Некоторые вопросы субоптимального уравнения нелинейными системами по квадратичному критерию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-52

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СУБОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ

© О.В. Ведищева, С.В. Диденко, Т.Б. Заусонина, С.М. Лобанов

Vedisheva O.V., Didenko S.V., Zausonina Т.В., Lobanov S.M. Some issues of sub-optimal non-linear system control according to the quadric criterion. The article looks at the problem of controling a common non-linear system on the basis of the quadric criterion, which cannot be redused to the problem of the state regulator. To estimate the optimal control, a method is used in this problem of sequential approximations that converges at each quite small interval of time. On the strength of the obtained results, problems are considered of sub-optimal non-linear system control based on the quadric criterion with mixed and control limitations.

Введение. Рассмотрим нелинейную динамическую систему, характеризуемую дифференциальным уравнением

х = /Ц,х,и), (0.1)

в котором х = (ж1,..., хп) — п-мерный действительный вектор состояния, и = (и1,..., ит)

— ш-мерный действительный вектор управления и / = (/*,...,/”) — векторная функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производными

и

др

Q — , 1 = 1 ,...,71, j = 1,... ,771

в пространстве Ж1 +п+т.

Предположим, что начальное состояние

ж (io) = с (0.2)

задано, а задача управления системой (0.1) заключается в минимизации функционала

т

J(u) = ~ J[{e(t),Q(t)e(t)) +

¿0

+(u(t), R(t)u(t))] dt + у <е(Г), Pe(T)), (0.3)

где Т — фиксированное конечное время, Q(t) и Р — положительно полуопределенные (п х п) -матрицы, R(t) — положительно определенная (то х то)-матрица и e{t) — ошибка системы, т.е.

e{t) = x(t) — z{t)

для всех значений ¿о < Ь < Т, где г = (г1,..., гп)

— тг-мерный действительный вектор, характеризующий заданный режим функционирования системы (0.1).

Во многих практических ситуациях режим г(1) устроен достаточно плохо и задача (0.1)—(0.3) не может быть сведена к задаче о регуляторе состояния (см., например, [1, с. 657]). При этом, если система (0.1) линейна, то сформулированная выше задача достаточно проста и ее, видимо, можно считать полностью решенной (см., например, [1, 2]). Кроме того, весьма важным представляется то обстоятельство, что здесь решение удается получить в виде закона управления с обратной связью. В общем случае для получения оценок решения (или собственно решения) задачи (0.1)—(0.3) в виде закона управления используют различные методы, которые в той или иной форме используют линеаризацию и (или) последовательные приближения (см., например, [2—4]).

Основной целью настоящей работы является разработка метода, приводящего к конструктивной процедуре получения оценки решения задачи (0.1)—(0.3) в виде закона управления с обратной связью. Данный метод базируется на методе последовательных приближений, сходящийся на всех достаточно малых отрезках времени. В качестве приложения полученных результатов рассматриваются задачи об управлении системой (0.1) по критерию (0.3) со смешанными ограниченими и ограничениями на управление.

1. Метод последовательных приближений. Следуя [3], обозначим через мл'(^), ждг(£)

— некоторое Лг-е приближение к оптимальному управлению и состоянию в задаче (0.1)—(0.3). Тогда (Ы + 1)-е приближение ин+1^),Хк+1^)

может быть получено как решение задачи о минимизации функционала

т

1м+х{и) = у У[<е(*),<Э(*)е(*))+

+ (u(t),R(t)u(t))\dt+~(e(T),Pe(T)) (1.1)

с ограничением

X = fit, XN, Mjv) + - Хлг) +

+Biv(i)(w ~ Mjv), x(t0)=c, (1.2)

в котором A]\r(t) и £?лг(£) — (п х п)- и (п х ш) -матрицы, задаваемые равенствами

-МО = I Ц,

X=X]w(t) U=UN(t)

И—идг (i)

(1.3)

(1.4)

соответственно.

