Решение задачи двукратной ионизации атома гелия быстрым электроном в J-матричном подходе Текст научной статьи по специальности «Физика»

С. А. Зайцев, Ю. В. Попов, В. А. Кныр

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДВУКРАТНОЙ ИОНИЗАЦИИ АТОМА ГЕЛИЯ БЫСТРЫМ ЭЛЕКТРОНОМ В 3-МАТРИЧНОМ ПОДХОДЕ*

В работе дано теоретическое описание двукратной ионизации атома с двумя активными электронами (атом гелия) электронным ударом в т. н. диполярной компланарной геометрии [1]. Кинематические условия такого эксперимента характеризуются небольшой передачей энергии и импульса атому от быстрого налетающего электрона, начальная энергия которого (несколько килоэлектронвольт) равна примерно его энергии рассеяния Е8, тогда как энергии испущенных электронов составляют всего несколько электронвольт. Такие кинематические условия позволяют использовать первое борнов-ское приближение (FBA) и описывать быстрый электрон плоской волной. Пятикратное дифференциальное сечение (5DCS) рассматриваемого процесса He(e,3e)He++ в атомных единицах те = е = Н = 1 принимает вид

а(5) =

КФ'-ЧкьМ^Ог.НехрЗДгзЬгмр, (1)

где (Еі, кі) и (Е2, к2) обозначают энергии и импульсы первого и второго медленных испущенных электронов; (Е*, р*) и (Е8, р8) — энергия и импульс налетающего электрона до и после столкновения. Переданный импульс Р = р* — ря.

Мы рассматриваем лабораторную систему координат, предполагая ядро атома бесконечно тяжёлым: тз ^ то, и оно помещено в центр системы (гз = 0). Запишем уравнение Шрёдингера (УШ) для волновой функции конечного состояния атома гелия:

V, 1 л 1 л У У 1

Е+ -Ді + -Д2 + — +------------------

2 2 гі Г2 г 12

ь.2 ь.2

Ф(_)(кьк2; гьг2) =0, Е= + (2)

Следуя Фаддееву [2], разобьём кулоновские потенциалы на короткодействующую и длиннодействующую части:

Z

— = У^(гиг2) + уу>(гиг2)

(і)/

где

у у

У^Нг^ го) = — 1(п, Гэ), У«\П,г2) = —[1 - 1(п, » Г і г і

ип, Гз) = 2/ {1 + ехр[(г*/а)у/(1 + Гз/Ъ)}} .

Функция разделения £ содержит три подгоночных параметра, а, Ъ и V > 2. Роль этой функции заключается в определении границы между областью трёхчастичного рассеяния По, где асимптотически Г1 ~ Г2, и областями двухчастичного рассеяния П1 (Г1 > Г2), или П2 (Г2 > Г1).

* По материалам доклада на юбилейном семинаре «Вычислительная физика» 29—30 октября 2009 г., С.-Петербург.

© С. А. Зайцев, Ю. В. Попов, I В. А. Кныр I, 2011

и

Введём две функции Ф( ^(кх, к2; гх, г2) (г = 1, 2), такие что

ф(-) = — V*

Ф

(-)

Ф

(-)

Принимая во внимание симметрию двухэлектронной волновой функции

Ф( )(кі, к2; г і, г2) = дФ\ ;(кі, к2 ; Г2, гі), где д = +1 (—1) для синглетного (триплетного) состояния, потребуем

ф2-)(кі,к2; гі,Г2)

(-)

дРі2Фі )(кі, к2; гі, Г2)

(Р\2 — оператор перестановки координат) и определим эти новые функции посредством фаддеевской редукции:

Е + \ Л, + \ Д2 + У/0 + У(0 - —

2 2 Гі2 _

Е + \ Ді + \ Д2 + У/0 + У(0 - —

2 2 г і2

Ф

(-)

Ф^} = -^У(8)Ф(_)

или

Е + -Ді + -До + У(г) + К'1-' - —

2 2 1 2 'Г із

КО

Ф

(-)

—^2(8) (1 + дРі2 )ФЇ

(-)

(3)

поскольку ф( ) = 1/а/2[1 + <7^12]Ф(1 Таким образом, мы получаем уравнение для компоненты Ф^кь к2; п , Г2), которое полностью эквивалентно уравнению (2). Перепишем уравнение (3) следующим образом:

1 л 1 л г — 1 г

Е + - Дх + - Д2 +------------------------+ —

2 2 гі г2

фі ) = V(гі, Г2)Фі

(-)

(4)

с потенциалом

1 у ___ 1

У(гьг2) =-------------------Уі(г)(»’ь г2) н---------------------дУ^\гі, г2)Рі2-

Гі2

Гі

Легко убедиться, что этот потенциал — короткодействующий в асимптотической области пространства П1, где г1 ^ г2.

