CC BY
26
ХА = ха(0, (р = <p(t). (23)
Вычислим скорость тонкий и угловую скорость линейки
Уд = хА,со = ф. (24)
Скорости точек А и В VA и Vg будут направлены вдоль горизонтальной и вертикальной направляющих.
Введем редуцированные скорости Уд, Уц по формулам
у> _Уа у' _ Ув (25)
VA ~-> VB ~-•
СО со
Применив теорему Грасгофа и её дополнение, можно записать систему уравнений
{Уд COS(р = У'в sinср (26)
[Уд sin^ + У'в cos(р = АВ
Решив эту систему, найдём редуцированные скорости
Уд = ABsmcp, Ув = ABcoscp (27)
и скорости точек А и В
Уд = ABcosm<p, Ув = АВ со cos ср. (28)
Так как ABsmcp = OB, ABcosp = OA, то
VA = OB со, VB = О Am. (29)
В эти уравнения входят три неизвестных Уд, Ув , со , если считать известной длину линсй-ки АВ и её положение, задаваемое углом ср .
Чтобы решить задачу об определении скоростей надо задать либо угловую скорость линейки или скорость любой точки А или В.
Например, если задана скорость точки А VA , то угловая скорость линейки
va va (30)
со = — =--—,
OB ABsincp
а скорость точки В равна
VB=VActg<p. (31)
Заметим, что для решения задачи не использовался метод построения мгновенного центра скоростей, который надо строить для каждого положения линейки.
Самым общим способом определения скоростей является аналитический метод. Кроме него существует формула распределения скоростей. Скорости можно определять с помощью метода, основанного на построении мгновенной оси вращения и построения мгновенного центра скоростей при плоском движении.
Метод определения скоростей точек тела, основанный на применении теоремы Грасгофа и её дополнении, практически во всех задачах позволяет просто и эффективно получить результат.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Котельников А.П. Точки Бурместера, из свойства и построение. Матем.сб.,1927, т.34.
2. Голубева О.В. Теоретическая механика. Издательство «Высшая школа», 1968, -487с.
3. Илюхин А.А., Гордеев Г.Г. Теорема о проекциях ускорений точек твердого тела и её применение для решения задач. -сборник научно-методических статей по теоретической механике, - М: Изд-во Моск. ун-та, 2018.- С. 19-26.
4. Самсонов, В. А. Конспект лекций по механике [Текст] / В. А. Самсонов. - М: Изд-во Моск. ун-та, 2015. - 87 с.
5. Болотин, С. В. Теоретическая механика [Текст] / С. В. Болотин, А. В. Карапетян, Е. И. Кугушев, Д. В. Трещев. - М: Издательский центр «Академия», 2010. - 432 с.
Г. Г. Гордеев, А. А. Илюхин, С. А. Фоменко
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ СФЕРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМ О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТЕЛА, СРАВНЕНИЕ С
ДРУГИМИ МЕТОДАМИ
Аннотация. Приведены теоремы о проекциях скоростей и ускорений точек тела при любом его движении. На конкретной задаче кинематики сферического движения демонстрируется метод решения, основанный на этих теоремах. Проводится сравнение с другими методами. Ключевые слова: скорость, ускорение, движение, сферическое движение.
G. G. Gordeev, A. A. Ilyukhin, S. A. Fomenko
THE SOLUTION OF PROBLEMS KINEMATICS OF SPHERICAL MOTION OF A BODY WITH THE HELP OF THE THEOREM ABOUT PROJECTIONS OF VELOCITIES AND ACCELERATIONS OF BODY POINTS, THE COMPARISON WITH OTHER METHODS
Abstract. Theorems on projections of velocities and accelerations of points of a body at any its movement are given. A solution method based on these theorems is demonstrated on a specific problem of spherical motion kinematics. Comparison with other methods is carried out.
Keywords: velocity, acceleration, motion, spherical motion.
В кинематике твёрдого тела для решения конкретных задач, в том числе и технического содержания, пользуются не общими формулами, а простыми следствиями из них.
Известна теорема Грасгофа [2] о проекциях скоростей двух точек тела при любом движении твёрдого тела, которая выражает одно из общих свойств кинематики любого движения тела. Эта теорема является следствием из общей формулы распределения скоростей точек твёрдого тела. При решении задач можно применить общую формулу распределения скоростей, но это зачастую громоздко, когда как теорема Грасгофа сразу даёт ответ.
Существует теорема о проекциях ускорений двух точек тела при любом движении твёрдого тела [3], дающая в большинстве случаев простой способ определения ускорений в задачах.
Приведем эти теоремы.
Теорема 1 (теорема Грасгофа) [2].
Проекции скоростей двух точек твёрдого тела при любом её движении на прямую, проходящую через эти точки, равны.
