Алгоритм решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы с учетом случайных возмущений Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.

Сер. 10.

Вып. 3

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977

А. М. Демидова, А. Н. Квитко

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

1. Введение. Одной из важных и сложных проблем математической теории управления является поиск конструктивных методов решения граничных задач для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Наиболее полное исследование этих задач для линейных нестационарных управляемых систем представлено в работе [1] без учета ограничений на управление и фазовые координаты. В последнее время появились исследования, посвященные решению различных типов граничных задач для нелинейных систем дифференциальных уравнений специального типа [2-9]. Тем не менее широкий класс нелинейных граничных задач ввиду их сложности остается мало изученным как с теоретической, так и практической точек зрения. Данная статья наиболее близко соприкасается с работами [2, 8-10], в которых предложены алгоритмы синтеза управляющей функции, гарантирующей перевод линейной стационарной, квазилинейной и нелинейной систем из заданного начального состояния в сколь угодно малую окрестность фиксированного конечного состояния с учетом ограничений на управление. Ее цель - нахождение достаточно простого для численной реализации алгоритма построения дифференцируемой управляющей функции, которая гарантирует перевод широкого класса нелинейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений из заданного начального состояния в сколь угодно малую область фиксированного конечного состояния с учетом ограничений на управление, фазовые координаты и случайных возмущений.

Объектом исследования является система

х = /(х, и, Ь)+ч>{х,Ь), (1.1)

где <р(х, - вектор-функция случайных возмущений,

х = (х\...,хп)*, и = {и\...,иг)*, и £ Дг, г ^ п, г € [0,1],

/€С3(Д"хЛгхД1;П/ = (/1,-,/„Г, (1.2)

ч>(х, г) € С(Яп X д1; дп)] Ух е яп г е в1,

/(0,0,0 = 0, (1.3)

гапк (В,АВ,А'2В,...,Ап~1В) = п, (1.4)

© А. М. Демидова, А. Н. Квитко, 2007

др _

А = ^-(0,0,1), и = 1,п,

эр _ _

В = ^-(0,0,1), г = 1, п, г,

д2/

1ИМ)1К я,

||х|| < С-1, ||и|| < С2. (1.6)

Пусть заданы состояния

2(0) = 0, и(0)=0, ®(1)=®1; X! ={х\,...,х\у- ||Ж1|| < С1.

Задача. Найти функции а;(£),и{{) € С1 [0,1), удовлетворяющие системе (1.1) и условиям

х(0) = 0, к(0) = 0, х(£) -> xi при £ 1. (1.7)

Указанную пару х(£), и(£) будем называть решением задачи (1.1), (1.7). 2. Решение.

Теорема. Существуют такие £о > 0 и Но > 0, что ¿лл всех ||хо|| < £о < С\ и \\<р{х, £)|| < Но < Н существует решение поставленной задачи.

Доказательство. Выберем произвольный вектор щ € Яг; щ = (и\,..., и[)*, 11^11| < С-1- Используя свойства (1.2), систему (1.1), (1.5) можно переписать в виде

¿г = Е - х{)+£ -«!)+

7=1 7=1

(2.2)

+ Д^(х,и,£) + г = 1,2,..., гг, (2.1)

1 « ™ Я2 «

^ = 2 Е Е о^Ь ~ - 4) +

7=1 *=1

1 ™ г Я2 р

+ 2 Е Е £Ь^ - -+

7=1 к=1

+ ^ Е Е <*•- ^ -и'+ j=l к=1

1 п а2 р 1 г я2 Н

7=1 7=1

дР

Щ = /1(хь «ь 1) + "1.1)(« - 1) + «)»

х = хх + 9{(х — х\), й = гц + 6{(и — щ), ¿=1 + ^(<-1), б{€(0,1), ||х|| < Сь ||«||<С2, ?<1.

