CC BY
18
Метод вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз в пространственно осредненных уравнениях механики гетерогенной среды двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей
В.П. Бушланов, И.В. Бушланов
Отдел структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН, Томск, 634055, Россия Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия
Получена система уравнений для параметров фаз, осредненных по межфазной поверхности, разделяющей две фазы несжимаемых несмешивающихся ньютоновских жидкостей. Уравнения для осредненных по межфазной поверхности скоростей, давлений, компонент тензора скоростей деформаций, лапласовских сил, тензора переноса импульса, тензора удельной поверхности записаны методом моментов из уравнения для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей [1]. На межфазной поверхности использованы условия равенства локальных скоростей, касательных напряжений и равенства разности нормальных напряжений фаз лапласовскому давлению. Получены уравнения сохранения массы и количества движения гетерогенной смеси.
Method for calculation of interphase-surface averaged parameters in the space-averaged equations of heterogeneous medium mechanics of two immiscible incompressible fluids
V.P. Bushlanov and I.V. Bushlanov
A set of equations for phase parameters averaged over interphase surface between two immiscible incompressible newtonian fluids is derived. Equations for phase-surface averaged velocities, pressure, strain rate tensor components, the Laplacian forces, pulse transfer tensor, and specific surface tensor are obtained using a method of moments for an equation of distribution function of phase surface area depending on the slope angle of the normals to the interphase surface [1]. On the interphase surface we use the conditions of equality for local velocities and tangential stresses and equality of difference of normal stresses to the Laplacian pressure. The equations of mass and momentum conservation of a heterogeneous mixture are derived.
1. Введение
Рассмотрим вопрос получения системы осредненных уравнений механики гетерогенных сред из общей системы уравнений, записанной в [2], для случая, когда межфазная поверхность разделяет две несмешивающиеся несжимаемые ньютоновские жидкости. Указанная система уравнений описывает, например, процесс слияния в невесомости упаковки капель несжимаемой жидкости, окруженной другой несжимаемой жидкостью, и будет использована в дальнейшем для решения задачи отделения органической жидкости, находящейся в воде, в начальный момент в виде упаковки капель. Интегралы по межфазной поверхности, входящие в уравнения механики гетерогенных сред [2], будем вычислять на основе теории, изложенной в [3], использующей уравнение для функции распределения удельной межфазной поверхности, зависящей от углов наклона нормалей к поверхности. Все предположения относительно величин, входящих в уравнения механики гетерогенных сред, и их обозначения подробно описаны в [2] и будут
здесь применяться. При выводе системы уравнений не будут использованы методы, требующие, например, построения ячеистой модели среды. Будут точно учтены лапласовс-кие силы на границе фаз на основе полученных в [3] точных выражений для объемной плотности лапласовских сил. Отметим, что даже задача о спекании двух капель ньютоновской жидкости [4] не решается в точной постановке, а ее численное решение на основе уравнений Навье-Сток-са, например [5], связано с трудной задачей точной аппроксимации граничных условий на межфазной поверхности. Задача о слиянии упаковки капель, состоящей первоначально из множества капель, представляется не поддающейся точному описанию, тем более решению. Поэтому полученная в данной работе система уравнений, точно описывающая процесс слияния множества капель, несмотря на громоздкость формально-математических выкладок, заслуживает внимания. Практическая потребность в уравнениях, описывающих подобные процессы настолько велика, что существуют попытки моделирования путем детальных
в Бушланов В.П., Бушланов И.В., 2004
численных расчетов слияния сотен капель на мощных ЭВМ [6], правда, при этом силовое взаимодействие в контактах капель рассчитывается приближенно.
