Термодинамические основы расчета компримирования паров ректификованного спирта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЫВОД

Использование сигмоидальной функции для коэффициента напоропроводности позволяет обобщить полученные данные по отжиму на заданной области изменения относительного давления от времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Schwartzberg H.G. Expression of fluid from biological

solids // Separation and Purification Methods. -1997. - (26), 1. - Р. 1-213.

2. Лыков A.B. Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1967. - 599 с.

Поступила 27.09.11 г.

DECISION OF THE PROBLEM OF NONLINEAR PRESSURE DIFFUSIVITY AT EXPRESSION

Z.A. MERETUKOV1, V.S. KOSACHEV2, E.P. KOSHEVOY2

1 Maikop State Technological University,

191, Pervomaiskaya st., Maikop, 352700

2 Kuban State Technological University,

2, Moskovskaya st., Krasnodar, 350072; e-mail: [email protected]

The new decision of a problem of nonlinear pressure diffusivity of widespread process in food technology expression which will allow to specify the process mechanism and to find ways of its perfection and to specify an equipment design procedure is developed.

Key words: expression, pressure diffusivity, the decision of a nonlinear problem.

процесса прессования. В данном случае (рис. 1) параметры сигмоидальной функции представлены следующим вектором значений:

(13)

a -27,207

b = -10,232

K J K1 1,049 ■Ю-5 — с

При подстановке значений а, Ь вектора (13) в (3) получим зависимость коэффициента проницаемости от давления, представленную на рис. 2.

663.551.4

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА КОМПРИМИРОВАНИЯ ПАРОВ РЕКТИФИКОВАННОГО СПИРТА

Т.Г. КОРОТКОВА, Е.Н. КОНСТАНТИНОВ

Кубанский государственный технологический университет,

350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2; электронная почта: [email protected]

На основе преобразований уравнений для термодинамических функций внутренней энергии, энтропии и энтальпии получены дифференциальные уравнения, по которым с использованием уравнений неидеального газа могут быть вычислены приращения этих функций.

Ключевые слова: термодинамические функции, внутренняя энергия, энтропия, энтальпия, неидеальный газ, адиабатический процесс.

Эффективное решение проблем энергосбережения предполагает наряду с экономической оценкой эксер-гетический анализ. Нами показано [1], что с эксергети-ческой точки зрения целесообразно использование на брагоректификационной установке (БРУ) тепловых насосов. Тепловые насосы обеспечивает экономию энергии при стоимостной оценке 27% и эксергетиче-ской оценке 43,7%. Тепловой насос использовался в ректификационной колонне. Пары спирта с верха спиртовой колонны компримировались до давления 0,58 МПа и направлялись для конденсации в выносной ребойлер спиртовой колонны, где после снятия теплоты перегрева конденсировались при температуре 130°С. При анализе сложной технологической схемы БРУ использовали математическую модель компрессора, в которой был учтен проточный характер движения газовой смеси [2]. Мощность компрессора определяли как разность энтальпий выходного и входного потоков,

использовали модель идеального газа при не зависящем от давления и температуры соотношении теплоемкостей к = Ср 1Су .

В настоящее время разработаны эффективные конструкции винтовых компрессоров, при моделировании которых наряду с механическими потерями необходимо учитывать изменяющиеся во времени протечки из рабочего объема парных полостей на всас компрессора и между парными полостями (из парной полости с большим давлением в парную полость с меньшим давлением), а также тот факт, что пары ректификованного спирта являются неидеальным газом. При этом должны использоваться строгие термодинамические зависимости в сочетании с уравнением состояния неидеального газа.

В настоящей статье рассмотрены термодинамические основы моделирования адиабатического процесса сжатия паровой смеси ректификованного спирта. Не-

обходимые для этого уравнения могут быть получены с использованием законов термодинамики. Некоторые затруднения возникают в связи с тем, что вывод необходимых термодинамических уравнений может быть получен несколькими путями. Действительно, в соответствии с правилом фаз Гиббса число степеней свободы газовой системы при постоянстве состава газовой смеси, которое имеет место при сжатии, равно 2. А число основных переменных термодинамических потенциалов и параметров равно 8. Такое большое количество используемых переменных связано с тем, что в процессе исторического развития теории термодинамики по мере практической необходимости использовались различные функции, которые называют термодинамическими потенциалами. Неполный перечень их - внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия Гельмгольца, энергия Гиббса. Параметры и функции состояния связаны не только термодинамическими соотношениями, но и уравнением состояния.

Для иллюстрации рассмотрим три способа вывода уравнения зависимости внутренней энергии от объема при постоянной температуре.

В первом варианте будем исходить из совмещенного первого и второго законов термодинамики для равновесных процессов:

dS =1 (dU + pdV).

Из уравнения (1) следует, что при V = const

[LS _ 1 [LU і

LT V = T LT і

а при T = const

[LS = 1 [LU і

W T = T [LV і

Р.

T'

(l)

(2)

(З)

Учитывая, что dS - полный дифференциал, можно записать

L2 S д S

LTLV LVLT

(4)

Подставляя в соотношение (4) уравнения (2) и (З), имеем

_l

LT

LU) '

T ,

LV

L_

LT

L_

LV

LU

LT

V

(5)

Откуда после несложных преобразований получим

(6)

[LU =T Lp

[LV T LT і

p.

