Дополнение к теореме Грасгофа в кинематике твердого тела и его применение к решению задач Текст научной статьи по специальности «Физика»

Раздел V. Математика. Физика. Информатика

Г. Г. Гордеев, А. А. Илюхин

ДОПОЛНЕНИЕ К ТЕОРЕМЕ ГРАСГОФА В КИНЕМАТИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Аннотация. В работе сформулирована и доказана теорема, являющаяся дополнением к известной теореме Грасгофа в кинематике твердого тела. Метод решения задач, основанный на двух теоремах, продемонстрирован на примере движения плоского двухзвенного манипулятора при определении скорости его центра схвата.

Ключевые слова: кинематика, свободное движение, скорость, плоскопараллельное движение.

ADDITION TO GRASHOF THEOREM IN THE KINEMATICS OF A RIGID BODY AND ITS APPLICATION TO THE SOLUTION OF PROBLEMS

Abstract. The author has formulated and proved the theorem that complements theorem Grashof known in the kinematics of a rigid body. The method of solving problems based on two theorems is demonstrated by the example of the motion of a flat two-link manipulator in determining the speed of its center tong.

Key words: kinematics, free movement, velocity, plane-parallel motion.

В кинематике твердого тела самим общим его движением является свободное движение. При наложении связей на тело можно получить частные виды его движения - сферическое, плоскопараллельное, вращательное и поступательное движения.

Если закрепить одну точку тела, то можно получить сферическое движение или движение тела с одной неподвижной точкой. Если потребовать, чтобы тело двигалось параллельно неподвижной плоскости, то можно получить плоскопараллельное или плоское движение. Если закрепить две точки тела, то движение тела будет вращательным вокруг неподвижной оси. Если потребовать, чтобы любой отрезок тела оставался параллельным своему первоначальному положению, то движение тела будет поступательным.

При изучении кинематики твердого тела применяются дедуктивный и индуктивный подходы, аналитический (Лагранж) и геометрический (Эйлер) методы.

В связи с появлением современной компьютерной техники наиболее важны дедуктивный и аналитический подходы при изучении движения твердого тела, геометрическая интерпретация движения осуществляется с помощью пакетов компьютерных программ.

Однако для решения многих прикладных задач существует набор эффективных простых способов решения задач кинематики различных движений твердого тела.

Одним из таких способов является метод, основанный на теореме Грасгофа [2, 4, 5] и теореме о проекциях ускорений точек твердого тела при любом его движении, принадлежащей авторам этой статьи [3].

Теорема Грасгофа - это теорема о проекциях скоростей точек тела и формулируется она следующим образом: проекции скоростей двух любых точек твердого тела при любом его движении на прямую, проходящую через эти точки, равны.

Эта теорема даёт простой способ нахождения скоростей точек твердого тела, если известны направления скоростей и значение скорости одной из точек.

Однако, часто при решении задач этой теоремы недостаточно для их решения.

Приведем дополнение к теореме Грасгофа.

Запишем формулу распределения скоростей точек тела при любом его движении

где ¥в - скорость любой точки тела, I' | - скорость полюса^, о> - угловая скорость тела. Обозначим для удобства

G. G. Gordeev, A. A. Ilyukhin

VB = Va+wxAB,

(1)

VAB = cd x AB.

(2)

Тогда формулу (1) можно записать в виде

vb=va+vab.

(3)

Вектор У^б перпендикулярен АВ, поэтому при проектировании соотношения (3) на прямую, содержащую отрезок АВ, получаем, что проекции скоростей на эту прямую равны

ПРАВИВ = ПРАВДА (4)

Это свойство выражает теорему Грасгофа.

Введём понятие редуцированной скорости, то есть скорости в масштабе со и обозначим её

V' [1]:

у'Л (5)

Редуцированная скорость имеет размерность длины. Перейдём в формуле (3) к редуцированным скоростям

п=п +Пв- <6>

где

V' -Уб у, _УА у, _УАБ (7)

УВ~-> УА~-> УАВ --■

СО СО СО

Спроектируем соотношение (6) на прямую, перпендикулярную со и АВ, которую обозначим ъ (рис. 1):

=1% +АВвта, (8)

где а - угол между со и АВ.

Рисунок 1

Расстояние от точки В до мгновенной оси вращения обозначим А'В :

А'В=АВъта. (9)

Соотношение (8) примет вид:

1%=1%+А'В (10)

1%-1%=А'В (11)

Это уравнение выражает теорему, которая является дополнением к теореме Грасгофа, формулируется она следующим образом: разность проекций редуцированных скоростей двух точек твердого тела при любом его движении на прямую, перпендикулярную мгновенной оси вращения

тела и прямой, проходящей через эти точки, равна расстоянию от одной из точек до мгновенной оси вращения.

Рассмотрим случай плоскопараллельного движения тела, когда все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости (рис. 2). В этом случае вектор угловой скорости со направлен перпендикулярно этой плоскости. Так как Г 45 перпендикулярен. I /1 то точка В лежит на оси у и расстояние от точки В до мгновенной оси вращения А 'В равно АВ.