2. Граничные условия на границе несжимаемых фаз
На границе раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей имеем следующие уравнения:
V/ = V', +оЩ + 20п'кШуи' = 0, (1)
где нижние индексы , и ] обозначают фазы, верхние индексы, здесь и в дальнейшем, относятся к компонентам векторов и тензоров; V', V' — скорости фаз; о'и, а'и — тензоры напряжений; п'1, п' — компоненты единичных внешних нормалей, а п' = п'. Штрихи у параметров, как и в [2], относятся к локальным характеристикам фаз. В случае несжимаемых фаз для тензора напряжений имеем следующее соотношение:
1
о'«=-р §и+2цге;и, е-» = 2(?'ку;1+чпу;к),
Vк = (ек V'), (2)
где р' — давление; ц, — коэффициент динамической вязкости. Перепишем второе уравнение из (1), используя (2) и аналогичное ему уравнение для индекса1, в следующем виде:
/ ' . ' \ к , ^.. к П , л,, /к1 П ,
(-р + р ! К + 2ц,е п + 2ц ,е ! п +
+ 20п'к Шу'п' = 0.
(3)
3. Осреднение граничных условий по межфазной поверхности
Пусть Ф(/, х') — некоторая функция, определенная на межфазной поверхности. Введем, как и в [2], осреднение по межфазной поверхности:
х')}„ = х',
12 8«2
(4)
где 8512 — межфазная поверхность в представительном объеме ; д£12 — площадь межфазной поверхности в объеме . Осредняя (1), (3) по межфазной поверхности в предположении топологической гипотезы [3], получим следующие уравнения:
• = ( V >12 = ( V') 1
(п, -п,)Va,- -(2ц,-ек1 а, -2ц.ек'а1,)ек +2 = 0, (5)
где
п, =< Р' >12. П, =< Р' >12. %(п') 12 = ^а,> (6)
s12 =——, а; = ^а
' ^а,, ек1 = (е'^,
2 к
= 20 ^ п' к &у'^
(7)
Умножим (3) на п'т и полученное уравнение осредним по межфазной поверхности, тогда
(-п, +п,)укт + 2ц,ек1 V1" - 2ц,ек1 V1" +
+ Х^пГп'к АУп') 12 = 0, (8)
где Vкт п'тп'к} 12. Умножим второе уравнение из (5) век-торно на величину Va,, тогда получим:
Va, х(-ц,Е, -ц,Е! +22) = 0, (9)
где Е, = ек1 а1 ек. Вычтем из (8) такое же уравнение, но с транспонированными индексами, тогда
(ц,е,-ц у£у) XV1 = 0, (10)
где е, = (е,1, е,2, е,3}, v1 = {V11, V2, V1'}. Умножим (5) ска-лярно на величину Va,, тогда получим:
(пг- -л,)(Уаг-)2 -2(цгЕ г + цЕ]^аг- + ЕУаг- = 0. (11)
Уравнения (5), (8), (9), (10), (11) будут в дальнейшем использованы для получения замкнутой системы уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых фаз.
4. Уравнения для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых фаз
1. Вычисление еРч, = £
Вектор £ имеет вид [3]:
£ =2о№2 + е рУк ^кр)]. (12)
Вычислим ер4, ерд. Из теории [3] имеем:
(V у;к} = ^к + Тк Va,,
/V'У'к) = ^к + ТкVа ,
\ 1 /12 11
(13)
где Т,, Т, — пока неизвестные вектора. Из (13), учитывая (7) получим:
ер» =е« + !(Г/а р + Гкра »),
Юк
= (го^к)12 = гоЛ + Уак хТк.
(14)
ер» = - (V р-&? р).
