CC BY
23
УДК 539.172
Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2010, вып. 3
Б. Е. Гринюк, И. В. Сименог
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТРУКТУРНЫХ ФУНКЦИЙ ЯДЕР 6Li И 6Ш В РАМКАХ ТРЁХЧАСТИЧНОЙ МОДЕЛИ*
Свойства связанных состояний систем трёх и большего числа частиц могут изучаться с надёжной точностью в рамках вариационного метода с использованием гауссои-дального базиса (см. [1, 2] и обзор [3]). Этот метод демонстрирует простоту и высокую эффективность при вычислении энергий и волновых функций различных систем трёх и четырёх частиц [4-6], в том числе в случае околопороговых слабосвязанных состояний [7, 8]. В данной работе на примере ядер 6Ы и 6Не будет показано, что в рамках указанного подхода можно численно анализировать также асимптотику трёхчастичных волновых функций [9, 10] и соответсвующих структурных функций системы.
Ядра из шести нуклонов, как известно [11, 12], имеют явно выраженную трёхклас-терную структуру (а-частица и два нуклона гало) и поэтому с хорошей точностью могут быть описаны в рамках трёхчастиной модели. Если потенциалы Nа-взаимодействия строить [13, 14] не только на основе описания фаз рассеяния, но также одновременно описывая энергии связи и размеры этих ядер, то все основные структурные характеристики ядер 6Ы и 6Не согласуются с известными экспериментальными данными.
Хотя в области взаимодействия (в пределах нескольких ферми) волновые функции ядер 6Ы и 6Не примерно схожи (в обоих ядрах присутсвуют конфигурации «треугольника» и «сигары» [11, 12], хотя и с разными относительными вероятностями), то асимптотические свойства волновых функций (а вместе с ними и распределений плотности) оказываются существенно различными. Это обусловлено тем, что ядро 6Ы слабо связано и имеет двухчастичный порог развала (а-частица плюс дейтрон), а ядро 6Не имеет сугубо трёхчастичный порог (а-частица плюс два нейтрона).
Распределение плотности па(г) «точечной» а-частицы в обоих ядрах характеризуется двумя явно выраженными областями: центральный «кор» (^ 0,5 фм, наличие которого порождено конфигурацией «сигары») сменяется «гало» (^ 2 фм), обусловленным конфигурацией «треугольника» (рис. 1а). И лишь на расстояниях ^ 2 фм (где плотность уже очень мала) наступает асимптотическая область, которую проще изобразить в виде её отношения к найденному аналитически асимптотическому выражению па, аэутр(г). Можно показать, что в случае ядра 6Ы (имеющего двухчастичный порог развала на а + ¿) асимптотика па(г) имеет вид
п(г)^п (г) - с (еи) ^1/2(2Ккг) : с (еи) ехР(~2^) т
где W_.fi, 1/2(г) - функция Уиттекера, п = Ца^е2/(Й2к) ^ 0,30024 - кулоновский параметр (для системы а-частица плюс дейтрон), к = |Е(6Ы) — Е(ё)\/Ь?)1/2 ~ ^ 0,3078 фм-1, Ха = (тр + тп + та)/(тр + тп) ^ 2,98493. Сравнение асимптотики (1)
7а ^6т Л ~ л ЙЙ Лл»„-3
с численными расчётами показывает, что Ca (6Li) ^ 4,88 фм 3. Во вставке изображено
* По материалам доклада на юбилейном семинаре «Вычислительная физика» 29—30 октября 2009 г., С.-Петербург.
Работа выполнена при частичной поддержке фонда фундаментальных программ ОФА НАН Украины.
© Б. Е. Гринюк, И. В. Сименог, 2010
na(r), фм-3 1,0
na(r), фм-3 2,0
8
г, фм г, фм
Рис. 1. Распределения плотности па(г) для а-частицы в ядре 6Ы (а) и в ядре 6Ив (б): пунктиром во вставках показано отношение па(г) к асимптотическому выражению (1) или (2), соответственно
отношение плотности па(г) к его асимптотике. Видно, что это отношение становится равным единице уже при г ~ 2 фм. Наш расчёт на основе вариационного метода с гаус-соидальным базисом (до ~ 300 базисных функций) остается надёжным до г ~ 8 фм, где плотность па(г) становится ~ 10-9 по отношению к её значениям вблизи нулевых расстояний.