Рисунок 2

Для плоскопараллельного движения эта теорема может быть сформулирована так: разность проекций редуцированных скоростей двух точек тела при плоском его движении на прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через эти точки, равное длине отрезка, соединяющего эти точки, то есть

'л- Г;- (!2)

где z - ось, перпендикулярная АВ.

Приведём пример решения задачи с помощью теоремы Грасгофа и её дополнения. Рассмотрим движение плоского манипулятора (рис. 3). Это система с двумя степенями свободы.

Рисунок 3

Движение манипулятора задаётся двумя углами ф и ф2 (рис. 3):

229

cpl=cpl{t), (p2=(p2{t) (13)

Угловые скорости звеньев обозначим юь со:

о\=ф\, со = ф2 (14)

Скорость точки А равна:

V , = со, ■ О А (15)

Необходимо найти скорость центра схвата манипулятора В.

Звено АВ совершает плоское движение, его угловая скорость со перпендикулярна плоскости чертежа.

Перейдём к редуцированным скоростям:

' V Va V (16)

VA =-> VB =->

со со

Прямую, перпендикулярную со и АВ обозначим z, введём ось у. Заметив, что ось z направлена по перпендикуляру к АВ. Применим теорему Грасгофа:

Vky = VAy (17)

Так как V'¡v = -V'A sin^ - ср2 то проекция V¿ на ось у равна

V¿y = -V;4Sm^-cp2l (18)

Применим дополнение к теореме Грасгофа:

ли. (19)

тогда проекция V¿ на ось z равна:

П= =V'jt +АВ (20)

Так как V't = V'¡ sin^ - ср2 . то

Г&=ГА*ш4ь-<р2УАВ (21)

Скорость центра схвата манипулятора В равна

или

VB=V-oa-соs^á -oa-si^^a-92^0)-ab3

(22)

Применим теорему Грасгофа и дополнение к ней для решения задач определения скоростей при плоскопараллельном движении тела.

Рассмотрим движение линейки эллипсографа (рис. 4).

Рисунок 4

Движение линейки АВ можно задать координатой полюса А и углом ф

230

ХА = ха(0, (р = <p(t). (23)

Вычислим скорость тонкий и угловую скорость линейки

Уд = хА,со = ф. (24)

Скорости точек А и В VA и Vg будут направлены вдоль горизонтальной и вертикальной направляющих.

Введем редуцированные скорости Уд, Уц по формулам

у> _Уа у' _ Ув (25)

УА ~-> VB ~-•

со со

Применив теорему Грасгофа и её дополнение, можно записать систему уравнений

[у'д cosср = V'B sinср (26)

[Уд sin ср + V'B cos (р = АВ

Решив эту систему, найдём редуцированные скорости

у'д = ABsmcp, V'B = ABcoscp (27)

и скорости точек А и В

Уд = ABcosm<p, Ув = АВ со cos ср. (28)

Так как ABsmcp = OB, ABcostp = OA, то

Уд = OB со, VB = О Am. (29)

В эти уравнения входят три неизвестных Уд, Ув , со , если считать известной длину линсй-ки АВ и её положение, задаваемое углом ср .

Чтобы решить задачу об определении скоростей надо задать либо угловую скорость линейки или скорость любой точки А или В.

Например, если задана скорость точки А VA , то угловая скорость линейки

va va (30)

со = — =--—,

OB ABsincp

а скорость точки В равна

VB=VActg<p. (31)

Заметим, что для решения задачи не использовался метод построения мгновенного центра скоростей, который надо строить для каждого положения линейки.

Самым общим способом определения скоростей является аналитический метод. Кроме него существует формула распределения скоростей. Скорости можно определять с помощью метода, основанного на построении мгновенной оси вращения и построения мгновенного центра скоростей при плоском движении.

Метод определения скоростей точек тела, основанный на применении теоремы Грасгофа и её дополнении, практически во всех задачах позволяет просто и эффективно получить результат.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Котельников А.П. Точки Бурместера, из свойства и построение. Матем.сб.,1927, т.34.

2. Голубева О.В. Теоретическая механика. Издательство «Высшая школа», 1968, -487с.

3. Илюхин А.А., Гордеев Г.Г. Теорема о проекциях ускорений точек твердого тела и её применение для решения задач. -сборник научно-методических статей по теоретической механике, - М: Изд-во Моск. ун-та, 2018.- С. 19-26.

4. Самсонов, В. А. Конспект лекций по механике [Текст] / В. А. Самсонов. - М: Изд-во Моск. ун-та, 2015. - 87 с.

5. Болотин, С. В. Теоретическая механика [Текст] / С. В. Болотин, А. В. Карапетян, Е. И. Кугушев, Д. В. Трещев. - М: Издательский центр «Академия», 2010. - 432 с.

Г. Г. Гордеев, А. А. Илюхин, С. А. Фоменко

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ СФЕРИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМ О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТЕЛА, СРАВНЕНИЕ С

ДРУГИМИ МЕТОДАМИ

Аннотация. Приведены теоремы о проекциях скоростей и ускорений точек тела при любом его движении. На конкретной задаче кинематики сферического движения демонстрируется метод решения, основанный на этих теоремах. Проводится сравнение с другими методами. Ключевые слова: скорость, ускорение, движение, сферическое движение.