где к = ,,Далее осредним условия несжимаемости фаз по межфазной поверхности, после чего получим:
(АуХ ) = ерр = 0, к =,, 1. (15)
Подставляя (14) в (15), получим следующие уравнения:
Т^ак = -фув, к = I, ]. (16)
Из (9), (14), (16) получим
Ек = [Еск --(йу©)^ ] + ^ак У Тк,
Е"к =е"»а|, к =,, 1, (17)
XVа, = -(ц,-цу)й1у«, где X = цТ, + ^^1. (18)
Найдем X. Подставляя (17) в (9), получим:
X хУа, = )Уа, хГ, (19)
где Гр = 2ер9У9а, -Xр/(|, /). Решение системы уравнений (18), (19) имеет вид [4]: X = |,Т, +| j Tj =
= I)
Уа, х(Уа, хГ) Уа,
(Уа, )4 (Уа,- )2
(20)
Уравнения (20) недостаточно, чтобы определить Т,, Т/. Недостающие уравнения найдем, используя аналоги формул Стокса для гетерогенной среды [3]. Положим в формуле Стокса признак Ф' = п/ (V'к - /) и, учитывая (1) и топологическую гипотезу, получим:
(Тк + тк )(Ур1 ер хУа,) = 0. (21)
Уравнение (21) может выполняться в двух случаях, из которых выберем наиболее общий случай, когда первая круглая скобка равна нулю: Тк + Тк = 0, тогда из (20), (14), (22):
= Уа, х (Уа, хА) - Уа, dlv^
(Уа, )4 (Уа, )2
еГ = е, ®, = ю /
(22)
4.2. Уравнения для топологических характеристик межфазной поверхности
Используя теорию [3], получим уравнения для определения в случае несжимаемых фаз. Вычтем из уравнения (3) его проекцию на нормаль, а затем полученное умножим на компоненту нормали п'т и осредним полученное уравнение по межфазной поверхности, тогда получим:
(23)
^тк атк=0,
где гт =(п' (е'ип'1 -е91п'п9пк)) Запишем уравнение для признака Ф' = п'тп'к в [2] для ,-фазы, умноженное на коэффициент ||, и вычтем его из аналогичного уравнения для индекса/, учитывая (22) и (23), тогда:
Vтк ) , „тк,
дt
- + dlv(s12v тк,) +
+2 s12[v1p ерк + V рк ер1 + (э1р9 vkp + экр9^1р )ю9 ] = 0, (24)
где экр9 — тензор Леви-Чевиты [7] и /. Так как Vкк = 1, то, суммируя (24) при т = к, приходим к следующему уравнению для функции удельной поверхности '12:
■ + div( + '12[укрерк + экр9у крю9 ] = 0.
(25)
4.3. Уравнения для величин ,, п,, п/
Используя уравнение для признака [3] видов Ф' = = у, (t, х'), Ф' = у, (t, х')п™пк и граничные условия на межфазной поверхности, можно получить следующую
систему уравнений в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых фаз:
V,
(Уа -1, д(Уа,)2
(Уа;) Эt 2 '12 Эt
1
У,')12[(Уа,)2У*.
-2%У(Уа,)2] + %урч(Vр9 -Vра,У9а,) = 0, (26)
V, =
( ,т ^
Vя' У
V, =
( V' т \
(уГе?4) 1: (р' е'
, /12
-{Vк9 {Е^9 -у,ет9) -1vmq (Е^ -у,ек9) --VткVр9(Ер -у,ер9)-э1т9 +Vm9э1к9)0
(27)
(28)
( >12 -^у,)^,
(Е'р9 - аратЕ'т9) + -10.*1 (э1р9 - аратэ1т9) +
+ (Е9р - аратЕ9т') + 2О91 (э1р' - аратэ1т) -- (У 9W¡S9 - аратУ 9 ) = 0,
а = Уа,Д/(Уа7, = ^
о 91 = (V9 О'1) 12, (30)
(29)
еГ = ^ (,ру;9) 12 + (ГгУ'%'р) 12 )= 12,
Е *99 = 0, ^ = 1,2,3,
(Ет1 + !э5т1 ор)Ура, -2(|, /)Етр, +
(31)
+Х
(ет1 + -2этю^ )У9^р9 - Ат1*р9У9а,
= 0, (32)
где
Ет =((р' -р' УГ1) 12, °^(р' -р' }°Г) 12.
Ее={е'Р9е'Г1) 12, А1 =УТ/ -Уа,/(Уа,)2 ((Уа,У)Т/ р(У1 ,р + Т^У1 а,)), Е99 = 0, (33)
[ер хУа,, У(Етр1 + -^э^р1 0т9)] =
-У'а,(э«Ерт -1&т*(ю'9е'91)2 +
-1 §ь/щ'ре'рт\ + 1эрт1/ю''ю'р\ ), 2 \ /12 4 \ • • /127'
Етт = 0
, (щре?9)^
= 0.
