Решение задачи построения дискретного программного управления для нелинейной управляемой системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

2004 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 4

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977 А. Н. Квитко

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ *)

В [1, с. 248; 2, с. 96] разработаны алгоритмы решения граничных задач для линейных и линейных по управлению систем дифференциальных уравнений в классе импульсных управлений. В предлагаемой работе решаются аналогичные задачи для нелинейных управляемых систем с учетом ограничений на управление и фазовые координаты.

1. Введение. Объектом исследования является система

x = f(x,u,t), (1.1)

где

х = (х1,...,хп)\ xeRn; u = (u1,...,ur)*, ueRr, r<n, te [0,1]; / € C3(Rn xRrx R}',Rn), / = С/1.....Г)*, (1.2)

INI < clt INI < с2. (i.3)

Рассмотрим разбиение интервала [0,1] точками 0 = io < h < ... < tm-\ < im — 1-Функцию u(t) = ujt Vi G [tk, ijfc+i), к = 0,1,..., m — 1, где Uk принадлежит области (1.3), будем называть импульсной управляющей функцией. Пусть заданы состояния

®(0)=0, «(О) = 0, e(l)=®i; ая = (*},...,||®i|| < Сь (1.4)

Задача. Найти импульсное управление u(t), заданное на некотором разбиении интервала [0,1] и удовлетворяющее условию (1.4) так, чтобы для решения системы (1.1) x(t) были выполнены условия

®(0) = 0,. ||®(^) - ®i|| < £i; t1 £ [tm_i,l], I*1 - 1| < ея- (1.5)

В (1.5) i1 - заранее неизвестный момент времени, £\ > 0, 62 > 0 - произвольные фиксированные числа.

*)Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 01-01-00319). © А. Н. Квитко, 2004

2. Решение задачи. Выберем их € Яг, щ = (и*,...,и^)*, \\щ\\ < Сг- Используя свойства (1.2), систему (1.1) можно записать следующим образом:

3=1

...

7=1

дг^'

1 » - а2 /гг

2 ^ дх*дхк 7=1 к=1

7=1 Дг=1 1 п Г а2 Н

+ 2 Е £ «к** - —5)+

7=1 7=1

+ (*- 1) + /г(®ь^1,1);

ж = хх + - жх), й = гл + в^и - их), £ = 1 + - 1); (2.3)

^€(0,1), г = 1,... ,п;

\\х\\<Сг, ||й||<С2, 1<\. Будем искать решение поставленной задачи

х{(г) = а{(г) + х\, г = 1,... ,п, (2.4)

11^(0 = ¿ = 1,...,г. (2.5)

После подстановки соотношений (2.4)^ (2.5) в систему (2.2) получим систему, которую запишем в векторной форме:

а = Ра + С}Ъ + 111(а,Ъ,Ь) + 112(а,Ъ,г), (2.6)

Q = {Qj}, Qj = -^(¡Tbii!,!), » = l,...,n; j = l,...,r;

df_ du*

■D _ / Dl T>n\* t> _ CD 1 Dn\*

a = (a\...,<P, Ь={#,...,ЬГ)\ Условия (1.3), (1.4), (2.4) дают

||a(i)+®i||<Ci, \\b(t)+Ul\\<C2, t € [0,1); (2.7)

a(0) = -жь 6(0) = -ux. (2.8) Сделаем преобразование переменной t по формуле

l-t = e~aT, т £ [0, +оо), (2.9)

где а > 0, подлежащая определению. Тогда систему (2.6) и условия (2.7), (2.8) представим так:

de

— = ае~атРс + ae~aTQd + aRi(c,d,r)e-aT + aR2(c,d,r)e-aT] (2.10) dr

с(т) = a(t(r)), d(r) = b(t(r)), т G [0, +oo); (2.11)

c(0) = -xu d( 0) = -«i; (2.12)

||с(т) + ®x|| < Си \\d(r) +Iii|| < Ca. (2.13) Введем новую управляющую функцию г»(г), связанную с d(r) уравнением

dr

Рассмотрим систему de

dd(r) = ae~aTv, v = (v1,... У)\ veRr. (2.14)

dT = ae~aTPc + ae~aTQv + aR1{c,T)e~aT + аЯ2(с,т)е~ат, (2.15)

