Теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория вычисления осредненных по межфазиой поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред

В.П. Бушланов, И.В. Бушланов

Отдел структурной макрокинетики ТНЦ СО РАН, Томск, 634055, Россия

Предложена теория определения осредненных по межфазной поверхности параметров, входящих в уравнения механики гетерогенных сред. Получены аналоги формулы Стокса и уравнения, описывающие эволюцию топологических параметров межфазной поверхности. Записано уравнение, являющееся аналогом условия несжимаемости для однофазной сплошной среды. Получены точные выражения для объемной плотности поверхностных сил и объемных плотностей работы и момента импульса поверхностных сил, входящих в уравнения механики гетерогенных сред. Записана замкнутая система уравнений механики гетерогенных сред для случая, когда межфазная поверхность представляет собой свободную поверхность ньютоновской жидкости.

1. Введение

В осредненные уравнения механики гетерогенных сред [1] входят средние характеристики по межфазной поверхности, такие как среднее значение нормальной скорости, компонент тензора скоростей деформаций, поверхностной силы, площади межфазной поверхности в единице объема и другие. Ниже предлагается теория определения указанных параметров на основе полученных аналогов интегральной формулы Стокса для гетерогенной среды, новых уравнений, описывающих эволюцию осредненных топологических параметров межфаз-ной поверхности и сформулированной топологической гипотезы.

2. Топологическая гипотеза

Пусть s(t, x', 0, ф) — функция распределения площади межфазной поверхности в единице объема гетерогенной среды [2], такая что s(t, x', 0, ф) dQ d' V численно равно площади межфазной поверхности в объеме d' V, имеющей углы наклона нормали к межфазной поверхности, равные 0 и ф в телесном угле dQ = sin 0 d0 dф, где

0 — угол между нормалью и ортом e3 декартовой системы координат, а угол ф отсчитывается в плоскости, ортогональной e3, так что компоненты единичной нормали n' к межфазной поверхности равны

n' = {sin 0 cos ф, sin 0 sin ф, cos 0}.

(1)

Рассмотрим осреднение по межфазной поверхности функции у- кх') следующего вида [1]:

= ЖТ К"'*"- (2)

12 ^2

где х' — радиус-вектор точки межфазной поверхности; ^2 — площадь межфазной поверхности в представительном объеме АУ гетерогенной среды, так что ^12 = где s12 — площадь межфазной поверх-

ности в единице объема; штрих указывает на принадлежность к локальным характеристикам однофазной среды; нижний индекс i указывает на принадлежность к г-ой фазе; ( )12 — знак осреднения по межфазной поверхности ^^; верхние индексы относятся к компонентам векторов и тензоров. (Здесь и в дальнейшем терминология и обозначения взяты из [1].) С помощью функции распределения можно записать (2) следующим образом:

' " (3)

dS,

12

| уf | n'ks(t, x', 0, ф) dQ d'S,

Q

© Бушланов В.П., Бушланов И.В., 2002

где ё'^ = я12ё'У и область интегрирования

О = (0 < 0 < п, 0 < ф < 2 п).

Вычисление s(t, х', 0, ф) должно происходить следующим образом: нужно просуммировать площадь межфазной поверхности в представительном объеме АУ, имеющую углы наклона нормалей 0 и ф, расположенные в телесном угле АО, и отнести ее к величине АУёО. Например, указанным способом вычислена функция распределения для упаковки сфер [2]. Смысл сказанного состоит в том, что в интеграле (3) вместо аргумента х' функции s(t, х', 0, ф) можно брать значение х — координаты представительного объема АУ, что будет использовано в дальнейшем при вычислении интегралов (3), и это естественное предположение будем называть топологической гипотезой. Тогда (3) в предположении топологической гипотезы можно записать в виде

К»;к) ,2=* кК) ,2, (4>

V * о, х) =— Г х, 0, ф)ая = и*) . (5)

О ' /12

Имеем из (5), (2)

s12 v = s12

(б)

s12

'd_

dt

МфЛ

(s,2 f )+V k ( v k)f )

[іФГ}12 +(Ф'<S " - n'pn'q У") 12,

уравнения для dn'/dt [2]

J /

-----= n'[n' (n'V') v' ] - (n V') v' - n' x Q' (1О)

dt

и тождество

(n'V')v' = eknpekp - - n' xQ', 2

(11)

