Ионизация атомов водорода протонами и электронами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.17

ИОНИЗАЦИЯ АТОМОВ ВОДОРОДА ПРОТОНАМИ И

ЭЛЕКТРОНАМИ

С. А. Позднеев

Представлены расчеты ионизации атомов водорода электронами и протонами, выполненные на основе эйкональ-ного приближения в системе трех заряженных частиц.

Процессы ионизации в атомных столкновениях как с легкими, так и тяжелыми частицами, например, ионизация атомов водорода электронами и протонами

ТТ | е + Я* процессы упругого рассеяния возбуждения е ■+ Я < (1)

I р + е + е процессы ионизации

р + Н процессы упругого рассеяния возбуждения р + Я —> < Я + р процессы перезарядки с возбуждением (2)

р + е + р процессы ионизации

привлекали и привлекают пристальное внимание как экспериментаторов, так и теоретиков [1, 2], причем именно в этих процессах впервые возникла необходимость математически корректного описания волновых функций системы нескольких частиц [3].

В этом случае дифференциальное сечение ионизации определяется формулой [1, 2, 4

-7]

= К^ ,

¿Е}<т} к, У е е'

где

Ае = -2тг/х / Ф^Ф.Л- (3)

- амплитуда процесса ионизации,

ф, = (2тг )~3/2<^ ехр ¿К,Я

10

-1б

5 о

£ X 1> 3* и

и

10

-17

в Т —"»■■•ч — I

■ 0ЛЕ

- е+Н->е+р+е \ -

• | ........" •

10

100 1000 Энергия, эВ

16 18 20 22 Энергия, эВ

Рис. 1. Полное сечение ионизации атомов водорода электронами. Символы - экспериментальные данные [1, 2, 8, 9]; А - расчеты в приближении Борна [1, 2]; В, С - расчеты в приближении Борна с обменом [1, 2]; Б - расчеты в приближении Очкура [1, 2]; I - результаты расчетов настоящей работы.

Рис. 2. Сечение ионизации атомов водорода электронами около порога ионизации. • - экспериментальные данные [1, 2, 8, 9]; штриховая линия - расчеты в борн-кулоновском приближении [1, 2]; сплошная линия - результаты расчетов настоящей работы.

- волновая функция начального состояния трехчастичной системы, - волновая функция связанного состояния пары, К,, К/, ке - моменты налетающей и рассеянной частиц, а также момент ионизованной частицы,

г г г2

К = УрН =----+ —

г 1 г2 г12

- потенциал взаимодействия в случае рассеяния протона на атоме водорода,

г12 = |Г1 - г2|

г 2 1 К = Кя =----+ —

г2 Г12

в случае рассеяния электрона на атоме водорода.

С-1 р

га £

н S X

а> у

и о о о X л

S

a х

о О. О

■е-•е-

К

fee

0.080 0.060 0 040 0 020

0.015 0.010 0.005 0000

Е=1.0 Hartree

0.04

Е=1.5 Hartree

■ V* - • • V • -V •V * —• ■.... 1 .... t . singlet t / У L У

ж 1: triplet /-

->\ / -

• \ / ■

г Л / -

\ /

\ /

/

: _, i i ч-1

0.00

0 00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Энергия испущенных электронов, а.е.

0.00 0.50 1.00 1.50 Энергия испущенных электронов, а.е.

Рис. 3. Дифференциальное сечение ионизации атомов водорода электронами, а) - Е = 1 ЕаНгее, б) - Е — 1.5 НаНгее. о - экспериментальные данные [1, 2]; штриховая линия -результаты расчетов в квазиклассическом приближении [2]; сплошная линия - результаты расчетов настоящей работы.

Основная трудность, возникающая при расчетах сечений процессов ионизации (1, 2) - это нахождение асимптотики функции Ф/ во всех областях конфигурационного пространства в связи с тем, что при определении амплитуды Ае (3) приходится интегрировать по всему конфигурационному пространству.