Изучение па(г) на больших расстояниях в случае ядра 6Не, имеющего сугубо трёх-частичный порог развала, основывается на принципиально иной, трёхчастичной асимптотике Меркурьева [8, 9] для волновой функции, типа ~ ехр{ — ■\f\E\R}/Д5/2, где Н - гиперрадиус. Можно показать, что асимптотика для плотности па(г) в этом случае будет иметь вид
.(r)
CaO H--— + •••
ar
(2)
где a = E (6He)| ma (2mn + ma) /(K2mn) ~ 1,49133 фм-1. Сравнение (2) с численным расчётом, показанным на рис. 1б, позволяет определить константы Cao = = 0,10 фм-3 и Cai = 2,43 фм-3. Из-за малости Ca0 в сравнении с Cai оба слагаемые в (2) важны в области не слишком больших расстояний (до — 8 фм, где наш расчёт с использованием — 300 базисных функций остается надёжным, хотя na(r) уменьшается до - 10-9).
В асимптотике плотности np(r) распределения протона гало в ядре 6Li, как можно показать, в широкой области расстояний важно сохранить два конкурирующих между собой слагаемых:
(r) ^ Cpi (6Li) (2Лр1 кг) 2 W\i/2 (2Лр1 кг) + Cp2 (6Li) (2Лр2ar) 2 e
-2 —2Л ar p2 ,
(3)
поскольку оказывается, что показатели в экспонентах очень близки благодаря совпадению Лр1к ~ 0,46286 фм-1 и Лр2а ~ 0,46294 фм-1 (здесь а = ^2\1пргС1 /Ь? ~ ~ 0,23163 фм-1, ЛР1 = (тр + тп + та)/та ~ 1,503796 и Лр2 = (тр + тп)/тп ~ ~ 1,998623). Такое совпадение можно переписать через энергии связи 6Ы и дейтрона: Е (6Ы) = (тр + тп)(тп + та) / (тп(тр + тп + та)) • Е(¿) « 5/3 • Е(3), что выполняется только для 6Ы.
— ar
e
Р
«„(г), фм-3 0,010
0,0080,0060,0040,002-
0 2 4 6 8 10 12 14 16
г, фм
Па(г), фм-3 0,016
0
10 12 14 16
г, фм
10 12
г, фм
Рис. 2. Распределения плотности пр(г) протона гало в ядре 6Ы (а) и плотности нейтронного гало в ядре 6Ив (б):
во вставках показано отношение плотности к её соответствующему асимптотическому выражению (3) или (4)
На рис. 2а показана плотность пр(г) протонного гало в ядре 6Ы, а также (во вставке) отношение этой плотности к асимптотике (3) в случае Ср\ (6Ь1) = 0,565 фм~3 и Ср2 (6Ь1) = 0,250 фм~3. Видно, что асимптотика (3) наступает после г ~ 10 фм и уверенно подтверждается вариационными расчётами 300 базисных функций) до
10
-7
относительно максимального значения на
г ~ 16 фм, где достигает значений малых расстояниях. Заметим, что похожим образом - типа (3) - ведёт себя плотность нейтронного гало пп(г), которую мы здесь для краткости не приводим. Отметим только, что главным образом за счёт кулоновского отталкивания между протоном гало и а-частицей плотность пр (г) несколько больше в асимптотической области, а на малых расстояниях - меньше, чем пп(г).