Уравнение (6) является искомым, по нему может быть найдена зависимость внутренней энергии от объема при постоянной температуре.

Во втором варианте используем уравнение (1) в форме

dU = TdS - pdV.

(7)

Рассматривая энтропию как функцию температуры и объема, имеем

dS

LS і

LT

dT+

LS

LV

dV.

(В)

Подставляя уравнение (8) в уравнение (7), получим

(9)

dU = T

[LS dT+ [LS

T - p

LT V [LV T

dV.

Из условия, что внутренняя энергия есть полный дифференциал, следует

L2U L2U

дТдУ дУдТ Откуда с учетом уравнения (9) получим

_д_

LV

т LI і

LT

L_

LT

TLS

T------p

LV

(lO)

(11)

Уравнение (11) после выполнения операций дифференцирования дает

(l2)

[LS Lp

W T LT і

Используя уравнение (9) и соотношение (12), получим окончательно

[LU =T [LS - p = T Lp

[LV T [LV T [LT і

p.

(1З)

Уравнение (13) совпадает с уравнением (6).

В третьем варианте выполним самый простой вывод уравнения (13), используя свободную энергию Гельмгольца:

Г = и-ТБ. (14)

Дифференцируя (14) и используя (7), получим й¥ = -БйТ - рйУ,

Ш 1

где

S

LT і

(15)

(16)

LF і

LV і

-p.

Из (14) и (16)

U = F + TS = F-T

LF і

LT

(l7)

(18)

Дифференцируя (18) по У и используя (17), окончательно имеем полученный выше дважды результат:

LU

LV і

, T д p +T — LT

LF

LV

-p +T

Lp

LT

(l9)

Аналогичная ситуация имеет место при расчете зависимости от р и Т других термодинамических функ-

V

T

V

V

ций. Поэтому возникает задача выбора из возможных путей решения наиболее понятного и простого. Ниже получены для моделирования адиабатического (изоэн-тропийного) процесса уравнения для энтропии и энтальпии.

В случае адиабаты S = const. Для обеспечения этого условия необходимо получить зависимость энтропии от температуры и давления. Для этого рассмотрим энтропию как функцию температуры и давления, используем общеизвестное значение для величины (dS/dTj и соотношение (12).

dS = {dS dT + dS'

dT p dp,

dp =

dV

dT

dH = CpdT+

dH

dp

dp,

JdH) '{dT l„

dH = TdS + Vdp. Отсюда при t = const

dH =T dS'

, dp T dp,

+ V.

dG = Vdp - SdT. Из уравнения (24) следует

{dS {dV

.dp T dT \

Подставив (25) в (23), получим

dH = -T {dV

.dp T dT \

V.

(25)

(26)

Используя уравнение (26) в уравнении (21), окончательно имеем

dp. (20)

dH = CpdT+

V - T

dT

dp.

(27)

Для расчета потребляемой на адиабатическое сжатие мощности рассмотрим энтальпию Н как функцию Т и р:

(21)

Для определения величины (дН/др)т воспользуемся уравнением полного дифференциала энтальпии в зависимости от ее естественных переменных Б и р.

(22)

(23)

Выразим производную (дБ/др)т через величины, входящие в уравнение состояния. Воспользуемся для этого уравнением для энергии Гиббса.

(24)

По уравнению (27) можно рассчитать величину АН в адиабатическом процессе сжатия, которая равна мощности идеального компрессора, т. е. компрессора без потерь теплоты в окружающую среду, затрат работы на трение и протечек газа.

Полученные уравнения (20) и (27) содержат величину (дУ/дТ) , которая может быть определена путем дифференцирования одного из известных уравнений состояния реального газа, в частности паров ректификованного спирта. Если представить это уравнение в виде У = /(Т, р), то могут быть рассчитаны параметры паров спирта на выходе из компрессора и его мощность.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и региональных инвесторов в рамках гранта РФФИ (проект № 11-08-96507-р_юг_ц).

ЛИТЕРАТУРА

1. Короткова Т.Г., Левашова Л.М., Мариненко С.С., Константинов Е.Н. Стоимостная и эксергетическая оценка использования тепловых насосов при брагоректификации с выпариванием барды // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2011. - № 4. - С. 86-88.

2. Мариненко С.С., Мариненко О.В., Константинов Е.Н., Короткова Т.Г. Методы расчета процесса сжатия паров спирта при использовании в схеме БРУ теплового насоса // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2011. - № 2-3. - С. 76-78.

Поступила 03.11.11 г.

THERMODYNAMIC BASIS OF COMPRESSION CALCULATION OF VAPOR RECTIFIED ALCOHOL

T.G. KOROTKOVA, E.N. KONSTANTINOV

Kuban State Technological University,

2, Moskovskaya st., Krasnodar, 350072; e-mail: [email protected]

Based on the transformation equations for the thermodynamic functions of the internal energy, entropy and enthalpy differential equations are obtained, which with the use of non-ideal gas equation can be calculated in increments of these functions.

Key words: thermodynamic functions, internal energy, entropy, enthalpy, non-ideal gas, the adiabatic process.