Поэтому для описания процессов ионизации при столкновении электронов и протонов с атомами водорода (1,2) естественно использовать квантовую теорию рассеяния для системы трех заряженных частиц, основу которой составляют модифицированные интегро-дифференциальные уравнения Фаддеева в конфигурационном пространстве. Однако кулоновские взаимодействия, присущие этой простейшей задаче трех заряженных частиц, представляют значительные трудности для численного решения.

Попытки построения волновых функций системы нескольких частиц, не связанных с решениями уравнений Фаддеева, предпринимались во многих работах [1-6].

100

г

т

Н++Н

0 2 4 6 8 10 12 14 Е, кэВ/а.е.м.

10

Е, кэВ

10

,з

Рис. 4. Полное сечение ионизации атомов водорода протонами. Символы - экспериментальные данные [11 - 13]; штриховая линия - результаты расчетов в квазиклассическом приближении [10 - 12]; сплошная линия - результаты расчетов настоящей работы.

Рис. 5. Полное сечение ионизации атомов водорода и гелия. Символы - экспериментальные данные [1, 2, 11 - Ц]; А - приближение Борна [1, 2]; В - результаты расчетов настоящеь работы; С - приближение метода искаженных волн [1, 2]; (? - приближение Глаубера [1, 2, 9 - Ц]; В - приближение сильной связи [1, 2, 9 - Ц]; I ~ классические траекторные расчеты

В [4] для описания динамики трех частиц в конечном состоянии использовались волновые функции в виде произведения трехчастичных плоских волн и кулоновских искажающих множителей, выраженных через вырожденные гипергеометрические функции. Подобное представление волновых функций оправдано только в том случае, когда все расстояния между тремя парами частиц стремятся к бесконечности [3].

В работах [5] была предпринята попытка построения асимптотического решении трехчастичного уравнения Шредингера в области конфигурационного пространства, где две частицы находятся недалеко друг от друга, а третья находится на достаточно большом расстоянии (причем, как отмечено в ряде работ [4 - 6], эта область

[1, 2].

Г чп ь

-а

О

0.0 0.2 0.4 0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 V,, а. е. Уе, а. е.

Рис. 6. Дифференциальное сечение распределения ионизованных электронов по скоростям при столкновении протонов с атомами водорода, о - экспериментальные данные [1, 2, 11]; Сплошная кривая - результаты расчетов настоящей работы.

конфигурационного пространства вносит значительный вклад в амплитуду рассеяния). Однако волновые функции, полученные с учетом кулоновского перерассеяния пар частиц, имеют некорректное асимптотическое поведение [3, 6], а так как при вычислении амплитуды интегрирование проводится по всему конфигурационному пространству системы трех тел, то тем самым подобные волновые функции не могут быть использованы в расчетах.

Таким образом, основной недостаток всех представленных выше теоретических моделей ионизации следующий:

- применение для описания процессов ионизации волновых функций, имеющих неправильное асимптотическое поведение [4, 5];

- применение волновых функций системы трех тел, имеющих корректное асимптотическое поведение, но к совершенно иной задаче, а именно описанию рассеяния в системе четырех и большего числа заряженных частиц [6], для которой, естественно, волновые

Е, кэВ Е, кэВ

Рис. 7. Полное сечение ионизации атомов водорода протонами в зависимости от главного квантового числа а) п = 1 — 2; б) п = 3 — 5. Символы - экспериментальные данные [1, 2, 12 - Ц]; штриховая линия - результаты расчетов в квазиклассическом приближении [1, 2, 11]; штрих-пунктирная линия - результаты расчетов в борн-кулоновском приближении [1, 2, 9 - 14]; сплошная линия - результаты расчетов настоящей работы.

функции системы трех тел применены быть не могут.