P =

( О О ) ' $=( E3 ' 6=M)*,

\ Ü2 Jn+rxn+r \ Erxr /¿Trxr

п+гхп+г \ ' а7 / п+гхг

где Ог, 2 — 1,2,3,- матрицы с нулевыми элементами соответственно размерностей [г х п], [г х г], [пхг]; Егхг- единичная матрица размерности [гхг]; Ё.1 = (Л*, 0,..., 0)*+гх1; #2 = (Я2,0, ...,0)*+гх1.

Система (2.15) получена в результате присоединения системы (2.14) к системе (2.10). Ограничения (2.13) будут выполнены при

||с-с(0)|| < С3, С3 = пип(С1,С72). (2.16)

Наряду с (2.15) рассмотрим систему

¿с

— = ае~атРс + ае~ат<2 V. (2.17)

dт

Будем искать непрерывную функцию г>(т) так, чтобы обеспечить экспоненциальную устойчивость системе (2.17). Пусть г = 1,... , г, - г-й столбец матрицы ф. Построим матрицу

5 = (2.18)

Здесь кг, г = 1,...,г, - максимальное количество столбцов вида д^Р^,..., Р*4-1^, г = 1,...,г, таких, что векторы дх, ..., РЛ1-1д1} ..., ..., Р^-1^. линейно

независимы. Если ранг матрицы (2.18) равен п + г, то преобразование

с = 5у (2.19)

приводит систему (2.17) к

Й" = аВ~х РВе~ат у + аЁ-хЯе~ату. (2.20)

Лт

Согласно [3, с. 53], матрицы 5-1Р5 и 5-10 имеют вид

В_1фВ = {ё2, ё3,ё*!, ёл^+г, • • •, ё*г,

ёг = (0,..., 1,... ,0)*+гх1,

где 1 стоит на г-м месте,

= (~9°к1, • • •, -ЙГ1' • • •, -А, • • •, -¡/¡¡Г1 А • • • >0);+гх1;

¿1-1 кг-1

= ¿ = 1,...,г. (2.21)

¿=0 ¿=0

В (2.21) д3^, 3 — 0,...,к\ — 1,...,д3ко, з = 0,...,кг — 1, являются коэффициентами разложения вектора Рк{ & по векторам

Р3Яи .7 = 0,...,&1 - 1,...,Р>&; 3- 0,...,^-1,

г—1

¿=1

Рассмотрим задачу стабилизации системы

йт

= {ё*,...,ё*; Мае-^ун, +ёк1<ае~ать\ г = 1,...,г; (2.22)

у*< = (у*. • • • »УЙ)*,х1; = (о,..., 1,...,о)^х1,

где 1 стоит на г-м месте,

К = (-й,.• • • >ЙГ1)!,хь у = (у\...,ьг)*.

Система (2.21) в скалярной форме запишется так:

у^-а^в—у*;,

(2.23)

аУк)

&Ук\ _ат кг~1 кг-1 -аг кг

= ае ук\ -адк\ е ук\.

Пусть ук' = ак*ф. Используя последнее уравнение системы (2.23) и индуктивный переход, будем иметь

у*; = ак*ф,

у^-1 = а^е^фЫ +д%.~1ак*ф,

уЬ-2 = ак<~2е2атфЮ + {ак<~1е2ат+ ак'~1еатдк<.-1)фЫ+ (2.24)

+ дкк]~2ак'ф,

у1. = ав(^-1)вг^(*,-1) + Гк{-2{т)ф(к*-У + ... + п(т)фМ + + оск'д\.ф.

