CC BY
38
УДК 622.02
Немчин Николай Павлович Nikolay Nemchin
Ветров Сергей Владимирович Sergey Vetrov
МЕТОД УЧЁТА ИСТОРИИ НАГРУЖЕНИЯ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОДИНОЧНЫХ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ВЫРАБОТОК, ПРОВЕДЕННЫХ БУРОВЗРЫВНЫМ СПОСОБОМ
THE METHOD OF ACCOUNTING HISTORY LOADING IN SOLVING THE PROBLEMS OF ELASTICITY FOR A SINGLE HORIZONTAL EXCAVATIONS, CONDUCTED BY DRILLING AND BLASTING METHOD
Рассматривается решение упругой задачи и задачи упругой зоны с учётом влияния буровзрывных работ при проведении выработки. Описывается новый вариант численных методов, как комбинация явного метода конечных разностей и нелинейного программирования. Предлагается новый способ учёта истории нагружения массива. Отличия предложенного метода от ранее описанного продемонстрированы на примере. Проведён анализ влияния буровзрывных работ
Ключевые слова: история нагружения, буровзрывные работы, упругая зона, явный МКР, нелинейное программирование, осесимметричная задача
The paper describes the solution of elastic problem and elastic region's problem with regard to drilling and blasting. We use explicit finite difference method for getting values alongside radius and nonlinear programming to satisfy the boundary conditions. A new method of accounting the loading history is proposed. The comparison is performed by example of the proposed method and the method described by other authors. The results differ from each other. There is comparison of solution's results with regard to drilling and blasting.
Key words: history of loading, drilling and blasting, elastic region of deformation, explicit FDM, nonlinear programming, axisymmetric problem
Под историей нагружения мы понимаем следующее. Массив до проведения выработки, нагружен собственным весом пород и тектоническими силами. Проведение выработки снимает нормальные напряжения на контуре выработки, и возникает давление со стороны крепи. Полные деформации и перемещения состоят из первоначальных (находящихся под действием гравитационных и тектонических сил) и их приращений ( возникающих вследствие снятия напряжений по контуру выработ-
ки). Видимая часть деформаций и перемещений, имеющая значение для решения вопросов устойчивости выработки, является именно этими приращениями. Учёт истории нагружения не вызывает затруднений для однородного массива. В случае проведения выработки буровзрывным способом массив становится неоднородным и применение того же метода учёта истории нагружения вызывает сомнения. Настоящая статья посвящена разработке метода учёта истории нагружения для случая не-
однородного массива. Корректный учёт истории нагружения является предпосылкой правильного определения горного давления в выработках, проведенных буровзрывным способом.
Наиболее полно аналитическое решение неоднородной упругой задачи приводится в работе [1], однако там не учитывается история нагружения и не рассматривается неоднородность, возникающая в массиве вследствие влияния буровзрывных работ. Упругопластическая задача с учётом истории нагружения в одиночных горизонтальных выработках рассматривается в [3]. Здесь радиальная неоднородность возникает вследствие проведения буровзрывных
работ. Неупругая задача рассматривалась с упрочнением, авторы же стремятся в будущем решить задачу с выделением запредельной зоны. Задачи с запредельной зоной для однородного массива рассматривались многими авторами, которые применяют различные способы для её решения [4, 6, 7, 9]. Учёт влияния буровзрывных работ в неупругой зоне можно выполнить на основе любого из этих решений. Решение задач для упругой зоны, в отличие от неупругой, описывается этими авторами одинаково. Поэтому мы считаем целесообразным рассмотреть учёт истории нагружения в упругой зоне отдельно. Схема задачи приведена на рис. 1.
Рис. 1. Схема задачи
Модель, описывающая выработку, проведённую буровзрывным способом, рассматривает горный массив как две кольцеобразных зоны вокруг неё. Первая — зона неупругих деформаций, находится непосредственно вблизи выработки, вторая — зона упругих деформаций, расположена сразу за первой. На рис. 1 эти зоны разделены окружностью радиусом г*.
Рассмотрим способ учёта истории нагружения, приведённый в [3]. Полость возникает в предварительно нагруженной сплошной среде. Решение осуществляется
в три этапа. На первом этапе рассматривается задача без выработки. Результатом решения является
На втором этапе рассматривается массив, содержащий выработку с граничными условиями на контурах а и Ь:
а? = а} = О
На последнем этапе решение выполняется путём сложения решений, полученных от двух предыдущих. История нагружения
в этой задаче учитывается как в линеино упругой задаче для однородной среды. Мы считаем, что изложенный способ учёта истории нагружения несправедлив для неоднородных сред, т.к. задача становится нелинейной.
