CC BY
65
УДК 530.146.6
Вестник СПбГУ. Сер. 4. 2013. Вып. 4
И. Ю. Юрова, В. В. Куверова
ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ В ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОН-АТОМНОГО РАССЕЯНИЯ
Введение. Низкоэнергетическое рассеяние электронов на газообразных мишенях является важным процессом, определяющим параметры и свойства среды, например, низкотемпературной плазмы [1—3]. При некоторых энергиях столкновения в интервале 0,01-1 эВ длина свободного пробега электронов резко увеличивается, т. е. сечение рассеяния электронов имеет глубокий минимум, имеющий название эффекта Рамзауэ-ра [4-7]. Эффект Рамзауэра неоднократно изучался экспериментально при рассеянии электронов инертными газами, например в [4-6], причём в работе [6] было установлено, что для рассеяния электронов на Не и Ne данный эффект отсутствует, но проявляется при рассеянии позитронов на этих мишенях. Следует заметить, что проведение эксперимента при малых энергиях сильно осложняется, так как становится необходимым использование очень интенсивных электронных пучков с высоким разрешением величины энергии, поэтому здесь важна роль теоретических исследований.
Из методов теории по изучению упругого рассеяния электронов атомарными мишенями можно указать следующие: обобщённый метод эффективного радиуса [7, 8], метод R-матрицы с включением псевдосостояний [9]. Широко применим также метод парциальных волн с использованием эффективного поляризационно-корреляционного потенциала с локальным обменным взаимодействием или же с использованием псевдопотенциала [10-12]. В методе R-матрицы [9] появление минимума Рамзауэра связывалось с наличием соответствующего полюса R-матрицы, положение которого зависело от включенных в расчёт псевдоорбиталей. В теоретических работах было установлено, что общим условием появления минимума Рамзауэра является наличие короткодействующего потенциала взаимодействия электрона с мишенью, действующего в сумме с длиннодействующим поляризационным потенциалом Vpo\. Поляризационный потенциал на больших расстояниях от мишени имеет вид: Vp0\ ~ —a/(2r4), где a — константа поляризуемости. В работах [7, 8] параметры потенциала Vpo\ определялись из известной величины длины рассеяния электрона на атоме. Однако на меньших расстояниях точный вид Vpo\ не определён, и было использовано несколько различных аналитических выражений для его аппроксимации [10, 13]. Исследование зависимости результатов расчёта сечения рассеяния от вида поляризационного потенциала было сделано в работе [10] на примере рассеяния электронов атомом Не. Выбор потенциала был обоснован в работе [10] из наилучшего согласия теоретических и экспериментальных данных о сечении рассеяния. Однако не было установлено, подходит ли найденный в работе [10] потенциал для расчётов сечений рассеяния на мишенях, отличных от атома He. Определение оптимального вида поляризационного потенциала и его параметров является задачей, поставленной в нашей работе.
Выбор аналитического вида поляризационного потенциала. Рассмотрим различные виды поляризационных потенциалов взаимодействия электрона с ато-
Инна Юрьевна Юрова — профессор, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: inna-yurova@rambler.ru
Вероника Владимировна Куверова — аспирантка, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: notonlysquirrel@mail.ru
© И. Ю. Юрова, В. В. Куверова, 2013
мом [13]:
Vpol = -
2 г4 + Rj'
Vpol = -
2 (г2 + R2)2'
=
1 - exp(-rn/Rn)
n = 4, 5, 6.
(1) (2) (3)
В формулах (1)—(3) Яр — поляризационный параметр. Оптимальный вид поляризационного потенциала устанавливался из наилучшего согласия дифференциального сечения рассеяния, рассчитанного с данным потенциалом, с надёжными данными других работ. Наиболее чувствительным ввиду используемого потенциала оказывается низкоэнергетическое дифференциальное сечение рассеяния. Атом водорода в качестве мишени был выбран нами для тестирования свойств различных поляризационных потенциалов, поскольку для него имеются надёжные данные из других работ.
