Решение неоднородной упругой задачи подземной геомеханики явным методом конечных разностей Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

- © Н.П. Немчин, С.В. Ветров, 2015

УДК 622.02

Н.П. Немчин, С.В. Ветров

РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ ЗАДАЧИ ПОДЗЕМНОЙ ГЕОМЕХАНИКИ ЯВНЫМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Рассматривается вопрос о корректности метода решения неоднородной упругой задачи подземной геомеханики. Задача решается предложенным авторами вариантом явного метода конечных разностей с применением нелинейного программирования. Приводится сравнение методов решения неоднородной задачи предложенного авторами и известных ранее. Совпадение решений полученных этими методами при коэффициенте Пуассона равном 0,5 говорит о корректности метода. Однако предложенный авторами метод учитывает влияние коэффициента Пуассона, в отличие от предложенного ранее метода. Независимость величин радиальных и тангенциальных напряжений от коэффициента Пуассона так же свидетельствует о корректности метода. История нагружения существенно влияет на решение задачи про коэффициенте Пуассона не равным 0,5. Метод предложенный проф. Алимжановым не учитывает историю нагружения массива, что ограничивает его применении в области подземной геомеханики. Оценивается влияние учета буровзрывных работ и коэффициента Пуассона на НДС массива. Конечные значения напряжений необходимо получать только с учетом истории нагружения. Учет влияния буровзрывных работ должен происходить только на этапе проведения выработки. Исключением является случай когда коэффициент Пуассона равен 0,5 для плоского деформированного состояния, когда решение задачи не зависит от истории нагружения. Ключевые слова: явный метод конечных разностей, неоднородная задача, нелинейное программирование, история нагружения, буровзрывные работы.

Наиболее полно аналитическое решение неоднородной упругой задачи приводится в диссертации [1], однако там не производится учет истории нагружения. В [2] приводится решение упругой неоднородной с учетом истории нагружения задачи которое рассмотрим далее.

Авторами в [3, 4] преложено решение неоднородной упругой задачи подземной геомеханики и способ учета истории нагружения. Приведем систему уравнений с использованием явного МКР для этой задачи:

г

E ( r, ) =

f V \

-пЛ

1 - а

V Га у

As! =

AsgE ( r )- s + ц'(стГ + s ),

(ст| + s + s )),

E ( Г )

dr

= As1,

и'+1 = u' +

du' dr

f-'=K-<a )1.

dr v 7 r

a';1 = a Ar, dr

r r

(1)

где i - номер узла в сетке МКР (узел с индексом 1 лежит на контуре выработки); a, п - параметры описывающие

влияние буровзрывных работ; г - расстояние от центра выработки, га - радиус выработки; Ет - модуль упругости массива для случая плоской деформации; ц' - коэффициент Пуассона для плоской деформации; э - естественной давление в массиве на глубине залегания выработки; Де'г, Де'е - приращения касательных и радиальных деформаций после возникновения выработки; Дг - длина шага в МКР.

Учет влияния буровзрывных работ производится с помощью зависимости модуля упругости от расстояния до контура выработки [5]. Учет начального напряженного состояния и неоднородности массива осуществляется с помощью выражений:

Аее = ЩТ) (СТе - в + ^ + в))'

Аег = ЩТ) + 5 -^'(сте + в)) • (2)

Удовлетворение граничных условий происходит с помощью функции нелинейного программирования.

Рассмотрим способ учета истории нагружения, приведенный в [2]. Под учетом истории нагружения понимается изменение начального напряженного состояния вследствие проведения выработки. Полость возникает в предварительно нагруженной сплошной среде. Решение производится в три этапа. На первом (I) этапе рассматривается задача без выработки. В табл. 1 приведены значения для напряжений и перемещений для этого деформированного состояния. Перемещения и на этом этапе не имеют физического смысла. Результатом решения по напряжениям является:

ст г = Сте = - в (3)

На втором (II) этапе рассматривается массив содержащий выработку с граничными условиями на контурах а и Ь, где индекс а означает значение

величины на контуре выработки, Ь -вдали от влияния выработки:

ста=-(р-5), ст^=о,

где р - давление на контуре выработки.

На последнем (1+11) этапе решение получается путем сложения решений полученных на двух предыдущих (см. табл. 2). Причем в методе приведенном в [2] коэффициент Пуассона равен 0,5 и перемещения для первого этапа получаются нулевыми (см. табл. 1).