Задача (1.1), (1.2) представляет собой вариант задачи слежения для линейной системы, и ее решение, как известно, дается законом управления с обратной связью

им+1(£) =

= 1(0 — ^Слг-иМ^лг-и^)],

(1.5)

в котором 2^+1 (£) ~ положительно определенное при < £ < Т решение матричного дифференциального уравнения Риккати

■К/у-нИ = —-^^у-ы(£Мл(£) — Ан(1)Км+1^)+

(1.6)

+^+1(*)в№(г)Д-1(*)^(^)^+1(г) - д(*)

с граничным условием

^дг+1(Г) = Л

а /г.лг+1 (¿) — решение линейного дифференциального уравнения

^N+1 (£) =

= -[Ллг(0-Влг(<)Л_1(<)Влг(*)^аг+1(0]'Лаг+1(*)--<2(ф(г) + Л"л-+1(<)[/(*,а:лг(*),«л-(*))-

-Ам(1;)х]\г(<) - Влг(^)м^(<)] (1-8)

с граничным условием

Ллг+1(Т) = д(Т)г(Г)

(1.9)

(см., например, [1, с. 699]).

Если построенные выше последовательно-

сти

(1.10)

(1.11)

равностепенно непрерывны и равномерно орга-ничены на отрезке [¿о,Т], то из (1.10) и (1.11) можно выбрать подпоследовательности

(1.12)

(1.13)

равномерно на [<о, У] сходящиеся к некоторым непрерывным функциям £*(£) и м*(£), где

lim TV* = схэ.

k-^oo

Тогда, если окажется, что последовательность

(1.12) совпадает с последовательностью (1.10), а последовательность (1.13) — с последовательностью (1.11), то, используя соотношения (1.3)—(1.9), можно перейти к рассмотрению вопроса о том, будет ли и* (¿) оптимальным управлением в задаче (0.1)—(0.3).

Заметим теперь, что показать эквивалентность последовательностей (1.10), (1-12) и (1.11),

(1.13) в общем случае совсем непросто. Однако для задачи (0.1)—(0.3) несложно построить метод последовательных приближений, идейно близкий к упомянутому выше, но не имеющий формальных проблем со сходимостью.

Именно, следуя идее знаменитой модификации метода Ньютона (см., например, [6, с. 470]), для всех значений N = 0,1,2,... рассмотрим задачу о минимизации функционала

1

(1.7) JN+1 (и) = у f[(e(t),Q(t)e(t))+

to

+(t), R(t)u(t))] dt + -<e(T), Pe(T)> (1.14) с ограничением

x = f(t,xN,uN) + A(t)(x - xN) + B(t)(u - un), x(to)=c, (1-15)

в котором A(t) и B(t) — (п х п)- и (п х то) -матрицы, задаваемые равенствами

x=z(t) и=0

(1.16)

точно хорошее приближение к решению задачи (0.1)—(0.3). Именно эта схема и будет рассматриваться в дальнейшем. Отметим также, что для простоты начальное приближение здесь будет определено соотношениями

x0(t) = с

(1.23)

x=z(t) и=0

(1.17)

соответственно.

Для фиксированных функций Xn и иn оптимальное управление itjv+i(<) в задаче (1.14),

(1.15) по аналогии с (1.5) дается законом управления с обратной связью

UN+l(t) =

= R^1 (t)B'(t)[hN+i(t) - K(t)xN+1(t)], (1.18)

в котором xn+i(t) — решение уравнения (1.15), соответствующее UN+i(t) и удовлетворяющее начальному условию

%N+l(to) = С,

К (t) — положительно определенное при

to < t < Т решение матричного дифференциального уравнения Риккати

K(t) = —K{t)A(t) - A'(t)K(t)+ +K(t)B(t)R~1(t)B'(t)K{t) - Q(t) (1.19)

с граничным условием

К(Т) = Р, (1.20)

a hN+i(t) — решение линейного дифференциального уравнения

îiN+i(t) =

= ~[A(t) -B{t)R^{t)B'{t)K{t)}'hN+l{t)-—Q(t)z(t) + K(t)[f{t,xN(t),uN{t))~ —AN(t)XN(t) - BN(t)UN(t)] (1-21)

с граничным условием

hN+1(T) = Q(T)z(T). (1.22)

Таким образом, если начальное приближение xo{t),uo{t) каким-либо образом задано, то соотношения (1.18)—(1.22) определяют схему последовательных приближений, которая, как будет показано ниже, при всех достаточно малых значениях Т позволяет получить доста-

ио0) = Д-ЧОВ'Ш(Т)г(Т) - К(1)с]. (1.24)

Замечание. 1. Переход от задачи (1.1), (1.2) к задаче (1.14), (1.15), очевидно, влечет за собой снижение скорости сходимости последовательных приближений, если, конечно, таковая имеется. Однако, в последнем случае схема приближений существенно упрощается и исследование ее сходимости не вызывает больших затруднений.

