Решение задач градиентной оптимизации каскадно-реакторных схем с использованием сопряженных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 541.64; 678.02

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГРАДИЕНТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ КАСКАДНО-РЕАКТОРНЫХ СХЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СОПРЯЖЕННЫХ СИСТЕМ

С.Л. Подвальный

В статье рассмотрены типовые задачи оптимизации каскадно-реакторных схем при проведении процессов полимеризации. Решается несколько задач: структурной и параметрической оптимизации, а также динамической стабилизации в многоальтернативной системе с переменной структурой управления. Для определения градиента используется сопряженная система

Ключевые слова: стационарное состояние, градиент, сопряженная система, многоальтернативность, переменная структура

ВВЕДЕНИЕ В последнее время наметился определенный интерес к использованию сопряженных систем при моделировании сложных объектов как в классе специальных процессов, так и общих задач динамической оптимизации поисковыми методами. В статье [1] дан общий анализ этой проблемы, основанный как на прежних [2-4] работах в этой области, так и на более поздних публикациях последних лет. Здесь изложен опыт использования упомянутого подхода к задачам оптимизации процессов непрерывной полимеризации в каскаднореакторных схемах для типовых задач, чаще всего возникающих на практике: параметрической

оптимизации в режиме реального времени, динамической стабилизации реактора и более редкой структурной трансформации на тактическом уровне управления.

Подчеркнем, что в зависимости от конкретной задачи используются многоальтернативный подход при выборе моделей, методов оптимизации и его отдельных элементов, в частности, определения градиента [7,14].

1. ПОДСИСТЕМА ОПТИМИЗАЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ Модель реактора представляет собой систему уравнений материального и теплового баланса с использованием приемов редукции для перехода от пространства состояний теоретической модели в моментах ММР [8] к пространству измерений и дополнительной модели косвенного контроля качества. На примере производства изопренового каучука используется кинетический модуль [4], полученный с применением теории интегральных инвариантов.

В качестве критерия оптимизации выбран максимум производительности участка из серии последовательно-параллельных реакторов с ограничениями на качество.

Результатом работы подсистемы являются рекомендации, выдаваемые на экран дисплея, АЦПУ и передаваемые на нижний уровень (на

подсистему динамической стабилизации

параметров). Регулируемыми параметрами являются следующие: температура шихты, температуры в 1-х аппаратах, концентрация изопрена в шихте, дозировка катализатора.

Данная подсистема ОСР в составе общей системы АСУТП производством внедрена в промышленную эксплуатацию на одном из крупных промышленных объединений. Подсистема оформлена в виде типового алгоритмического модуля.

Особенности построения сопряженного процесса с учетом структуры модели. Задача оптимизации сформулирована как задача безусловной минимизации за счет введения в рассмотрение штрафной функции вида

И(Х,У) = Ф(Х,У) + Я(Х,У) (1)

Где

— К ,2

ВДУ) = X Аіаі +п2 + і=1 1 2 + + І Аі%2; а+ = {0,1} і=к+1

(2)

Х,У - векторы независимых и зависимых переменных соответственно; - ограничения

задачи типа неравенств и равенств, задаваемые в процессе диалога.

Ограничения, относящиеся к математической модели, записаны в форме:

ф1(Х,У) = 0 1 = 1,...,М (3)

В соответствии с системами модулей [4] уравнения для сопряженного процесса и градиента в этом случае имеют вид (модуль 1),где а)-основная задача, Ь)-сопряженный процесс, с)-градиент

Подвальный Семен Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8(473) 243-77-18

І = Б(х,и) ?(х,й) = 0

Э£

Э х

“ ЭБ

У = -т= ^ Ь) Эх

VI = -Э^ +

Эи Эи

dJ = ^І^и)

ЭГ

У

(а)

(б)

Рис. 1. Схема основного (а) и сопряженного (б) процессов при оптимизации стационарных режимов участка полимеризации

Элементы матриц А, В и векторов а, Ь формируются так:

А = ^і ; в = ЭФi

ЭУк Эх;

а =

ЭН

ЭУк

Т

Р =

ЭН

Эх

і = 1...М І = 1..^ к = 1...М

В связи с тем, что состав ограничений в диалоговой системе меняется, разделим искомый градиент на составляющие: критерия оптимизации и «штрафной» добавки:

ЭН ЭФ ЭЯ

- + -

Эх і Эх і Эх

І

ЭН

——----------=----------+

Эх і Эх і Эх

І

ЭФ

Эх;

І

ЭЯ

(5)

Здесь производные целевой функции И как

* /

сложной функции от xj обозначены Э^/Эх •, а

производные от И(Х, У) как простой функции от ЭИ/

х; обозначены

хЭХ

І

по аналогии далее по

тексту рассматриваются производные для Ф и Я.

