CC BY
12
е2к = атл, - <2>0 Л = а", ®0 - со = 0. (31)
Из этих уравнений можно найти угловую скорость и проекцию углового ускорения конуса
£2=£0, б) = о) о, которые совпадают с вычисленными ранее.
Допустим, что угловая скорость и угловое ускорение конуса неизвестны
Ш = 0)1, £ = £\ I + £2 у + ^3 к. (32)
Тогда
Щ еф]'+ ефк, (33)
а2=-со2кк. (34)
Проекции ускорения точки А на оси х, у, г равны
аАх ■
Так как
= аАу =-£xh, aAz = ^-со2 /j. (35)
то
аА = s0hi - coq j, (36)
£2—£З=£О, £\=(OO, £i~(O2=0. (37)
Так как £2 = é, то
<2> = <2>0, ^=<»0= s2=s0- (38)
Тогда
£ = a>li +£0j. (39)
Такого громоздкого вычисления угловой скорости и углового ускорения можно избежать, если применить теорему 3. Эта теорема сформулирована для случая, когда ai и a2 перпендикулярны. Если они не перпендикулярны, то в уравнении, выражающем теорему, необходимо учесть проекцию ai на прямую, перпендикулярную мгновенной оси вращения:
aAz ~ £Ф = -б)2h. (40)
Так как aAz = 0, то Тогда
£х=со2. (41)
£2 = О), £ъ = 0- (42)
Таким образом, с помощью теорем о проекциях скоростей и ускорений двух точек тела
можно избежать громоздких вычислений по общим формулам при расчёте скоростей и ускорений
точек тела при сферическом и других движениях твёрдого тела.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Котельников, А. П. Точки Бурместера, их свойства и построение / А. П. Котельников // Математический сборник. -1927. - Том 34, Номер 3-4. - С. 207-348
2. Голубева, О. В. Теоретическая механика учебное пособие для институтов. / О. В. Голубева. - Изд. 3-е, перераб. и доп. -М.: изд-во «Высшая школа», 1976. - 350 с.
3. Илюхин, А. А. Теорема о проекциях ускорений точек твердого тела и её применение для решения задач / А. А. Илюхин, Г. Г. Гордеев. // Сборник научно-методических статей по теоретической механике. - 2018.
4. Кильчевский, Н. А. Курс теоретической механики. Т.1. (кинематика, статика, динамика точки) учебное пособие. / Н. А. Кильчевский. - М.: изд-во «Наука», 1977. - 480 с.
5. Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1. Статика и кинематика / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. - М.: изд-во «Наука», 1990. - 672 с.
С.В. Проценко ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА ТРАНСПОРТА ВЕЩЕСТВ
Аннотация. При численном моделировании физических процессов часто приходится решать задачу диффузии-конвекции-реакции. Для построения разностных схем, как правило, используется интегро-интерполяционный метод. В работе предложен вариант данного метода, в котором учитывается степень заполненности (заполненность) контрольных ячеек, а также предложены аппроксимации операторов диффузионного и конвективного переноса.
Ключевые слова: разностные схемы, интегро-интерполяционный метод, заполненность ячеек.
S.V. Protsenko
THE TWO-DIMENSIONAL PROBLEM OF THE TRANSPORT OF SUBSTANCES
Abstract. In the numerical simulation of physical processes, it is often necessary to solve the diffusion-convection-reaction problem. For the construction of difference schemes, as a rule, an integro-interpolation method is used. A variant of this method is proposed in which the degree of occupancy (filling) of control cells is taken into account, and also approximations of the diffusion and convective transfer operators are proposed.
Key words: difference schemes, integro-interpolation method, cell fullness.
Задача транспорта веществ может быть представлена уравнением диффузии-конвекции-реакции:
с\ + ис'х +vc'y = juc'x 'х + juc'y 'у +/ (1)
с граничными условиями:
c'n(x,y,t) = anc + /3n, (2)
где u,v - компоненты вектора скорости, д - коэффициент турбулентного обмена, f - функция, описывающая интенсивность и распределение источников.
Расчетная область вписана в прямоугольник. Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи вводится равномерная сетка:
wh= t"= т,х, = ihx,yj = jhy; n = 0~N„i = m;,j = OJ^; N,T = TMA = K^yhy = ly , где т - шаг по времени, hx, hy- шаги по пространству, Nt - верхняя граница по времени, Nx, N - границы по пространству.