Эта теорема ещё называется теоремой о проекциях скоростей двух точек твёрдого тела.
Теорема 2 (дополнение к теореме Грасгофа) [6].
Разность проекций редуцированных скоростей двух точек твёрдого тела при любом его движении на прямую, перпендикулярную мгновенной оси вращения тела и прямой, проходящей через эти точки, равна расстоянию от одной из точек до мгновенной оси вращения.
Заметим, что редуцированная скорость - это скорость в масштабе т (угловая скорость тела).
Теорема 3 (теорема о проекциях ускорений двух точек тела) [3].
Разность проекций редуцированных ускорений двух любых точек тела при любом его движении на прямую, перпендикулярную мгновенной оси вращения твёрдого тела, равна расстоянию одной из точек до этой оси.
Заметим, что редуцированное ускорение - это ускорение в масштабе т2 [1].
В работах [3] применение теорем продемонстрировано для решения задач кинематики плоскопараллельного движения твёрдого тела.
Отметим также, что эти теоремы применимы для решения задач при любом движении тела, в частности, для движения твёрдого тела с одной неподвижной точкой или сферического движения.
Рассмотрим пример, взятый из известного сборника задач по теоретической механике с решениями [5].
Конус с углом при вершине BOC = п/2 закреплён шарнирно в точке О и катится без скольжения по плоскости хОу (рис. 1). Точка А, находящаяся в центре основания конца, описывает при этом окружность, центр которой расположен на оси z. Перпендикуляр, опущенный из точки А на ось z, вращается вокруг оси z согласно уравнению (ри = к?. Радиус основания конуса АВ = г.
Определить угловую скорость со и угловое ускорение s конуса, а также скорость и ускорение точки А .
Рисунок 1
В сборнике задач [5] задача решается с помощью общих формул распределения скоростей и ускорений при сферическом движении.
Решим эту задачу с помощью приведенных теорем.
Определим сначала скорость и ускорение точки А, которая движется по окружности с центром, лежащим на оси г (рис. 2, 3).
Рисунок 2
Рисунок 3
Угловая скорость вращения радиуса Я окружности, соединяющего точку А с её центром,
равна:
в>0=ф0=21а. (1)
Вычислим длину радиуса Я:
Г)
Л = /-008 45° = — г. (2)
2 '
так как ОА = АВ = АС = г.
Тогда модуль скорости точки А
УА = а0Я = 42гк1. (3)
Ускорение точки А
аА=аА+аА. (4)
Касательное ускорение точки направлено перпендикулярно к ОА (рис. 2) и равно по модулю
аА = £0Я, (5)
где е0 - угловое ускорение вращения радиуса Я, которое равно
£0=ф0= 2 к. (6)
Тогда
атА = 42кг. (7)
Нормальное ускорение точки А направлено по О'А к центру О' (рис. 2) и равно по модулю
апА= ю1я = 2л/2£ 2т{2. (8)
Так как конус катится без скольжения по неподвижной плоскости, то его мгновенная ось вращения лежит на оси у и вектор угловой скорости направлен по ней (рис. 1).
Определим скорость и ускорение точки А как точки конуса, совершающего сферическое движение.
Возьмём две точки конуса О и А и применим для них записанные ранее теоремы о проекциях скоростей и ускорений. По теореме 1
Ум=Уоь (9)
где I - линия, проходящая через точки О и А.
Так как точка О неподвижна, то её скорость равна нулю и УО1 = 0. Так как Уа перпендикулярна ОА, то УА1 = 0. Эта теорема выполняется для любых точек. По теореме 2
уах-уох=ааъ (10)
где У^х - проекция редуцированной скорости точки А на ось г; У'()х = 0;. 1.1, = к - расстояние от точки А до мгновенной оси вращения.
Редуцированная скорость точки А связана с её скоростью соотношением
ГА=^. (11)
со
Из уравнений (10), (11) получим
УА = со ■ к.
о 42
Так как Ь = гсо845° =-г, то
2
/?
уа= — га>. (12)
Л 2
Из этого уравнения находим угловую скорость конуса
42 Уа
со = -
г
или
со = 2 И. (13)
Вектор угловой скорости направлен по мгновенной оси вращения у
со = соу. (14)
Вычислим вектор углового ускорения е , необходимый для вычисления ускорений точек конуса.
Его можно вычислить как производную вектора угловой скорости
_ сШ с1 4 . - с1 1 ....
е=-= — ] СО ] л- со— . (15)
сМ сМ сМ
Вектор / = есть производная вектора постоянного модуля и по известной теореме о ей
производной вектора постоянного модуля / перпендикулярен /, модуль этого вектора равен производной угла поворота вектора ] :
Следовательно
/ = ®о'
где
(17)
(18) (19)
е2 = со.
