Решение задачи о слиянии сферически упакованных капель ньютоновской жидкости, находящихся в другой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решение задачи о слиянии сферически упакованных капель ньютоновской жидкости, находящихся в другой жидкости

В.П. Бушланов, И.В. Бушланов

Отдел структурной макрокинетики ТНЦ СО РАН, Томск, 634055, Россия Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

Записаны уравнения задачи о слиянии капель жидкости в невесомости, упакованных в виде сферического слоя и находящихся в другой жидкости. Изменение границ гетерогенной области, удельной межфазной поверхности, объемных долей фаз и других параметров гетерогенной области происходит вследствие действия поверхностных лапласовских сил. В качестве уравнений задачи использована система осредненных уравнений механики гетерогенных сред [1], в которых осредненные по межфазной поверхности параметры фаз определяются на основе уравнения для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей [2]. Показано, что безразмерные скорости границ гетерогенного слоя, средние скорости фаз, средняя скорость на межфазной поверхности, объемные доли фаз, удельная межфазная поверхность, средняя по межфазной поверхности лапласовская сила являются функциями только двух безразмерных параметров (число Лапласа Ь = -^Р(Ц/ — Цj) и отношение плотностей фаз У = Р//Рj).

Solution of problem on merging of spherically packed droplets of Newtonian fluid immersed in another fluid

V.P. Bushlanov and I.V Bushlanov

Equations for problems on merging of fluid droplets in zero-gravity are derived. Droplets are packed as a spherical layer and immersed in another fluid. Changes in heterogeneous zone boundaries, specific phase surface, volume phase fraction and other parameters of the heterogeneous zone are due to the action of the surface Laplacian forces. We use a set of averaged equations of heterogeneous medium mechanics [1] where averaged over the interphase surface phase parameters are found on the basis of the equation for distribution function of phase surface area over the slope angles of normals to the phase surface [2]. It is shown that dimensionless velocities of the heterogeneous layer boundaries, average phase velocities, average velocity on the phase surface, volume phase fractions, specific phase surface, and averaged over the phase surface Laplacian force are functions of two dimensionless parameters only (the Laplace number Lo = VP j E o d I(Hj -|x j) and the ratio of phase densities y = p ¡j p j).

1. Введение

Рассмотрим в невесомости упаковку капель несжимаемой ньютоновской жидкости (/-фаза), находящейся в другой несжимаемой жидкости (у-фаза) в виде сферического слоя. В гетерогенной области Уу находятся капли /-фазы, окруженные жидкостью у-фазы. Капли /-фазы под действием поверхностных сил слипаются, и со временем образуется сложная область, занятая /-фазой в гетерогенной области Уу. Она отделена от у-фазы межфазной поверхностью S12. Центральная область упаковки может быть занятау-фазой или /-фазой. Гетерогенная область Уу отделена поверхностью Sj от однофазной области у, занятой у-фазой. На межфазной поверхности S12 в гетерогенной среде Уу, отделяющей /- иу-фазы, действуют лапласовские силы, под влиянием которых первоначально находящаяся в покое упаковка капель начинает движение. Нашей задачей является нахождение сферически симметричного решения задачи о слиянии капель.

2. Уравнения задачи о слиянии капель в сферически симметричном случае

Пусть капли упакованы в виде сферического слоя. Уравнения для случая сферической симметрии получим из урав-

нений [3], приравнивая нулю производные по переменным

0 и ф. Далее используются обозначения из [3]. Полагаем из соображений сферической симметрии:

у0 = 0, уф = 0,

vee-v^ = 0, vei = 0, v гф = 0,

ЄФ .

(і)

•а-н = о, = о.

Вычисляя осредненные на межфазной поверхности вектор вихря скорости и компоненты тензора скоростей деформаций по формулам [3], а затем учитывая (1) и vrr + V00 + + = 1, получим:

Г-2 0

(2)

1

(1 -v rr).

Уравнения сохранения массы, изменения объемной доли и сохранения импульса в сферически симметричном случае соответственно будут иметь вид [3]:

^і + і А (• 2ау ) = 0, ^1 + ^а • = 0,

dt r dr dt

=

vee = v«

© Бушланов В.П., Бушланов И.В., 2004

д(р°а,-У) =-_Э_

dt dr

+а,Р,У, +

„ 0 ^ — ж;г „ Ф т.аУ

+ 2р0а —--— + Паг + 4ц— аг---. (4)

г гг

Уравнение сохранения импульса гетерогенной среды в сферически симметричном случае [3]:

з(ру)=^1+),

Э, Эг э ( )5

УЭ‘(П) = -Пгг -і(Пee + Пфф) =

12ц,а,У 12ц j а ууу

+ ^0^12(1 - 3vrr) -

--р[У2 + є,є(у - У,.)2] + -(Wrr - Wee), r r

пгг = -p- 4цg,y - 4ц,аУ +

+ X0 ^(1 -vrr) - р[У2 +є, є j (У - Уj )2],

nee = пФФ = -p + 2ц,аУ - 2цja,У,

(5)

+ 2V12(1 + vrr) + Wrr - Wee,

P = а,Р° + а j P°, є* = а* рк/ р, k = i, j,

(6)

рУ = а/Р0^ + ауР0у, У = £/У + еуу.,

Р = ар + ар, = а/Р0+ а7-р0 у .

Уравнение для средних топологических параметров межфазной поверхности в сферически симметричном случае получим из [3], учитывая, что

2Л

Uml ■ 0 и z”1 = —

-2vrr 0 0

0 (1 -vrr )/2 0

0 0 (1 -vrr )/2

9(^12vrr) . 1 9(r ) 2tf _ vrr 0

-ЦТ~ * 7—£----------------------TS1,v ■ 0

(7)

dSu_ + ^ d(r ^ s12(1 -vrr) = 0,

r 12

r2 dr

где

=tf ■-^ /vra,

(8)

3. Решение задачи о спекании капель в сферически симметричном случае

Из уравнения для признака в сферически симметричном случае [3]:

rr rr

Q ■- 1 + v En , Q ■ 1 + v E13 ,

1,Э 3vrr -1 1(э’ 1,э 3vrr -1 1,3’

1, Э ’

(9)

E 23 ■ 0 E 22 ■ e 33

Е1,Э 0 Е1,Э Е1,Э ^

p11 =2 є11 + 2 v Е1,Э =¥,еЭ +

3 vrr(vrr -1) ' /12

722 = e33 = 1 e11

S„, „ ■ Еъ„ „ ■---------------E„, „

(у:1!,)

12 9r

-ln

A, v

+ 1,— ln

^ at n

A, v

■ 0.

(10)

(11)

Решим уравнения (7), (8) для топологических характеристик межфазной поверхности. Из (7), (8)

х1 + 0хг + х0г = 0,

st + 05г + + 3и^ -х)/г = 0, (12)

где х = я^'т, х( = Эх/dt, хг = Эх/Эг, 0г = Э0/Эг, s = s12. Из (3) 0 = -^ / аг поэтому из (12)

Э(1п(аг/х),а)Э(t, г) = 0,

Э(1п(аг/я),a)Э(t, г) + (3/г)(1 -х/я)Э(а, г)/Э(, г) = 0,

где обозначено

Э(х, а)

Из первого уравнения

Э(г, г) получим:

а г1х = агД^ vгг = /(а), (13)

где /(а) — произвольная функция а. Из второго уравнения:

Э(1/ >■, а)/Э(г3, а) = V / (а) или

Э(1/>0/Эг3 = V /(а/, >■ =а г /(*г3).

Решение (14) находим интегрированием:

Vгг = 1/(1 + / (а)Ы (а)/г3), (15)

где N (а) — произвольная функция а. Подставляя (15) в (11) и учитывая, что Ф = — а, /аг:

(14)

[f '(а)/f (а)] ( У" 12 а г + і'а( )■ 0.

(16)

Условие (16) выполнится в двух случаях, а именно: когда f '(a) = 0 или когда выражение в круглых скобках равно нулю:

((У" Vi) 12-^Vi )a r = 0- (17)

Из (17), при значении у' = У'г имеем ((У'г)^ -в2 = = 0, что выполнится только когда У'г = в, и этот случай здесь рассматриваться не будет. Таким образом, из (16): f '(a) = 0 или f (a) = f0 = const. Пусть при t = 0 a(0, r) = = a0(r), vrr = vrr (0, r). Тогда из (15) получим

vrr(t, r) = 1/(1 + r>)[-1 + 1/vrr(0, r,(a))]/r3). (18)

Найдем функцию ai(t, r). В сферически симметричном случае из уравнения (32) из [3]:

+

д

а

а

+

V* аДЦ + 2(ц-ц j )V‘ a,( (e'rr )2^

ds12 , 1 д /,.2„ ■1 -v->

' + ~T^T(r s12v3 ) +_

(19)

AL1 ~d- (r2 «)•

r ar dr

Из (10) соответственно при y' = p, - p'j , ejrr, F,/r :

11 rr

Е,Рэ = E,P =

(20)

2 rr ((Pj -P j )V‘r) 12 -(П -nj )0 20(n, -nj)

= —v 3

(ГеГ)

v rr (1 -v rr )

2

= - vr 12 3 ' vrr (1 -vrr )

(21)

r rr rr

^e,rr^ = 2vrr\Vi e /1, -^Є 20

2r

- v rr

М2 3 r vrr(1 -vrr)

------8

r

2 v r

3 vrr(1 -vrr)

(((V'rŸ)n -02)+ (22)

Подставляя в (19) соотношения (20)-(22), получим, учитывая (7):

2X0s12 (r2о)

a r2 dr

30vr

= 0.