где f = (Ф')12; (v) = av i +(1 - a)v j; vk = d— | v'k d' V;

1 dV1

8 pq — символ Кронекера; epq = — (V’pvq +V' qvp) —

компоненты тензора скоростей деформаций; Q' = = rot 'v' — вихрь скорости. Полагая в (9) последовательно Ф = nk и Ф = nlnk, с учетом (10) и (11) получим

1 d

S,2 dt

(s12 v k) + v k div( v) + v

Pєkp -

(12)

-v k є pp + - э kpqv p mq = О,

TV I n'kd'S = Tv I I n'kd'S -I n'k4

dV

dS19+dS,.

dSi

где dSl — поверхность пересечения i-ой фазы поверхностью dS, ограничивающей объем dV. Первый из интегралов (6) равен нулю, что видно, если от поверхностного интеграла по замкнутой поверхности dS12 + dSl, ограничивающей объем г-ой фазы dV-, перейти к объемному по dVl. Второй интеграл вычислим по методу, изложенному в [1], переходя в нем от интегрирования по dSl к интегрированию по dS-поверхности, ограничивающей представительный объем dV. Тогда из (6), (4) получим

-— fank ds = -V k a, (7)

dv J w

S12 v * =-

dS

/w'k 'k\ Vka /w'k\

V' n' /12 =^^\W' /12,

(8)

где Vк = (екУ), ек — орты декартовой системы координат; а = dVi/ dV — объемная доля і-ой фазы.

3. Уравнения, описывающие эволюцию осредненных топологических параметров межфазной поверхности

Запишем уравнения для осредненных топологических параметров межфазной поверхности, используя следующие три уравнения:

для признака Ф(^ х', 0, ф) [2]

—— (s12 vik) + v ikdiv( v)-vik є pp + (13)

s12 dt

где

, 1 / ik , ki\ , 1 / ik , ki\ n

+ -(z + z ) + -(zs + zs ) = О

zik =vipє pk + э1pqv kp rnq,

ik

=

(n'1 (n'pe'pk - n'kn'pn'qe'pq ))

(14)

где э F4 — единичный антисимметричный тензор третьего ранга Леви-Чевиты [З],

_d _д_

dt dt • ■ ' 'i2 (15)

-І + WV, єkp = <e'kp) 12,

roq =(q'q) 12, vik = (nnn'k) 12.

Если просуммировать (13) при г = к и учесть, что Vкк = 1, то получим уравнение для ^12

— ^ + ётуМ -екк + Vкрерк = 0. (16)

s12 dt

Перепишем (12), используя (7) и тождество

(п' XV') х V' = -п'ёгу у'+ екп'ре'рк +—п' хО',

2

тогда получим следующее уравнение

—Va + Vadiv(v) -s12((n'xV') x v')12 = О. (17)

Рис. 1. Схематическое изображение вспомогательных поверхностей dSk и dSk+1, расположенных над поверхностью ограничивающей представительный объем АV; Ат — расстояние между поверхностями вдоль нормали тк к поверхности dSk. Контуры dL12k показаны точками пересечения плоскости рисунка с границей dLuk, т к — единичный касательный вектор к линии пересечения поверхности порошинки и плоскостей, проходящих параллельно е3 через точку х ' поверхности dS12

4. Аналоги интегральной формулы Стокса

Получим методом дополнительного пространственного осреднения [4] аналоги следующих известных формул [3]

Г п rotF(х)ё? = Г F(х)ё1,

5 Ь

Г (п XV) х Р (х)^ = -<Г Р (х) х ё1, (18)

5 Ь

Г п х VФ (х)ёл = ^Ф( х)ё1,

5 Ь

где 5—замкнутая поверхность, ограниченная контуром Ь; п — единичная внешняя нормаль к 5; 1 — единичный вектор, касательный к Ь, направленный в сторону положительного обхода контура Ь. Первая формула из (18) известна как формула Стокса. Пусть в представительном объеме &У, ограниченном поверхностью содер-

жится межфазная поверхность dS12. В дальнейшем будем называть для определенности межфазной поверх-

ностью поверхность порошка некоторого материала, упакованного в А У, что не ограничивает общности рассуждений. Поверхностью (15 отсекаются объемы порошинок, не принадлежащие объему !У. Отсекание происходит по поверхности dSi е dS, ограниченной контуром SL12 (рис. 1). Выберем в (18) в качестве 5 поверхность dS12, тогда в качестве Ь будет выступать контур dL12. Интегралы по контуру dL12 для замкнутых поверхностей равны нулю, поэтому из (18) имеем, учитывая обозначение (2) (штрихи у локальных параметров будем опускать):

(и гоФ) 12s12dV = £Fdl,

^12

((и XV) х Р12 s12dV = - £ Р х Ш,

(19)

(и хVФ) 12 s12dV = ^Фгїі.