В таблицах индекс а означает значение величины на контуре выработки, БВР - учет влияния буровзрывные работы. Параметры: радиус выработки г = 1,9 м, Дг = 0,5 мм, г, = 10 г

а ' ' ' ' Ь а

естественное давление на глубине залегания выработки э = 8,64 МПа, давление на контуре выработки р = 0, модуль деформации массива Е = = 6306,51 МПа, а = 0,918, п = 4,255.

Значения в таблицах приведены для контура выработки. Значение коэффициента Пуассона ц обычное, не для плоского напряженного состояния. Значения окружной деформации Дек6 вычислены по формуле Коши и Дег6 из обобщенного закона Гука.

В нетронутом массиве будем считать все компоненты напряжений одинаковыми. При этом для осесимметричной задачи плоского деформирования перемещения и на первом этапе отличаются от перемещений определенных по формулам объемного равноком-понентного состояния. Поскольку эти перемещения в любом случае не имеют физического смысла то и на I этапе рассмотрим задачу плоского деформированного состояния. Напряжения будут получены из выражения (3), перемещения вычислены по формуле:

и = (1 Т

т

Способ учета истории нагружения использованный в [2] будет рассмотрен и ниже при различных ц с помо-

Таблица 2

НДС массива, решение [2]

Таблица 1

НДС нетронутого массива (этап I)

ц ua, мм МПа с*в, МПа

0,25 -1,6269 -8,64 -8,64

0,32 -1,2370 -8,64 -8,64

0,5 0 -8,64 -8,64

БВР ц ua, мм МПа с*в, МПа AsKe As'e

Решение для этапа II

да 0,5 -5,5258 8,64 6,6256 -0,002908 -0,002908

нет 0,5 -3,9045 8,64 -8,64 -0,002055 -0,002055

Конечное решение (I+II)

да 0,5 -5,5258 0 -2,0144 -0,002908 -0,002908

нет 0,5 -3,9045 0 -17,28 -0,002055 -0,002055

щью решения предложенного авторами. В этом варианте решения, на этапе II, давление на контуре выработки задано стаг = - (р - в) , а для условия на контуре Ь использована целевая функция нелинейного программирования

F (Ua )=(СТг ^ ^ min •

Естественное давление s в системе уравнений (1) для этапа II положено равным нулю. Таким образом для этого решения выражение (2) принимает вид обобщенного закона Гука.

БВР ц ua, мм МПа с*в, МПа AsKe As'e

Решение для этапа II

да 0,25 -5,9128 8,64 1,3280 -0,003112 -0,003112

нет 0,25 -3,3024 8,64 -8,8123 -0,001738 -0,001738

да 0,32 -5,4817 8,64 2,3961 -0,002885 -0,002885

нет 0,32 -3,4825 8,64 -8,8121 -0,001833 -0,001833

да 0,5 -5,6056 8,64 6,5965 -0,002950 -0,002950

нет 0,5 -3,9432 8,64 -8,8112 -0,002075 -0,002075

Конечное решение (I+II)

да 0,25 -7,7205 0 -7,3120 -0,004063 -0,013196

нет 0,25 -4,9293 0 -17,4523 -0,002594 -0,002594

да 0,32 -6,7187 0 -6,2439 -0,003536 -0,010789

нет 0,32 -4,7195 0 -17,4521 -0,002484 -0,002484

да 0,5 -5,6056 0 -2,0435 -0,002950 -0,002950

нет 0,5 -3,9432 0 -17,4512 -0,002075 -0,002075

Таблица 3

НДС массива на втором этапе учета истории нагружения и конечное решение I+II

Таблица 4

НДС массива, решение III, без учета истории нагружения

БВР ц ua, мм oar, МПа oae, МПа As"e As'e

да 0,25 -6,9174 0 -1,8156 -0,003641 0,007909

нет 0,25 -4,9293 0 -17,4523 -0,002594 -0,001738

да 0,32 -6,1056 0 -1,8598 -0,003213 0,004690

нет 0,32 -4,7195 0 -17,4521 -0,002484 -0,001833

да 0,5 -5,6056 0 -2,0435 -0,002950 -0,002950

нет 0,5 -3,9432 0 -17,4512 -0,002075 -0,002075

Результаты вычислений для этапа II приведены в табл. 3. В ней также приведено окончательное решение (1+11), напряжения и перемещения получены путем соответственного сложения этих величин, полученных на этапах I и II.

