CC BY
11Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 5. №6. 2019
https://www.bulletennauki.com DOI: 10.33619/2414-2948/43
УДК 51.72: 51.73 https://doi.org/10.33619/2414-2948/43/02
ИССЛЕДОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
©Шувалова Л. Е., ORCID: 0000-0001-7272-3898, Нижнекамский химико-технологический институт, Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, [email protected] ©Зотин А. В., Нижнекамский химико-технологический институт, Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, [email protected] ©Крутикова А. А., Нижнекамский химико-технологический институт, Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, [email protected] ©Сысолятина А. И., Нижнекамский химико-технологический институт Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, [email protected]
RESEARCH AND APPROXIMATE SOLUTION OF A PHYSICAL PROBLEM
©Shuvalova L., ORCID: 0000-0001-7272-3898, Nizhnekamsk Institute of Chemical Technology Kazan National Research Technological Universit, Nizhnekamsk, Russia, [email protected] ©Zotin A., Nizhnekamsk Institute of Chemical Technology, Kazan National Research Technological Universit, Nizhnekamsk, Russia, [email protected]
©Krutikova A., Nizhnekamsk Institute of Chemical Technology, Kazan National Research Technological Universit, Nizhnekamsk, Russia, [email protected]
©Sysolyatina A., Nizhnekamsk Institute of Chemical Technology, Kazan National Research Technological Universit, Nizhnekamsk, Russia, [email protected]
Аннотация. Предлагается решение задачи из раздела физики об электролизе, которая сводится к приближенному решению дифференциального уравнения с численной реализацией в математическом пакете MathCad.
Abstract. The problem from the section of physics about electrolysis is considered, which is reduced to an approximate solution of a differential equation with numerical implementation in the mathematical package MathCad.
Ключевые слова: нелинейное дифференциальное уравнение, степенной ряд, численные методы.
Keywords: nonlinear differential equation, power series, numerical methods.
Электролиз — основной метод промышленного производства алюминия, хлора, важнейший способ получения фтора, щелочных и щелочноземельных металлов, эффективный метод рафинирования металлов. Именно поэтому проблема электролиза занимает центральное место в физических исследованиях.
В данной работе на примере одной из задач электрического тока в жидкостях предлагаются три подхода: метод Эйлера, метод Рунге-Кутта и разложение искомой функции в степенной ряд.
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com
Т. 5. №6. 2019 DOI: 10.33619/2414-2948/43
Рассмотрим следующую задачу [1]. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных индуктивности L=0,4 генри и электролитической ванны, наполненной литром воды, подкисленной небольшим количеством серой кислоты. Вода разлагается током, при этом меняются концентрация и сопротивление раствора. Напряжение на клеммах поддерживается постоянным (20 в). При электролизе выделяется некоторое количество вещества пропорциональное времени, току и электрохимическому эквиваленту, который равен 0,000187 г/кулон. Сопротивление раствора в начале опыта R0=2 Ом, начальный ток 10 А. Найти зависимость объема воды в сосуде от времени.
Как известно, это явление описывается дифференциальным уравнением
dQ_ _ V0-kQ
(1)
dt2
dt
где Q — количество электричества, протекшее через цепь за промежуток времени от начала опыта до момента t.
Из уравнения (1) выражается Q через переменную ^количество воды в сосуде в момент времени t. В результате получается следующее нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:
(2)
Уравнение (2) точно проинтегрировать с помощью элементарных функций не удается поэтому его решение удобно искать в виде степенного ряда.
ДпЭ
(3)
где V(0)=V0 = 1000 см3, V'(0)=-kI0= -0,00187 см3/сек, а остальные производные V(n)(0)
(п= 2, 3,...) находятся путем последовательного дифференцирования уравнения Численная реализация рассмотренной схемы представлена на Рисунке 1.
(4)
Рисунок 1. Численная реализация схемы
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com
Т. 5. №6. 2019 DOI: 10.33619/2414-2948/43
Из представленных расчетов получаем степенной ряд
(5)
из которого видно, что коэффициенты знакочередующегося ряда убывают, а с течением времени объем воды постепенно уменьшается, что наблюдается на графике.
В подтверждение полученных результатов рассмотрим решение задачи (1) численными методами [2], дающими решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции V(t): метод Эйлера и метод Рунге-Кутта, сравним полученные результаты. Проинтегрировав уравнение (2) получим уравнение вида:
aVz(0~)
(6)
Расчетная формула метода Эйлера в математическом пакете MathCad имеет вид:
Результаты вычислений двух рассмотренных методов представлены на Рисунке 2, где г(р) — степенной ряд (5).
0.02 оси
1
Рисунок 2. Вычисления по методам Эйлера и Рунге-Кутта
Кроме того, получены вычисления методом Рунге-Кутты 4-го порядка применительно к уравнению (2), которые решены при помощи встроенной функции rkfixed [3] (Рисунок 3) математического пакета MathCad.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.com
Т. 5. №6. 2019 DOI: 10.33619/2414-2948/43
Рисунок 3. Решение при помощи встроенной функции rkfixed
Погрешность вычислений можно проследить по приведенным графикам, которые показывают, что методы Эйлера и Рунге-Кутты обеспечивают хорошую точность на начальном промежутке времени, но затем приводят к резкому накоплению ошибок.
Список литературы:
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа М.: Наука, 1985. 384 с.
2. Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах: учебное пособие. СПб.: Лань. 2017. 368 с.
3. Кирьянов Д. В. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. СПб.: БХВ-Петербург. 2012. 432 с.
References;
1. Berman, G. N. (1985). Sbornik zadach po kursu matematicheskogo analiza Moscow, Nauka, 384.
2. Kopchenova, N. V., & Maron, I. A. (2017). Vychislitel'naya matematika v primerakh i zadachakh: uchebnoe posobie. St. Petersburg, Lan'. 368.
3. Kir'yanov, D. V. (2012). Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. St. Petersburg, BKhV-Peterburg. 432.
Работа поступила в редакцию 14.05.2019 г.
Принята к публикации 19.05.2019 г.
Ссылка для цитирования:
Шувалова Л. Е., Зотин А. В., Крутикова А. А., Сысолятина А. И. Исследование и приближенное решение физической задачи // Бюллетень науки и практики. 2019. Т. 5. №6. С. 21-24. https://doi.org/10.33619/2414-2948/43/02
Cite as (APA):
Shuvalova, L., Zotin, A., Krutikova, A., & Sysolyatina, A. (2019). Research and Approximate Solution of a Physical Problem. Bulletin of Science and Practice, 5(6), 21-24. https://doi.org/10.33619/2414-2948/43/02 (in Russian).
