О топологической зависимости коэффициента проницаемости в законе фильтрации Дарси Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5.0727.12 ББК 22.253.327:22.152

В. П. Бушланов, Е. Н. Сентякова, И. В. Бушланов

О ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОНИЦАЕМОСТИ В ЗАКОНЕ ФИЛЬТРАЦИИ ДАРСИ

V. P. Bushlanov, E. N. Sentyakova, I. V. Bushlanov

ABOUT A TOPOLOGICAL DEPENDENCE OF THE PERMEABILITY FACTOR IN DARCY RULE

Коэффициент проницаемости в законе фильтрации Дарси имеет размерность квадрата длины kn = JgSlCa, э), где d3 - эффективный диаметр частиц, слагающих пористую среду; Sl -безразмерный коэффициент (число Слихтера), зависящий от пористости породы ai и параметра структуры порового пространства э (который, в свою очередь, зависит от формы слагающих породу частиц и от так называемого «коэффициента извилистости» £); V - вектор средней скорости; ^ - коэффициент динамической вязкости жидкости; P - среднее давление. Коэффициенты проницаемости могут отличаться на 9 порядков и, например, для глин характеризуются величинами в интервале 10-3-10-11 мкм2. Из осредненных уравнений гетерогенной среды

Р. И. Нигматулина предложена зависимость коэффициента проницаемости вида k = k0/(S12)2, где S12 удельная поверхность пор; k0 - безразмерные коэффициенты - близкие по порядку величины, зависящие от формы слагающих пористую среду частиц. Указана зависимость коэффициента проницаемости от абсолютного значения давления на поверхности пор. В качестве примеров вычислены коэффициенты проницаемости пористых сред, образованных частицами простых геометрических форм.

Ключевые слова: закон фильтрации Дарси, коэффициент проницаемости, удельная поверхность.

The permeability factor in Darcy rule has the dimension of a square of length kn = d32Sl(ai, э); where d^ - an effective diameter of the particles composing the porous environment; Sl - a dimen-sionless factor (Slikhter’s number), depending on the porosity of a rock at and parameter of the pore space structure э (which in its turn depends on the form of the particles composing the rock, and on

so-called "tortuosity factor " £); V - vector of the average speed; ^ - factor of the dynamic viscosity of a liquid; P - average pressure. Permeability factors can differ on 9 orders and, for example, for clay, they are characterized by values in an interval 10-3-10-11 mkm2. From average equations of the heterogeneous environment of R. I. Nigmatulin the authors of the paper offer a dependence of the permeability factor k = k0/(S12)2 ; where S12 - specific surface of pores; k0 - dimensionless factors - close to the order of the value depending on the form of the particles composing the porous environment.

The dependence of the permeability factor on the absolute value of pressure upon surfaces of pores is given. The permeability factors of porous environments, formed by particles with simple geometrical forms are calculated as examples.

Key words: Darcy rule, permeability factor, specific surface.

Введение

В морской технике и при решении задач подземной гидродинамики имеют дело с различными пористыми средами, через которые фильтруются воздух, топливо, масло, вода и другие жидкие и газообразные вещества. Открытая пористость фильтрэлементов может быть образована как тонкими каналами, так и свободными объемами между поверхностями, волокнами, дисперсными частицами. Например, пористая среда может быть образована упакованными тонкостенными трубками, когда внешняя часть трубок недоступна для фильтрации, а во втором случае, наоборот, когда внутренняя часть трубок недоступна для фильтруемой среды. В указанных двух случаях удельная поверхность и извилистость пор фильтрэлементов одинаковы, и можно подобрать даже одинаковую пористость, но не очевидно, что коэффициенты прони-

цаемости (КП) будут равны. Численные значения КП могут отличаться многократно даже для одних и тех же пористых сред. Так, для глин [1] КП могут отличаться на 9 порядков и характеризуются величинами от 10-3 до 10-11 мкм2. Такое значительное отличие ставит актуальную задачу более точного теоретического определения КП пористых сред, в том числе за счет учета топологии порового пространства, несмотря на существующие работы по этой проблеме [1]. Коэффициент проницаемости кП в законе фильтрации Дарси V = ( кП / ц )УР имеет размерность квадрата длины и, например, в [1], предложен в виде кП = (а,-,э), где ёэ - эффектив-

ный диаметр частиц, слагающих пористую среду; 81 - безразмерный коэффициент (число Слих-тера), зависящий от пористости породы а7 и параметра структуры порового пространства э (который, в свою очередь, зависит от формы слагающих породу частиц и от так называемого «коэффициента извилистости» ^); V - вектор средней скорости; ц - коэффициент динамической вязкости жидкости; Р - среднее давление.