Учёт истории нагружения
Нами предложена новая постановка этой задачи, в которой история нагружения неоднородной среды учитывается, на наш взгляд, более корректно.
Предлагаемый метод учёта истории нагружения является обобщением метода, описанного в [4] на случай неоднородных сред. В этой постановке используются следующие выражения для вычисления дифференциалов по времени от деформаций
■-Т^г = -Г:7г " ■■■ :-г-7-
ния:
Ael
fM
- - -7- - О
явного метода конечных разностей и нелинейного программирования.
Учёт влияния буровзрывных работ производится с помощью следующей зависимости модуля Юнга от расстояния до контура выработки [3]:
(3)
где а, п — параметры, определяющие распределение модуля деформации в массиве.
В формулах (2) и (3) под модулем Юнга и коэффициентом Пуассона следует понимать их скорректированные выражения для случая плоской деформации [8].
Выражение, описывающее прочность массива [2]:
^й1
Мг)
г!.-:.. = т^-- л-:".. - .-. л.:",
Для получения приращений деформаций интегрируем эти выражения по времени от момента, предшествующего возникновению выработки, т.е. когда напряжения заданы выражением (1) до момента, когда выработка уже существует. В результате получаем следующие выраже-
&СЖ =
где От — предел прочности на сжатие горных пород в неразрушенном массиве до проведения выработки;
buk- безразмерные параметры аппроксимации.
С учётом выражений (2) задачу упругости можно описать следующими уравнениями:
(2)
Метод решения .задач упругости с неоднородностью
Под влиянием горного давления неупругая зона может: а) возникать и тогда мы будем рассматривать упругую зону с границами г* и гь (см. рис. 1); б) не возникать, и тогда рассматривается упругая задача с границами га и гь. Контур Ъ находится вне зоны влияния выработки и имеет конечный радиус вследствие использования численного метода решения. В [10] приведен метод решения упругой неоднородной задачи с применением нового варианта численных методов. Суть метода состоит в комбинации
[5]:
Граничные условия для упругой задачи:
з, а? = -р.
Граничные условия для упругой зоны
Oy
(4)
где , Ог и Осж — значения соответствующих величин на контуре г*;
в — параметр, зависящий от угла внутреннего трения.
Для вычисления производных применяется метод конечных разностей. Выпол-
нение граничных условий достигается с помощью задания целевой функции нелинейного программирования.
Для решения этой задачи создана программа для ЭВМ. Рассмотрим её алгоритм. В качестве искомых независимых параметров выступают: для упругой задачи и1 = хъ
для упругой зоны к этому добавляется .
Алгоритм вычисления целевой функции нелинейного программирования: 1. Для упругой задачи:
и = X
1, а- = -р. Для упругой зоны:
IIх = х.
О г = х2.
я и1
Д£9 = ~
Эй'" дг
= ае1
= °тп
(5)
где I — номер узла на радиусе. Для упругой задачи первый узел (I = 1) лежит на
контуре a, для задачи с упругой зоной — на
*
контуре г ;
7} — радиус для узла г;
Л£1в — приращения деформаций после возникновения выработки;
Ат — расстояние между двумя соседними точками радиуса;
и — часть полного перемещения, вызванная возникновением выработки в ранее нагруженной среде.
3. Вычислить целевую функцию. Для упругой задачи:
/ = («Г +
771171
(6)
2. Вычислить для каждой точки радиуса, используя явный метод конечных разностей, в котором и1 и О у заданы (см. п. 1):
гкг
где от' — значение нормальных напряжений в последней точке радиуса на контуре Ь. Для упругой зоны:
где Ор, сг^? и о}ж — значение в точке 1, т.е. на контуре г*.
Для получения окончательного решения необходимо минимизировать значение целевой функции / с помощью нелинейного программирования. Вследствие того, что минимум этой функции находится в нуле, выполняются граничные условия: , для упругой задачи и условие (4) для упругой зоны соответственно.