Если продифференцировать последнее равенство (2.23), то из первого уравнения системы (2.22) получим

Ф(к{) + еь-хМ^*-1) + ... + е0(т)ф = е-к<ать\ * = 1,...,г. (2.25)

В (2.24) г*-_2(т),... ,7*1(1-) являются линейными комбинациями экспонент с показателями не больше (кг — 1 )ат. "В (2.25) £к{-1 (т),..-, £0(7") - линейные комбинации экспонент с показателями не больше нуля. Пусть

V* — е~ак{Ть*, г = 1 ,...,г. (2.26)

Положим

кг

V* = - г = 1,... ,г. (2.27) з=1

Здесь ; ] — 1выбраны так, чтобы корни уравнения

Л** + ... + Щ = О, г = 1,...,г,

Ад..,..., удовлетворяли системе

< -(2к{ + 1)а - 1, (2.28)

Используя (2.19), (2.23), (2.26), (2.27), получим

V* = ek^SkiT^S^c, i = 1,... ,r, (2.29)

где Ski = (£ki-i(r)-Uki-i, • • • ,е0{т)-и0)] Tki - матрица равенства (2.24), т.е. yki = Tkiijj; ip = (г/ДЛ<-1),..., i/>)*; S^1 - матрица, состоящая из соответствующих /¿¿-строк матрицы S-1. Если подставить (2.29) в правую часть системы (2.17), то для ее решения с(т) с начальными данными

со =с(0) = (-хь-гл)* (2.30)

имеет место оценка

\\с(т)\\<Мо\\со\\е~Хт, Л > 1. (2.31)

Рассмотрим систему

de - - -

— = ае~атРс + ae~aTQd + ae"aTiMc, d, т) + ае"атД2(с, d, г), (2.32) ат

dd(r)

—т—- = ае г>, ат

в которой V = (г»1,..., vr)*, vl определены формулой (2.29),

d(r) = d(kh), т € [kh,(k + l)h), к = 0,1,.... (2.33)

В (2.33) h > 0 - постоянная величина. Систему (2.32) можно записать в виде de -

— = А(т)с + ae~aTQiñ(T) + ае~ат Pi(c,d,r) + ае~ат 92{cJ,t). (2.34) ат

Здесь б(т) = (с(т), J(t))*; с(т) = c{kh); г € [kh, (к + 1 )h), к = 0,1,...;

А{т) = ае~атР + ае~ат QekaT SkT^1 S^1;

Moo)

\ o2 °з ;[n+rxn+r]

Oí, i = 1,2,3, - нулевые матрицы соответственно размерностей [п х n], [г х n], [г х г];

£i(c,j,t) = pi (с, j,r),

g2(c,d,T) = R2(c,d,r) - Qic. Введем в рассмотрение системы с/с

— = А(т)с + ае~атQ\c{r) + ae~aTgi(c, d,r), (2.35)

dr

de

. = А(т)с + ae~aTQic(r), (2.36)

dT

§ = Л{т)с. (2.37)

Покажем, что система (2.35) У/г € [0, ^о], где Ко > 0 - достаточно малое число, экспоненциально устойчива. Из экспоненциальной устойчивости системы (2.37) [1] следует существование положительно-определенной функции У (с, т) такой, что

^(а)|1с||2<У(с,г)<^(«)||с||2,

% = "1|с||2, (2.38)

ат (2.37)

||8гаа7е||<«^(о)||с||.

Здесь щ(а) > 0, г = 1,2,3,- известные константы Вместе с тем

вУ

Лт

где

< -||с||2 - ае—((^ас!Уе)%д^(г)), (2.39)

(2.36)

г(т) = с(г) - с(кН) = с(т) - с*, г{кЬ) = 0, (2.40)

с(кН)=ск. (2.41)

Пусть Ф(т), Ф(0) = Е - фундаментальная матрица системы (2.37). На основании (2.28), (2.31)

||Ф(т)|| < Ке-^, ||Ф(т)|| < Кге-*г. (2.42)

Решение системы (2.36) с начальными данными (2.41), принадлежащими области (2.16), имеет вид

г

с(т) = Ф(т)Ф-\кЬ)ск + Ф^ф-^Ое-^дхЛс*, (2.43)

ал

те[кн, (Л + 1)Л).