Нами из осредненных уравнений гетерогенной среды Р. И. Нигматулина [2] предложена

2

теоретическая зависимость коэффициента проницаемости вида к = к0 / (^12) , где £12 - удельная поверхность пор; к0 - безразмерный коэффициент. Указана зависимость коэффициента проницаемости от топологии пор и абсолютного значения давления на поверхности пор. В качестве примеров вычислены КП пористых сред, образованных частицами простых геометрических форм.

В расчетах приняты следующие обозначения: N

1 м3

- число частиц в единице объема;

1 м3 - число 7-частиц в единице объема; р0

кг/м

- плотность вещества частиц; т7 [кг] -

масса /-частицы; V, =(т7 /р0) м3 - объем 7-частицы; й7 = (бт7 / р—)13 [м] - диаметр сферы, эк-

N

вивалентной по объему 7-частице; р = ^

ПЖі

7=1

кг/м

- насыпная плотность частиц в единице

объема; 5,

м

N

- площадь поверхности 7-частицы; 1 -а = ^n7v7 =— ^п7ё^ =р/р0 - порис-

N

6‘

тость

7=1 ^ 7=1

; $ 7 = ,^7/(—^72) - безразмерная площадь поверхности 7-частицы, в единицах площади по-

N N

верхности эквивалентной сферы; 512 = ^ п787 = —^ п7^7ё1

7=1

7=1

м

удельная поверхность частиц.

Осредненные уравнение неразрывности и уравнения движения гетерогенной среды для движения несжимаемой ньютоновской жидкости в твердом пористом фильтре имеют следующий вид [2]:

ЭаР^ + Ук (р0^) = 0, Эг Рг 7

(1)

0

р/ а

ЭК.

Э7

+(ЩЪ

= Ука7 [< 57к >7 - < рг0'Л^'Л^'к >7 ] +

—' к ' к 0 —

+ 512 < 5 П >12 + Р,а,ё,,

—' к ^ < 57 >7

= ((-р'8‘" + це'к") I")' = (-р,8к" + це,к") е— ",

=((-р'п;к5к"+це'кЧк)—" )12 = -(рпк )и + ц(<к"п , 12

е'к" = 1 (Ч'кУ" +У"ук ), ек" = (е,

■,к"п,к\ е"

(2)

п

2

где р0 - плотность несжимаемой жидкости; а; - пористость; V - вектор средней скорости

Ук ^ ^ ^ . у ^ ^

= —у ; о; - тензор напряжений в жидкости; ДК; = V — V,; щ - ком-

Эхк

поненты внешней единичной нормали к поверхности пор; - вектор ускорения силы тяжести,

< >;, < >12 - знаки осреднения соответственно по объему жидкости и поверхности пор

в представительном объеме гетерогенной среды; р' - давление жидкости; ё* ; q = 1, 2, 3 - единичные векторы декартовой системы координат. Штрих указывает на локальные параметры жидкости (без штриха - осредненные параметры), нижний индекс ; указывает на принадлежность параметра к жидкости.

Введем функцию напора Ф, = — р' + gx/ и проведем обезразмеривание системы уравнений (1)-(2). Для этого введем безразмерные (с волной) параметры уравнений (1)-(2) следующим образом:

х=г_, х=я_, х=х я / к0, ф; = (Ф2—Ф1 )Ф;, ф, = (ф 2—Ф1 )Ф,, К=кк ', р = р0р;,

где Ф2 — Ф1 - перепад напора на характерной длине гидравлического радиуса Я; для линейных размеров в средних параметрах и их производных выбран макроскопический размер Я; для локальных линейных размеров - г = а / Бц, где величина а - средняя пористость по всему фильтру (ниже будет показано, что величина г порядка среднего поперечного размера поры, где г << Я). Тогда уравнения (1)-(2) запишутся следующим образом (волну над безразмерными величинами в дальнейшем опустим):