2. Основная теорема. Пусть ¿2 — множество функций, определенных на отрезке [¿о, Г], принимающих значения в пространстве и суммируемых с квадратом по Лебегу на [¿о,Т]. Далее, пусть — часть множества Ьг, такая, что для каждой функции и € Ь!2 уравнение (0.1) имеет абсолютно непрерывное решение х(1). определенное для всех значений 10 < I < Т и удовлетворяющее начальному условию (0.2). Тогда имеет место следующая

Теорема. Пусть функция / = (/х,...,/п) определена и непрерывна вместе со своими частными производными

др . . Л

—-—, 1,1 = 1,..., п

дх>

и

дР • ,

, г = 1,... ,п, з = \ ,...,т

в пространстве К1+п+т. Тогда для каждой точки (¿о, с) пространства М1+п найдется такое действительное число То > ¿о, что для всех значений ¿о < Т < То справедливы равенства

lim ujv(î) = u*{t)

N—ï OG

lim XN(t) — x*(t),

N-ï OG

(2.1)

(2.2)

где сходимость равномерна на отрезке [¿о ,Т], и*(£) — некоторая функция, определенная и непрерывная на [Ьо-Т], ах*(<) — соответствующее решение уравнения. (0.1) с начальным условием

X*{t о) = с.

(2.3)

При этом оказывается, что для всех значений t0<t<T

u*{t) = R-\t)B'(t)[h*(t) - K(t)x*(t)\, (2.4)

где h*(t) — решение дифференциального уравнения

h*(t) = ~[A(t) -

-Q{t)z(t) + K(t)[f{t,x*{t),u*{t))~

-A(t)x*(t) -B(t)u*(t)] (2.5)

с граничным условием

h*(T) = Q(T)z(T). (2.6)

Более того, для каждой функции и G L.J

lim Jn{un) = J(w*) < lim Jn(u)- (2-7)

TV—>-oo JV—)• oo

Доказательство. Пусть X(i) n H(t) — решения линейных матричных дифференциальных уравнений

X(i) = [A(f) -

X(i0) = £

и, соответственно,

H(t) = ~[A(t) - В(*)Д-1(*)Я'(t)K(t)]'H{t), H(T) = E,

где E — единичная (n x п)-матрица. Тогда при использовании закона (1-18) уравнение (1-15) эквивалентно уравнению

XN+l{t) = X{t)c+

t

J X(t - t)[B(t)R~1 [t)B'{r)hN+\ (т)+ (2.8)

+

to

+ f {т, XN(т), U]y (т)) — A(t)xn (т) — В(t)uN {т)\ dr,

а уравнение (1.21) с граничным условием (1-22)

— уравнению

hN+1(t) = H(t)Q(T)z(T)+

t

+ J H(t - T)[K(r)(f(T,xN(T),uN(T))- (2.9)

T

-A(t)xn(t) - B{t)un(t)) - Q{t)z(t)\ dr.

Принимая во внимание (2.9), перепишем уравнение (2.8) в следующем эквивалентном виде:

xN+i(t) = X(t)c+

+ ! X(t-т){f(XN{т),ЧN{т)) - А(т)хМ(т)~

¿0

-В(т)им{т) + В{т) Д-1 (т)В(т)[Я (т)<Э(Т)г(Т)+

Т

+ I Н(т - s)(K(s)(f(s,xN(s),uN(s))-т

—А(в)а;]у(в) — -В(5)«лг(в)) — <3(й).г(з)) ds]} dт.

