосфере неподвижной сферической планеты могут быть записаны в виде (см. [1]):

(IV

<и

~НГ

йН

Л

ИГ

ак,

2— Р V2 — йГ вШ (

— рУс087+-£о+Л/С08б [1

¿Г(*о+Я)|,

= V 81П 0, V

сИ

(1т

ИГ

¿X,

<и

Ло+ Н V

Яо + Л V

совб,

- сое в э1п да,

~до и сов в соб да Х2 + V _ сов да

Р у совб

Яо + Н

сов в

сов X,

<1-1)

здесь V—скорость движения летательного аппарата; 0 — угол наклона вектора скорости к местной горизонтальной плоскости; И — высота аппарата над поверхностью планеты; <р — угловая дальность в плоскости развертки траектории; Хг и X*—соответственно боковая и продольная дальности относительно начальной плоскости движения аппарата; да— курсовой угол (угол между проекцией

траектории на поверхность планеты и местной параллелью); чх =.——

Су S

соответственно баллистический коэффициент и параметр плани^

■ ускорение силы тяжести на поверк-

у' G

¡эования, р — плотность атмосферы, R0-ности планеты и радиус планеты, t — время.

Систему (1.1) можно упростить, вводя обычные допущения [2]:

а) угол 8 мал, т. е. sin 0 = 0, cos 0 s: 1;

б) основную роль в торможении аппарата играют аэродинамические силы;

в) R0-\- Н = R ~ const и g(Н) ~ go, так как Н < Ro\

г) атмосфера планеты изотермична, т. е.

р = ро ехр (— Ш), "'('1.2)

где р0—плотность У поверхности планеты, X — постоянная.

Тогда, беря в качестве независимой переменной величину <р и обозначая х = — In V, преобразуем исходную систему уравнений к следующему виду:

dx

gofo*

dy

db

P

dH

d<f Лt_ d<f dw

= 1— goffexp (2x) +

goR°y

p eos 7,

df

d<f

■■ sin w.

. , . goRsy ,

— eos w tg Az + —P Sin Y,

COS w cosX, '

(1.3)

Система (1.3) описывает пологие траектории движения планирующих аппаратов в атмосфере планеты на участке, где действие атмосферы на аппарат становится достаточно эффективным. Однако эта система еще слишком сложна, чтобы можно было провести достаточно полный анализ описываемых ею траекторий. Поэтому в дальнейшем рассматривается только класс траекторий, удовлетворяющих следующим дополнительным условиям:

1) .движение аппарата происходит,на постоянном угле атаки и при фиксированном угле крена;

2) вдоль все;й траектории

Ь/К сое 1 <1, (1.4)

где К—аэродинамическое качество аппарата.

2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (1.4) УСЛОВИЮ КВАЗИ СТАЦИОНАРНОСТИ

ПЛАНИРОВАНИЯ

Обратимся к первым двум уравнениям (1.3). Разделим второе уравнение на ■К cos к и вычтем его из первого. Тогда в силу (1.4)

go R ехр (2*) » g0 R exp (2х) exp (— 20//С cos 7),

и эти уравнения можно свести к одному приближенному:

dz 1

[£0Яехр (2z) — 1],

dq> К cos 7

где

« = х — -

0

К cos 7

(2.1)

(2.2)

Полученное уравнение будет тем точнее, чем точнее выполняется условие (1.4). ’

Проинтегрируем (2.1):

ехр(-2*) = ^-Сехр(7^), где С — постоянная интегрирования.

Снова используя (1.4) и (2.2), получим

■ С ехр (- 2т

V*= 1

К eos т

здесь скорость Котнесена к Yg<¡R ■

Считая, что в начальный момент f = 0 и V = VH, имеем

. C=l-V*.

С помощью (2.3) из первого уравнения (1.3) найдем

2 ?

Р

. 2 Смр (таг

go R ау eos 7 ! — С ехр ( 2»._У

\ К eos 7 1

(2.3)

(2.4)

(2-5)

Если теперь подставить (2.4) и (2.5) во второе уравнение (1.3), то получим

//А

тождество = 0, представляющее собой условие квазистационарности плани-Йср

рования.