^12

Далее проведем дополнительное пространственное осреднение (ДПО) уравнений (19) и будем указанное действие называть методом ДПО. Для этого наряду с объемом dV рассмотрим объемы бУк, ограниченные поверхностями . Каждый объем &Ук+1 содержит &¥к, а поверхность +1 удалена от на расстояние

Ат вдоль единичной нормали т к к поверхности dSк. Используем тот факт, что

1 к = т к х и> Ат =-(т кт к)Атк >

где Атк — расстояние на поверхности dS12 вдоль вектора т к. Составим, используя (19), следующие суммы:

А ==Ат X Й>**12 к{и гОФ>

Т к=0

12 к

1 N-1 г

- X ]Р(и х т к)ткт кdlАTk,

N-1

■X

к=°<^2к

Ат^1

В =-у X ^12к((и хV) х р 12к =

(20)

к=0

1 N-1 с

= Т X }Р х (и х т к )(т кт к )(11Атк,

С-АГX<^,2к<ихТО>,,к -

12к N-1

к=0

= Г 2 !ф(п х Т к )(ткт к )ё/Ахк ’

Г к=°ёЬ12

где N = к/Ат; &У0 = &У; dS0 = dS; т0 = т — единичная нормаль к !£. Так как т к ± 1 к, т к лежит в одной плоскости с векторами п и т к, из этого следует, что

m k = (m k т k) т k + (m kn)n.

Умножив векторно (21) на n, получим

(тk x n)(mkтk) = mk xn.

Подставляя (22) в (20), будем иметь

N-1

(21)

(22)

A=

N-1

Т Е Imk (F x n)d/ATk >

k=0dL12 N -1

1 N C

B=т Е IF x(nxmk)dATk

(23)

k=0dL1-N -1

C=

- Е |фnxmkd/ATk.

k=0dL1-

В правых частях (23) идет суммирование интегралов по контурам ёЬ12к, лежащим на межфазной поверхности, содержащейся в объемном слое толщиной к над поверхностью (15. Проведем указанное суммирование следующим образом. Разобьем поверхность й5 на малые участки й'5, над которыми лежат объемы й' V = кй' 5. Используя обозначение (2) и тот факт, что ё1Атк — элемент площади межфазной поверхности, получим из (23)

A=

| S12 m(F x n) 12dS + §1,

dS

I F x (n x m))12dS + 6 2 ^

dS

C = |(Фп x m) 12 s12dS + б3,

B

(24)

dS

где

1N-1 r

§1 = h Е I (mk - m)(F x n)d/ATk ^

k=0 dL12k N -1

62 = h Е IF x[(mk - m) xn]d/ATk ^

(25)

k=0 dL12k

N-1

б3 = h Е |Ф n x (mk - m)d/ATk. hk

Обозначим

N-1

Д = max|mk - m|, D = I J d/dxk = h J s12dS,

k k=0dii2k dS

тогда из (25)

|8,| < Д max|n x F|D,

|S2| < Д max|FD, (26)

|83| < Д max|Ф|D.

Учитывая малость h, разложим mk в ряд, сохраняя

члены до h2:

mk = m + kAm(mV)m + O(h ).

(27)

Из (27), (26) видно, что при И ^ 0: А ^ 0, 81 ^ 0, |§2 ^ 0, |8з| ^ 0. Вычислим левые части (19). Для

этого рассмотрим для некоторой интегрируемой функции у(х) следующую сумму:

N-1

-ЕdVkS12^^12k —mN |wdS + §, (28)

k=0

dS

где

N-1

(29)

k=0 dS12k -dS12

Здесь dS12k - dS12 — межфазная поверхность, заключенная в слое между dSk и dS0. Имеем из (29)

Am

§ = Am x x

h

N-1

(30)

^ (N - k) |М12 S12dS < J mkax |(v) 12 s12dS.