Отсюда, согласно (2.43),

т

с(т) - с* = (Ф(т)Ф-1(АЛ)-Е + а/ Ф^Ф"1^-"^^)^, (2.44)

кН

т е [кк, [к + 1)Н). Используя теорему о среднем, запишем (2.44) в форме

г

с(г) - ск = (Ф(в)Ф~1(кк)к + «У ФИФ-^Ое-^дхсгОс*, (2.45)

к!I

т € [АЛ, (А: + 1)Л), 0 е [АЛ, (А; + 1)Л). Согласно (2.40), (2.42), (2.45), имеем

|Иг)|| <ЬзИск, Ь3 = Ьг+Ь2, т € [ЛЛ, (Л: + 1)Л), (2.46)

Константы Ь\, Ь2 не зависят от к. Из (2.40) следует

Ы <1Ж1! + 1№)||. (2.47)

После подстановки (2.47) в (2.46) получим

\Ш\\ < т е [кИ, 0к + 1)71). (2.48)

В свою очередь, оценки (2.38), (2.39), (2.48) дают неравенство

йт

< - (1 - ||с"(г)"2' Ь4 = ||д1||Ьз- (2-49)

(2.36)

Выражение в круглых скобках правой части (2.49) будет положительно, если

0<7(а,Ь) = ^^<1. (2.50)

Оценим производную У(с,т), в силу системы (2.35), в области (2.16). На основании (1.3), (2.2), (2.3), (2.13) существуют константы 70 > 0, 72 > 0 такие, что

¿У Ат

<-7о(а^)||с||2 + ае—72||б||3, (2.51)

(2.35)

7о (а, /г) = 1-7 (а,/г).

Выберем £3 > 0 так, чтобы Ус:

||с||<е3 (2.52)

было выполнено

-7о(а,/г)+а72||с|| <0. (2.53)

Пусть ||с||, Н > 0 удовлетворяют условиям (2.50), (2.52), (2.53), тогда с учетом (2.51)

в,т

<-7з||с||2, 7з > 0, 7з=7о(а,М-«72||ез||. (2.54)

(2.35)

Ограничим область изменения ||с|| неравенством

||с|| < £4, е4 = 1шп(е3, С3 - Цсо||). (2.55)

Из изложенного выше следует, что при выбранных £4, Ь, > 0, согласно (2.50), (2.54), для всех с, принадлежащих области (2.55), имеет место неравенство (2.54). Зафиксируем числа Л, <5:

А = ^|Ы2, (2-56)

Очевидно, что

У(с,т) < А, V с : ||с|| < 6. .(2.57)

Условия (1.2) гарантируют выполнение в области (2.55) неравенства

\Мс,Л,т)\\<Ти (2.58)

где Т\ > 0 - постоянная величина.

Используя (2.38), (2.54), (2.58), найдем Т > 0 так, чтобы

йт

< —7з||с||2 + ае-^ТмЩ < 0, (2.59)

(2.34)

Ус, г :<5< ||с|| <£4, Т>т. (2.60)

Решение системы (2.32), (2.34) с начальными данными (2.30) примет вид

г

с(т) = Цт)со + I аф(т)ф-1(1)е-а\д1ё(1)+д1(с^,г)+92(с,^))(и. (2.61)

о

Ограничим множества выбора начальных данных со неравенством т

||Ф(Г)(со + I ф-^ае-^^сЩ + 91 (сД ¿) + д2(с,<М))<й)|| < 5. (2.62)

о

Очевидно (2.62), имеет место Усо:

^1(||со||+а^2Г) <<5, (2.63)

где

К, = ||Ф(Г)||, К2 = тахЦф-^Оае-^^д!^) + ЫсД1) + д2(с, <М))||,

П = Й4|||с||<е4, te[0,T}}.