Схема вычисления для основного и сопряженного процесса представлена на рис. 1а и 1б. В связи с отсутствием в схеме рецикла, основной и сопряженный процессы могут считаться отдельно для каждой батареи и затем вычисляются характеристики процесса после смешения (качество по Муни и состав возвратной фракции). Вариант с рециклом рассмотрен в [3].

Для компактного представления в памяти ЭВМ системы определения градиента воспользуемся структурными особенностями модели, которая в общем виде записана в [4], где в содержательных обозначениях

ііТ

Х = |т0,Т0,Н0,Сі,Скі...Сб,Скб

Т

[X]

X = 15

У =

т;,Т.;,Н;,п;,М; V і’ 2’ V і

[У]

У = 60

і - Номер реактора; і=1,2...

І - Номер батареи, ;=1.6

Как показал анализ, все вычисляемые матрицы и векторы имеют блочную структуру. Так матрица А диагональная:

АІІ =

ЭФ1

8 = 1,2.10 1 = 1,2.10 А;

АІІ = 0,і * ;

Структура матрицы АІІ представлена через элементарные матрицы А А2;-1,2;-1

может быть

АІІ =

0

а2і-1,2і а2і,2і

где матрицы А2;-1 2;_______1

первого реактора, матрицы А2;-12;

считаются для

A2j,2j

считаются для второго реактора. Аналогичным образом, для вычисления матрицы В необходимо вычислить элементарные матрицы.

*

вІ =

ЭФ1

Эх

8 = 1,2... 10 1 = 1,2... 10

Структура матрицы в имеет вид: и иТ

в = | |В1,В2,...в6|1

где В1,...,В6 имеют блочную структуру для каждой батарей и реактора, представленную ниже (например, для в1 ).

А1 =

В2І-1В1,І

В2І-1]В2,І

0...0

0...0

Здесь в содержательных обозначениях, например, для управления по температуре То,

т0

и дозировке

концентрации мономера

катализатора И0 матрицы, входящие в В1 , имеют вид:

В2;-1 =

В2І =

Э! ЭГ1

Эт0 ЭТ0 ЭН0

#5 #5 ^5

Эт0 ЭТ0 ЭН0

ЭФ1 ЭФ1 ЭФ1

Эт0 ЭТ0 ЭН0

ЭФ5 ЭФ5 ЭФ5

Эт0 ЭТ0 ЭН0

і = 1 І -1...6

і=1 І-1... 6

Соответствующие оценки увеличения скорости оптимизации и точности определения градиента для различных методов оптимизации даны в [3,4] и составляют соответственно от 15 до 30 раз. Учитывая работу в режиме реального времени на уровне тактического (оперативно-диспетчерского) управления это имеет решающее значение.

2. ПОДСИСТЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ Команды от подсистемы ОСР передаются для исполнения в подсистему динамической стабилизации, в данном случае, как задания подчиненным контурам управления.

В соответствии с профессиональным анализом в [4,11] применительно к каскадно-реакторным схемам процессов непрерывной полимеризации выделено несколько групп управления,

отличающихся как критериями, так и методами реализации. Наиболее интересными и нестандартными являются контуры стабилизации качества полимера (пластичность, жесткость, вязкость) и конверсии на выходе (как аналога к. п. д. участка), которые так или иначе связаны с техникоэкономическими показателями, в том числе с производительностью.