Расчёт сечения рассеяния мы производили методом парциальных волн с обменом [14]. В случае рассеяния на атоме водорода, находящемся в основном состоянии, уравнение Шрёдингера для радиальной волновой функции с орбитальным числом I имеет
вид
d2
dr2 г2
uS(r) = 2(Voo - WQ0)u[(r), к2 = 2(E - E0), Voo = Vstat (г) + Vpol (г).
(4)
Здесь Voo — прямой потенциал, равный сумме статического и поляризационного потенциалов; Wi^O — обменный потенциал, действующий на волновую функцию uf следующим образом:
WSouf(r) = (-l)s
(E - 2Eo)A(youf)bio -
yi (Wouf; г)
Wo(r),
21 +1
где ^ — полный спин системы электрон+атом; уо(г) — радиальная волновая функция основного состояния атома водорода;
г сю
У1(АВ; г)= --1! Л(т')Б(т')(г')Нт' + Г J А(т')Б(т')(г')-1-^г';
0 г
сю
А(АВ) = ! А(т')В(т')ат'.
о
В случае атома водорода статический потенциал электрон-атомного взаимодействия [14]
Vstat = - 1
1
I'stat = - 1 J- "Г - I e
„-2r
Амплитуды синглетного (Б = 0) и триплетного рассеяния (Б =1) определяются через соответствующие парциальные фазы:
= Тъ Е(2/ + !) [ехр(2г6г(5)) - 1] Рг(со8б),
i=o
1
а
р
1
а
р
а
р
2
г
tg 5
л(кт)(/(3) + 1/т) — кл-1(кт)
щ(кт)(1(5) + 1/т) — кщ-1(кт)
1 ^
1 ¿и
,(«) ¿т
т = яс
Здесь Кс определяется из условия: при расстояниях т > Ко потенциалом Уоо — ^00 можно пренебречь по сравнению с энергией столкновения; функция и(в) находится из решения интегродифференциального уравнения (4). Известно точное значение константы поляризуемости атома водорода в основном состоянии: ар(И) = 4,5 [15]. Значения поляризационного параметра Кр взаимодействия электрона с атомом водорода для поляризационных потенциалов (1)-(3) были получены за счёт достижения известной энергии связанного состояния отрицательного иона водорода, Еа = 0,754 эВ [16], из решения уравнения (4) для синглетного связанного состояния электрона в поле атома водорода. В таблице приведены значения поляризационного параметра атома водорода для разных потенциалов (1)-(3).
Значения поляризационного параметра Яр для рассеяния электронов на атоме водорода в случае поляризационных потенциалов Уро1 вида (1)—(3)
Номер формулы (1) (2) (3), п = 4 (3), п = 5 (3), п = 6
Кр 2,038 1,738 2,113 1,789 1,895
к
г
На рис. 1 представлены результаты расчётов дифференциального сечения рассеяния, усреднённого по полному спину Б': сШ/<К1 = ((¿а5=0/сЮ + Зйа5=1/сЮ)/4, и данные эксперимента [17]. Результаты наших расчётов дифференциального сечения рассеяния на атоме водорода представлены на рисунках. Лучшее соответствие с экспериментом даёт потенциал (2), поэтому мы выбираем данный вид поляризационного потенциала. Такой же выбор вида поляризационного потенциала сделан в работе [10], где рассматривалось сечение упругого рассеяния низкоэнергетических электронов на атомах гелия.
я а и
X I
я а
I
и & 1
и
я
60 90 120 Угол рассеяния, град.
хЖ ■ +\ \\
+\ \\\\ 1.....
180 0
30 60 90 120 Угол рассеяния, град.