Решения для этапа II и для конечного этапа учета истории нагружения Ц+П) полученные предложенным авторами методом и методом приведенным в [2] приблизительно совпадают по напряжениям и перемещениям при ц = 0,5.

Оценим влияние учета истории на-гружения на НДС массива после проведения выработки. В решение III (табл. 4) не производится учета истории нагружения. Естественное давление в массиве э в системе (1), как и в решении II равно нулю. Пусть на контуре выработки оаг = р = 0 и для удовлетворения граничного условия оьг = - э использована функция нелинейного программирования:

F (ua ) = (ст^ + s)2 ^ min . (4)

Различия в решении для этапа I+II и решения III (табл. 3 и 4 соответственно) при учете влияния буровзрывных работ и ц отличном от 0,5 объясняются тем, что во втором случае учет БВР производится на всем пути деформирования, а не только на этапе II, как это происходит на практике.

Предложенный авторами способ учета истории нагружения IV - решение получаемое из системы (1) (рассматривается случай ctJ = 0) и функции нелинейного программирования (4). Используется обобщенный закон Гука для перехода от начального напряженного состояния к конечному (2). В таком случае приращения деформаций и перемещений соответствуют деформациям и перемещениям этапа II, а напряжения конечному состоянию. Результаты решения приведены в табл. 5.

Таблица 5

НДС массива полученное предложенным авторами методом (Решение IV)

БВР ц ua, мм oar, МПа oae, МПа A^e As'e

да 0,25 -5,9128 0 -7,3120 -0,003112 -0,003112

нет 0,25 -3,3024 0 -17,4523 -0,001738 -0,001738

да 0,32 -5,4817 0 -6,2439 -0,002885 -0,002885

нет 0,32 -3,4825 0 -17,4521 -0,001833 -0,001833

да 0,5 -5,6056 0 -2,0435 -0,002950 -0,002950

нет 0,5 -3,9432 0 -17,4512 -0,002075 -0,002075

Предложенный метод решения неоднородной упругой задачи затем был обобщен для решения задач с запредельной зоной [6].

Выводы

1. Корректность предложенного авторами метода как комбинации явного МКР и нелинейного программирования подтверждается совпадением решений предложенного авторами и решения [2], без учета буровзрывных работ и при ц = 0, что совпадает с задачей Ламе. Это также подтверждается равенством значений для II этапа учета истории нагружения (табл. 2 и 3).

2. Принцип независимости сил не действует при учете буровзрывных работ и отличном от 0,5. Об этом свидетельствуют различия в решениях !+П и III (табл. 3 и 4). Это является следствием того, что буровзрывные работы проводятся только на этапе II учета истории нагружения, а не на всем пути деформирования.

3. Система (1) совместно с нелинейным программированием позволяет получать корректные значения для конечных значений напряжений и перемещений. Это следует из равенства напряжений решений П+! и IV, перемещения из решения IV соответствуют этапу II (табл. 3 и 5 соответственно). При этом решение с помощью этой системы более экономично с точки зрения числа уравнений.

4. Тангенциальные сте и радиальные стг напряжения не зависят от коэффициента при отсутствии БВР (табл. 5 и 3). Это также свидетельствует о корректности предложенного решения.

Независимость решения от коэффициента Пуассона использовано для того чтобы установить шаг сетки дающий необходимую точность решения. Количеству точек 32 000 соответствуют максимальные различия между сте в 1 КПа, 8000 - 9 КПа.

5. Необходимо исключать паразитные перемещения, возникающие в решениях до проведения выработки, ибо и они не имеют физического смысла.

При решении задачи о ГД с учетом влияния буровзрывных работе

1. Конечные значения напряжений необходимо получать только с учетом истории нагружения. Учет влияния буровзрывных работ должен происходить только на этапе II. Исключением является случай когда коэффициент Пуассона равен 0,5 для плоского деформированного состояния, когда решение задачи не зависит от истории нагружения.

2. В случае других значений коэффициента Пуассона напряжения существенно зависят от его величины. Метод [2] в этом случае дает неточные результат.

3. При этом предложенное авторами решение удовлетворяет выражению, выведенному из обобщенного закона Гука. Решение [2], справедливо только для коэффициента Пуассона равному 0,5.

