Решение задачи нелинейной напоропроводности при отжиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

CREATION PRINCIPLES OF HIGHLY EFFECTIVE ENERGY-EFFICIENT TECHNOLOGICAL PROCESSES OF CANNED FOOD MANUFACTURE

A.F. DEMIROVA

Daghestan State Technical University,

70, Imam Shamilprosp., Mahachkala, 367015;ph.: (8722) 62-37-61, fax: (8722) 62-37-97, e-mail: [email protected]

Possibilities of efficiency increase and energy efficiency in processes of canned food sterilization are considered. Parameters of various modes of sterilization of canned food «Pepper sweet» are investigated: on traditional technology, in an autoclave, at step sterilization and with preliminary heating of fruits in banks.

Key words: canned food sterilization, sterilization mode, curve of heating, preliminary heating of fruits.

664.002.05

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИНЕЛИНЕИНОИНАПОРОПРОВОДНОСТИ ПРИ ОТЖИМЕ

1 Майкопский государственный технологический университет,

352700, г. Майкоп, ул. Первомайская, 19 2 Кубанский государственный технологический университет,

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2; электронная почта: [email protected]

Разработано новое решение задачи нелинейной напоропроводности широко распространенного в пищевой технологии процесса отжима, которое позволит уточнить механизм процесса, найти пути его совершенствования и уточнить методику расчета оборудования.

Ключевые слова: отжим, напоропроводность, решение нелинейной задачи.

В процессах прессования, характерных для отжима жидкой фазы из растительных материалов в пищевой технологии, поле давления претерпевает значительные изменения [1]. Описание явлений переноса при отжиме связано с необходимостью учета зависимости коэффициентов напоропроводности от давления. В этом случае для поля давления необходимо решать нелинейное нестационарное уравнение напоропроводности

дР

— = div[ K( P)grad( P)],

(1)

где Р - давление в зоне прессования, Па; К(Р) = КоКр[Р(х,т)] - коэффициент напоропроводности м2/с; Ко - коэффициент пропорциональности, м2/с; Кр[Р(х, т)] - относительный коэффициент проницаемости, зависящий от давления; Р(х,т) - одномерное относительное поле давления в рабочей зоне пресса, нормированное на интервале от 0 до 1; х - текущая координата одномерного поля давления, м.

Рассмотрим нелинейную нестационарную одномерную модель поля давления, создаваемого прессом при изменяющихся физико-механических свойствах материала, полученную из уравнения (1):

°JpM=к„ I. jKp [ф,т)]

дР(

х, т)

дх

(2)

Фактически краевая задача (2) в данной постановке даже при известных краевых условиях для пластины не имеет аналитического решения. Рассмотрим процесс идентификации, основанный на динамике процесса сжатия при прессовании. С учетом постановки краевой задачи вариация давлений носит относительный характер, нормированный на интервале [0...1]. В

то же время реальный процесс прессования масличных материалов находится в интервале давлений от «точки масла», которая определяется как минимальное давление, необходимое для появления свободного масла на поверхности масличного материала, до максимального давления в прессе. Эти граничные величины соответствуют границам нормированного интервала.

Одним из возможных вариантов решения является квазилинеаризация этой задачи при известной зависимости коэффициента напоропроводности от давления. Рассмотрим более подробно этот метод для коэффициента напоропроводности, задаваемого заранее известной аналитической функцией.

С учетом представлений о механизме процесса отжима наиболее подходящей функцией является логистическая кривая, быстро меняющаяся на достаточно узком интервале давлений. Использование такой аппроксимации позволит выделить участок быстро меняющегося от давления коэффициента напоропроводности. Пусть коэффициент Кр представляет собой логистическую функцию (сигмоидальная 5-образная кривая), определяемую функциональной зависимостью

Kp (P, a, b) =

1

1+ exp{—[ aP — b]}

(3)

Зависимость (3) может быть использована для частичной линеаризации задачи (2) путем введения новой функции Ок, определяемой формулой

З.А. МЕРЕТУКОВ B.C. КОСАЧЕВ2, Е.П. КОШЕВОЙ2

P, a, Ь) = / Kp (9, a, Ь^9.

(4)

Используя интегральную функцию Gk, выразим из (4) интеграл в явном виде по давлению:

Ln(e ь-аР + 1) Ln(e ь + 1) ва( P, a, Ь) = P +—^----------------^. (5)

Подставив (5) в (2), получим квазилинейную краевую задачу относительно новой функции

дP д ( , д2 ( ,

—-в* г)=K ^^ 4

Если в уравнении (6) положить дР

два

єопбі = К1,

— ва( х, т) = -д— ва( х, т),

дт ( ) К1 дх2 ( )

вр( х, т) = ва( 1, а, Ь)х

1-Е

-г

ет/е

2п -1--L

2- К 0 т

К1 и

ет/е

2п-1+-

к 1 и

давления от времени и координаты, используя эту функцию и выражая текущее давление Рх с учетом Ор и Оа. Для расчета Рх использовали уравнения (5) и (9), которые определяют решение уравнения (10) относительно определяемой величины Рх:

вр(х, т) = ва[ Рх( х, т),а, Ь].

