Решение задачи горного давления в упругой зоне при нелинейном условии прочности явным методом конечных разностей Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

© Н.П. Немчин, C.B. Ветров, 2013

УДК 622.02

Н.П. Немчин, С.В. Ветров

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГОРНОГО ДАВЛЕНИЯ В УПРУГОЙ ЗОНЕ ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ УСЛОВИИ ПРОЧНОСТИ ЯВНЫМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Рассматривается решение задачи горного давления в упругой зоне с учётом и без учёта влияния буровзрывных работ при проведении выработки. Для получения решения применяется явный метод конечных разностей и нелинейное программирование. Предлагается аппроксимация огибающей Протодьяконова нелинейным параболическим условием прочности. Ключевые слова: нелинейное условие прочности, упругая зона, явный метод конечных разностей, нелинейное программирование, горное давление

На сегодняшний день существует достаточно большое число теорий прочности. Они используют разные подходы к оценке прочности и не являются универсальными [1]. Нелинейные теории прочности предлагались и применялись в [2, 3]. За рубежом большое применение нашел критерий прочности Хоека-Брауна [4]. В России часто применяется построение паспорта прочности горных пород с использованием теории прочности Мора. Также часто используется криволинейная огибающая предельных кругов Мора, предложенная М.М. Протодьяконовым [5, 6]. В [6] параметры огибающей определяются с помощью пределов прочности одноосного сжатия и растяжения, полученных лабораторным путём. Для учёта структурного ослабления массива предлагается переносить огибающую вниз до касания круга одноосного сжатия (с учётом коэффициентов структурного ослабления).

Использование нелинейного условия прочности необходимо для более точного решения задачи горного давления с запредельной зоной. Однако для решения этой задачи явным методом требуется решить предварительно задачу для упругой зоны [7]. Огибающую Протодьяконова трудно использовать для

решения задач о горном давлении, поэтому авторы считают необходимым аппроксимировать её нелинейным условием прочности параболического вида.

Нелинейное условие прочности

Авторами предлагается уравнение предельной поверхности следующего вида:

-г. = - .".г. - " (1)

где, сп, Сд и с? — искомые коэффициенты. Предполагается, что это уравнение будет описывать прочность структурно ослабленного массива.

Определить значения коэффициентов можно из системы уравнений:

^д = ев + £АдГ

= " : ^ У (2)

.

Радиальные и окружные напряжения, входящие в систему (2) , в свою очередь можно определить с помощью построения трёх кругов Мора.

Построим три круга Мора, с центрами гг.. и радиусами тти соот-

_мас _мас

С С

ветственно: а„ , = —^^, = сж ; с„п = -s. т •

Сс.1 +Сс Сс.3 = ——

, т 3. Первый предельный круг Мора — круг од-

ноосного сжатия массива. Второй круг описывает состояние массива на границе запредельной и упругой зон, причём 5 — естественное давление в массиве на глубине залегания выработки [7, 8]. Положение третьего круга на оси абсцисс — среднее арифметическое между координатами центров первого и второго. Радиусы кругов получим с помощью программы [9], которая реализует метод, описанный в [6] и учитывает структурное ослабление массива. Для каждого круга Мора можно получить соответствующие радиальные и окружные напряжения по формулам: с6=сс -тт. сг = тт +сс. Подставив напряжения в систему (2) и решив её можно получить искомые значения с0, с1 и с2.

Решение задачи для упругой зоны

Будем использовать способ учёта истории нагружения описанный в [8]. В этой постановке используется следующие выражения для вычисления дифференциалов по времени от деформаций

-

Для получения приращений деформаций, проинтегрируем эти выражения по времени. Нижним пределом интеграла будет момент времени предшествующий возникновению выработки, т.е., когда напряжения заданы выражением о^. = сг^ = — л,

где ^ — естественное давление в массиве. Верхним пределом интеграла будет момент времени, когда выработка уже существует. В результате получаем следующие выражения:

,

(3)

Решение рассматриваемой задачи для линейного условия прочности было получено в [10]. В этой статье учёт истории нагружения приводил к следующей системе уравнений для каждой точки радиуса для осесимметричной задачи:

, I к*

,

4 - + +*)

1

,

р?"

Ра.' , * . 1

,

:41

,

(4)

где, I — номер узла на радиусе, причём для задачи с упругой зоной узел с номером 1 лежит на границе зон упругой и неупругой деформаций; — радиус для узла Л г;,, Ла^ — приращения деформаций после возникновения выработки; Л г — расстояние между двумя соседними точками радиуса; и — часть полного радиального перемещения, вызванная возникновением выработки в ранее нагруженной среде.

Последний узел п лежит на границе влияния выработки и имеет радиус Гь-

Зависимость модуля Юнга от расстояния до контура выработки определяет неоднородность массива в радиальном направлении. В предложенном авторами решении рассматривается однородный массив (2?{0 = Е) и массив подвергнувшийся влиянию буровзрывных работ [11]:

2{т}= 3(1- (5)

где а, п — параметры определяющие распределение модуля деформации в массиве, Е — модуль Юнга массива.

В формулах (5) и (3) под модулем Юнга и коэффициентом Пуассона следует понимать их скорректированные выражения для случая плоской деформации [12].