Для аппроксимации уравнения (1) по временной координате используем схемы с весами с с ' '
-+гЯх +v?y = /ЯХх + М?у +/, (3)
т У
где с=о"с+1-о"с,сге0,1 - вес схемы.
Ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Центры ячеек и узлы разнесены на Ьх /2 и ку/2 по координатам x
и y соответственно. Обозначим через o j заполненность ячейки (i, j). Вводятся коэффициенты q , q , q , q , q , описывающие заполненность контрольных областей, находящихся в окрестности ячейки. Значение q0 характеризует заполненность области D0: хе xt_ll2, xj+V2 ,
Уе У,-иг>У,+иг , q - А: Х6 *,->*,■+1/2 , Уе Уj-\!2'Уj+\!2 , q - А: xe xi-m>xi ,
Уе Уj-H2' Уj+H2 , q - А: Х6 xi-m>xi+m , Уе У^Уj+m , Чл ~ А : х 6 xi-m>xi+m ,
У е Уj-\/2' У j • Заполненные части областей /),„ будем называть Qm , где т = 0..4. В соответствии с этим коэффициенты q можно вычислить по формулам:
_ Sn„ _ °,j +°i+ij +°i+ij+i + °,J+1
Чт u \ ' Чо >-J 4 '
°MJ +°/+lJ+l
q =-> q . . = ■
•-■> 2 '•■> 2
Чъ ■ ■ =- , <?4 = "
3 ,-> 2 '-■> 2
дискретный аналог уравнения диффузии-конвекции-реакции (1) с граничными условиями третьего
рода (2):
С. ■ — С- ■ ~ ~
q и Т + q uuM/2j 2h
+ q tjui-u2j ' 2h ' + q v,j+i/2 ' 2h
1/2 ^ и^МП^ }г2
//: I ' ' ; I' к
х
+ //лУ+1/2 т~2 А,',,-1/2 72
V Пу
-1 лу - ,, | Ни —-- + <7о ,, Лу • (4)
пу
Таким образом, получили дискретные аналоги операторов конвективного и диффузионного переноса в случае частичной заполненности ячеек
ап . ,исги а, . . ,.-;-—+ я, . м. „, ,. —-—,
ЛО , Л Л I 2/г '-1/2,7 2/г
- ' п с1+иу~си "
1о ,, МСХ хи д, ,2 ~ д2 ,,/',-1/2,,
I • /\
и ' к
х
Данные конечно-разностные аналоги обладают вторым порядком точности по пространственным координатным направлениям. Для того чтобы показать, что аппроксимации (4) обладают вторым порядком погрешности, нужно доопределить задачу путем расширения расчетной области (вводятся фиктивные узлы).
Задача распространения веществ от точечного источника в прямоугольной области. Моделирование производилось на сетке размерностью 100x100 расчетных узлов, при этом параметры задавались следующим образом: шаги по пространственным координатам кх=0.1, ку=0.1 и по времени Ы=0.001; временной интервал 11=5,20; коэффициенты, стоящие в граничных условиях а1рках=0, а1ркау=0, Ьв(ах=0, Ьв(ау=0; вес схемы sigma=0.5. Источник задан функцией
. На рис. 1-3 представлены результаты численных экспериментов по моделированию транспорта веществ для различных интенсивностей конвективного переноса.
Рис. 1 - Динамика распространения веществ при отсутствии конвективного переноса (временной интервал равен 5, 20 с)
с. . — с. ,
и] '-1,7
Рис. 2 - Динамика распространения веществ в случае наличия конвективного переноса со скоростью 1 м/с (временной интервал равен 1, 3, 5, 7, 10, 20 с)
Рис. 3 - Динамика распространения веществ в случае наличия конвективного переноса со скоростью 5 м/с (временной интервал равен 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 3 с)
Задача распространения веществ задаваемых функцией распределения в прямоугольной области. На рис. 4-5 представлены результаты расчетов по моделированию транспорта веществ, при этом начальное распределение задавалось функцией
{sin л" х -10 sin ж v -10 , х е D,
■
о ,xeD, D: хе 10,20 ,уе 10,20 •
Моделирование производилось на сетках размерами 100x100, 200x200, 400x400, 800x800, расчетных узлов, при этом параметры задавались следующим образом: размеры расчетной области по пространственным координатам lx=100 м, ly=100 м и по времени ht=0.001 с; горизонтальная составляющая равна 4 м/с, вертикальная - 3 м/с, коэффициент турбулентного обмена равен 2 м2/с (числа Пекле близки к 2).