(23)

Уравнение (23) выполнится в двух случаях, из которых рассмотрим случай, когда равна нулю квадратная скобка, тогда

Ф = Ф'( )/ г2, (24)

где неизвестная функция времени для удобства дальнейших вычислений взята в виде Ф'(,). Подставляя (24) в (3), получим:

Э(а, г73)/Э(а, Ф) = э(г73/ЭФ = 1. (25)

Решение (25) имеет вид:

а = Р (г 73 -Ф(,)), (26)

где -Р(а) — произвольная функция а. Найдем функции У и У у. Суммируя уравнения (3) для индексов / и у и учитывая, что ач +ау = 1, в случае несжимаемых жидкостей получим:

а У/ +а уУу = 0. (27)

Вычислим далее У/. Для этого подставим в первое уравнение (3) второе, тогда получим:

_Э_

dr

(-Ф'(t)a, + r2a, V,) = 0 или

V«, r) = *£ + V(i)

(28)

r2 r2 a, (t, r)’

где ) — произвольная функция времени. Найдем функции Ф и у через границы сферической гетерогенной области р(,) и R(t). Для этого используем очевидное соображение о том, что У (,, р) = р' ), У(,, К) = К), тогда получим:

¥(t ) = (R2 R' -Р2Р' )

1

1

V1

Ф' (t ) =

a, (t, R) a, (t, p) R2 R'a, (t, R) -p2p'a, (t, p)

(29)

a, (t, R) -a, (t, p)

Определим функции a, s12, vrr из начальных условий. Пусть при t = 0 упакованы сферические капли ,-фазы диаметром d, тогда очевидно:

vrr (0, r) = 1/3, s12(0, r) = 6a,(0, r)/d• (30)

Подставляя (30) в (13), получим при t = 0:

a r = 2 f0ajd , или a, (0, r) = y0 exp(2 f0 r/d ), (31)

где y0 и f0 — неизвестные постоянные. Отсюда следует, что сферически симметричное решение при задании начальных условий в виде (30) существует, только если начальная функция a,(0, r) имеет вид (31). Найдем функцию F в (26). При t = 0

F (r 73 -Ф(0)) = a, (0, r) =

= a, (0,^3{[ r 73 -Ф(0)] + Ф(0)}). (32)

Из (32), (26), (18), (13) получим:

a,(t>r)=a(0, Vr 3+ф )=У0 exp|^ -dj0L j >

L = 3r3 +ф, 9(t) = 3[Ф(0)-Ф(t)], (33)

1/ vrr = 1 + 2 L3/r3, (34)

s12 = a r/ (f0vrr ) = (2 У0 r 2)/(dL2 ) (1 + 2L3/ r3 ) exp(2f L/d ).

Таким образом, задавая начальные условия в виде (30), получим функции a, vrr и s12 соответственно в виде (33), (34).

Условия равенства потоков количества движения на границах гетерогенной области в движущихся вместе с границами системах координат имеют вид:

ПР,„(t, p) = nN(t, p), ПrR,n(t, R) = nN(t, R), (35)

где индекс N в обозначениях тензора напряжений указывает на систему координат движущуюся со скоростью N, а индексы p и R обозначают тот факт, что параметры вычислены соответственно для центральной области и области j-фазы, окружающей гетерогенную область. Подставляя в последние уравнения (6), получим:

P(t, x) + 4(ц, -цj)a,(t, x)xjx-X0s12(t, x)(1 -vrr(t, x)) +

+ p“x' 7[1 - a, (t, x)] = Pjx (t, x) + pWr (t, x),

(36)

где х = {К, р} и учтены выражения для скоростей (27), (28). Последние уравнения справедливы на границах гетерогенной области и выражают условия равенства потоков им-

-Х 0 І8 *

v

пульса по обеим сторонам движущихся границ гетерогенной области в системах координат, связанных с указанными границами.