Решение будем искать в виде

x^t) =а*№ + х[, (2.3)

ul(t) = bl(t)+u\. (2.4)

Подставив соотношения (2.3), (2.4), получим систему, которую запишем в векторной форме:

ei = Ра + Qb + Rx (а, 6, t) + R2(a, b, t), (2.5)

P={P'}, Pj = «i,l), =

dfi _ _

Q = {Qj}, Q) = i = l,n, j = 1,r;

iZi = (i?J,..., -R")*, i?2 = (^2' • • • , -R?)* •

Условия примут вид

\\a(t) + Xi|| < C\, \т + щ\\<С2, t € [0,1], (2.6)

a( 0) = -xi, b{ 0) = -Ul. (2.7)

Сделаем замену переменной t

l-t = e~aT, t € [0, +oo). (2.8)

Тогда система (2.5) и условия (2.G), (2.7) примут вид de

^ = ^-"^c + ae-^Qd + ae^^a^d.r)+ae-ari?2(c,d,r); (2.9)

ат

с(т) = a(t(r)), d(r) = b(t(r)), г € [0, +оо),

с(0) = -xi, d(0) = -ui, (2.10)

HcM+xiHcCi, ||d(r) + «i|| <C2. (2.11)

Введем функцию v(r), связанную с d(r) следующим образом: dd(r)

dr

ae~~aTv, v = (v\...,vr), v £ Rr. (2.12)

Рассмотрим систему, полученную присоединением уравнений (2.12) к системе (2.9) с начальными данными (2.10). Ее можно записать так:

de

=ae-aTPc + ae-aTQrü + ae-aTR1{c,T) + ae-OTR,2{c,T), (2.13)

dr

где с = (с, cf)*;

о а,) '« = (£0г

1 2 / n+rxn+r \ ГХГ / п+гхг

Oj, i = 1,3, - матрицы с нулевыми элементами соответственно размерностей [г х п], [г х г], [п х г]; Егхг - единичная матрица размерности [г х г], = (Щ,0,... ,0)*+гх1. Ограничения (2.11) будут выполнены при

||с + с(0)|| < С3, С3 = min(CbC2). (2.14) Наряду с (2.13) рассмотрим систему

de

— = ае~атРс + ae~aTQv. (2.15) ат

Будем искать функцию v(t) так, чтобы обеспечить экспоненциальную устойчивость системы (2.15). Пусть г = 1,... г, - г-й столбец матрицы Q. Построим матрицу

S={q ь..., Pkl~1qi,. ..,qr,..., Рк'~%} . (2.16)

Здесь ki, i = 1, г, - максимальное число столбцов вида (],,..., Pki~lqu i = 1,г, таких, что векторы <¡i,..., Pkl~1qi,..., qr,..., Pkr~lqr линейно независимы.

Условие (1.4) гарантирует существование е\ > 0, £г > 0 таких, что для любых х\, ui> lililí < £\ llui|| < £2 ранг матрицы (2.16) равен п + г. Тогда преобразование

с = Sy

приводит систему (2.15) к виду

~ = aS~1 PSe~aTy + aS~lQe~QT v. ат

Матрицы 5_1Р5 и 1Q имеют вид

5_1Р5 = {ё-2, ё3,..., 1кг, 9кг, ■ ■ ■, ёАг_1+2, • - •, ё*„, §кг} , ¿i = (0,..., 1,..., 0)*+гх1, где 1 стоит на г-м месте,

§ь = (-<&,• • •, -9кк1~\ • • •, -д°к{,- ■ •, -5Í;"1'0' • • • '°)n+rxi ,

г =Т~г ;

/ti-i Jt, — i

= - £ - • • • - Е <pJü> * = т^; 7=0 j=0

r-1

S-1<5 = {§:,...,, 7 =

¿=i

Рассмотрим задачу стабилизации системы

^ = {¿ф, ■ • •, ё£, }ae-ar2/fc¡ + ё*< ае"« V , i = T~F, (2.17)

УЬ =(у1о--->Ук,)к{хi ! ё*< =(0,...,1,...,0)^х1, 9ki = > • • • ? ~9k]~1)kiXl-

Запишем (2.17) в скалярной форме

^ = -ааЪе-атукк'+ае-ату\ ¿у1

Ы2

~г = <*е~ату1, ~ <*91,е-атУ% . С2-1«)