В контексте данной работы представляют интерес системы многоальтернативного управления с переменной структурой [11], которые имеют несколько модификаций в зависимости от числа координат в контуре локальной стабилизации, числа и типа управляющего воздействия. В большинстве

случаев оценка ситуации 8 велась по некоторой норме:

N8 = тах|хі - хдаа^ і

Показано ее преимущество перед другими нормами, и стремясь минимизировать эту оценку N8 качества взаимосвязанной динамической стабилизации, мы формулируем правило принятия решений.

Если разделить управления на группы по эффективности использования для задач динамической стабилизации, то в зависимости от

значения N8 мы будем выбирать управление и1,

если N8)^1; И , если N8)^2 и т.д. Такой «последовательностный» подход наиболее характерен при работе вблизи критических режимов, например аварийных или предаварийных состояний. В других случаях важен знак signNs при сравнении указанной нормы N8 с допустимым пределом Хі либо сочетания знака и амплитуды для перехода к другому управлению.

Правила и логика переключения регулирующих воздействий устанавливается при настройке системы; тогда в пространстве состояний могут быть выделены на основании особенностей управления конкретного объекта зоны наиболее целесообразного использования определенных

сочетаний управлений и связей Хі(1) — И;(1). В общем случае воздействие оказывается на локальный регулятор (задание). Выбором Хі осуществляется, таким образом, настройка системы на вариант многоальтернативного управления. Другие примеры см. в [11].

Итак, есть множество альтернатив управлений Т

И = и1,и2,...,ит , необходимо в каждой

Х1,Х2,...,Хп

12 т

2 3 .,и

конкретной ситуации, описываемой вектором

Т

выбрать некоторое

состояний Х =

число управлений и после коммутации

Х1^)« И-^) осуществить регулирование.

Включение дополнительных управляющих воздействий, перевод некоторых стабилизируемых параметров на входе объекта в разряд программноуправляемых, переключения с учетом амплитуды и знака возмущения привели к возникновению в замкнутом контуре управления квазигармонических колебаний, амплитуда и частота которых должна быть строго ограничена.

Поэтому формальная процедура переключения управления должна быть дополнена интеллектуальными приемами анализа, для чего в наибольшей степени подходит продукционный подход [9]. В каждой ситуации правила, разумеется, свои. Например, в процессах периодической

полимеризации [15] построение функций принадлежности осуществляется по данным экспертного опроса, и соответствующее нечеткое управление реализует оператор <теап if <тах1та>.

Применительно к структурно-неустойчивому объекту в [13] используется несколько треугольных функций принадлежности при

многоальтернативном управлении.

В нашей практике использовались кусочнолинейные функции разных модификаций, в т. ч. сочетание кусочно-линейных, кусочно-постоянных и трапецевидных. Ясно, что базовой является кусочно-линейная функция принадлежности [6]. Не останавливаясь на многочисленных примерах, перейдем к задаче настройки конкретного контура. В ряде случаев требуется наложить определенные ограничения на переходный процесс, и был использован для бутадиен-стирольных каучуков модальный регулятор [10]. Исходная теоретическая модель (нелинейная) была подвергнута локальной линеаризации, и её параметры постоянно менялись в зависимости от ситуации. Настройки такого модального регулятора требуют постоянной коррекции и в общем виде могут быть сведены к задаче градиентной оптимизации с использованием сопряженных систем (модуль II):

лТ - - -

I = {0 Ф[х(1),р№ + Б[х(Т)]

а)

dY a) dt

dX = f[x(t),p] dt

x(0) = xo

*

df(t)"

Эх

Y = _do<t) Эх

Y(T) = Fx[x(T)]

и окончательно искомыи градиент критерия i-T

c) V

*

ЭФ 3f —

Y(t)

ЭР ЭР

dt

dJ(dp) = (VJ,dp)

Уравнения для сопряженного процесса и градиента получены автором с использованием вариационных методов [2,12].

Здесь: р - вектор постоянных параметров К такой постановке сводятся несколько вариантов решаемых задач :

- динамическая стабилизация;

- идентификация моделей;

- адаптивное управление с моделью.

Основные особенности использования

сопряженного процесса:

- обратное время (¥(Т)=0),

- более крупный шаг численного решения системы ОДУ, даже если исходная вычисления х(1) является жесткой,

- возможность при повторном решении решать параллельно из нескольких ¥(0)= (¥1(0)/=¥2(0)...)