В силу (2.56), (2.57), (2.59), (2.60), (2.63) траектории с начальными данными, удовлетворяющими неравенству (2.62), не покинут области (2.55). Из (2.59) следует

У(с(г),т) 0 при г -)> оо. (2.64)

В свою очередь, (2.38), (2.64) гарантируют

с(т) ->■ 0 при г -)• 00. (2.65)

Используя (2.66), выберем т\\

||с(г1)|| <еь е-аГ1 < е2. (2.66)

Положим

ш = Ц- + 1, (2.67)

п

где /г удовлетворяет условию (2.50). 148

Используя константы а, Л, т, построим разбиение промежутка [0,1] точками к = = 0,1,... ,т — 1:

= 1 -е-а*А, А; = 0,1,... ,т — 1. " (2.68)

Если в (2.33) с помощью формулы (2.9) вернуться к исходной переменной то, согласно выводу уравнений (2.1), (2.10), (2.15), (2.32), (2.34), правомерность которых гарантируется выполнением условий (1.3), (2.13), (2.16), (2.52)-(2.55), (2.59), (2.62), (2.63), получим решение поставленной задачи. На основании изложенного справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть для констант С\, ос, Л, векторов х\, щ выполнены условия (2.50), (2.54), (2.63), а также ранг матрицы (2.18) равен п + г. Тогда существует решение поставленной задачи, которое сводится к решению задачи Коши для системы (2.12), (2.32), замкнутой управлением (2.29), и последующему переходу к исходной независимой переменной £ по формуле (2.9). При этом границы искомых интервалов постоянства импульсного управления [£¿,£¿+1], к = 0,1,...,т — 2, определяются по формулам (2.67), (2.68).

3. Решение задачи межорбитального перелета с помощью импульсного управления. В качестве иллюстрации предложенного метода приведем решение задачи перевода материальной точки, движущейся по круговой орбите с постоянной скоростью в центральном поле тяготения, в заданную точку, лежащую в плоскости этой орбиты, с помощью импульсных управлений.

Согласно [4, с. 30], систему уравнений в отклонениях относительно указанного движения по круговой орбите представим следующим образом:

х1 = х2

х2 = 1/1(х1,х4) + и1,

(3.1)

■3 _ 4

•С — 3/ )

ж4 = ^(ж1,®2,®4) + 1/3 (ж 1)и2.

В (3.1) ж1 = г — го, ж2 = г, ж3 = ф — ао£, ж4 = ф — ао> и1 = агт/т, и2 = а^т/т, го - радиус круговой орбиты, г - радиальная скорость, ф - полярный угол, ф - скорость изменения полярного угла, аг,аф - проекции вектора относительной скорости отделяющейся частицы на направление радиуса и поперечного направления соответственно, т, 771 - соответственно масса и скорость изменения массы, ао - угловая скорость движения по заданной круговой орбите,

1/1 = ~< 11 \2 ~ ^ + Г°К®4 + а°)2'

(Ж + Го)

= _2хЦх* + ао) X1 + г0

1

ж1 + Го

В (3.2) V = и°М, и0 - постоянная всемирного тяготения, М - масса Земли. Условия (1.3), (1.5) примут вид

\\х\\<Си \\и\\<С2,

х = (ж1,... ,ж4)*, и = (ад1,и2)*, ж(0) = 0, ||ж(^) - Ж1|| < £1, I*1 - 1| < е2, х\ — (ж1,ж2,,X*) . Пусть хг,щ = (и\,и1)* такие, что

*2 = о, х\ — о, «} = -«*(*!), 4 = |1 = 0.