Тогда с учетом (1.18), система (2.8), (2.9) может быть представлена в символической форме

xN+1(t) =ХЦ)с+ У [/1(1,т,хк(т),}1к(т))+

+

1

J f‘2(т, s, xN(s), hN(s)) ds\ dr, (2.10)

hN+l(t) = H(t)h0 + / f3{t,T,xN{T),hN(r))dT,

(2.11)

где

h0 = Q(T)z(T),

а Л = (Л1, - - -,/Г), /2 = Ш.-.-./з") и

/з = (/з, •■•,/") ~ соответствующие векторные функции, определенные и непрерывные вместе со своими частными производными

М М г „ г-123

сЫ’ дЫ' —................

в пространстве [¿о, Г] х [¿о,Р] х ®2п-

Пусть теперь а —некоторое положительное число. Обозначим через Е — множество точек (£, ж, /г) € Ж1+2п, для которых выполнены неравенства

¿о < Ъ < Т, \х — с| < о, |/г — /го| < я, (2-12)

где |ж| — евклидова длина вектора х. Так как Е — компактное множество, то найдутся такие положительные числа М и Ь, что для всех значений (,1 и к, удовлетворяющих условиям

(2.12), выполнены неравенства

\№,Т,Х,Н)\<М, 1 = 1,2,3 (2.13)

<L, (2.14)

df[(t,r,x,h) < L, dfi(t,T,x,h)

дх] dhJ

Обозначим через (I множество всех непрерывных пар (х, К) функций, определенных на отрезке [<о,Г], принимающих значения в пространстве К" и при ^ < I < Т удовлетворяющих условиям

\x(t) — с\ < а> Ih{t) — h0\ < а,

(2.15)

т.е. О — множество непрерывных пар (х, К) функций, графики которых лежат в £. При этом будем рассматривать часть Пг множества П, такую, что наряду с неравенствами (2.15) при (х. К) £ Пт выполнялись бы также и неравенства

\Х(1)с-с\<~, |Я(*)Ло - йо| < (2-16)

Ix(t) — X(t)c\ <

2 ’

\h(t)-H(t)h0\<~.

Тогда в силу неравенств

\x{t) — cl < \x(t) — X(t)cІ + IX{t)c — с\

(2.17)

Іx*(t) - X(t)c\ =

+

<

<M((T-to) + l)(T-to). Отсюда следует, что при

М((Т — <о) + 1)(Т — i0) < £

(2.19)

условие, предъявляемое к оператору Р в (2.18), выполнено.

Пусть теперь ¡р — [х, К) и ір = (у,д) — некоторые две функции, принадлежащие к множеству От- Тогда при выполнении неравенства (2.19) функции

(р* =

IHt) - /10| < |h(t) - H(t)ho| + \H(t)h0 - h0\

из условий (2.16) и (2.17) следуют неравенства

(2.15) и, таким образом, принадлежность пары (ж, h) к множеству О.

Для всех значений to < t < Т положим ¥>(*) =

и будем говорить, что ip 6 $7т, если

(х, К) е П-г- Обозначим через F оператор, задаваемый правыми частями системы (2.10), (2.11). Тогда, как легко видеть, число Т может быть выбрано столь малым, что если ip € Г1т, то функция

ip* = Fip (2.18)

также принадлежит к От, где <р* = (x*,h*).

В самом деле, для того чтобы функция <р*, задаваемая соотношением (2.18), принадлежала к Пт, достаточно, чтобы при t.о < t < Т были выполнены неравенства

|ar*(i) — X(t)c\ <

2 ’

Но в силу (2.10), (2.11) и (2.13) имеем \h*(t)-H(t)h0\ =

f3(t,r,x(r),h(T))dT

< М(Т - io)

гр* — р1р

также принадлежат к где у* = (х*, /¡*) и 'Ф* = (У*■ Я*)- При этом оказывается, что

\\<р* - ^*|| = \\Fip - Рф\\ < к\\<р - VII, (2.20)

где

= 4тахтИ*)|

и к — некоторое положительное число, не зависящее от 1р и ф и при всех достаточно малых значениях Т > £о удовлетворяющее условию

к < 1.