Немного отличным по действиям способом вычисляется вектор в в сборнике задач [5]. Ускорение любой точки конуса вычисляется по формуле распределения ускорений при сферическом движении:
а = я1+я2= (20)
где
а1=ёхг, а2=сох^х.г^ (21)
где г - радиус-вектор точки.
Вектор можно представить следующим образом (рис. 4) [4].
а2
= СО (ц ■ Г 3
2- 2 СО Г = СО
или
где
-■}■ — г = со
а 2 = со2 к, Тг = -СМ.
,2
• -г = -со2 ■ СМ
(22)
(23)
(24)
Рисунок 4
Заметим, что а2 и а1 в общем случае не перпендикулярны, но могут быть и перпендикулярны. В частном случае, когда со и £ лежат на одной прямой, а\ и а2 перпендикулярны. Частными случаями являются плоскопараллельное и вращательное движения. Применим эти формулы для вычисления ускорения точки А конуса
аА=а1+а2. (25)
Таккак £ вычисляется по формуле (18), а г = ///+Л/7 . то
«1 = ^о Вектор а2 равен
Тогда ускорение точки А
Со 7 +^27? 1ц ] = е2Л 1 — со^Ъ у + 1гсо^к.
а2 = —со кк.
__— 2 — л 2 2
аА = £2И / - ®о У + Ь%>о ~ со~
Отсюда следует, что проекции вектора аА на оси координат х, у, 2 равны
2
аАх = £2,г? аАу = -®0 Л> = Л
Ранее было вычислено ускорение. I
Ро "
— _ —Т ~ —П ~
^А — ^А ^ — ^А 3 ~
(26)
(27)
(28)
(29)
Тогда
и
е2к = атл, - <2>0 Л = аА, ®0 - со = 0. (31)
Из этих уравнений можно найти угловую скорость и проекцию углового ускорения конуса
£2=£0, со = со0, которые совпадают с вычисленными ранее.
Допустим, что угловая скорость и угловое ускорение конуса неизвестны
6) =6)1, £ = 1 + £2 У + £3 к. (32)
Тогда
Щ Е^^-£ф]'+ Ефк, (33)
а2 = -со2кк. (34)
Проекции ускорения точки А на оси х, у, г равны
аАх ■
Так как
= -£3^) аАу =-£xh, aAz = ^-со2 fy. (35)
то
аА = ~со0 j> (36)
£2—£З=£О, £\=COQ, £i~CO2=0. (37)
Так как е2 = é, то
CO = COq, £1=Û)Q, ^3=0, £2=£Q. (38)
Тогда
£ ~ coq i + £q j. (39)
Такого громоздкого вычисления угловой скорости и углового ускорения можно избежать, если применить теорему 3. Эта теорема сформулирована для случая, когда ai и a2 перпендикулярны. Если они не перпендикулярны, то в уравнении, выражающем теорему, необходимо учесть проекцию ai на прямую, перпендикулярную мгновенной оси вращения:
aAz ~ £Ф = -со2h. (40)
Так как aAz = 0, то Тогда
£х=со2. (41)
Е2 = О), ЕЪ = 0. (42)
Таким образом, с помощью теорем о проекциях скоростей и ускорений двух точек тела
можно избежать громоздких вычислений по общим формулам при расчёте скоростей и ускорений
точек тела при сферическом и других движениях твёрдого тела.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Котельников, А. П. Точки Бурместера, их свойства и построение / А. П. Котельников // Математический сборник. -1927. - Том 34, Номер 3-4. - С. 207-348
2. Голубева, О. В. Теоретическая механика учебное пособие для институтов. / О. В. Голубева. - Изд. 3-е, перераб. и доп. -М.: изд-во «Высшая школа», 1976. - 350 с.
3. Илюхин, А. А. Теорема о проекциях ускорений точек твердого тела и её применение для решения задач / А. А. Илюхин, Г. Г. Гордеев. // Сборник научно-методических статей по теоретической механике. - 2018.
4. Кильчевский, Н. А. Курс теоретической механики. Т.1. (кинематика, статика, динамика точки) учебное пособие. / Н. А. Кильчевский. - М.: изд-во «Наука», 1977. - 480 с.
5. Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1. Статика и кинематика / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. - М.: изд-во «Наука», 1990. - 672 с.
С.В. Проценко ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА ТРАНСПОРТА ВЕЩЕСТВ
Аннотация. При численном моделировании физических процессов часто приходится решать задачу диффузии-конвекции-реакции. Для построения разностных схем, как правило, используется интегро-интерполяционный метод. В работе предложен вариант данного метода, в котором учитывается степень заполненности (заполненность) контрольных ячеек, а также предложены аппроксимации операторов диффузионного и конвективного переноса.