Матрицы Р, ф, стоящие в правой части системы (2.17), и матрица 5, а также ограничения (2.13) запишутся так:

0 О

1 О О 0 '

О А>

0 1 0 0

Й21 0 0 а24

0 0 0 1

0 042 0 0

а21 = «24 = Ю, а42 = К). А) = ^з(аа),

1к1+с|| <Си ||«1 + (/|| <С2, с=(с1,...,с4Г,

0 0 1 0 0 0

0 1 0 723 0 0

0 0 0 а42 0 0

0 0 а42 0 0 А>

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

Очевидно, <1е15^0 для всех ж}, х^. Отсюда следует стабилизируемость системы (2.17) независимо от выбора х\, х\. После решения задачи стабилизации системы (2.17) найдем по формуле (2.29) функции V1, V2, которые обеспечивают экспоненциальную устойчивость замкнутой ими системы (2.17) с показателем — А(о;) < О, V а £ [0,+оо). Далее фиксируем Н > 0, при котором выполнены условия (2.50). На заключительном этапе решаем задачу Коши для системы (2.32), (2.33) с начальными данными, удовлетворяющими условию (2.63), и переходим к исходной независимой переменной £ по формуле (2.9).

4. Численное моделирование. В процессе численного моделирования интегрировалась вспомогательная система (рис. 1-3)

= ае~атх2,

= ае-^^х1 + х\,х4) + и^Щ + и}],

ах1 Ат

Ат

Ат

= осе~ат[и2{х1 + х\,х2,х*) + и2{х1 +х{ )и2(*Ь)],

Ат

= ае~атх\

(4.1)

Аи1 Ат

Ат

ае~ату\

—ат 2

= ае V ,

где и\ = (ал+Го)а - (ж} + г0)а§; а0 = х\ = 100 м, г0 = 7 • 106 м, = а0 • Ю-6 рад,

/г = 0,01, е± = 0,01, е2 = 0,1, на промежутке [0;12,5] с начальными данными жх(0) = = — х\, х2(0) = 0, х3(0) = —х1, ж4(0) = 0, и*(0) = — и\, и2(0) = 0, замкнутая управле-

нием

|/1 =

а42ас

{[а2(72з + е2ат)7з1 - аеавт72 + ае2«т711]а42Ж1+

+ (ае^ - За2еат7з1)а42ж2 + а~1еъат^хъ + а42а2731^1} ,

(4.2)

ь2 = -

/Зоа2

{е^а^х1 - еаТ/у$х4 - а^«2} ,

723 = а21 + а24а42, а = -, 7з = 14, 7г = 71» 71 = 154, 7о = I20» 7? = а - 4, 7о = ~4-

800 600 400 200

-200 -40^

А*2(')

од 04 0,6 6,8

Рис. 1.

10 о -10 -20 -30 -40 -50

-60 ------------ — --------- --------------

0 од 0,4 0j6 0,8 1

Рис. 2.

ЗРг.........:.........;.........;.........;..........

2,5 2Р 1,5 IP 0,5 OP -0,5

"1,00 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Рис. 3.

На рис. 1-3 представлены графики импульсных управляющих функций (и1 + u\)(t), u2(t) и соответствующие им функции изменения фазовых координат (ж1 +a?J)(í), x2(t), (ж3 +®?)(í), x4(í) системы (4.1), (4.2). Summary

Kvitko A. N. The solution of the problem of discrete programmed controller construction for a non-linear controllable system of differential equations.

An algorithm for constructing the discrete control function for which the solution of a non-linear system of differential equations, goes from its initial state to a given final one is proposed. The problem of interorbital flight is considered. Литература

1. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М., 1975. 494 с.

2. Верещагин И. Ф. Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы. Пермь, 1972. 294 с.

3. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем / Пер. с англ.; Под ред. Я. 3. Цыпкина. М., 1971. 398 с.

4. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М., 1968. 475 с. Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.