Уравнение (4) является отправным для последующих численных вычислений. Заметим, что оператор в левой части (4) действует в двух независимых подпространствах {гх} и {г2}. Его частное решение есть произведение ф-(к^, г2; Z) ф-(к, гх; Z — 1) двух кулоновских волн. Физически это означает, что электрон 2 «видит» заряд ядра Z, тогда как электрон 1 «видит» экранированный электроном 2 заряд ^ — 1), т. е. один электрон находится гораздо ближе к ядру, чем другой, что и соответствует определению двухчастичной области П1.

Перейдём к интегральной форме уравнения (4):

Ф^кь к2; гх, г2) =

= [ф(къ г2; Z) ф(к2, г1; Z — 1)0(^2 — к\) + ф(к2 , г2; Z) ф(k1, г1; Z — 1)0(^1 — ^2)] +

+ I /¿г! ¿г2£(_)(гь г2; г1, г2; Е) V (г[, г2)Ф(—)(ко, ро; г1, г2), (5)

і

і

і

где 0(ж) — ступенчатая функция. Выбор свободного члена в такой форме обусловлен тем, что, во-первых, мы не знаем, какой из кулоновских функций с различными зарядами принадлежит тот или иной импульс, а во-вторых, ясно, что частица с большим импульсом улетает дальше от системы «медленный электрон + ядро» и «видит» экранированный заряд. В свою очередь, функция Грина двух независимых подсистем в (5) может быть представлена контурным интегралом

£?(->(гьг2; г^; Е) = | с1£д^\гъг'2] £■ г) д^\гъ г;; Е - £; 2 - 1),

определённым образом обходящим сингулярности обеих подынтегральных функций.

Волновую функцию бисферическому базису:

Волновую функцию ф ^ можно представить в виде парциального разложения по

2 1

Ф(х )(кьк2; гьг2) = '— V) (10т0Хо]іо\ЬМ) х

п к\ к‘і

ь 1о Хо

то (¿о

<М (Г1, Г2; *1, кь)У?0 то (к!) У,*о ¿0 (к2)0(*1 - *2) +

+ дчЬо Мо (Г1, Г2; к2,к1)У0 то (к2) У^ ¿о (к1Ж*2 - *1)] • (6)

В свою очередь, парциальную функцию УьоМо в (6) можно дальше разложить в ряд

(Г1,Г2)= Е СЬУ Х)(Е \ЩуX; ЬИ),

£, X, п, V

по базисным функциям

И V X; ЬМ) = у™ (г!, г2), (7)

Г2 Г1

где

1/2

Фу (г) =

(V — X — 1)! (V + X)!

(2мг)п+1е-игЬ2х+11(2пг), V > 1 + )

и и — параметр лаггеровского базиса.

А парциальную кулоновскую волну можно разложить по лаггеровскому базису ф^(г; Z) = ^2п Б“і (^)фП(г), и индекс а пробегает весь спектр. Учитывая это обстоятельство и собирая вместе все разложения, мы получим из (5)

Х)(кі,к2)= гіо+По 5(і ,)(і0,0) в-і(а‘о (^-1)+°п о (^» ^ (^ ^ - 1) <Яп 0 (^ ,Z) +

N-1 .

+ Е Е/^ТМ^-1 )д^)\Е-£,г)У^^сХ'П(Е), (8)

п' V', і"')'." с п' v'' = 0

где ' '

= (пIV ); ЬИ \ V (Г1, Г2) \п' І' V')'; ЬИ) .

Здесь наконец сделано приближение, а именно верхний предел суммирования в (8) подчёркивает ограниченность числа алгебраических уравнений.

5DCS для реакции двойной ионизации He(e,3e)He++ (сплошная линия), экспериментальные данные и CCC расчёты [1] (штриховая линия):

кинематические детали приведены в тексте; скорости всех электронов расположены в одной

плоскости

Уравнение (8) аналогично полученным ранее в работах [3, 4], а представленный формализм можно использовать и для получения волновой функции конечной системы (Не+ +е) [5], где он, кстати, более органичен. Поэтому здесь мы вынуждены за недостатком места отослать читателя к этим работам, где подробно изложен способ взятия контурного интеграла в (8). Представленный метод получения трёхчастичной волновой функции для дальнейшего использования в численных расчётах тесно связан с методом J-матрицы [6-8] и очень близок к работе [9], где получен дискретный аналог уравнения Липпмана—Швингера. Отметим, что в таком подходе нет необходимости использовать псевдосостояния с положительной энергией для описания испущенных электронов [10, 11].