Рис. 4 - Динамика распространения веществ на сетке размерами 100x100 (временной интервал равен 100 с)
Рис. 5. Результаты расчетов концентрации веществ на сетках размерами 100x100, 800x800 (временной интервал равен 100 с)
Рис. 5 иллюстрирует, что результаты численных расчетов на сетках размерами 100x100 и 800x800 визуально практически не отличаются друг от друга. Из сопоставления результатов численных экспериментов с аналитическими расчетами следует, что набольшая погрешность расчета наблюдалась на сетке размерами 100x100 и составила 0,65%. На сетках размерами 200x200, 400x400, 800x800 погрешность расчетов составляла 0,16%, 0,04%, 0,01% соответственно.
Изменение формы расчетной области. На рис. 6 представлены результаты численных расчетов по моделированию транспорта веществ от точечного источника при отсутствии конвективного переноса при этом расчетная область представляет собой прямоугольник с вырезанной из него тонкой пластиной.
0 20 40 £0
Рис. 6 - Распространения веществ от точечного источника в прямоугольной области, содержащей тонкую непроницаемую пластину
На рис. 7 приведены результаты численных расчетов по моделированию транспорта веществ от точечного источника при наличии конвективного переноса интенсивностью 3 м/с. Расчетная область представляет собой прямоугольник с вырезанной из него тонкой пластиной.
Рис. 7 - Результаты численных расчетов по моделированию транспорта веществ от точечного источника при наличии конвективного переноса
В данной статье была поставлена задача транспорта веществ, построена ее дискретная математическая модель, для нахождения решения которой за основу были взяты схемы с весами. Были рассмотрены конечно-разностные аналоги конвективного и диффузионного переноса второго порядка погрешности аппроксимации по пространственной переменной. При построении разностных схем учитывалась степень заполненности ячеек. При использовании подобной методики получаются достаточно гладкие решения даже на грубых сетках. Такой подход имеет ряд преимуществ по сравнению с методами, использующими с-сетки: на основе предложенного в работе подхода можно аппроксимировать задачу со сложной геометрией границы на структурированных сетках с расположением расчетных узлов по центру контрольных объемов, что в итоге позволяет получить более точные аппроксимации; на основе предложенного подхода существенно упрощается разработка программных комплексов по сравнению с методами, использующими с-сетки при тех же условиях применимости, что позволяет строить более сложные модели.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дегтярева Е.Е., Проценко Е.А., Чистяков А.Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях // Инженерный вестник Дона. - 2012. - Т. 23. - № 4-2 (23). - С. 30.
2. Проценко Е.А. Модель и алгоритмы решения задачи о транспорте наносов // Известия ЮФУ. Технические науки. -2009. - № 8 (97). - С. 71-75.
3. Проценко Е.А., Кузнецова И.Ю., Проценко С.В. Построение дискретной модели транспорта взвеси в прибрежной зоне мелководных акваторий // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - № 11-4 (53). - С. 165-172.
4. Проценко С.В., Сухинов А.А. Уточненная пространственно-двумерная линеаризованная модель транспорта наносов в прибрежной зоне // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. -2016. - № 1. - С. 365-369.
5. Семенякина А.А., Хачунц Д.С., Кузнецова И.Ю., Проценко С.В., Никитин А.В. Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности // Инженерный вестник Дона. - 2015. - Т. 38. - № 4 (38). - С. 51.
6. Сухинов А.И., Никитина А.В., Фоменко Н.А., Тимофеева Е.Ф., Проценко С.В. Моделирование силового гидродинамического воздействия волн на опоры надводных конструкций // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 12-4. - С. 777-783.
7. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Двумерная гидродинамическая модель, учитывающая динамическое перестроение геометрии дна мелководного водоема // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 159167.
8. Чистяков А.Е., Никитина А.В., Проценко Е.А., Тимофеева Е.Ф., Кузнецова И.Ю. Исследование дискретной модели распространения ультразвуковых пучков высокой интенсивности в нелинейной среде в трехмерных звуковых полях // Современные наукоемкие технологии. - 2016. - № 12-3. - С. 549-555.
9. Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Тимофеева Е.Ф., Николич Н.А. Моделирование волновых процессов и транспорта донных материалов с учетом наличия прибрежных конструкций в прибрежных акваториях // Фундаментальные исследования. - 2017. - № 12-1. -С. 157-162.