Поэтому применим эйкональное приближение для построения волновых функций системы трех заряженных частиц, справедливое в случае возмущений, малых по сравнению с энергией Е налетающей частицы (Ус(х)/Е << 1, Ус(х) - кулоновские потенциалы). Отметим, что это эйкональное приближение было успешно применено для построения асимптотических граничных условий для модифицированных уравнений Фаддеева [3]. В этом случае также не требуется решение модифицированных уравнений Фаддеева и тем самым задача упрощается и приводится к вычислению интегралов.

Таким образом, основной целью настоящей работы является применение эйкональ ного приближения [7] для расчетов процессов ионизации атомов водорода протонами и электронами.

Рис. 8. Дифференциальное сечение процесса перезарядки протонов на атомах водорода при энергии налетающих протонов 2.5 МэВ. Штриховая линия - результаты расчетов в эйко-нальном приближении [1, 2, 5, 12]; пунктир - результаты расчетов в приближении сильной связи [1, 2, 5, 12]; сплошная линия - результаты расчетов настоящей работы.

Рис. 9. Дифференциальное сечение процесса перезарядки протонов на атомах водорода при энергии налетающих протонов 624 МэВ. Штриховая линия - результаты расчетов в эйко-нальном приближении [1, 2, 5, 12]; пунктир - результаты расчетов в приближении сильной связи [1, 2, 5, 12]; сплошная линия - результаты расчетов настоящей работы.

1

0|аЬ, мрад

1

©1аЬ, мрад

В нашем случае уравнение Шредингера имеет вид (для простоты рассмотрим рассеяние электрона на атоме водорода)

(ДГ1 + ДГ1 -2V- 2£)Ф = 0. (4)

Для построения асимптотики Ф во всех областях конфигурационного пространства используем эйкональное приближение, представленное в [3, 7].

В области, где две частицы находятся недалеко друг от друга, а третья частица

Рис. 10. Дифференциальное сечение процесса перезарядки протонов на атомах гелия пр< энергии налетающих протонов 1.78 МэВ. Штриховая линия - результаты расчетов в эйко нальном приближении [1, 2, 5, 12]; пунктир - результаты расчетов в приближении сильной связи [1, 2, 5, 12]; сплошная линия - результаты расчетов настоящей работы.

находится на достаточно большом расстоянии, положим

Ф = ехрг(к1г1 + к2г2)Ф. (5)

Подставим (5) в (4) и, учитывая Е = (к2 + А;|)/2, получим следующее уравнение для

Ф:

ДГ1 + ДГ2 + 2г'(кгУп + к2УГ2 - 2= 0. (6)

Используя квазиклассическое представление для Ф

Ф = АехргФ(г!) (7)

и подставляя (7) в (6), получим следующее уравнение для определения Ф:

(к1уР1 + к2уга)Ф =-¿/г! - 1/г12,

решение которого имеет вид

Z - 1 Ф = - —1п(г, + kXTi) + --— ln(r12 + (kj - к2)(г! - r2)).

Ki Ki — k2

Для функции А имеем уравнение

(ДГ2 + 2гк2е// + Vr2 - 2Z/r2)A = О,

где

к2е// = к2 + УГ2Ф

и решение которого имеет вид

Z

л= 1 F^-i--,1;-г'£2е//(г2 + /;2е//г2)).

2е//

В области, где все три частицы находятся далеко друг от друга, имеем

R = (ri + r2)/2, Г = Г1-Г2.

Положив

Ф = ВехргЛ,

получим для Л уравнение

(kxVn + k2Vr2)A = -Z/ri - Z/r2, решение которого имеет вид

Z Z

Л = _r_log(n + ¿iTj) + — log(r2 + k2 r2), Ki K2

а для функции В имеем уравнение

(Дг + 2ike//Vr — 1/г)В = О,

ке// = (кх - к2)/2 + (VriA - Vr2A), решение которого имеет вид

1

B(r) = 1 F^-i-r—, 1; -ikeff(r + keff г)). Keff

Применяя аналогичные построения для всего конфигурационного пространства, имеем следующее представление:

Ф = 1 ^Нт-, 1; -г'&2е//(г2 + *ае//г2))1^1(-»т-, 1; -¿^(п + к,гх))В(г).