4. Решение [1] непосредственно не применимо в геомеханике т.к. в нем не производится учета истории нагруже-ния. В решении [2] коэффициент Пуассона неизменный и равен 0,5. Это ограничивает общность ранее полученных решений для подземной геомеханики.

1. Алимжанов А.М. Основы и задачи теории неоднородного упругопластического тела: автореф. дис. на соиск. учен. степ. д-ра физ.-мат. наук. - Ин-т механики и машиноведения МОН РК, 1999.

_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2. Баклашов И.В. Геомеханика. Учебник для вузов. Т. 1. Основы геомеханики. - 2004.

3. Немчин Н.П., Ветров С.В. Метод учета истории нагружения в решении задач упругости для одиночных горизонтальных вырабо-

ток, проведенных буровзрывным способом // Вестник ЗабГУ - 2013 - № 6 - C. 37-45.

4. Nemchin N., Vetrov S., Solution of the axisymmetric problem using explicitfinite difference method // Abstract volume, 14th International conference oncomputing in civil and building and engineering. - 2012, pp. 172-173.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ_

5. Баклашов И.В., Картозия Б.А., Ша-шенко А.Н., Борисов В.Н. Геомеханика. Т. 2. - 2004.

6. Немчин Н.П., Ветров С.В., Терен-тьев П.Ю. Определение горного давления в выработках, проведенных буровзрывным способом, с учетом истории нагружения // Вестник ЗабГУ - 2014 - № 2 (105) - C. 24-32. ЕИ2

Немчин Николай Павлович - кандидат технических наук, доцент,

e-mail: [email protected]

Ветров Сергей Владимирович - аспирант,

e-mail: [email protected],

Забайкальский государственный университет.

UDC 622.02

SOLUTION OF INHOMOGENEOUS ELASTIC PROBLEM OF UNDERGROUND GEOMECHANICS BY EXPLICIT FINITE DIFFERENCE METHOD

Nemchin N.P.1, Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, e-mail: [email protected],

Vetrov S.V.1, Graduate Student, e-mail: [email protected], Transbaikal State University, 672039, Chita, Russia.

The paper describes question about correctness of method of solving underground inhomogeneous elastic geomechanics problem. The problem is solved by option of explicit finite difference method using nonlinear programming proposed by the authors. Comparison of methods for the solution of the inhomogeneous problem proposed by the authors and previously known described in this paper. The coincidence of solutions obtained by these methods when Poisson's ratio of 0.5 indicates the correctness of the our's method. However, the authors proposed method takes into account the effect of Poisson's ratio, in contrast to previously proposed method. The independence of the radial and tangential stresses on the Poisson ratio as well indicates the correctness of the method. The method proposed by prof. Alimjanov not take into account the history of the loading of the array, which limits its application in the field of underground's geomechanics. The influence of accounting blasting and Poisson's ratio on the stress-strain state of the array are estimated. The final values of voltages must receive only taking into account the loading history. Account of blasting should take place only at the stage mine's development. The exception is when the Poisson's ratio is 0.5 for plane strain when the solution of the problem does not depend on the loading history.

Key words: the explicit finite difference method, the inhomogeneous problem, nonlinear programming, loading history.

REFERENCES

1. Alimzhanov A.M. Osnovy i zadachi teorii neodnorodnogo uprugoplasticheskogo tela (Fundamentals and objectives of heterogeneous elastoplastic body), Doctor's thesis, MInstitute of mechanics and Engineering MES, 1999.

2. Baklashov I.V. Geomekhanika. Uchebnik dlya vuzov. T. 1. Osnovy geomekhaniki (Geomechanics. Textbook for high schools, vol. 1. Fundamentals of Geomechanics), 2004.

3. Nemchin N.P., Vetrov S.V. Vestnik Zabaykal'skogo gosudarstvennogo universiteta, 2013, no 6, pp. 37-45.

4. Nemchin N., Vetrov S., Solution of the axisymmetric problem using explicitfinite difference method. Abstract volume, 14th International conference oncomputing in civil and building and engineering. 2012, pp. 172-173.

5. Baklashov I.V., Kartoziya B.A., Shashenko A.N., Borisov V.N. Geomekhanika. T. 2 (Geomechanics. vol. 2), 2004.

6. Nemchin N.P., Vetrov S.V., Terent'ev P.Yu. Vestnik Zabaykal'skogo gosudarstvennogo universiteta, 2014, no 2 (105), pp. 24-32.