(10)

(6)

(7)

то получится линейное уравнение. Это допущение предполагает, что некоторый участок функции ва = ва(Р) заменяется хордой. Учитывая нормированный характер величины Р, в первом приближении будем считать такое допущение приемлемым. Данное уравнение позволяет сформулировать задачу (2) в виде линейного дифференциального уравнения второго порядка

Трансцендентное уравнение (10) позволяет определить искомую зависимость на интервале существования решения от 0 до 1. В этом случае искомая функция зависит от следующих параметров: Рх(х, г, а, Ь,Кр), где Кр = К0/К1 - коэффициент пропорциональности на заданном интервале. Рассмотрим процесс идентификации, основанный на динамике процесса сжатия в процессе прессования. Определение параметров, формирующих логистическую кривую, основано на минимизации целевой функции вида

к \рмод(г., а,Ь,Кр)-Рэксп I Ш(а,ЬКр) = ----"-----—^--------', (И)

г= 1 Рг

где Р^КСП - экспериментальное значение давления; Р“од - модельное значение давления, определяемое интегральным выражением

, а, Ь, Кр)

/ Рх (9, т1, а, Ь, Kp)d9

(8)

и

(12)

которое для граничных условий первого рода имеет известное аналитическое решение [2]

(9)

Решение задачи, представленное функциональным уравнением (9), позволяет определить зависимость

Используя выражения (11) и (12), определяли значения параметров целевой функции, соответствующие минимуму этого выражения. В результате получили график, представленный нарис. 1 (р = (Р-Рда)/(Р0 -Рда), индексы 0 и да соответственно указывают начальную величину и величину равновесия).

График (рис. 1) свидетельствует, что уравнение модельной линии адекватно описывает изменение экспериментального относительного давления во времени, что подтверждается статистическими показателями: стандартная ошибка составляет 1,5%, коэффициент корреляции между модельными значениями и экспериментальными 0,995.

Следовательно, использование сигмоидальной

О Эксперимент

Модель

Относительное давление

0

П= 1

Рис. 1

Рис. 2

ВЫВОД

Использование сигмоидальной функции для коэффициента напоропроводности позволяет обобщить полученные данные по отжиму на заданной области изменения относительного давления от времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Schwartzberg H.G. Expression of fluid from biological

solids // Separation and Purification Methods. -1997. - (26), 1. - Р. 1-213.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1967. - 599 с.

Поступила 27.09.11 г.

DECISION OF THE PROBLEM OF NONLINEAR PRESSURE DIFFUSIVITY AT EXPRESSION

Z.A. MERETUKOV1, V.S. KOSACHEV2, E.P. KOSHEVOY2

1 Maikop State Technological University,

191, Pervomaiskaya st., Maikop, 352700

2 Kuban State Technological University,

2, Moskovskaya st., Krasnodar, 350072; e-mail: [email protected]

The new decision of a problem of nonlinear pressure diffusivity of widespread process in food technology expression which will allow to specify the process mechanism and to find ways of its perfection and to specify an equipment design procedure is developed.

Key words: expression, pressure diffusivity, the decision of a nonlinear problem.

npo^cca ^е^оваи^. В данном опучае фиа 1) napa-мeтpы шгмоидальной функции пpeдcтaвлeны бедующим вeктopoм значений:

(ІЗ)

a -27,207

b = — 10,2З2

K о/ k 1 1,049 ■ІО-5 — c

^и подстановке значений a, b вeктopa (ІЗ) в (З) получим завишмость коэффициента пpoницaeмocти от давления, пpeдcтaвлeннyю на pro. 2.

663.551.4

TEPMOДИHAMИЧECKИE OCHOBЫPAC4ETA KOMПPИMИPOBAHИЯ nAPOB PEKTИФИKOBAHHOГO Cn^TA

Т.Г. КОРОТКОВА, Е.Н. КОНСТАНТИНОВ

Кубанский государственный технологический университет,

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2; электронная почта: [email protected]

На основе преобразований уравнений для термодинамических функций внутренней энергии, энтропии и энтальпии получены дифференциальные уравнения, по которым с использованием уравнений неидеального газа могут быть вычислены приращения этих функций.

Ключевые слова: термодинамические функции, внутренняя энергия, энтропия, энтальпия, неидеальный газ, адиабатический процесс.

Эффективное решение проблем энергосбережения предполагает наряду с экономической оценкой эксер-гетический анализ. Нами показано [1], что с эксергети-ческой точки зрения целесообразно использование на брагоректификационной установке (БРУ) тепловых насосов. Тепловые насосы обеспечивает экономию энергии при стоимостной оценке 27% и эксергетиче-ской оценке 43,7%. Тепловой насос использовался в ректификационной колонне. Пары спирта с верха спиртовой колонны компримировались до давления 0,58 МПа и направлялись для конденсации в выносной ребойлер спиртовой колонны, где после снятия теплоты перегрева конденсировались при температуре 130°С. При анализе сложной технологической схемы БРУ использовали математическую модель компрессора, в которой был учтен проточный характер движения газовой смеси [2]. Мощность компрессора определяли как разность энтальпий выходного и входного потоков,

использовали модель идеального газа при не зависящем от давления и температуры соотношении теплоемкостей k = Ср/Су .

В настоящее время разработаны эффективные конструкции винтовых компрессоров, при моделировании которых наряду с механическими потерями необходимо учитывать изменяющиеся во времени протечки из рабочего объема парных полостей на всас компрессора и между парными полостями (из парной полости с большим давлением в парную полость с меньшим давлением), а также тот факт, что пары ректификованного спирта являются неидеальным газом. При этом должны использоваться строгие термодинамические зависимости в сочетании с уравнением состояния неидеального газа.

В настоящей статье рассмотрены термодинамические основы моделирования адиабатического процесса сжатия паровой смеси ректификованного спирта. Не-