ЭЪ +^ ( а;¥;1 ) = О,

а ^К = ука {—ЕиФ,5к* +— ёк* 1 ё* — <ДКДКк >,] +

1 Жх 1 I ; Яе ; ) 1 1

+(ЯБ12) .121 —Еи(ФЩ)12 + ^ *[ёкЧк )12 I, (3)

Еи =Ф^1, Яе = Яр0К0,

РоКо2 Ц

где Еи, Яе - соответственно безразмерные числа Эйлера и Рейнольдса.

Выберем размер скорости К0. Из физических соображений ясно, что на среднюю скорость фильтрации существенным образом влияют характерный градиент давления

Ф 2 — ф. 2 2

Г = —2-1 [кг/(м • с )]; коэффициент динамической вязкости ц [кг/(м • с)]; плотность жидко-

Я

сти р0 [кг/м3]; средняя удельная межфазная поверхность пор Б12 [1/м]; ускорение свободного падения g [м/с2]. Составим из указанных параметров величину с размерностью скорости

Ко [м/с] = Г >у роБ*! g'

(кгу^(м2 • с2)) (кг/(м • с))У (кг/м3) (1/м)* (м/с2)

(4)

Отсюда для неизвестных показателей степеней имеем:

[кг] — О = х + у + г,

[м] —— 1 = —2х — у — 3г — и + V, (5)

[с] — —1 = —2х — у — 2v.

Из (5) находим:

у = 1 — 2х — 2v, г = —1 + х + 2v, и = 1 — 3х — 3v . (6)

Покажем из уравнений (4)-(6) , что любой размер скорости является функцией 3 независимых размеров скорости, каждый из которых не является функцией двух других. Из (4)-(6) любой размер скорости можно представить в следующем виде:

тт' г / т т^х 1—2x-2v —1+х+2^ о 1—3х—3v V л т>х^^

Ко [м/с] = Г ц ро 5и g = АВ С ,

А = ^Цм/с], В ^[Ц, С =^4-[1]. (7)

р0 ц Б12 ц 512

Из (7) следует, что любой размер скорости можно получить, задавая показатели степени х, V . Логарифмируя (7), получим:

1п К01 = 1п А + х11п В + v11п С,

1п К02 = 1п А + х21п В + v21n С,

1п К03 = 1п А + х31п В + v31n С,

где нижние индексы 1, 2, 3 соответствуют различным размерам скорости. Решение полученной системы уравнений существует, если определитель

1 х1 1

Д = 1 х2 v2 Ф О .

1 х3 1

Задавая хк, Vk, к = 1, 2, 3 так, чтобы Д Ф О (отметим, что при значении Д = О размеры скоростей зависимы), найдем величины А, В, С как функции трех независимых размеров скоростей К01,К)2,Ко3 . Пусть теперь Ко - любой размер скорости, ах, V - соответствующие ему по-

казатели степени в представлении указанного размера в виде (7). Отсюда получим, что любой размер скорости есть функция трех выбранных независимых размеров скоростей.

Выберем 3 независимые скорости. Первый размер скорости получим, задавая из (6) у = —1, г = О, и = —2 . Тогда из (4)

Ко1 = Г / (цБ22). (8)

Уравнение (8) имеет вид закона фильтрации Дарси, поэтому естественно полагать, что размер скорости (8) порядка реальной скорости фильтрации. Отметим, что здесь проницаемость обратно пропорциональна квадрату удельной поверхности, являющейся одним из топологических параметров межфазной поверхности.

Второй независимый размер скорости Кп получим, задавая х = О, V = О. Тогда имеем из (4), (6) у = 1, г = —1, и = 1:

К02 = цБ12 / р0 . (9)

Третий независимый размер скорости К03 выберем из условия х = О, V = 1. Тогда имеем из (4), (6) у = —1, г = 1, и = —2:

К03 = ,?р0 / цБ12 .