k=0

dSk

dSk

При h ^ 0 из (2S) и (30) получим

N-1

Дт I dVW kMi2 k = %Wl2dV- (31)

h k=0

Переходя к пределу при h ^ 0, из (20), (24) и (31) получим следующие формулы

| su( n rot F) 12dV = - J ms^ n x F) 12dS,

dV

dS

Is!2<(nxV)xF 12dV = -|^((mxn)xF) 12dS, (32)

V dS

Isu( n xV<£) 12dV = -| m x^n) 12dS.

lXVф 12ёУ = ~Г тх^

ёУ

Перейдем в правых частях (32) от поверхностных интегралов к объемным и, учитывая произвольность объема АУ, получим следующие аналоги формулы Стокса для гетерогенной среды (возвращая штрихи локальным параметрам):

s1^n' го1^')12 = -ёгу(%(п' х Р')12), (33)

д_

дхк ' '/12'

■%(« х^ф')12 (35)

%((п' xV') x F' )12 = — (s^F' x (ek x n'))12), (34)

Замечание. Когда Ф(х), F(x) определены не только на межфазной поверхности, но и во всем объеме dV, занимаемом i-ой фазой, можно получить (33)—(35), не используя метод ДПО. Действительно, для получения, например (35), используем из [1] соотношение

a ^ V'k Ф ^ =V k (аг(ф')г) + ^(n'V^, (36)

тогда, учитывая (2), (19), получим:

0 = — J rotV^'dV = — Jn' xV^'dS' =

dV dV

dV dVi dS12+dSi

= ■%(“ xV^')12 + rot(s12( “Ф')12).

5. Вычисление осредненных по межфазной поверхности параметров

Вычислим 2 = ^' ^ для случая, когда фазы несжимаемые. Для этого запишем из [1] уравнения неразрывности и уравнение для объемной доли а соответственно в виде

da . Л

— + div(av') = 0, dt

Э(1 - a)

dt

+ div((1 -a)v) = 0,

(37)

da

dt

= ■%( n'v')

12

Перепишем далее (17) с учетом (7), (34), топологической гипотезы и (37) в виде

dVa

~dt~'

-(( v)V)Va + Vadiv( v) =

= dkS12(ek(nV^12 -vftk ) = , da

(38)

= V—+(^^а+Vаdiv 2 dt

^а „Эа

Из (38), так как--= V—, получим

дt дt

(( V)-2, V)Va +Va(diу( V) - ёгу 2) = 0. (39)

Исключая в (37) , получим с учетом топологи-

dt

ческой гипотезы следующие уравнения:

((V)-2^а + а2&у Vг -(1 -а)2ёгу V^ = 0,

&у( V) = 0. (40)

Подставляя diу( ^ из (40) в (39) и записывая полученную систему уравнений в покомпонентном виде в декартовой системе координат, придем к следующей системе уравнений:

- (2-(v))Vln ak = divft, k = 1,2,3, ak = (ekV)a.

Решение (41) имеет вид [3]

ft-( v) = -—divft,

B

где

P = Vb1 xVb2 + Vb2 xVb3 + Vb3 xVb1, B = (Vb1, Vb2, Vb3), bk = ln ak.

(41)

(42)

(43)

Умножая (42) скалярно на Va и подставляя в (40), получим

- а2йіу Vі + (1 - а)2 йіу V j = ^а йіу в. (44)

1 В

Подставляя из (44) йіу в в (42), найдем искомую в в виде

2= + Р 0,

Р 2 2 (45)

Р0 =т^[а diу Vг- -(1 -а) Яу V]]. рУа *

Отметим, что из (43) простым вычислением получается, что

div Р = 0, (46)

В = РЧ Ьк = 3 р¥(Ь1 + Ь2 + Ь3) = р¥ 1п(а1а 2а3)1/3.

Из (42) с учетом (46) имеем

div ft = -p V

divft B

Из (46) и (47) получим (a1a 2a3)13 (pV)ln (a a a )

div ft

= 0.

(47)

(48)

Выражение (48) является аналогом условия несжимаемости в механике гетерогенных сред.

Вычислим ерч = (в'рч) . Для этого в (35) возьмем

Ф = v k, тогда с учетом топологической гипотезы полу-

Vax| (V'v'K^ -VftK |= 0.