к2е}} к2

Для проверки правильности асимптотики можно воспользоваться следующим пра вилом. Рассмотрим

¿Ф/ = {Н-Е) Ф/,

где Н - гамильтониан трехчастичной системы. Если решение точное, то ¿Ф/ = 0. В нашем случае, когда решение приближенное, имеем 6Ф/ ~ 0(1/Я2), т.е. построенная таким образом волновая функция удовлетворяет асимптотическим условиям. В случае же волновых функций, полученных в [5], имеем <5Ф/ ~ 0(1/Я), т.е. волновые функции имеют неправильную асимптотику.

При вычислении амплитуды (4) можно использовать технику, представленную в [10]. В этом случае амплитуда рассеяния имеет представление в виде ряда, члены которого являются произведениями амплитуд рассеяния в системе двух тел, а количество сомножителей в слагаемых определяет порядок перерассеяния.

Таким образом, для процессов ионизации в рассматриваемом приближении рассея ние в системе трех заряженных частиц можно рассматривать как результат последо вательных двухчастичных столкновений, причем в случае процессов ионизации парное рассеяние определяет старшие члены амплитуды рассеяния при вылете частиц под малыми углами.

Результаты расчетов процессов ионизации и перезарядки, происходящих при столкновениях электронов и протонов с атомами водорода, которые были выполнены на осно ве предлагаемого метода, представлены на рис. 1-10. На этих же рисунках представле ны экспериментальные данные [1, 2, 4 - 13] и расчеты, выполненные в квазиклассическом приближении [4, б, 12, 13], приближении сильной связи [4 - 6, 11, 12] и при помощи численного решения модифицированных уравнений Фаддеева для трех заряженных ча стиц [3, 5, 14].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант N 98-02-1766) и Фонда поддержк; науки Китайской Народной Республики (грант N 19734030).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Р е t е г к о р R. К. Theory of Ionization of Atoms by Electron Impact, Boulder, Colorado, University Press, 1977.

[2] M a г к Т. D., Dunn G. H. Electron Impact Ionization, N.Y., 1985.

[3] F a d d e e v L. D., Merkuriev S. P. Quantum Scattering Theory for Several Particle System, Kluwer, Dordrech, 1993.

[4] В a n d у о p a d h у а у A. et al. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 27, 4337 (1994); M a n d a 1 P. et al. Phys. Rev., A33, 756 (1986).

[5] Альт Э. О., M у x а м e д ж а н о в Р. К. Письма в ЖЭТФ, 56, 450 (1992); Phys. Rev., А42, 331 (1990); А47, 2004 (1993); А53, 2438 (1996); А54, 4091 (1996); А60, N 1, 314 (1999).

[6] Куникеев Ш. Д., Сенашенко B.C. Письма в ЖТФ, 14, 1181 (1988), ЖЭТФ, 96, 1639 (1989); 109, 44 (1996); 109, 1116 (1996).

[7] Е n g е 1 n s А., К 1 а г Н., М а 1 с h е г е k G. J. Phys. В: At. Mol. Opt. Phys., 30, L811 (1997).

[8] S с о t t Т., В r a n s d e n В. H. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 14, 2277 (1981).

[9] S h a n M. В., G i 1 b о d у H. В. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 14, 2361 (1981); 20, 3501 (1987).

[10] N о r d s i e к A. Phys. Rev., 93, 758 (1954).

[11] Baertschy M. et al. Phys. Rev., A60, N 1, R13 (1999).

[12] Alston S. Phys. Rev., A52, N 5, 3860 (1995).

[13] P i e к s m a M. et al. Phys. Rev. Lett., 73, N 1, 46 (1994).

[14] Позднеев С. А. Труды ФИАН, 213, 99 (1991).

Поступила в редакцию 29 декабря 1999 г.