150 180
Рис. 1. Среднее по проекциям спина дифференциальное сечение упругого рассеяния электрона на атоме водорода в статическом приближении, энергия столкновения 1,597 эВ (а) и 6,691 эВ (б):
нижний пунктир — расчёт с нулевым поляризационным потенциалом; сплошные кривые, 1, 3-5, соответствуют расчётам с потенциалами (1)—(3), п = 4, 5, 6; 2, крестики — эксперимент [17]
3
3
2
2
1
Определение поляризационного параметра для атомов аргона и криптона. При определении параметра Яр поляризационных потенциалов (1)—(3) для атомов Аг и Кг нельзя использовать тот же приём, что был использован нами для атома водорода, поскольку атомы инертных газов не образуют связанного состояния с электроном. Зато хорошо известно энергетическое положение минимума Рамзауэра Ед в сечении упругого рассеяния электронов на атомах Аг и Кг при малых энергиях столкновения Ей = 0,306 эВ для Аг [11], Ей = 0,763 эВ для Кг [5]. Приведённые значения Ей будем использовать для определения параметра Яр из расчёта полного сечения упругого рассеяния электрона на атомах Аг и Кг методом парциальных волн, решая уравнение (4) без учёта обменного потенциала, поскольку обменные эффекты для данных атомов с замкнутой электронной оболочкой малы. Мы использовали два варианта аналитической аппроксимации для статического потенциала взаимодействия электрона с атомами Аг и Кг: потенциал Грина ^огееп [18] и потенциал Сальвата [19]:
2 1
^гееп = -7Я(ехр(г/^_1) + 1> (5)
2
=--(¿1 ехр(-Вгг) + А2 ехр(~В2г) + ехр(-ВД), (6)
г
где 2 — заряд ядра атома-мишени. Параметры потенциалов (5) и (6) приведены в работах [18] и [19] соответственно. Значения констант поляризуемости ар(Аг) = 11,1 а0 и ар(Кг) = 16,8а0 [15]. Наши расчёты показали, что при использовании короткодействующего потенциала Сальвата (6) минимум Рамзауэра в случае рассеяния на Аг не появлялся ни при каких значениях параметра Яр в противоположность потенциалу Грина (5), поэтому для дальнейших расчётов мы использовали потенциал (5) для Аг и Кг. В результате получили следующие значения поляризационного параметра: Яр(Аг) = 2,280ао, Яр(Кг) = 1,345ао. Результаты расчётов дифференциальных сечений рассеяния представлены на рис. 2, где данные других работ, ввиду их плотности, показаны затемнённой площадью; соответствующие ссылки можно найти в работах [5]
Рис. 2. Интегральное сечение рассеяния электронов на атомах аргона (слева) и криптона (справа):
толстые сплошные кривые — результаты нашего расчета с параметрами Яр(Аг) = 2,280ао и Яр(Кг) = 1,345«о, остальные кривые и символы — данные других теоретических и экспериментальных работ, соответствующие ссылки на них приведены в работах [11] и [5, 12] для аргона и криптона соответственно
и [12]. Как можно убедиться, результаты нашего расчёта согласуются с результатами других работ. Следовательно, используемый нами эффективный потенциал с определённым поляризационным параметром может применяться для расчётов сечения рассеяния низкоэнергетических электронов на атомарных мишенях, таких как водород, аргон, криптон. Если заменить эффективный потенциал Грина (5) эквивалентным потенциалом Юкавы, имеющим более простой аналитический вид, то возможно получить критерий появления минимума Рамзауэра, связывающий константы короткодействующего и длиннодействующего потенциалов.
Заключение. В настоящей работе найден оптимальный аналитический вид поляризационного потенциала взаимодействия электрона с атомом. Данный потенциал использовался в расчёте сечения упругого рассеяния низкоэнергетических электронов на атомных мишенях, таких как водород, аргон, криптон. Параметр поляризационного потенциала определялся по сродству к электрону (водород) или по положению минимума Рамзауэра (аргон, криптон). Результаты расчёта находятся в согласии с данными эксперимента и другими теоретическими расчётами.