^ _ пр~атик{~2 — ппк>~2р~атпк'

йт

Пусть ук' = ак{,ф . Тогда

ук<-1 _ а*4-1еаг^(1) + дь- (2.19)

2 - аЬ-^фЮ + (ак'~~1е2ат + д^1ак'~1еат}фт +

у\. = ае(к<~1)атф(к,-1) + Гк1_2(т)фЪ-2) + . . . +

+ п(т)^(1) + ак<д\.ф. Продифференцируем последнее равенство (2.19) и учтем (2.18), тогда

+ + = * = (2.20)

В (2.19) ...,гх(т) - линейные комбинации экспонент с показателями не

выше (/г* — 1)ат. В (2.20) е*4_1(т),... ,£о(т) - линейные комбинации экспонент с показателями не больше нуля. Пусть

Г,' = еГк'атх>\ г=Т~г.

Положим

где тк{-]13 = 1Д'г, выбраны так, чтобы корни характеристического уравнения

А*< + Т*,- —1 АЛ,"~1 + ... + 7о = 0, « = 17г, А[,.,..., А^'', удовлетворяли условиям

А[.. ^ А£, I ф т, < -{2кг + 1)а - 1, ¿/,т = ТЛ, г = 177. (2.21)

Тогда получим

г,,: =ekiaT8kiT~lS^c, i=T~F, (2.22)

¿Ь = (£ki-i(r) - 7а-,-ь • • • ,£o(т) - 7o);

Tfc, : 2/fci = Tki4>; $ = ...

Из (2.21) следует, что для решения системы системы (2.15) при управлении (2.22) с начальными данными

Со = 5(0) = (—х\, — Mi) (2.23)

справедлива оценка

||с(т)|К М0е-Хт, А > 1. (2.24)

Рассмотрим систему (2.13), замкнутую управлением (2.22), и предположим, что ее решение удовлетворяет условию (2.14). Эту систему можно записать в виде

dc

— = А(т)с + д1(с,т)+д2(с0,т). (2.25)

Здесь

А(т) = ае~атР + ae-aTQekaT5kT-lS^\

5i (с, т) = ае~атR\ (с, г),

52 (со, г) = ае~агВ.2(со,т).

Условия (1.2), (1.3) и (2.2) гарантируют существование констант L > 0 и Т(со, т) > 0 в области (2.14) таких, что

1Ыйо,т)|| < (Т(со,т) + Н)е~ат, ||<7i(c, т)|| ^ Le~aT\\c\\, (2.26)

где

Т(с0, т) —> 0 при ||со|| —> 0. (2.27)

Пусть Ф(т), Ф(0) = Е - фундаментальная матрица системы (2.15), замкнутой управлением (2.22). Из (2.24) получаем

||Ф(т)|| ^ Ке-Хт, А > 0, г € [0, +оо).

Решение системы (2.25) с начальными данными (2.23), принадлежащее области (2.14), имеет вид

г

с(т) = ФМФ-ЧпЖп) + J ФМФ-'МЬ^М) + 92(co,t)]dt, т £ [п,+00), (2.28)

Т1 Г

с(т) = Ф(т)с0 + У Ф(т)Ф-1 (f)[51 (с, t) + 52(60, t)]dt, т G [0,П]. (2.29)

о

Из (2.26)-(2.29) получаем неравенства

г

||с(т)|| < /ve_A'r-Tl'||c(ri)|| + J e-x^I<(Le-at\\c(t)\\ + (ЗДо) + H)e~at)dt, (2.30)

г € [п,+оо),

Г

||c(r)|KA'e-Är||coll + J e-^-t)K(Le-°t\\c(t)\\ + (Tx(co)+H)e-at)dt: г 6 [0, г,], (2.31) о

в которых

Ъ(с0)= sup Т(с0,т).