Из (49) следует, что

^V'v kSjl2 = Vftk + TkVa,

(49)

(50)

где T — произвольный вектор. Bыpазим T через ю = (O' ^ Имеем из (50)

(V'pvk) 12 -(VVp)

= Vp ftk -Vkftp + Tkap - TPak.

12

(51)

Уравнение (51) в векторном виде имеет вид

(р.'} = ю = rot ft+Vax T. (52)

Из условия несжимаемости (e'kk^ = еkk = 0 и из

(50) легко получить, что TVa = -div ft.

(53)

Решение уравнений (52), (53) относительно Т имеет вид [3]

Т = --^ Л 0+Уах (Г0«2 - ю). (54)

(Vа)2 (V а)2

Далее из (50) следует, что

ерк = р2к +¥ к2р) + 1(Тк ар + Трак). (55)

Уравнение (55) является зависимостью ерч от неизвестного ю, где Т выражается из (54), 2 из (45), а div 2 из (47). Отметим, что для ю из (52) следует, что

юVa = Vа го12. (56)

При получении уравнений для ерч, ю, Т подразумевалось, что они относятся к 1-ой фазе, и поэтому нижний индекс г опускался. Для получения аналогичных величин дляу-ой фазы необходимо индекс г заменить на] и учесть, что а ^ = 1 - аг-, аг- = а.

6. Применение теории для получения замкнутой системы уравнений для осредненных параметров в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью несжимаемой ньютоновской жидкости

Пусть межфазная поверхность является свободной поверхностью несжимаемой ньютоновской жидкости и на границе свободной поверхности газ - жидкость отсутствуют касательные напряжения, а нормальное напряжение равно сумме давления в газе и лапласовского давления. Поэтому на межфазной поверхности имеем

п 9 а'19 = -Р^п 1 -Хп 1 div' п', г = 1, 2, 3, (57)

где Рд — давление газа на межфазной поверхности; Х — коэффициент поверхностного натяжения;

л- ' ' 1 1

div п = —- +—- — средняя кривизна поверхности, а

А ^

R1 и R2 — главные радиусы кривизн поверхности. Так как для несжимаемой ньютоновской жидкости агч = -рЪгч + 2ц.в щ, где Р — давление, ц — коэффициент динамической вязкости, то из (57) получим

2^n'Viq = (P - P'-Xdiv' n>''

(58)

Интегрируя (58) по dS12 с учетом топологической гипотезы и обозначений (2), (15), имеем

2^12 V 9е19 = (п-пн )^12 V1 -Х^ п1 diу' п' ^12 ^12, (59)

где П = (Р)12, Пн = {Рн\2-

Используя тождество

п1 diу' п' = п'го! (е1 х п'), из (33) получим, что

Ч2(пП diу' п' )12 = -V ^ + V 9 (^12 V19). (60)

Подставляя (60) в (59), учитывая (7) и обозначение (41), получим

2ца9е19 = (П-Пн )а1 + Х [-V1s12 +V 9 (^12 V1'9)]. (61)

Умножим (61) на аг и просуммируем по 1, тогда будем иметь

(п-пн ^а)2 = 2ца1 а9 е19 + (62)

+ Х [(VaV)s12 +а1V 9 (я12 V1'9)]. Исключая из (61) п-пн, получим 2ца9(а]е19 -а1 е]9) = (63)

= Х[аiV]э12 -а]Vis12 +а]V9(я12V19)-а^9(^12Vм)].

Уравнения (63) являются двумя линейно независимыми уравнениями, которые ниже используются для нахождения егч.

Обозначим

1

е

0q = -(v k +v q ftk), £ о={ek1, е k2, ek3},

ю0 = rot ft, vk = {vk1, vk2, Vk3) Используя тождества

V' v k = e ?ekq + - ek x P,

2

Vftk = e9ek? + -ek x ю

(64)

(65)

0,

запишем (50), (52) в следующем виде: ю - ю 0 =Vaх Т,

£ к = + -2(ак Т + Т^а). (66)

Уравнения (63) с учетом (64), (66) примут вид

С^а)2(а Т - а 1Т]) = -(а ] Г1 - а1Г]), (67)

где

Г1 = 2ц£i0Va + 2[V1s12 -V(s12V1)]. (68)

Заметим, что (67) в векторном виде имеет вид ^а)2 Vaх Т = -¥ах Г,

поэтому решением (67), (53) относительно Т является [3]

Vax (Vax Г) Va ft

T =-------^—4—^------ div ft.