Покажем, что г порядка а / 512 , где г - средний эквивалентный радиус сечения канала поры:

а) если пористая среда состоит из каналов, то пусть N - число каналов в единице объема; I - средняя длина каналов. Тогда пористость а; и удельная поверхность 512 равны соответственно

а = пг2Ш, 512 = 2пгШ. (1 О)

Из (10) получается искомая оценка:

г = 2а / 512, (11)

где О < а < 1;

б) если пористая среда составлена из частиц (например, пески, глины и т. п.), то естественно выбрать размер г равным половине среднего расстояния между поверхностями частиц

512 „

из уравнения а = —^~ 2г, которое выражает тот факт, что величина порового пространства равна

половине удельной поверхности, умноженной на величину среднего расстояния между поверхностями частиц.

Соотношения для безразмерных чисел. При фильтрации число Яе порядка или меньше единицы. Далее выберем, учитывая (11), эквивалентный размер поры г = а / 512. Число Рейнольдса, рассчитанное по эквивалентному размеру поры, равно:

ЯеП = рЛ =^11 = аК1. (12)

02

Из (12) следует, что отношение двух линейно независимых размеров скоростей (8) и (9) пропорционально числу Рейнольдса, рассчитанному по эквивалентному диаметру поры. Преобразуем безразмерные числа из уравнений (3):

Re = ^£oVoi = ( RSn) V01 = ( R>!2) Ren /а, Ц V02

Eu = = iR|2^, 1 = (RS12) W1

(13)

РоГ Re Fr V0\

Так как

RS12/a; = R / r >> 1, (14)

то, если аг- ~ 1, из первого уравнения (13) и (14) следует

Re/ReП >> 1. (15)

Если Re ~ 1, то из (14), (15)

(RS12) ~1/Ren, Ren << 1, Eu >> 1. (16)

Так как число Пуайзеля Po = TR /^V01, то из (3), (8), (15) имеем:

Po = (RS12 )2 >> 1, Eu = (RS12 )2 / Re = Po/Re. (17)

Учитывая оценки (14)-(17), пренебрегая малыми слагаемыми по параметру

RS12 = R/г >> 1, уравнение (3) приближенно перепишем следующим образом:

Уф. =-Ф,. Уа^ +

(18)

где sl2 = Я\2 (X) / <$12 - безразмерная удельная поверхность пор (очевидно, что в случае среды с постоянной пористостью ^12 = 1 )•

Уравнение (18) представим в другом эквивалентном виде для тех случаев, когда градиент среднего напора УФг- параллелен вектору средней скорости, т. е. в виде закона Дарси (т. е. в дальнейшей конкретизации уравнения (18) мы не будем рассматривать нелинейный закон фильтрации). Для этого в уравнении (18) отбросим в правой части слагаемое, перпендикулярное вектору средней скорости, и получим закон Дарси в следующем безразмерном виде:

а

а

(5?)ф, =•

Ф, (і, Уа,)

+

12

-/¡1'2а,( І?( Ф’гі4) 12)-М Л4)

12

(19)

где ^ - единичный вектор в направлении средней скорости ¡7 = V /1V |.

Отметим, что если выбрать размер скорости (8), то в безразмерном виде закон Дарси представляется следующим образом:

V = ^12кпУФ .

(20)

Сравнивая (19) и (20), находим, что коэффициент проницаемости в данном случае переменная величина, его обратная величина пропорциональна квадрату удельной поверхности

и равна:

1/кп =-V2 р И а, + ^ V, I а а

Ро1/2 (/,

(1 (ФА >12)+-(?*“<)

12

(21)

Еще раз отметим, что все параметры в уравнении (21), кроме сомножителя З1^, безразмерные. Несмотря на то, что первое слагаемое в квадратной скобке имеет сомножитель 1/2

Ро >> 1, оно не является большим в силу того, что в каналах вектор скорости примерно параллелен поверхности каналов, поэтому ¡7п7 << 1.

Вычислим далее в качестве примера точный коэффициент проницаемости и пределы изменения величины удельной поверхности для пористых сред, образованных внутренними поверхностями цилиндрических трубок разных диаметров, внутри которых справедливо точное решение Пуайзеля, и вычислим величины удельных поверхностей для некоторых пористых сред, образованных сферами, кубами, непроницаемыми цилиндрами. Приведенные ниже примеры поясняют, как можно вычислить величину удельной поверхности в общей формуле (19) для коэффициента проницаемости в конкретных пористых средах.