(2.21)

В самом деле, в силу неравенств (2.14) и формулы Лангража для всех значений *о < < < Т

Ш*,т,х({),Ь(г)) - МЬ,т,у^),д^))\ <

< п2Ь{|х(*) - у{г)I + \ЬЦ) - д(г)I),

/ = 1,2,3 (2.22)

(см., например, [7, с. 163]). Поэтому т

![/з(т,ж(т),Л(т)) - /з(т,у(т),д(т))]<1т <

(2.23)

т T Тогда, если

<п L[J Iх(т) - у(т)I dr + J Ih(r) - g(r)| dr}. t

t Но t x*(t) = X(t)c + J to

т /* T

/ \Ф) - y(r)\dr < , í \<р(т) — Ф(т)\dr (2.24) T r

J J t t + / /2(r, S, X

и T

т : Г И

[ \Цт) -g(r)\dT < I ' |</>(т) — Ф(т)\(1т. (2.25) t r

J J t t y*(t) = x{t)c + 1

Тогда, если

т

h*(t) = H(t)h0 + I f3(t,T,x(r),h(r))

dr

<?*(» = Я(*)Л0 + I , т./у(т),д(т))(1т, г

то из неравенств (2.23)—(2.25) следует, что НЛ* - 5*11 < 2П2Ь(Т - ъ>)\\ц> - Ф\\. (2.26)

С другой стороны, в силу неравенства (2.22)

ь

!\М*уТ.,х(т),Н(т)) - М^т,у(т),д(т))+

¿0

Т

+ ! №2(7,3,х(в),1г(8))-

Т

(т,з,у(з),д(з))} ds}dт г

< п2Ь ![\х{т) - у(т)I + IН(т) - д(т)\

¿0

Г

+ J(И*) - 3/(в)| + |Л(в) - з(«)1) <&] (¿г.

< (2.27)

+

Но

г ъ

J \Ф) ~У{т)\Ат < J \(р(т) - ф(т)\dr (2.28)

to to

I

t t

J \HT) -g(r)\dT < j \(р(т) -ip(r)\dT. (2.29)

to to

t o

1

+ J Í2ÍT,s, y(s),g{s))ds]dT,

T

то из неравенств (2.27)—(2.29) и (2.24), (2.25) следует, что

< 2n2L((T - t0) + 1)(T - ío)||y> - ф\\. (2.30)

При этом, согласно неравенству треугольника, несложно заметить, что

№*-1Л1<||**-у*|| + ||л*-Л. (2-31)

Поэтому, объединяя неравенства (2.26), (2.30) и (2.31), окончательно получаем, что

\\V>* ~Í>*\\ = \\F<P-F*I>\\ <

< 4п2 L((T - to) + 1)(Т — t0)\\ip - ф\\.

Таким образом,если

4n2L((T-ío) + l)(T-to) < 1, (2.32)

то, полагая

к = 4п2Ь((Т - t0) + 1 )(Т - t0),

видим, что при выполнении условия (2.32) выполнены также и условия (2.20) и (2.21). Сказанное означает, что существует такое действительное число Т0, что при tQ < Т < Т0 число Т удовлетворяет условиям (2.19) и (2.32) и обеспечивает выполнение требований, предъявляемых к (2.18), (2.20) и (2.21). Поэтому везде в дальнейшем будем полагать число Т выбранным так, что неравенства (2.19) и (2.32) для него выполнены.

Для всех значений to < t < Т и N = 0,1,2,... положим

ipN{t) = (xN(t),hN(t))

и построим последовательность функций

'-рх , • • •, ^Pn 1 • • •, (2.33)

определенных и непрерывных на отрезке [io, Т], в силу системы (2.11), (2.12) приняв

VN+i=FipN, N = 0,1,2,... (2-34)

и

<Po{t) = (с, ho). (2.35)

Поскольку функция (2.35) принадлежит к множеству Пт, то в силу равенства (2.34) все функции последовательности (2.33) также принадлежат к Пт- Рассмотрим функциональное уравнение

ip = Fip, (2.36)

в котором в силу условий (2.20), (2.21) F является сжимающим оператором, отображающим множество f1т в себя. Поэтому уравнение (2.36) имеет на множестве Г! решение ip*, которое может быть получено по формуле

= Jim <Pw(t), (2.37)

JV->oо

где сходимость равномерна на отрезке [¿о,?1]