(34)
Таким образом, получены уравнения, которые являются системой уравнений для определения осредненных по межфазной поверхности параметров скорости в и давлений п,, п 1. Кроме этого, нужно добавить уравнения (28) для признака у' = е' тк.
5. Уравнения сохранения количества движения для случая несжимаемых фаз
Подставляя в уравнение сохранения количества движения из [2] выражение для тензора напряжений (2) и используя топологическую гипотезу и уравнение сохранения массы из [2], получим следующее уравнение сохранения количества движения ,-фазы:
р0 ^в к + (арп, - 2ц,акерк)ер,
Пк =af -p°a¡Wnt +(Щ'Р], = (-f,Sfk + 2^е?+ »,[Vk -flf)af +
+ y(Vf -ef К]•
(35)
(36)
6. Уравнения сохранения массы и импульса для гетерогенной среды состоящей из ^ и ./-фаз
Введем плотность и скорость гетерогенной среды по формулам:
Р = P0a¡ + Р0aj > V =
p0a, V, +p0 a j Vj Р
(37)
Складывая уравнение сохранения массы для ,-фазы с аналогичным уравнением для у'-фазы, получим следующее уравнение сохранения массы гетерогенной среды:
■дР+ div(pV) = 0.
(38)
Уравнение импульса получим, суммируя уравнения (35) для ,- и 1-фаз. С учетом (5), (38) получим
д(РУ) =v к п к
-VU , dt
где Пкр = Пк +Пкр +Е0j12(Sкр - vкр)
(39)
7. Выводы
На основе теории [3] записаны уравнения механики гетерогенных сред для случая, когда межфазная поверхность разделяет две несмешивающиеся несжимаемые ньютоновские жидкости. Получены уравнения для осреднен-ных по межфазной поверхности параметров скорости в,
и давления п, в виде (26); тензора скоростей деформаций ер» и угловой скорости ю, в виде (14), (22), компонент тензора удельной поверхности spч и удельной поверхности в виде (30), (31); вспомогательных величин
^р'^)12, (рур'у;1)и, {е'рче'т1)и,
в виде уравнений (32), (34) и аналогичных уравнений для j-фазы. Указанные уравнения необходимы для получения замкнутой системы уравнений механики гетерогенных сред и являются способом вычисления, не использующим дополнительных допущений при определении неизвестных интегралов по межфазной поверхности в уравнениях механики гетерогенных сред [2], для случая когда гетерогенная смесь состоит из двух несжимаемых ньютоновских жидкостей. Уравнения (30) для средних топологических характеристик межфазной поверхности v fq, через которые записывается тензор удельной поверхности в виде sfq = 1/2(Sfq -vfq), позволяют точным образом определить удельную поверхность, объемные плотности лапла-совских сил в гетерогенной среде, а также объемные плотности мощности и момента импульса лапласовских сил гетерогенной среды [3]. Для каждой фазы получены уравнения сохранения массы, импульса, а также уравнения сохранения массы и импульса для гетерогенной среды. Получено выражение для тензора полных напряжений гетерогенной среды (39), которое является полезным для задания граничных условий в напряжениях на границе раздела гетерогенной и однофазной сред.
Литература
1. Бушланов В.П. О функции распределения площади межфазной поверхности в зависимости от углов наклона ее нормалей // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2000. - № 10. - С. 88-91.
2. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. - М.: Наука,
1978. - 336 с.
3. Бушланов В.П., Бушланов И.В. Теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - №° 2. - С. 57-63.
4. Френкель .Я. Вязкое течение в кристаллических телах // ЖЭТФ. -Т. 16. - Вып. 1. - С. 29-38.
5. Hua Zhou, Derby J.J. Three-dimensional finite-element analysis of viscous sintering // J. Am. Ceram. Soc. - 1998. - V. 81. - No. 3. -P. 533-540.
6. Jagota A., Dawson P.R. Micromechanical modeling of powder compacts. 2. Truss formulation of discrete packings // Acta Metal. - 1988. -V. 36. - No. 9. - P. 2563-2573.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1984. -832 с.