Таким образом, чем справедливее соотношение (1.4), тем точнее< оно! будет соответствовать условию квазистационарности планирования. Следовательно^ рассматриваемый класс траекторий эквивалентен траекториям квазистэционарг ного планирования при постоянных углах атаки и крена. ■... . . , .

Условие (1.4) позволяет определить область параметров, при которых возможны траектории квазистационарного планирования. Для этого обратимся к уравнению (2.1). Ясно, что оно будет тем точнее, чем точнее выполняется соотношение

1 — "W ехР I

20

К eos '7

где е —величина, малая по сравнению с единицей.

Отсюда, пренебрегая величинами, содержащими ез, находим

20

К COS7 (1 — Й2)

(2.6)

Из третьего уравнения (1.3) в силу (1.2) инеем

„ J_________L_^_

= XR р d<? ’’

Используя (2.3) и (2.5), определяем 6:

A7?/fcosfV2 '

Подставляя это выражение в (2.6), окончательно получим

X/? (К соб у)2 V2 (1 — V2) ’

; Соотношение (2.7) определяет границу области параметров V и К сову, для которых возможны траектории квазистационарного планирования. Для различных значений е она изображена на фиг. 1. Как видно из графика, при /Ссоб7>-0,5 становится возможной реализация траекторий квазистационарного планирования. С увеличением значения /Ссоб^ диапазон допустимых значений V растет, и при /Ссоб7>1 уже большая часть траектории снижения планирующего аппарата может быть траекторией квазистационарного планирования. Высота планирования является функцией скорости и определяется из (2.5).

Поскольку условие (2.6) должно выполняться вдоль всей траектории, то отсюда можно определить область допустимых углов входа, при которых возможна: реализация траекторий квазистационарного планирования. Для е = 0,1 и различных значений ATcos у и V она приводится на фиг. 2.

3. БОКОВАЯ ДАЛЬНОСТЬ

При определении продольной Хх и боковой Х2 дальностей для рассматриваемого класса траекторий сделаем еще два допущения.

Будем считать, Что

sin w ~ w, cos и» — 1; (3.1)

. . . . . tgh ~ h- . ' '

Это значит, что проекция траектории на поверхность планеты должна иметь малую кривизну, а сама траектория не очень далеко отклоняться от начальной плоскости движения. В частности, для Земли второе допущение (3.1) имеет место при | Xz |^3500 км.

Подставляя (2.3) и (2.5) в последние три ура&иения системы (1.3) и используя (3.1), для \х и Хг получим уравнения

¿X

— 1 — — \( аК)г Х21

d<p ~ 1 2 l\ rf<p У ~ Ч *

d2X

£_+Xz=tgT

СехР (~гаг) *-Сехр(таг)

(3.2)

Интегрируя второе из этих уравнений, получим боковую дальность

г % v

К = tgT [ sín 9 j F(<?) eos <pd<p — cos<p J* T7 (<p) sin (prf<p j , (3.3)

где

С exp (—\ *4 К cos 7 )

l-gexp^, )

Функцию F(<f) приСехр jCM (2.3)] можно представить в виде

равномерного сходящегося ряда

/Ч?) = £ С»ехРЛ^£_Л \ к cost J

Подставим его в (3.3). После интегрирования получим

К = ‘g к 2

сп

п~1 1

■ (■ 2п..........У

V К eos y /

Г I 2 щ \ LexP I КсоъЧ~/

К cos 7 1

+ sin<P--------2я— — COSíPj • (3-4)

К cos if

Используя (2.3), преобразуем это выражение к виду

00

1

Хг = К2 sin 7 cos 7 ^

/1 = 1

(К cos y)2 + (2 ri)2

(1 _ V2)n +

, К cosy ( /Г cos 7 1— V2

+ C 2n sin V —2-------------------------------In-<---

- j — Cn cos

■)]• (3-5)

Если приближенно считать, что для рассматриваемых траекторий скорость V меняется от единицы до нуля, то (3.5) примет вид

оо

X- = К2 sin к cos т -------------í---=----. (3.6)

* 11 ¿4 {К COS 7)* + (2 пр v '

/1=1

Это соотношение можно дополнительно упростить, если при достаточно большом N положить

тогда

i К2 .