(см., например, [7, с. 165]). Но, так как по по-

строению

h0 = Q(T)z(T),

то согласно (2.35) последовательность (2.34) удовлетворяет начальным приближениям (1.23) и

(1.24). Поэтому из равенств (1.18) и (2.37) следует существование функций u*(t) и x*(t), построенных по формулам (2.1) и (2.2), причем функция x*(t) является соответствующим u*(t) решением уравнения (0.1) с начальным условием (2.3). При этом уравнение (1.21) с граничным условием (1.22) переходит в уравнение (2.5) с граничным условием (2.6), а закон управления (1.18) — в (2.4). Более того, по построению

lim J;v('Ujv) = J{u*)

N—У ОО

И

Jn(un) < Jn(u)

для всех и Е Li , откуда и следует цепочка (2.7).

Таким образом, теорема доказана.

Замечание 2. По аналогии с модифицированным методом Ньютона матрицы A(t) и B(t) следовало бы задавать по формулам

u=u0(t)

И

и=ио(Ь)

где Хо({) и мо(£) некоторое начальное приближение к решению задачи (0.1)—(0.3) (см., например, [6, с. 470]). Однако, как видно из доказательства теоремы, выбор матриц АЦ) и В{{) по формулам (1.16) и (1.17) принципиально здесь влияет только на оценку величины Т0 и скорость сходимости. Гораздо более важным представляется то обстоятельство, что в последнем случае выбор имеет более чем прозрачное физическое обоснование.

Вообще говоря, матрицы А({) и В{{) можно задавать достаточно произвольно, исходя, например, из допустимости значения Т0. Плата же за произвольность выбора этих матриц очевидна — снижение скорости сходимости метода.

Замечание 3. Необходимо отметить, что если задача (0.1)—(0.3) имеет решение класса то (2.7) не гарантирует, что функция и* будет именно этим решением. Другими словами, в общем случае функция и* является только лишь приближением к решению исходной задачи, качество которого оценивается цепочкой

(2.7).

3. Приближенная задача о регуляторе состояния. Непосредственно использование закона управления (33) в реальном времени может быть осложнено тем обстоятельством, что для нахождения функции Ь* требуется, вообще говоря, знание оптимального управления и*(1) и состояния ж*(£) на всем отрезке \Ьо,Т]. Однако, если окажется что функция х* будет достаточно близка к режиму г, то это обстоятельство может быть обойдено с помощью приближенной к (0.1)—(0.3) задачи о регуляторе состояния.

В самом деле, исключительно для простоты обозначений рассмотрим задачу о минимизации функционала

Ф) =

т

= — У[(&г(£), (¿^)6х(1)) + (5и^).: Д(£)<5г*(£))] (Й+ ¿0

(3.1)

+ ^(6х(Т),Р6х(Т))

при ограничениях (0.1) и (0.2), где для всех значений ¿о < t < Т

5х(£) = х(£) — х*(Ь)

= «(£) — и*(Ь).

Тогда, поскольку при /о < I < Т

х* =

а решение ж*(£) удовлетворяет начальному условию (32), то, как известно, хорошим приближением к задаче (3.1), (0.1), (0.2) является задача о минимизации функционала (3.1) при ограничении

5х = А*(€)5х + В*(1)5и, 5х{1 о) = 0, (3.2)

где у1(£) иВ(() — (п х п)- и (п х ш)-матрицы, задаваемые равенствами

B*{t) =

диі )

Х=Х* (t)

и=и* (t)

х=х* (¿) и=и* (t)

соответственно. Решение же задачи (3.1), (3.2) дается законом управления с обратной связью

5u(t) = —R~1(t)B*'(t)K(t)8x(t),

в котором К (t) — положительно определенное

при to < t < Т решение матричного дифференциального уравнения Риккати

K(t) = -K(t)A*(t)— -A*\t)K{t) + K(t)B*{t)RTl{t)B*\t)K{t)-Q{t)

с граничным условием

К(Т) = Р

и который без труда может быть реализован в реальном времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.

2. Ли Э.В., Маркус Л. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1972.

3. Веллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М.: Наука, 1964.

4. Красовский A.A. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1969.

5. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

6. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.

Поступила в редакцию 25 октября 2002 г.