Дополнительные граничные условия получим из следующих соображений. Как видно из выражений для скоростей У-, У у, Ф, решений для средних топологических характеристик поверхности s12 и V'''' и объемных долей а, и а ■ — любое изменение координат границ р(,) и К(,), а также скоростей распространения границ р' и К немедленно отражается на указанных параметрах. Таким образом, скорость распространения сферических возмущений границ является бесконечной, что следовало ожидать из предположения о несжимаемости фаз. В связи со сказанным, разрывы величин касательных напряжений на границах гетерогенной области приведут к неустойчивости границ сферически симметричной упаковки. Аналогичная ситуация наблюдается на локальных границах фаз несжимаемых ньютоновских жидкостей, где для устойчивости границ ставится условие равенства локальных касательных напряжений. Поэтому в качестве дополнительных граничных условий будем использовать условия равенства касательных напряжений, как условия существования нераз-мываемых границ гетерогенной области. Указанные дополнительные условия имеют следующий вид:

П00(,, х) = Пфф(,, х) = -рух(,, х) -р0<0(,, х). (37)

Используя выражения для касательных напряжений (6), перепишем (37) в следующем виде:

Р(,, х) - 2(ц. - цу )а, (,, х) х'¡х -Х0£12(,, х)(1 + vгг (,, х))/2 -

- (,, х) + Ц00(,, х) = Рхх(,, х) + р0<0(,, х).

(38)

Вычитая (38) и (36), получим следующие уравнения на границах гетерогенной области:

6(ц -цу)а,(,, х)х'/х + Х0£12(,, х)(-1 + 3vгг(,, х))/2 +

+ р0х' 2/[1 - а/ (,, х)] + {[Цгг (,, х) - р0 цх (,, х)] -

-[Ц00(,, х)-р0ц00(,, х)]} = 0.

(39)

Величины в квадратных скобках можно трактовать как разности удвоенных радиальных и касательных пульсаци-онных энергий гетерогенной фазы и у-фазы на границах гетерогенной области. В дальнейших вычислениях величины в фигурных скобках будем предполагать малыми и их учитывать не будем. Тогда из системы обыкновенных дифференциальных уравнений (39) можно определить неизвестные функции р(,) и К(,) — границы гетерогенной области.

Обезразмеривание. Подставим в уравнения (39) величину а,, функцию s12, функцию vгг из (33), (34), а затем перейдем к безразмерным переменным. Для этого отнесем переменную времени к величине ,0, а расстояния — к размеру К0, тогда получим:

Ф

(23 +ф)23 а(2)[ - а<Х>]

= 0,

где 2 = {£, п},

(40)

а(х) =у0ехр| 2°(хг +ф)13

р0 а

(41)

ь

К

п =

К

Ф=

К

Ц/ -Ц/

0

р/2 0

где Ь0 — безразмерное число Лапласа, которое может быть отрицательной величиной, если ц, < Цу. В качестве замыкающего уравнения имеем условие сохранения объема /-фазы:

Ы/ = 4ПУ0 Нп3 + ф)1/3 - ы(£3 + ф)1/3 ]

)/3]

где

ы(х) :

2 /0

2 8 8 х-----------х + -

/0 2(/0 /

2 /0 ехр| ------х

™/ = *//К0> 8 = ¿/К0.

Дифференцируя по времени, получим

(П2Л/+ф//3)а(п) - (^2^+Ф'/3)а(^) = 0.

(42)

Для системы уравнений (40), (42) запишем, учитывая (33), следующие начальные условия: , = 0, £ = £0, п = 1, ф = 0. Кроме этого для решения указанной системы уравнений необходимо задать £0, у0, 8/(2/0).

В случае, когда область [0, р] занята /-фазой, уравнение (40) для определения меньшей границы гетерогенной области и уравнение (42) соответственно примут другой вид:

-—£'-2

ф

а©

Ь0 (£3 + ф)2/3 1 - а© а©[1 - а©]

= 0,

(43)

£2£' + (3п2п, + ф,)а(п) - (3£2£' + ф')а® = 0. (44)

Таким образом, система уравнений для определения границ гетерогенной области задачи о слиянии сферической упаковки в случае, когда в центральной области находится /-фаза, состоит из трех уравнений: (40), в котором 2 = п, и уравнений (43) и (44). В отличие от случая, когда в центральной области спекания находится -фаза, в систему уравнений входит еще одно безразмерное число у, наряду с числом Лапласа.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. - М.: Наука,

1978. - 336 с.

2. Бушланов В.П. О функции распределения площади межфазной поверхности в зависимости от углов наклона ее нормалей // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2000. - № 10. - С. 88-91.

3. Бушланов В.П., Бушланов И.В. Метод вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз в пространственно осредненных уравнениях механики гетерогенной среды двух не-смешивающихся несжимаемых ньютоновских жидкостей // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. вып. - Ч. 1. - С. 46-49.

Р

8