- «пристрелка» так, чтобы в ¥(Т)=0.

Это же относится и к формулам для определения градиента ^1(1), который становится известным в любой момент времени 1 (или

пространства 1).

Таким образом, в системе создаётся дополнительный блок (сопряженный процесс: дифференциальные уравнения или линейные алгебраические) и блок определения градиента, который используется как составляющая блока оптимизации, учитывая необходимость поиска в пространстве. АИ^ = ор1(Ик-1 - 8 ▼ 1^)

3. РЕКОНФИГУРАЦИЯ УЧАСТКА При запуске в производство нового типа полимера приходится решать задачу изменения структуры последовательно-параллельной схемы реакторов. Необходимо выбрать как число полимеризаторов в цепочке (каскад), так и количество таких каскадов, путем декомпозиции связей существующего оборудования.

Главная цель: обеспечить заданное ММР

полимера, полученное в периодическом реакторе в лабораторных условиях, при переходе к непрерывному варианту промышленного производства.

В качестве примера на рис. 2 приведена иллюстрация этого похода для модели [5] и соответствующей группы задач реконфигурации.

Рис. 2. Structural Modeling of Continuous Multi-Center Polymerization Processes

Критерии в таком случае:

среднеквадратическое отклонение желаемого и полученного молекулярно-весового распределения (ММР):

N

е= І і=1

Чш(мі) - Р(мі)

— тіп (6)

N

і Р(М;)

V Н J

С учетом допущений в [5] относительно структуры поршневого потока, коэффициентов радиальной и продольной диффузии модель процесса в реакторе идеального вытеснения при турбулентном режиме течения в моментах ММР имеет вид:

Э У ЭУ -

-----+ V--------= Яу.

Э1

(7)

Кинетический дополняет модель

модуль (правая часть(7)) непрерывного процесса. Его общий вид для заданного механизма (инициирование, рост, обрыв и передача на мономер) получен из универсальной модели реактора [8] в предположении кинетической неоднородности [16] и суперпозиции начальных моментов.

Общий вид кинетического модуля:

ё - п п ТГЯУ = І акіЯі + І ькіЯіЯі і=1 і,І=1

Для моделей до второго момента включительно п=8 и при четырех центрах полимеризации общее число уравнений для одного реактора -32. Задачу приходится решать несколько раз, задаваясь допустимым диапазоном изменения ММР, как показано на рис.3а,Ь.

Серия графиков иллюстрирует полученные результаты (рис. 4-5) для разных вариантов

гидродинамики (поршневой поток, идеальное перемешивание).

10

1т(М)

Рис. 3. Область возможных изменений ММР полибутадиена на разных NdC13 - каталитических системах

Рис. 4. Структура батареи каскадов реакторов перемешивания

Рис. 5. Структура батареи реакторов вытеснения

Задача сводится в стационарном режиме к типовой математической заменой Ї — 1 и используя принцип эквивалентной замены одного реактора вытеснения цепочкой из 7-10 реакторов смешения.

Серия задач оптимизации требует вычисления градиента с использованием сопряженного процесса. Системы уравнений представлены ниже (модуль III), где: а) задача оптимизации и схема процесса; в) сопряженный процесс; с) градиент.

2

a) J = J TF[Y(t), ao]dt + F[Y(T),bo 0

d&

dt

------0 -(i) —

= fi[x (t),x (t),a;]

x (0) = xi0, аёу i = 1,...,N

- -N-(i)--------------------

Y(t) = g[ 2 x()(t); bl...bi...bN] i=1

a) dy(i)

dt

Эfi

y (i)(T) =

Э xi

Эg(T)

y(i)=_

Эg(t)

Эz

Ф Y (t)

Эz

-(i)

i =1

i = 1,...,N

c) VJ =

J0 Фz0 (t)dt

J

Эfi

Эgi

эЬ;

Va0J

VaiJ

V

Эai

Fy(t)dt + Fb0'(T)

i = 1,2,...,N

Y(i)(t)dt

Эg(T)

эЬ;

fy'(T)

V

Заключение: Таким образом, все три

рассмотренные здесь задачи градиентной оптимизации в общем случае сводятся к трем типовым модулям вычисления градиента с учетом специфики объекта, в данном случае каскаднореакторных схем, и соответствующих модификаций моделей - как упрощенных, так и более полных на основании теоретического подхода, особенно на стратегическом уровне управления.