Асимптотика распределения плотности пп(г) нейтронного гало в ядре 6Не определяется трёхчастичной асимптотикой Меркурьева [9, 10] волновой функции системы. Можно показать, что на больших расстояниях
пп(г)
-Ьт
,, ч о . СпО + ' ,
(Ъг) 2 V Ьг
+
(4)
где Ь = 4-\/|£т (6Не)| тп/Ь? ~ 0,61303 фм-1. Сравнение с численным расчётом плотности нейтронного гало позволяет определить константы Спо = 0,04 фм~3 и Сп1 = = 0,11 фм~3. На рис. 2б показана плотность пп(г) (сплошная кривая) и (во вставке) отношение её к асимптотике (4). Видно, что асимптотика (4) наступает, начиная от ~ 6 фм. Заметим, что плотность нейтронов гало в 6Не не имеет явно выраженного «провала» в нуле, в отличие от плотности нуклонов гало в ядре 6Ы, где он только «намечается» (ср. рис. 1а и рис. 1б), хотя в обоих случаях нуклон-нуклонное взаимодействие выбрано [13, 14] с короткодействующим отталкиванием. В данном случае важную роль играет также доминирование конфигурации «треугольника» (т. е. а-частица плюс дейтрон) над конфигурацией «сигары» в ядре 6Ы, тода как в ядре 6Не роль конфигурации «треугольника» существенно меньше (т. к. нейтроны гало взаимодействуют слабее и образуют динейтронный кластер только в присутствии а-частицы).
Рис. 3. а - квадрат амплитуды (5) (сплошная кривая) и р2 |/^(р)|2 (пунктир); б - амплитуда кластеризации (5), домноженная на р (сплошная кривая):
во вставке пунктиром показано отношение fd(р) к её асимптотике (6)
Таким образом, установлены аналитически и подтверждены численно асимптотики всех распределений плотности в ядрах 6Ы и 6Не.
Рассмотрим амплитуду [15] кластеризации дейтрона в ядре 6Ы:
/й (Р) = У ф^(Гир) Ф(гпр, р) ¿гпр, (5)
где ф^(г) - дейтронная волновая функция, Ф(гпр, р) - волновая функция 6Ы в трёх-частичной модели. Та же амплитуда (5) обозначена через I(р) в известной работе [16] и используется при вычислении асимптотических констант и соответствующих спектроскопических факторов, важных для астрофизических приложений. Величина |/^(р)|2 показана на рис. 3а сплошной кривой, а величина р2 |/^(р)|2 - пунктиром. Последняя отражает вероятность «найти дейтрон» в ядре 6Ы на расстоянии р от а-частицы. Наличие двух максимумов у этой кривой (на малых расстояниях и на расстояниях ~ 3-4 фм) отражает присутствие в волновой функции 6Ы конфигураций «сигары» и «треугольника» (соответственно). Величина С^ = / |/^(р)|2 3р (коэффициент кластеризации) даёт оценку полной вероятности «найти дейтрон» в ядре 6Ы. Эта вероятность оказывается около 0,70 (порядка 0,09 даёт конфигурация «сигары» и 0,61 - конфигурация «треугольника»).
Анализ асимптотики амплитуды (5) при р ^ ж позволяет найти асимптотическую нормировочную константу для процесса 6Ы ^ а + 3,, что непосредственно даёт [12, 16, 17] соответствующую вершинную константу. Известно, что эта асимптотика имеет вид
/¿(р) -► С А р-1 И—,, 1/2 (2кр) -► С А р-1 ехр (—кр - Л 1п(2кр)). (6)
р—У^О р—У^о
На рис. 3б показано отношение амплитуды (5) к её асимптотике (6) для одного из вариантов Жа-потенциалов, использованных в [14]. При этом С а = 0,693 фм-1/2, или л/АлСа = 2,46 фм-1/2. Для другого Жа-потенциала из [14] находим С а = 0,705 фм-1/2, или \/4лСа = 2,50 фм-1/2. Эти оценки согласуются с результатами других авторов
[12, 17]. Заметим, что асимптотика (6) амплитуды кластеризации (5) начинается от р ~ ~ 5 фм (см. рис. 3б) и уверенно прослеживается в используемом вариационном подходе (с ~ 300 базисными функциями) до расстояний р ~ 16 фм.
Таким образом, используемый вариационный метод позволяет уверенно анализировать кластеризацию ядерных систем.