Сравнение методов учёта истории нагружения для задачи упругости
Для демонстрации работы метода использованы параметры выработки, приведённые в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Исходные параметры задачи
Параметр задачи Значение параметра задачи
Радиус внутреннего контура га, мм 1900
Радиус внешнего контура гь, мм 95000
Число точек на радиусе п 9000
Радиус неупругой зоны ' ' ', мм 2280
Давление на внешний контур Б, МПа 6,7
Коэффициент перегрузки, увеличивающий естественное давление в массиве 1,8
Давление на внутреннем контуре Р, МПа 0,313
Таблица 2
Параметры, определяющие влияние буровзрывных работ
Окончание табл. 1
Параметр задачи Значение параметра задачи
Модуль Юнга массива Е, МПа 7166,28
Коэффициент Пуассона ц 0,26
Коэффициент, входящий в условие прочности 6,19
Предел прочности на сжатие массива ■''«., МПа 7,95
Параметр задачи Значение параметра задачи
для задачи с учётом буровзрывных работ для задачи без учёта буровзрывных работ
ь 0,9 0
к 3 0
а 0,94 0
п 3 0
Результаты решения неоднородной упругости задачи и сравнения их с решением, полученным с помощью метода, описанного в [3], приведены на рис. 2 и 3.
Абсолютная величина окружных напряжений на контуре выработки для упругого состояния массива (рис. 2), полученных описанным методом (красный график), приблизительно в 3,9 раза больше соответствующей величины для метода из [3]. По мере увеличения радиуса значения
-1.6
начинают совпадать. На контуре выработки различаются и значения для перемещений, вызванных возникновением выработки. Значения, полученные предлагаемым методом, приблизительно в 15,6 раз меньше, чем значения, полученные методом из [3] (рис. 3). При удалении от контура выработки кривые перемещений начинают совпадать. Радиальные напряжения для обоих решений отличаются мало, поэтому их кривые не приводим.
г/га
2. Графики окружных напряжений ае для упругой задачи
-1.4 -1.2 -1.0
ч, £
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
Рис.
2 2
-140
-120
-100
-80
31 "60
8. ф с
-40
-20
-
-
■
_ предлагаемый тгьц описанн метод - ый в [3] -
_
-
■
1.0
1.5
2.0 г/г_
2.5
3.0
Рис. 3. Графики радиальных перемещений и для упругой задачи
Влияние буровзрывных работ на ны, поэтому приводим сравнение решений массив с учётом буровзрывных работ и без них
Отличия для упругой зоны нашего ре- (рис. 4, 5, 6). шения и решения из [3] менее значительно
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
СО
-Т. Й
■ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Г 1 1 г 1 I 1 I I 1 1 | 1 1 -
■
■
> без учёта с учётом Зуровзры эуровзры вных раб вных раб □т от- ■
// ■
\ //
-и ■
1
1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4
Г/Г,
Рис. 4. Графики радиальных напряжений а,.
Из приведённых графиков видно влияние буровзрывных работ на напряжения и смещения на границе упругой и неупругой зон. Буровзрывные работы уменьшают абсолютную величину радиальных напряжений на контуре r* (рис 4). На этом контуре радиальные напряжения, полученные с учётом буровзрывных работ и без них, различаются на 0,03 S, с увеличением радиуса разница уменьшается и на расстоянии 10ra составляет 0,002 S. Абсолютные значения окружных напряжений на границе упругой зоны для случая с учётом буровзрывных работ заметно меньше полученных без их учёта: 1,37 S и 1,79 S соответственно (рис. 5). По мере удаления от контура выработки кривые сближаются. Абсолютная величина перемещений на контуре г* в случае учёта
Literatura_
1. Alimzhanov A.M. Osnovy i zadachi teorii neo-dnorodnogo uprugoplasticheskogo tela: avtoref. dis. ... d-ra fiz.-mat. nauk. Novosibirsk: In-t mehaniki i ma-shinovedeniya MON RK. 1999. 41 s.
2. Baklashov I.V., Geomehanika. V 2 t., T. 1. Osnovy geomehaniki. M.: Izd-vo MGTU, 2004. 208 s.
3. Baklashov I.V., Kartoziya B.A., Shashen-ko A.N., Borisov V.N., Geomehanika. V 2 t. T. 2. M.: MGGU, 2004. 249 s.
4. Nemchin N. P. Osesimmetrichnoe szhatie ci-lindricheskoj polosti posle ejo vozniknoveniya v napry-azhennom razryhljonnom massive // Izvestiya vuzov. Gornyj zhurnal. 2011. № 1. S. 44-49.