г€[0,+оо)

Введем обозначение

Li(ri) = Le-°T1, n 6 [0,+оо). (2.32)

Применяя известный результат [11], из неравенств (2.30), (2.31) находим

||с(т)|| ^ к ^e-^-^m^W + e-^ j eßte~at(Ti(co) + H)dt^j , r e [n.+oo), (2.33)

||с(т)|| sC К ^e_MlT||co|| + e~'"T Jeßlte~at(Ti(co) + H)dt^ , r € [0,n], (2.34)

H = X-KL1(T1), ßX=\ -KL. (2.35)

Из (2.32) для фиксированного а > 0 можно подобрать такое т\ > 0, что

ц = Х-КЬ1(т1)> 0. (2.36)

Принимая во внимание (2.36), выражения (2.33) и (2.34) можно представить в виде

||с|| ^ Л'е-^-^ИсЫН + I<ie-ar(T1(co) +#), г е [п,+оо), (2.37)

||с|| ^ К2Ы+К3{Тх{со) + Н), т е [0,Ti], (2.38)

где Ä'i > О, К2(ti) > 0, Кз(п) > 0 - константы.

Используя условия (2.27),(2.36)-(2.38) можно найти такое 0 < £3 < в и такое Но, что для всех 2q, удовлетворяющих неравенству

<£з,

и для всех Я < Но справедливы оценки ||с(т) + Coll < ||с(т)|| + llcoll ^ ВДп)|| + ЫТ^со) + Я) + llcoll < Сз, т > г:, (2.39)

||с(т) +с0|| < ||с(т)|| + llcoll ^ Л"2||со|| +K3(Ti(co) + Я) + ||со|| < С3, те [0,п]. (2.40) Очевидно, что (2.39) выполняется для всех Со:

К[К2\\со\\ + Яз(Т\(с0) + Я)] + К\(Ti(co) + Я) + ||с0|| < С3.

Выберем

£0 = тт(£Ь£2,£з).

Подставляя функции (2.28), (2.29) в формулы (2.22), (2.3), (2.4), возвращаясь к исходным переменным по формуле (2.8), согласно оценке (2.37) и выводу уравнений

(2.1), (2.5), (2.9), (2.13), (2.25), правомерность которых гарантирована условиями (1.6), (2.11), (2.38)-(2.40), получим решение задачи (1.1), (1.7). Теорема доказана.

Summary

Dernulova A.M., Kvitko A. N. The algorithm of the boundary problem solution for a nonlinear controlable system taking into account random disturbance.

An algorithm for constructing the control functions for which the solution of a nonlinear system of differential equations goes from its initial state to a given final one taking into account random disturbance and the restrictions imposed on the control and phase coordinates is proposed.

Литература

1. Каллман P., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем / Пер. с англ.; Под ред. Э. Л. Напельбаума. М.: Мир, 1971. 399 с.

2. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 494 с.

3. Комаров Б. А. Синтез ограниченных управлений для нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1993. № 2. С. 76-82.

4. Гусар В. В. Об одной задаче сплайн управления // Дифференциальные уравнения. 1998. № 9. С. 1475-1481.

5. Чсрноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах // Труды Матем. ин-та РАН. 1995. Т. 211. С. 457-472.

6. т1ерноусъко Ф. Л. Управление системой с одной степенью свободы при ограничениях на управляющую силу и скорость ее изменения // Докл. РАН. 1999. JV® 4. С. 464-472.

7. Коврижкин О. Г., Крамаренко Е. Л. Встречный метод решения задачи управления конечным состоянием // Автоматика и телемеханика. 1994. Я2 3. С. 37-42.

8. Коробов В. И., Скляр Г. М. О множестве позиционных ограниченных управлений решающих задачу синтеза // Докл. АН. 1990. Т. 312, JV» 6. С. 1304-1308.

9. Квитко А. Н. Об одном методе построения программных движений // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 64, вып 3. С. 392-399.

10. Квитко А. Н. Об одной задаче управления // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, вып. 6. С. 740-746.

11. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Мир, 1967. 223 с.

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. Е. И. Веремеем. Статья принята к печати 22 февраля 2007 г.