В заключение один из авторов (Б. Е. Г.) выражает глубокую признательность проф. С. П. Яковлеву за обсуждение результатов работы.
Литература
1. Kukulin V. I., Krasnopol'sky V. M. A Stochastic Variational Method for Few-Body Systems // J. Phys. (G). 1977. Vol. 3. N 6. P. 795-811.
2. Колесников Н. Н., Тарасов В. И. Феноменологический ЖЖ-потенциал из анализа трёхи четырёхчастичных ядер // ЯФ. 1982. Т. 35. Вып. 3. С. 609-619.
3. ¡Suzuki Y., Varga K. Stochastic Variational Approach to Quantum-Mechanical Few-Body Problems. Springer-Verlag, 1998.
4. Simenog I. V., Dotsenko I. S., Grinyuk B. E. Advantages of a Representation without Use of the Isospin Formalism, and Precise Study of Few-Nucleon Systems // Ukr. J. Phys. 2002. Vol. 47. N 2. P. 129-137.
5. Grinyuk B. E., Piatnytskyi D. V., Simenog I. V. Structure Characteristics of a 4He Nucleus within the Microscopic Approach // Ukr. J. Phys. 2007. Vol. 52. N 5. P. 424-435.
6. Simenog I. V., Grinyuk B. E., Bidasyuk Yu. M. Can Tetraneutron Exist from Theoretical Point of View? // Ukr. J. Phys. 2006. Vol. 51. N 10. P. 954-960.
7. Grinyuk B. E., Kuzmenko M. V., Simenog I. V. Precise Study of the Efimov Three-Particle Spectrum and Structure Functions within Variational Approach // Ukr. J. Phys. 2003. Vol. 48. N 10. P. 1014-1023.
8. Simenog I. V., Bidasyuk Yu. M., Grinyuk B. E., Kuzmenko M. V. Energy Thresholds of Stability of Three-Particle Systems // Ukr. J. Phys. 2007. Vol. 52. N 1. P. 77-89.
9. Меркурьев С. П. Об асимптотическом виде трёхчастичных волновых функций дискретного спектра // ЯФ. 1974. Т. 19. № 3. C. 447-461.
10. Меркурьев С. П., Фаддеев Л. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М., 1985. 400 с.
11. Zhukov M. V., Danilin B. V., Fedorov D. V. et al. Bound State Properties of Borromean Halo Nuclei: 6He and 11 Li // Phys. Reports. 1993. Vol. 231. N 4. P. 151-199.
12. Kukulin V. I., Pomerantsev V. N., Razikov Kh. D. et al. Detailed study of the cluster structure of light nuclei in a three-body model. (IV). Large space calculation for A = 6 nuclei with realistic nuclear forces // Nucl. Phys. (A). 1995. Vol. 586. P. 151-189.
13. Гринюк Б. Е., Сименог И. В. Структура ядра 6He в трёхчастичной модели // ЯФ. 2009. Т. 72. № 1. С. 10-24.
14. Grinyuk B. E., Simenog I. V. Three-Particle Structure of the Halo Nucleus 6Li // Nuclear Physics and Atomic Energy. 2009. Vol. 10. N 1. P. 9-19.
15. Filippov G. F., Ovcharenko V. I., Simenog I. V. Cluster Structure of the Three-Particle Bound State // Preprint ITP-71-74E. Kiev, 1971. 46 p.
16. Блохинцев Л. Д., Борбей И., Долинский Э. И. Ядерные вершинные константы // Физ. элементарн. част. атом. ядра. 1977. Т. 8. Вып. 6. С. 1189-1245.
17. Блохинцев Л. Д., Игамов С. Б., Нишонов М. М., Ярмухамедов Р. Расчёт ядерной вершинной константы (асимптотического нормировочного коэффициента) для виртуального распада 6 Li ^ а+d в модели трёх тел и её применение для описания астрофизической ядерной реакции d(a, y)6Li при сверхнизких энергиях // ЯФ. 2006. Т. 69. № 3. С. 456-466.
Статья поступила в редакцию 19 марта 2009 г.