Для нахождения неизвестных и1 и в системе уравнений (4) используется целевая функция нелинейного программирования. Она служит для удовлетворения уравнения (1) и граничного условия сг^ = —Целевая функция в нашем случае будет выглядеть следующим образом:

Г - с-? 4 ^[ч?]2 - Т (б)

где — радиальные напряжения на расстоянии гь от контура выработки, сг^- и а* окружные и радиальные напряжения на границе зон упругой и неупругой деформаций.

Таким образом, алгоритм решения задачи будет состоять из трёх этапов:

1. Задания значений неизвестных щ1 = х 1, = х3;

2. Выполнения последовательности вычислений (4);

3. Вычисление значения целевой функции (6).

Применяя нелинейное программирование для минимизации значения целевой функции (6) с неизвестными и1- и благодаря тому, что её минимум лежит в нуле, получим выполнение граничных условий и окончательное решение задачи.

Пример решения задачи

Для демонстрации работы метода была создана программа для ЭВМ. Параметры, используемые для построения графиков, приведены в табл. 1, сами графики — на рис. 1—3.

Таблица 1

Исходные параметры задачи

Параметр Значение

Радиус выработки га, мм 19000

Радиус внешнего контура гь, мм 199500

Число точек на радиусе п 10000

Радиус неупругой зоны г*, мм 2280

Давление на внешний контур 5, МПа 19,6

Коэффициент перегрузки, увеличивающий естественное давление в массиве 1.8

Давление на внутреннем контуре Р, МПа 0

Модуль Юнга массива Е, МПа 14442.4

Коэффициент Пуассона ^ 0.38

Коэффициент структурного ослабления 0.2

Предел прочности на сжатие, лабораторный, <жб, МПа 72

Предел прочности на растяжение, лабораторный, стслЖб, МПа 22.1

Коэффициенты, входящие в уравнение предельной поверхности

с0, МПа -14.4

с1> 5.41

с2, 1/МПа 0.12

Параметры, определяющие радиальную неоднородность массива

с учётом буровзрывных работ без учёта буровзрывных работ

Ь 0.9 0

71 3.72 0

Заключение

Предложена аппроксимация паспорта прочности Прото-дьяконова в виде параболического уравнения. Решена задача для упругой зоны (с предполагаемым присутствием запредельной) с помощью явного метода конечных разностей и нелинейного программирования. В дальнейшем предполагается решение задачи с запредельной зоной на основе [7].

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Каркашадзе Г.Г. Механическое разрушение горных пород: учеб. пособие для вузов / Г.Г. Каркашадзе. — М.: Изд-во МГГУ, 2004. — 222 с.

2. Шашенко А.Н. Деформоватсть та мщтсть масивiв прських порщ: Монографш / А.Н. Шашенко, Е.А. Сдвижкова, С.Н. Гапеев. — Донецк: Нацюнальний прничий утверситет, 2008. — 224 с.

3. Ставрогин А.Н. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах / А.Н. Ставрогин, А.Г. Протосеня. — М.: Недра, 1985. — 271 с.

4. Hoek E., Carranza-Torres C. Corkum B. NARMS-TAC Conference // Hoek-Brown failure criterion. — Toronto, 2002. — T. 1. — C. 267—273.

5. Протодьяконов M.M. Обобщенное уравнение огибающих к предельным / M.M. Протодьяконов // Исследование физико-механических свойств горных пород применительно к задачам управления горным давлением. — M., 1962. — C. 27—38.

6. Немчин Н.П. Применение нелинейного программирования в технике и геомеханике / Н.П. Немчин. — Чита: ЧитГУ, 2009. — 202 с.

7. Немчин Н.П. Решение осесимметричной задачи горного давления с неупругими зонами методом конечных разностей / Н.П. Немчин // Известия вузов. Горный журнал. — 2010. — 1. — C. 33—36.

8. Немчин Н.П. Осесимметричное сжатие цилиндрической полости после её возникновения в напряженном разрыхлённом массиве / Н.П. Немчин // Известия вузов. Горный журнал. — 2011. — 1. — C. 44—49.

9. Немчин Н.П. Программа определения коэффициентов сцепления и углов внутреннего трения вблизи подземной выработки: программа для ЭВМ: свидетельство о гос. регистрации № 2008612991. / Н.П. Немчин. — 2008.

10. Немчин Н.П. Метод учёта истории нагружения в решении задач упругости для одиночных горизонтальных выработок, проведенных буровзрывным способом / Н.П. Немчин, С.В. Ветров // Вестник ЗабГУ. — 2013. — 6. — C. 37—45.

11. Баклашов И.В. Геомеханика: учебник для вузов / И.В. Баклашов, Б.А. Картозия, А.Н. Шашенко, В.Н. Борисов. — М: Изд-во МГГУ, 2004. — T. 2. — 249 c.

12. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности: Учебное пособие / В.И. Самуль. — М.: Высш. школа, 1982. — 264 с. ИИ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Немчин Н.П. — кандидат технических наук, доцент, nemchin_nm@mail.ru, Ветров Сергей Владимирович — аспирант, eridani_alpha@hotmail.com,

Забайкальский государственный университет.