Литература

1. Подвальный С. Л. Сопряженные системы и градиент при оптимизации динамических систем /

С.Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8.

№ 12.1. С. 57-62.

2. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления - М., Наука, 1978, - 438 с.

3. Островский Г.М., Волин Ю.М., Зиятдинов Н.Н. Оптимизация в химической технологии, изд. ФЭН, Акад. наук РТ, 2005-394 с.

4. Подвальный С.Л. Моделирование

промышленных процессов полимеризации, - М., Химия,

1979, -256 с.

Воронежский государственный технический университет

5. Barabanov A.V., Podvalny S.L. Structural Modeling of Continuous Multi-center Polymerization Processes //Automation and Remote Control,2012,Vol.73, №7, pp. 1265-1268

6. Леденева Т.М., Подвальный С.Л., Васильев В.И. Системы искусственного интеллекта и принятия решений, Уфа, изд.УГАТУ, 2005. - 206 с.

7. Подвальный С.Л. Многоальтернативные

системы: обзор и классификация / С.Л. Подвальный // Системы управления и информационные технологии. 2012. Т. 48. № 2. С. 4-13.

8. Подвальный С.Л., Семенов М.П. К вопросу о разработке универсальных математических моделей нестационарных процессов реакторов-полимеризаторов // Журнал прикладной химии, 1979, с. 1561.

9. Махортов С.Д., Подвальный С.Л.

Алгебраический подход к исследованию и оптимизации баз знаний продукционного типа // Информационные технологии. 2008. № 8. С. 55-60.

10. Дорофеев Д.В., Подвальный С.Л. Синтез многомерного модального регулятора в АСУТП полимеризации бутадиен-стирольных каучуков // Промышленные АСУ и контроллеры, 2002, №6, с. 24.

11. Подвальный С.Л. Многоальтернативные системы с переменной структурой автоматического управления процессами непрерывной полимеризации // Системы управления и информационные технологии / С.Л. Подвальный. 2011. Т. 46. № 4.1. С. 175-178.

12. Подвальный С.Л., Семенов М.П. Определение градиента при оптимизации динамических систем поисковыми методами // Математические методы в химии: материалы Всесоюз. конф.- Ереван, 1982 - с. 121-123.

13. Васильев Е.М. Нечеткое управление структурно неустойчивыми объектами / Е.М. Васильев, Д.М. Прокофьева // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 10.2. С. 8-12.

14. Подвальный С.Л. Многоальтернативность как

основа обеспечения интеллектуальности систем управления / С.Л. Подвальный, Т.М. Леденева // Вестник Воронежского государственного технического

университета. 2012. Т. 8. № 11. С. 17-23.

15. Битюков В.К. и др. Управление качеством в процессах растворной полимеризации, изд. ВГТА, Воронеж, 2008, - 156 с.

16. Усманов Т.С. и др. Обратные задачи формирования молекулярно-весовых распределений-М. Химия. 2004 -252 с.

17.Подвальный С.Л., Семенов М.П. К вопросу о разработке универсальных математических моделей реакторов-полимеризаторов // ЖПХ, 1979, №7, С. 1561-1564

18. Podvalny S.L., Semenov M.P. Mathematical Model of a Heterogeneous Polimerization Process with Association of Active Chains // Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 1978, vol. 12, № 5, pp. 632-635.

19. Подвальный С.Л. Информационно-управляющие системы мониторинга сложных объектов. Воронеж: «Научная книга», 2010. 164 с.

SOLUTION OF THE PROBLEM FOR CASCADE REACTOR SCHEMES GRADIENT OPTIMIZATION USING THE ADJOINT METHOD S.L. Podvalny

The article describes the typical optimization problem for cascaded reactor schemes during the polymerization process. Solved several problems of structural and parametric optimization and dynamic stabilization is Multialternative system with variable structure control. Gradient is used to determine the adjoint system

Key words: a steady state, gradient, adjoint system, Multialternative, variable structure

*

*

+

*

N

*

*

*

T

J

0