(Va)4 (Va)2

(69)

Из (57) имеем, что zls = 0, поэтому, подставляя в (13) еkq и ю из (66), где T из (69), div ft из (47), получим систему уравнений для определения vlk. Отметим, что из (45)

ю0 = P + rot Р 0,

где

е kq = ekq + е kq (70)

ь0 ~e г ьв ,

P = rot(v), ekq = 2(Vkvq + Vqvk),

e^q = -(v qe0+v k eq).

7. Вычисление объемной плотности лапласовских сил, объемных плотностей работы и момента количества движения лапласовских сил

Указанные величины входят в систему осредненных уравнений механики гетерогенных сред [1] в следующем виде:

^ Х = ^Х) Ьк), (71)

где круглые скобки здесь и далее обозначают отсутствие суммирования по повторяющимся индексам;

Ve=Et', Ет'v', Ex' x т', (72)

где т' = n' x l', x' и v' — координаты и скорости на меж-фазной поверхности;

/1i{Vi) 12 = dV J^Ed'/>

(73)

dL,.

где йЬ[2 — многосвязная линейная граница, являющаяся пересечением dS12 и dS. Вычисление (71) проведем методом ДПО, подробно изложенным выше. Имеем с учетом (21) из (72), (73)

— J [m - n' (m n' )]d'S h J

dS—

, (74)

где dS12 — межфазная поверхность в слое толщиной И над поверхностью АSk — частью поверхности Так

как

| [т - п'(т п')]dS = (75)

<2

= [т^12 -егтч(п'гп'ч^1 s12]hАSk,

12

поэтому из (74), (75), переходя от интеграла по поверхности dS к интегралу по объему dУ, получим

_х_

ёУ

Е г

l—2 (Ет')^ = TV J (m?—2 - mqV'qS—2 )dS :

dS

= E [Vs—2 - e' —(s—2Viq)].

dxq

(76)

Выражение (76) является объемной плотностью лапла-совских сил [4]. Аналогично (76) вычисляются и другие величины из (72), а именно:

•Л

/1^ЕтУ)ЬХ =Х[ё1у(^12«)- — (*12 V Р92р)], (77)

l12 (Ex'x t')le =

(78)

-E[rot%(x')—2 + e‘э™ A(s—2Vql(x'p)—2)],

_Э_

Эх1 “ ' /12'

где /12(Хту' ) — работа поверхностных сил в единице

объема гетерогенной среды, а /12(Хх' х т') — объем-

ная плотность момента импульса поверхностных сил.

Вычислим (х'^ . Для этого учтем, что

V РИ,2 = (п'Рх"),2 = <79>

dS,

1

s12

12

Jn px qdS - J anpxqdS

dS, 2+dS.

dS

8pq -

3(axq) dxp

Для p = q из (7), (79) имеем

И12

1

a

( P)

[1 -

dax(p). dx(p)

(80)

8. Выводы

Предложена теория вычисления осредненных параметров по межфазной поверхности, входящих в уравнения механики гетерогенных сред [1] в виде (4), (5). Получены аналоги формулы Стокса (33)—(35) и уравнения для осредненных топологических характеристик межфазной поверхности (12), (13).

Величины ^,к^ = 2, екр, ю, , входящие в (12),

(13), определяются соответственно из уравнений (45), (55), (52), (7). Записано уравнение (48), являющееся аналогом уравнения неразрывности. Методом дополнительного пространственного осреднения получены точные выражения (76)-(78) для объемной плотности лап-ласовских сил и объемных плотностей работы и момента импульса лапласовских сил, входящие в осреднен-ные уравнения [1]. Получена замкнутая система уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда меж-фазная поверхность является свободной поверхностью ньютоновской жидкости, на которой отсутствуют касательные напряжения, а нормальное напряжение равно сумме лапласовского давления и давления газа. В указанном случае вектор Т, через который выражаются екр и ю, находится из (69), а давление п — из (62).

Литература

1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. - М.: Наука,

1978. - 336 с.

2. Бушланов В.П. О функции распределения площади межфазной поверхности в зависимости от углов наклона ее нормалей // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2000. - № 10. - С. 88-91.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1984. -832 с.

4. Бушланов В.П. Осредненные выражения для вектора объемной плотности капиллярной силы в спекаемой порошковой смеси // ПМТФ. - 2000. - Т. 41. - № 4. - С. 165-167.