Пример 1. Вычислим коэффициент проницаемости пористого тела, составленного из цилиндрических трубок разных диаметров и когда вектор силы тяжести параллелен образующим цилиндров. В данном случае коэффициент проницаемости может быть вычислен точно, т. к. в каждой трубке известно точное решение Пуайзеля. Имеем в каждой 7-й трубке:

(Уф), = К 1x1 = Г =сошз1г Д0<

и = К и

4ц'

Я),

0,01

а =■

пЯ г,

8v

N _ N

г, < о, ц = ^, а = X а- =--X Яг,,

,=1 ^ ,=1

где Я, - радиус; О, - расход жидкости в ,-й трубке; N - общее число трубок на единице площади поперечного сечения фильтра. Средние скорость, градиент давления и пористость соответственно равны:

і \ С' і N Я у N

И=рО=~^Х ^г2 - Я' К=-80цХ

N

пХ Я,2 ,=1 0

N

п£ Г,Я

4ц

8аЦ ,=1

(Г=Чг- X ГА2 =-

,=1

пХ к>

,=1

2 ,=1

N

N

= ±-, а = пХ Я,2/1 см2, / = пХ Я2Г,

і=1

,=1

а

а

а

где / - величина сил вязкого трения на поверхности пор в единице объема пористого фильтра

N

вычислена из уравнения / = ці 2пЯ

і=1

. Закон Дарси в данном примере будет иметь

г =я

следующий вид:

:)= кп(Р >/Ц,

N ( N \

^ = I Я4Г / 8£ Г я2

г=1 Ч г=1 ;

- точное значение коэффициента проницаемости. В данном

примере удельная поверхность пор равна:

N

$12 = I

2пЯЬ

2п

N

I я

2 2 ¿=1 L * 1 см 1 см ¿=1

В частном случае, когда все трубки одного радиуса Я и градиенты давления равны, кП = Я2 / 8.

2

Пример 2. Определим пределы изменения величины 1 / ^12 для пористого тела с заданной пористостью а, образованного цилиндрическими частицами. Пусть 7 -й цилиндр имеет диаметр и высоту к7, причем к7 < . Имеем

П N N

а = 1----XЬ^2 /1 см3 , Б12 = й7(к7 + й7 /2)/1 см3,

4 7=1 7=1

где N - количество частиц в единице объема. Пусть имеется только 2 вида цилиндров и их плотность в единице объема пористого тела соответственно Р1, Р2 . Количество цилиндров

соответственно равно

пористого тела.

Тогда получим

: N1 = 4рі / (рл/^2), N2 = 4р2 / (рпЙ2$)

2 )’ где р - плотность вещества

Г а ^ 2 1 " 1 см3 - (N^1 + N2Л2¿22) Л

ч ^12 ; 16 Nld1 (1^1 + ^1 /2) + N2 ^2 (^2 + ^2 /2)

( р1/р 2 + 1) ^2

16

42 V

(( я2 'А

Р1 П24

(ГЦ + 1/2) + П2 (П2 + 4/2)

Р 2 П1

4 = й2/^1, ГЦ = V«! П2 = V«! Nl/N2 = (Р1 /Р2 )(П2^2/П1).

Для глин к1 < й1, Л2 < й2. Примем й2 < й1, тогда 0 < 4 < 1, 0 < тц < 1, 0 < п2 < 1. Зададимся вопросом: в каких пределах может изменяться функция (а / ^ )2, если 4 << 1? Отметим, что П2 < 4 . Приближенно имеем, если П2 < 4/2 :

(_а_V @ (р 1 /р2 +1)2^44а2

4^12 )

16 (П2 + 4/2 )2

= / ( 4 П2 ) ,

2 ,]2-с4 2

Э/ (р1/р2 + 1) ^1 а 44 (П2 4/2) ^/ = (р1/р2 +1) ^1 4

Э4

16

(П2 + 4/2 )3

< 0,

Эп2

8 (П2 + 4/2)

< 0.

и

2

Из последних двух соотношений и пределов изменения параметров X, Л2 следует, что

тах(а/Б12 )2 @ (рх/р2 +1)2 й2а2 / 4, тт (а/Б12 )2 @ (рх/р2 +1)2 й2а2 /36 .