Хг * -j- sin 7 cos 7

К2 .

sin 7 cos 7

(К. cos 7)s -f- (2 N)2 = (2 N)2', ■ 00 N N

n=l n=l

я2 K2 cos2 7

N

1

4 . IY к cos f ? , .

Я=1 II------------2------) + "

(3.7)

Для /(соз7.<;2 можно ограничиться первым членом ряда. В этом случае , я2 Г. 6

г = -24~"*8*пТГС08 7

[ *(1+ К* cos27 ) ]

(3.8)

Отсюда при малых К получаем формулу Эггерса [3J:

л2

г = ~24~ ^ sin 1 cos (3-9^

Таким образом, соотношения (3.7) и (3.8) обобщают известную формулу (3.9)

для приближенного определения боковой дальности планирующего аппарата.

Из (3.9) непосредственно следует, что величина Хг при f = 45° будет максимальной. Аналогично для (3.8) можно получить значение fopt, при котором = (^г)шах- Продифференцируем (3.8) по f и приравняем нулю полученное выражение:

я* cos 2 fopt [8 + /С* (cos 2 Yopt + 1)] — 6 К*cos 2 fopt (cos 2 -fopt + 1) X

X [8 + № (cos 2 vopt + 1)] + 48 tfisin2 2 Topt = 0. (3.10)

Считая, что у0рх в (3.10) мало отличается от 45°, имеем ^0р1 = + 5, где

. я . .. • ■

8« Т •

Подставляя это значение в (3.10) и пренебрегая величиной В* по сравнению с единицей, получим квадратное уравнение

II а \ Ь

52-т(1+^)5+ *2+8 =0\

где

8 л2 6

7I2-------- 6 ’ ^ Л2 — 6

Отсюда

(3.11)

Так как В-> 0 при *->0, то перед корнем следует брать знак минус. График 7оР\(К) приведен на фиг. 3- .

Полученное значение для 7,^ является функцией аэродинамического качества и по своей величине несколько больше 45°. Однако в этом случае выигрыш в дальности по сравнению с 7 = 45° незначителен; поэтому для оценки максимальной боковой дальности по формуле (3.8) можно полагать 7 = 45°.

На фиг. 4 приведены значения \г для Земли, вычисленные согласно (3.8) и (3.9). При этом (3.8) считалось как для 7эр);, так и для к = 45°. Из графика видно, что с возрастанием К расхождение в результатах расчетов по формулам (3.8) и (3.9) увеличивается. Так, например, при К == 3,0 значение Хг, полученное по (3.8), уже в 1,5 раза меньше аналогичного значения, полученного по (3.9).

Зависимость Аг(К) из (3.8) сравнивалась с аналогичными зависимостями, подученными разными авторами при решении задачи о максимальном боковом

отклонении планирующего аппарата в точной вариационной постановке при управлении только углом крена. Выяснилось, что значения Х2, вычисленные согласно (3.8), незначительно отличаются от максимальных Хг, полученных при

решении вариационной задачи. В частности, зависимость Хг(*), взятая из работы [4], практически совпадает с (3.8). Таким образом, соотношение (3.8) может служить для оценки максимальной границы достижимой боковой дальности Хг планирующего аппарата.

4. ПРОДОЛЬНАЯ ДАЛЬНОСТЬ

Используя (3.4), из первого уравнения (3.2) определим Х^. Поскольку ряд, полученный дифференцированием (3.4), сходится равномерно при С exp (—^ i , . \К cos 7/ ^ ’

найдем в виде рядов выражения — Хг и ¿Ь- + Хг. Перемножая их, из (3.2) ' ау а<р

получим зависимость

00 9

= 9 — tg2Т X °пт [ (4Л)

л, от—1 О

где .. ■ , '

/ /С COS 7 \* ■' Сп+т

апт~\ 2 1 Г//с cost \» 1 ГГ/с COS 7 \* 1: (4-2)

К—2—^ ) +" I 11 ~2~^)

