CC BY
13УДК 519.64:519.65 http://doi.org/10.5281/zenodo.2539533
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВРЕМЕНИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ПРИБОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА
©Шувалова Л. Е., Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, [email protected] ©Зотин А. В., Казанский национальный исследовательский технологический университет,
г. Нижнекамск, Россия, [email protected]
©Сысолятина А. И., Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, [email protected]
©Крутикова А. А., Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, [email protected]
SOLUTION OF THE PROBLEM ON THE TIME DISTRIBUTION OF THE UNRELIABLE OPERATION OF THE DEVICES USING THE MATHEMATICAL PACKAGE
©Shuvalova L., Kazan National Research Technological University, Nizhnekamsk, Russia,
[email protected] ©Zotin A., Kazan National Research Technological University, Nizhnekamsk, Russia,
[email protected] ©Sysolyatina A., Kazan National Research Technological University, Nizhnekamsk, Russia,
[email protected] ©Krutikova A., Kazan National Research Technological University, Nizhnekamsk, Russia,
Аннотация. Рассмотрен метод вычисления функции распределения времени бесперебойной работы аппаратуры на производстве с учетом восстановления их функционирования. Задача сведена к решению интегрального уравнения Вольтерры II рода с численной реализацией в математическом пакете MathCad.
Abstract. The method of calculating the distribution function of the uninterrupted operation time of the equipment in production, taking into account the restoration of their functioning, is considered. The problem is reduced to solving a Volterra integral equation of the second kind with a numerical implementation in the mathematical package MathCad.
Ключевые слова: интегральное уравнение Вольтерры II рода, метод механических квадратур, математический пакет.
Keywords: Volterra integral equation of type II, mechanical quadrature method, math package.
В статье рассматривается задача о нахождении функции распределения времени бесперебойной работы аппаратуры с учетом восстановления их функционирования. Как известно [1], данная проблема сводится к решению интегрального уравнения Вольтерры II рода.
^p(t) - /'{(q - w)e-A(t-s) + we-^(t-s) + e-^°(t-s)b sin(^0) (t - (1)
5 ) -ЦСОЗ(^о) (г -5)]}
^р(т)йт = Хе-Х,
где ур(£) — функция распределения времени безотказной работы прибора с учетом восстановления работоспособности с помощью ремонта; t — время работы прибора до отказа; s — время восстановления работоспособности прибора; X — интенсивность отказов (число известно из опытов).
Теория интегральных уравнений Вольтерры II рода хорошо разработана [2]. Известно, что точное аналитическое решение для подобных задач можно найти лишь в редких случаях. Поэтому применим метод механических квадратур (м. м. к.) для решения интегральных уравнений.
Рассмотрим вычислительную схему м.м.к. для уравнения (1):
- [ К(г,т)гр(т)(1т = ¡(г)
Используем квадратурную формулу трапеций:
й^Шт «Т}=оА№)'
где Л1=Лп=Ы2; А2=Аз=.. =Лп-1=Ъ ^(]-1);]=1,2,...п; Ь=0,1
Получаем систему линейных алгебраических уравнений:
Vi-^ A)Ki,)^i =fi> i = l,n, j=i
здесь приняты следующие обозначения:
Kij = K(ti,tj)= (q - w)e-Ä(ti-tJ^ + we-ßl(ti-tJ) + e-ßo(ti-ti\v sin(xp0) (tt - tj)
(2)
/1=/(^)=Ае-Х^.
Кроме того известны величины:
_ 1(дгр0-р(х-р0)) М _ Х(д(Х+р0)+Ргр0)
q (Х+р0)2+гр02 ; (Х+Р1); (Х-р0)2+гр02 .
Задачу рассматриваем с исходными данными:
Х=0,5; Ро=0,4054; Р1=0,5568; уо=0,8523; Q=-0,3283; Р=-0,7242; М=0,7244.
Система (2) может быть сведена к виду: 1-1
- ^ А;Кц-ф; + (1- А&М; = & I = П 1=1
Отсюда получаем приближенное решение по рекуррентной формуле:
^ = (П+^к^ + к^ТЛк^/а-^Ки), (3)
Приведем численную реализацию поставленной задачи.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice http ://www.bulletennauki.com
Т. 5. №1. 2019
После введения вышеперечисленных данных имеем:
Выбираются равноотстоящие узлы сетки и вычисляются значения ядра т) и правой части /([;) уравнения (2).
к(Ч,т) := (я - ш) ■ е~ Х'С*~Т") + чг ■ е~ 31(^т) + . [у . 5т(фо) ■ (г - т) - я ■ соя('фО) ■ (1 т)]
f. := fit.] к. . := k(t.,t.)
Математический пакет MathCad позволяет в режиме реального времени видеть промежуточные результаты:
^ = 0.5 0.303 0.184 0.112 0.068 0.041 0.025 0.015 9.158 х 10~ 3
Сформируем вычисление коэффициентов квадратурной формулы трапеций:
q := 2 ..п - 1
ЛЛЛ
h
А, -
А
А := h
q
Найдем решение системы (3), которая дает приближенные значения искомой функции в
узлах
"ф = (0.5 0.287 0.167 0.116 0.118 0.127 0.124 0.109 0.087) Приведем графическую интерпритацию решения задачи:
Математический пакет MathCad позволил в режиме реального времени редактировать программу, видеть промежуточные результаты, строить графики.
Список литературы:
1. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова Думка, 1986. 543 с.
2. Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. М: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
160 с.
Reference
1. Verlan, A. F., & Sizikov, V. S. (1986). Integral'nye uravneniya: Metody, algoritmy, programmy. Kiev, Naukova Dumka, 543. (in Russian).
2. Vasileva, A. B., & Tikhonov, N. A. (2002). Integral'nye uravneniya. Moscow, FIZMATLIT, 160. (in Russian).
Работа поступила в редакцию 23.12.2018 г.
Принята к публикации 26.12.2018 г.
Ссылка для цитирования:
Шувалова Л. Е., Зотин А. В, Сысолятина А. И., Крутикова А. А. Решение задачи о распределении времени безотказной работы приборов с использованием математического пакета // Бюллетень науки и практики. 2019. Т. 5. №1. С. 18-21. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/38-56 (дата обращения 15.01.2019).
Cite as (APA):
Shuvalova, L., Zotin, A., Sysolyatina, A., & Krutikova, A. (2019). Solution of the problem on the time distribution of the unreliable operation of the devices using the mathematical package. Bulletin of Science and Practice, 5(1), 18-21. (in Russian).