5. Nemchin N.P. Primenenie nelinejnogo pro-grammirovaniya v tehnike i geomehanike. Chita: Chit-GU, 2009. 202 s.
6. Nemchin N.P. Reshenie osesimmetrichnoj za-dachi gornogo davleniya s neuprugimi zonami metodom konechnyh raznostej // Izvestija vuzov. Gornyj zhurnal. 2010 № 1. S. 33-36.
7. Stavrogin A.N., Protosenya A.G., Prochnost gornyh porod i ustojchivost vyrabotok na bolshih glubi-nah. M.: Nedra, 1985. 271 s.
8. Samul V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastich-nosti. M.: Vyssh. shkola, 1982. 264 s.
9. Shashenko A.N., Sdvizhkova E.A, Gapeev S.N. Deformovanist ta micnist masiviv girskih porid: Monografiya. D.: Nacionalnij girnichij universitet, 2008. 224 s. Ros. movoju.
10. Nemchin N., Vetrov S., Solution of the axi-symmetric problem using explicit finite difference method, Abstract volume, 14th International conference on computing in civil and building and engineering, 2012. P. 172-173.
влияния буровзрывных работ больше, чем без их учёта (рис. 6), разница составляет 1,4 мм.
Таким образом, предложенный метод учёта истории нагружения продемонстрирован на примере полностью упругой задачи и задачи для упругой зоны деформаций с неоднородностью. Предложенный способ учёта более корректен для неоднородных задач, в отличие от способа, описанного в [3]. Продемонстрированы различия в решениях задач, полученных предложенным методом и ранее описанным. Применён новый вариант численных методов, использующий нелинейное программирование и явный метод конечных разностей, обладающий достаточной простотой, в том числе в плане его программной реализации.
_ Literature
1. Alimzhanov A.M. The basis and objectives of the inhomogeneous elastic-plastic body theory: Avtoref. dis. ... doctor Phisical-Mathematical. Sciences. Novosibirsk: In-t of mechanics and machine science MES RK. 1999. 41 p.
2. Baklashov I.V., Geomechanics. In 2 vol., V. 1. The basics of geomechanics. M.: Izd-vo MGTU, 2004. 208 p.
3. Baklashov I.V., Kartoziya B.A., Shashenko A.N., Borisov V.N., Geomechanics. In 2 vol. V. 2. M.: Mshu, 2004. 249 p.
4. Nemchin N. P. Axially symmetric compression of cylindrical cavity after its occurrence in a tense mellowed array // Izvestiya vuzov. Mining magazine. 2011. № 1. P. 44-49.
5. Nemchin N.P. The application of non-linear programming technique and geomechanics. Chita: ChitGU, 2009. 202 p.
6. Nemchin N.P. Solution of the axisymmetric problem of rock pressure with inelastic zones of the finite difference method, « Izv. Mining magazine. 2010 № 1. P. 33-36.
7. Stavrogin A.N., Protosenya A.G., The strength of the rocks and the stability of the workings at great depths. M.: Nedra, 1985. 271 p.
8. Samul VI. Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity. M.: Vyssh. SHKOLA, 1982. 264 p.
9. Shashenko A.N., Zdzvizhkou E.A., Gapeev S.N. The deformation of massive mountain species: Monograph. R.: Received July University, 2008. 224 p. Russian language.
10. Nemchin N., Vetrov S., Solution of the axi-symmetric problem using explicit finite difference method, Abstract volume, 14th International conference on computing in civil and building and engineering, 2012. P. 172-173.
Коротко об авторах_
Немчин Н.П., канд. техн. наук, доцент каф. «Технология лесопереработки и механики», Забайкальский государственный университет, г. Чита nemchin_np@mail.ru
Научные интересы: применение численных методов в геомеханике
Ветров С.В., аспирант, каф. «Технология лесопереработки и механики», Забайкальский государственный университет, г. Чита eridani_alpha@hotmail.com
Научные интересы: численные методы в геомеханике
_Briefly about the authors
N. Nemchin, Candidate of Technical Sciences, associate professor, woodworking technology and mechanics department, civil engineering and ecology department, Transbaikal State University
Scientific interests: application of numerical methods in geomechanics
S. Vetrov, post-graduate student, woodworking technology and mechanics department, civil engineering and ecology faculty, Transbaikal State University
Scientific interests: numerical methods in geome-chanics