Коррелированная волновая функция основного состояния атома гелия Фо может быть получена диагонализацией гамильтониана (2) в базисе (7). Расчёты проводились при выборе 1тах = 3, птах = vmax = 15 и и0 = 1,193, что дает энергию связи Е0 = = —2,903256 а. е. В свою очередь, для расчётов конечной волновой функции Ьтах = 2, I, \ ^ 5 количество лаггеровских функций на одну координату N = 21 и оптимальный выбор параметра базиса и = 0,3.

Результат расчёта сечения о(5) (1) представлен на рисунке. Здесь все события происходят в одной плоскости. Угол одного испущенного электрона 01, отсчитанный от направления падающего пучка против часовой стрелки, фиксирован, тогда как угол другого испущенного электрона 02 меняется. Их энергии составляют Е1 = Е2 = 10 эВ. Энергия быстрого рассеянного электрона составляет Е8 = 5500 эВ, и его плоский угол 0Я = 0,45° также фиксирован.

Наши результаты вполне удовлетворительно описывают эксперимент, что по абсолютной величине несколько лучше ранее проведённых расчётов с псевдосостояниями [1]. Расчёт других угловых распределений представлен в цитированных ранее работах авторов.

В заключение отметим, что предложенная схема и проведённые численные расчёты демонстрируют важность учёта полного спектра двухчастичной подсистемы, включая

континуум. Собственно, так и должно быть, поскольку мы используем фаддеевскую редукцию УШ, где, как известно, на авансцену выходят двухчастичные амплитуды вместо потенциалов, т. е. плоские волны превращаются в искажённые.

Литература

1. Kheifets A., Bray I., Lahmam-Bennani A. et al. A comparative experimental and theoretical investigation of the electron-impact double ionization of He in the keV regime // J. Phys. (B). 1999. Vol. 32. P. 5047-5065.

2. Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М., 1993. 398 с.

3. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В.Описание непрерывного спектра трёхчастичной кулоновской системы в J-матричном подходе // Ядерная физика. 2007. Т. 70. № 4. С. 706-713.

4. Knyr V. A., Zaitsev S. A., Popov Yu. V., Lahmam-Bennani A. The J-matrix method: a universal approach to description of ionization of atoms // The J -matrix Method: Recent Developments and Selected Applications: Articles / Ed. by A. D. Alhaidari, E. J. Heller, H. A. Yamani, M. S. Abdelmonem. 2008. P. 137-143.

5. Zaytsev S. A., Knyr V. A., Popov Yu. V., Lahmam-Bennani A. Application of the J -matrix method to Faddeev-Merkuriev equations for (e,2e) reactions: Beyond pseudostates // Phys. Rev. (A). 2007. Vol. 75. P. 022718-1-022718-11.

6. Heller E. J. Theory of J -matrix Green’s functions with applications to atomic polarizability and phase-shift error bounds // Phys. Rev. (A). 1975. Vol. 12. P. 1222-1231.

7. Yamani H. A., Fishman L. J-matrix method: Extensions to arbitrary momentum and to Coulomb scattering // J. Math. Phys. 1975. Vol. 16. P. 410-420.

8. Broad J. T., Reinhardt W. P. One- and two-electron photoejection from H~: a multichannel J-matrix calculation // Phys. Rev. (A). 1976. Vol. 14. P. 2159-2173.

9. Papp Z., Hu C.-Y., Hlousek Z. T., Konya B., Yakovlev S. L. Three-potential formalism for the three-body scattering problem with attractive Coulomb interactions // Phys. Rev. (A). 2001. Vol. 63. P. 062721-1-062721-11.

10. Bray I., Stelbovics A. T. Convergent close-coupling calculations of electron-hydrogen scattering // Phys. Rev. (A).1992. Vol. 46. P. 6995-7011.

11. Bray I., Fursa D. V., Kheifets A. S., Stelbovics A. T. Electrons and photons colliding with atoms: development and application of the convergent close-coupling method // J. Phys. (B). 2002. Vol. 35. P. R117-R146.

Статья поступила в редакцию 19 марта 2010 г.