10. Чистяков А.Е., Сухинов А.И., Кузнецова И.Ю., Проценко С.В., Яковенко И.В. Разработка адаптивного метода минимальных поправок для решения системы сеточных уравнений с оператором специального вида // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 11-4. - С. 746-751.
11. Чистяков А.Е., Хачунц Д.С., Никитина А.В., Проценко Е.А., Кузнецова И.Ю. Библиотека параллельных итерационных методов решателей СЛАУ для задачи конвекции-диффузии на основе декомпозиции по одному пространственному направлению // Современные проблемы науки и образования. - 2015. - № 1-1. - С. 1786.
12. Protsenko S., Sukhinova T. Mathematical modeling of wave processes and transport of bottom materials in coastal water areas taking into account coastal structures // MATEC Web Conf. XIII International Scientific-Technical Conference "Dynamic of Technical Systems" (DTS-2017) - V. 132. - 2017. - https://doi.org/10.1051/matecconf/201713204002.
13. Semenyakina A., Protsenko S. Complex of parallel programs for modeling oil products transport in coastal systems // MATEC Web Conf. XIII International Scientific-Technical Conference «Dynamic of Technical Systems» (DTS-2017) - V. 132. - 2017. - https://doi.org/10.1051/matecconl/201713204016.
14. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Т. 6. - № 4. - С. 351-363.
А.И. Сухинов, В.В. Сидорякина
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТА МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ НАНОСОВ В МЕЛКОВОДНЫХ ВОДОЕМАХ И ЕЕ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ*
Аннотация. В настоящей работе рассматривается построение линеаризованной пространственно-двумерной модели транспорта многокомпонентных наносов, сформированных под воздействием течений и волн в прибрежной зоне. С помощью данной математической модели решаются задачи мониторинга и прогнозирования процессов, происходящих в прибрежной зоне водоема, в частности, оценка подвижности наносов, моделирование переноса наносов и переформирования рельефа дна в случае сложного гранулометрического состава донных отложений.
Ключевые слова: гранулометрический состав, фракции грунта, пространственно-двумерная модель транспорта многокомпонентных наносов, прибрежная зона, нелинейная задача, линеаризованная задача.
A.I. Sukhinov, V.V. Sidoryakina
MATHEMATICAL NONLINEAR TRANSPORTTWO-DIMENSIONAL MODEL OF MULTICOMPONENTBOTTOM SEDIMENT IN SHALLOW WATER BASINS AND ITS
LINEARIZATION
Abstract. Spatially two-dimensional transport model has been considered in this paper for multi-component bottom sediment transport under the influence of currents and waves in the coastal zone and its linearization. The linearized model has been used for the numerical modelling of sediment transport and reformation of the bottom reliefin case of complicated granulometric composition (grain size distribution) bottom sediment.
Keywords: granulometric composition, soil fractions, two-dimensional model of transport of mul-ticomponent sediments, coastal zone, nonlinear problem, linearized problem.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (код проекта 17-11-01286).
ВВЕДЕНИЕ
При создании прибрежной инфраструктуры, связанной с преобразованием рельефа дна прибрежных систем, необходимо прогнозировать его изменения под воздействием движения водной среды. Процессы транспорта наносов относятся к одному из важнейших явлений прибрежной зоны мелководных водоемов, а для их исследования и прогноза, как правило, используют средства математического моделирования. Целью данной работы является построение математической модели транспорта наносов, способной адекватно описывать процессы транспорта наносов, имеющих сложный гранулометрический состав на примере акватории Таганрогского залива Азовского моря.
На основе анализа существующих результатов математического моделирования гидродинамических процессов, протекающих в мелководных водоемах, ранее авторским коллективом была разработана и исследована нелинейная пространственно-двумерная модель транспорта наносов, учитывающая пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна, ветровые течения и трение о дно [1-6] в случае донных отложений, состоящих из частиц, имеющих одинаковые характерные размеры и плотность (состоящих из одной фракции). В настоящей работе описано построение и линеаризация усовершенствованной непрерывной модели транспорта наносов, в которой, в отличие от предыдущей, рассматривается многокомпонентный гранулометрический состав частиц, составляющих донные отложения.
Гранулометрический состав частиц водных наносов является важным физическим параметром, от которого зависят многие аспекты существования и функционирования режима водного объекта. Размер и форма водных частиц, вязкость воды, режим движения воды оказывают существенное влияние на характер движения наносов. Например, сферические частицы осаждаются быстрее, чем частицы неправильной формы, а потому, частицы песка (из-за своей формы и веса)