Пример 3. Вычислим удельные поверхности для некоторых простых форм частиц. В общем случае имеем:

N N N N

^12 = Е= ПЕ’ 1 - а = Е= (п/6) Е= Р;Ро •

/2, 1 -а=е пл- = (п/б) Ег ^3

г=1 г=1 г=1 г=1

N

1. Сферы различных диаметров. Для сфер 5 = 1, поэтому 512 = пЕп,й2 .

г=1

2. Кубы разных размеров. Имеем: I3 = пй, / 6, 5 = /2 / (пй2) = (п/6)2 3 / п .

N N N

= 6Е = ПЕ = ( п/6 )2/3 Е •

г=1 г=1 г=1

3. Цилиндры с диаметрами и высотами соответственно О,, Н,. Имеем л2и /л___________________________;3 ,г ~ 1, /1 л_;2 '

пО2Н /4 = пй, /6 , 5, = пО,Н, / (4пй2) = -й—, г г г , , , \ ) 6О,

N N N

512 = пЕ = пЕ п,й-/ О, = 6/ро Е ^/О,.

г=1 г=1 г=1

Заключение

Из осредненных уравнений гетерогенной среды (1)-(2) с точностью до главных членов по числу Пуайзеля Ро получены уравнения Дарси в безразмерном виде (19). Из уравнения (21) и выражения (17) для безразмерного числа Пуайзеля Ро следует, что обратная величина коэффициента проницаемости (21) пропорциональна квадрату удельной поверхности пор для интеграла вязких сил трения на поверхности пор (третье слагаемое), для сил, обусловленных градиентом пористости (первое слагаемое), и указанная обратная величина коэффициента проницаемости пропорциональна кубу удельной поверхности пор для второго слагаемого - интеграла сил давления на поверхности пор. Отметим, что в уравнении (21) невозможен предельный переход ц ® 0, т. к. коэффициент проницаемости в виде (21) возможен только тогда, когда размер скорости можно выбрать из уравнения (8), т. е. для вязких жидкостей, когда ц Ф 0. Отметим также, что точное теоретическое определение коэффициентов проницаемости для реальных пористых сред до настоящего времени является нерешенной задачей. Совершенно очевидно, что указанная задача и не будет решена, и не только из-за сложной и разнообразной топологии пор, но и по той причине, что сам линейный закон Дарси является приближенным. Но эти соображения не должны останавливать приближенные теоретические исследования, которые могут быть выполнены на основе точных уравнений (18) для установления параметров, от которых может зависеть коэффициент проницаемости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гольдберг В. М., Скворцов Н. П. Проницаемость и фильтрация в глинах. - М.: Недра, 1986. - 160 с.

2. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. - Т. 1. - М.: Наука, 1987. - 463 с.

Статья поступила в редакцию 4.10.2011, в окончательном варианте - 16.01.2012

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Бушланов Владимир Петрович - Морская государственная академия им. Ф. Ф. Ушакова, Новороссийск; д-р физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник; профессор кафедры «Ремонт судовых машин и механизмов»; [email protected].

Bushlanov Vladimir Petrovich - Admiral F. F. üshakov Maritime State Academy, Novorossiysk; Doctor of Physical-Mathematical Science, Senior Research Worker; Professor of the Department "Maintenance of Marine Engines and Mechanisms"; [email protected].

Сентякова Елена Николаевна - Морская государственная академия им. Ф. Ф. Ушакова, Новороссийск; старший преподаватель кафедры «Ремонт судовых машин и механизмов»; [email protected].

Sentyakova Elena Nickolaevna - Admiral F. F. Ushakov Maritime State Acadimy, Novorossiysk; Senior Lecturer of the Department "Maintenance of Marine Engines and Mechanisms"; [email protected].

Бушланов Иван Владимирович - филиал ООО "Транснефть Финанс", Новороссийск; канд. физ.-мат. наук; главный специалист; [email protected].

Bushlanov Ivan Vladimirovich - Branch of Llc. "Transneft Finans", Novorossiysk; Candidate of Physical-Mathematical Science; Chief Specialist; [email protected].