, ( 4 пт . \ Г 2 (я + т) 9 1 , ( т , . \ (2 ту \

'Ь™-1 ^cosä-f — 1 ]ехИ К cos Y J +1 я + 1 )cos f ехР I к cos 7 ) +

( 2т Kcosy, \ , ( 2 т<? \ ( п , . \ ( 2л<р \

+ 1 Kcos-f. ~ 2 п J в*п <Р е*Р V /С cos 7 ) + I т + 1 / cos ? ехР I *cos7 ) +

, ( 2 п К cos 7 ^ , ( 2щ \ , I K2cos^y ,) п

+ 1 /С cosy — 2« j*in,P ехР I /fcosY )+Д Гпт "~1)cos 2 ^ +

, К cos 7 /1 1 \

+ ~~2------t + ir)sin2<f- <4-3>

Если^осле интегрирования (4.1) воспользоваться соотношением (2.3) и считать, что V меняется от единицы до нуля, то (поскольку С = 0) останется только ряд, полученный после интегрирования первого слагаемого в (4.3). В силу этого будем иметь

00 пт ( К с05 7

! _ /СЗып^сов-г V ' 2 /

х 9 8 ^

П, /71=1

К сое у Так как ------------„------<л и

п-\- т К сое 7

2 ^ и 2

«>.№, то это выражение можно упростить. В результате получим

С от при достаточно больших N и я>ДО,

К3 віп2 ^ сое 7 8~

пт (п + т)

п, т=і

+ пт 4- «2 + /те2

п, т=1 пт (п + от) [( ^С°8Т | +я2] [( ^ 2°$ 7) +'”2]

(4.4)

Если К. сое 7 <; 2, то, беря в конечной сумме четыре первых члена, можно приближенно считать, что

N

( К сое 7 \2

2 у “Н пт + л тп?

п, т=1 пт

Для вычисления двойной суммы поступим следующим образом. Прежде всего имеем

Е

- Е

п -\-т______ _

2 V —

п{

+-4 пт (я + т) пт (п + от)* п (я 4- т)2 '

П, /71 = 1 л, /71=1 4 л, /71=1

Далее сведем полученную двойную сумму к простой. Для этого отметим, что если ввести числовую плоскость, то каждое слагаемое двойного ряда будет определять собой некоторое число в точке плоскости с координатами (л, т.). При этом значения п-\-т вдоль прямой, соединяющей точки (&, 0) и (0, к), будут одинаковыми и равными &4~1.

Следовательно,

00 1 X и (п-4-

п, т—1

(и + /я)2

*=1

1

(1+ А)2

* 1 Е-І-

л=1

1,1.

Используя (2.3), приведем (4.4) к окончательному виду:

К3 БІП2 7 СОБ 7 ' 4

/ К соб 7 \2

і , 3 /*со8Т\2 { 2 ) ^

1Д 8 I 2 / |р^2+1|2

(4.5)

Полученное соотношение имеет особенность в точке Кя=1. Однако сравнение с точным решением в задаче о максимальном боковом отклонении аппарата при управлении только углом крена показало, что до значений =0,98

формула (4.5) дает удовлетворительные результаты и может служить для предварительной оценки продольной дальности А*. В частности, на фиг. 5 приводятся значения X*, полученные численно для Ун = 0,98, и значения Хх, определенные по (4.5) для 7 = 45°. Там же шрих-пунктирной линией изображена известная зависимость для продольной дальности из [2], которая входит в (4.5) в качестве первого слагаемого.

В заключение следует отметить, что формулы (3.8) и (4.5) при сделанных выше допущениях относительно величины /(сое-у дают удовлетворительные результаты и для других значений углов крена, отличных от 70р1- Следовательно, используя (3.8) и (4.5), можно приближенно определять границы области достижимости планирующих аппаратов, входящих в атмосферу с околокруговой скоростью.

❖ *

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Копнин Ю. М. Об уравнениях пространственного движения спутника, использующего аэродинамическую подъемную силу. Доклад на Всесоюзной конференции по общим вопросам небесной механики и астродинамики, 1967.

2. Ярошевский В. А. Приближенный расчет траекторий входа в атмосферу. «Космические исследования», т. II, № 4 и 5, 1964.

3. Е g g е г s A. J. The possibility of a safe landing Space Technology. Edited by H. Seifert, N. Y. 1959, Ch. 13, p. 13—53.

4. Wagner W. F. Roll modulation for maximum re-entry lateral range. J. Spacecraft a. Rockets, 1965, vol. 2, No. 5.

Рукопись поступила 2/1 1969 г.