Литература
1. KiD.-H., Jung Y.-D. Influence of the dynamic plasma screening on the Ramsauer phenomena for the polarization collision in thermal plasmas // Physics of Plasmas. 2012. Vol. 19. 044504.
2. Kobzev G. A., Iakubov I. T., Popovich M. M. Transport and optical properties of nonideal plasma. New York: Plenum, 1995. Vol. XIII. 318 p.
3. Smirnov B. M. Plasma processes and plasma kinetics. Weinheim: Wiley-VCH, 2007. 582 p.
4. Frost L. S., Phelps A. V. Momentum — transfer cross sections for slow electrons in He, Ar, Kr, and Xe from transport coefficients // Phys. Rev. (A). 1964. Vol. 136, N 6. P. A1538-A1545.
5. Kurokawa M., KitajimaM., Toyoshima K. et al. Threshold photoelectron source for the study of low-energy electron scattering: Total cross section for electron scattering from krypton in the energy range from 14 meV to 20 eV // Phys. Rev. (A). 2010. Vol. 8. 062707.
6. Stein T. S., Kauppila W. E., Pol V. et al. Measurements of total scattering cross sections for low-energy positrons and electrons colliding with helium and neon atoms // Phys. Rev. (A). 1978. Vol. 17, N 5. P. 1600-1608.
7. Nakanishi H., Schrader D. M. Simple but accurate calculations on the elastic scattering of electrons and positrons from neon and argon // Phys. Rev. (A). 1986. Vol. 34, N 3. P. 1823-1840.
8. Hinckelmann O., SpruchL. Low-energy scattering by long-range potentials // Phys. Rev. (A). 1971. Vol. 3, N 2. P. 642-648.
9. Bell K. L., Scott N. S., Lennon M. A. The scattering of low-energy electrons by argon atoms //J. Phys. (B). 1984. Vol. 17, N 23. P. 4757-4765.
10. ZhangX., Sun J., Liu Y. A new approach to the correlation polarization potential-low-energy electron elastic scattering by He atoms // J. Phys. (B). 1992. Vol. 25, N 8. P. 1893-1897.
11. PlenkiewiczB., PlenkiewiczP., Jay-Gerin J.-P. Pseutlopotential calculations for elastic scattering of slow electrons (0-20 ev) from noble gases. I. Argon // Phys. Rev. (A). 1988. Vol. 38. N 9. P. 4460-4469.
12. PlenkiewiczB., Plenkiewicz P., Jay-Gerin J.-P. Pseutlopotential calculations for elastic scattering of slow electrons (0-20 ev) from noble gases. II. Kripton //Phys. Rev. (A). 1988. Vol. 38, N 12. P. 6120-6128.
13. LaughlinC., Victor G. A. Model-potential methods // Adv. At. Mol. Phys. 1988. Vol. 25. P. 163-194.
14. Бэрк Ф. Д. Потенциальное рассеяние в атомной физике. М.: Атомиздат, 1980.
15. MitroyJ., Safronova M. S., Clark C. W. Theory and applications of atomic and ionic polar-izabilities // J. Phys. (B). 2010. Vol. 43. 202001.
16. Радциг А. А., Смирнов Б. М. Справочник по атомной и молекулярной физике. М.: Атом-издат, 1980.
17. Williams J. F. Electron scattering from Hydrogen atoms II. Elastic scattering at low energies from 0.5 to 8.7 eV // J. Phys. (B). 1975. Vol. 10, N 10. P. 1683-1692.
18. Green E. S., SelinD. S., ZachorA. S. Analytic independent particle model for atoms // Phys. Rev. 1969. Vol. 184, N 1. P. 1-9.
19. SalvatF., MayolR., Martinez J. D, Parellada J. Analytical Dirac—Hartree—Fock—Slater screening function for atoms (Z = 1 ^ 92) // Phys. Rev. (A). 1987. Vol. 36, N 2. P. 467-474.
Статья поступила в редакцию 2 июля 2013 г.
