Многоальтернативное управление экспериментом с использованием моделей сопряженных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6+517.977.56

МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛЕЙ СОПРЯЖЕННЫХ СИСТЕМ

С.Л. Подвальный

Рассмотрены общие закономерности оптимизации и управления экспериментом при использовании точных оценок градиента с помощью моделей сопряженных систем. Предложены типовые схемы реализации для наиболее распространенных постановок задач проведения экспериментом, включая измерения по косвенным оценкам, наблюдаемость всей временной траектории либо только ее терминального (конечного) состояния, наличие в распоряжении исследователя модели статического либо динамического типа. Полученная система модулей составляет основу математического и программного обеспечения в рамках автоматизированных систем научных исследований с использованием концепции много-альтернативности. В перспективе возможно включение в систему модулей для пространственно-временной оптимизации на основе рассмотренных работ по моделям с распределенными параметрами на графе

Ключевые слова: управление экспериментом, сопряженная система, типовые модули, много-альтернативность

Введение

С самого начала своего возникновения теория оптимизации и управления экспериментом использовала для этих целей методы моделирования; -может быть даже правильным будет утверждать , что они развивались одновременно, взаимно дополняя друг друга.

Одно время очень популярными были статистические методы планирования эксперимента (активные и пассивные), когда в процессе целенаправленного изменения условий удавалось получить соответствующие модели т.н. локального характера : достоверность моделей ограничивалась областью проведения опытов и не позволяла точно прогнозировать результаты вне этой области ,- ( что являлось типичной ошибкой многих исследований!).

Другим направлением моделирования является построение детерминированных моделей, построенных на основании физико-химических закономерностей рассматриваемых явлений с более широким диапазоном достоверности и. соответственно, лучшими свойствами

прогнозирования. К сожалению, мы не всегда располагаем полными данными и приходится использовать результаты экспериментов для верификации и идентификации моделей [1].

Будем далее рассматривать

детерминированные модели, поскольку с позиций управления экспериментом существуют

определенные резервы оптимизации, особенно если использовать для этих целей модели сопряженных систем [2-9 ].

Рассматриваемые задачи управления экспериментом по различным критериям [1] являются частными случаями более общей задачи оптимизации по произвольному интегральному критерию [2,3]:

J =( Ф(Xо% и с(1) •ю

Заранее оговорим, что под критерием мы будем понимать математическую формулировку целей управления экспериментом, что особенно важно при проектировании и реализации т.н. АСНИ- автоматизированных систем научных исследований, математическое обеспечение которых использует как математические модели. так и соответствующие численные алгоритмы их программной реализации на ЭВМ в рамках упомянутых систем обработки информации в режиме реального времени и соответственно управления

Выбор такого интегрального критерия (1) вызван необходимостью управлять экспериментом на всем временном интервале его проведения-как с фиксированным, так и свободным концом. Другой особенностью критерия- используемая под-интегральная функция должна учитывать все пространство состояний х(^), описываемое моделью, и по своему математическому смыслу -это должна быть некоторая свертка в пространстве состояний; -наиболее важные свойства таких сверток рассмотрены в [4,10] применительно к многоальтернативным системам управления и принятия решений .

Решение таких задач динамической оптимизации осуществляется поисковыми методами (например, из числа рассмотренных в [4]), отличительной особенностью которых является необходимость точного вычисления градиента

критерия по управляющим переменным и .

При этом одновременно должны выполняться некоторые равенства, относящиеся к модели объекта и представленные дифференциальными, алгебраическими либо смешанными уравнениями:

dY_______________

-= f(X, Y, и); ср(X, Y, и) = 0; X(0) = Xо } (2а,Ь)

dt

Рассмотрим далее наиболее распространенные задачи оптимального управления экспериментом , отличающиеся альтернативными вариантами моделей и критериев , а также способам измерения основных переменных.

Подвальный Семён Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8 (473) 243-77-18 e-mail: [email protected]

Общая постановка

«Идеальная» система управления

экспериментом предполагает что мы реализуем средствами вычислительной техники некий синтезированный заранее профиль (траекторию) изменения пространства состояний и вводим оперативную коррекцию по реальным измерениям в ходе эксперимента в рамках АСНИ. Конечно, это далеко не всегда возможно и целесообразно рассмотреть более реалистичные варианты управления экспериментом с учетом достоверных моделей и связанных с этим критериев.

Хотелось бы обратить внимание также на то, что управление принципиально при этом не всегда необходимо сохранять постоянным на всем временном интервале экспериментирования- важен оптимальный результат (экстремум критерия) , хотя не всегда традиционные схемы

экспериментирования используют такие вариации. Здесь скорее действует фактор привычки и связанный с ним человеческий фактор!

Ранее в работе [11] проблема точного определения градиента с использованием сопряженных систем была рассмотрена в самом общем виде, как задача нахождения дифференциала сложной функции 2.

Доказано, что:

«ЕСЛИ: [ Е^ - нормированные (т.е. банаховы) пространства, и дифференцируемый функционал имеет вид:

г = J (х, и) (3)

и определен при X е Е; и е F на топологическом произведении Е х F; ] И ЕСЛИ: [одновременно переменные связаны соотношениями:

7 (X, и) = С (4)

где 7(X, и) - дифференцируемое отображение Е х F в Е .]»

ТО (при определенных свойствах этих функций: дифференцируемость, обратимость линейного преобразования и отображения),-

[«-дифференциал функционала (3) в некоторой фиксированной точке

(и о е F, X о = g (и о) е Е) можно определить из выражения :

7х (X о, и о)

Т = X о, и о)

(7)

dZ = [ X о, и о) -Т 7X (X о, и оЖи

• и V— о,~ о/ ^JX (^ о , и о)]"и (5)

которое рассматривается как основное для получения градиента сложной функции с помощью сопряженной системы Т,»]

Пользуясь свойством сопряженного оператора

(А* J = JA) ,получим:

Т = ./=( X о,и о)

7х (X о,и о)-

7х (X о, и о) X о,и о)

(6)

Часто Т задают в неявном виде при совместном решении с (5):

Его принято называть сопряженным процессом (по терминологии [5] при оптимизации сложных химико-технологических схем).

Мы еще будем обращаться к этой общей схеме при получении частных решений.

Рассмотрим конкретные реализации для различных типовых постановок задачи многоальтернативного управления экспериментом с использованием системы модулей [1,9].

Конечно, специфика каждого исследования не всегда может быть "втиснута" в типовые постановки таких гипотетических теоретических схем, но рассмотрение ниже рассмотренных вариантов дает представление об общих проблемах в этой области.

Исходим из предположения, что в каждой конкретной ситуации анализ нескольких близких по своей постановке типовых модулей, поможет выбрать конкретную схему проведения эксперимента в рамках интеллектуальной системы принятия решений, как это трактуется в работах [1518].

Особенно, если в дальнейшем у нас будет возможность в процессе эксплуатации ввести в общий состав реальной проектируемой АСНИ такой наиболее эффективный вариант ,как подсистему БЗ- т.е.базу знаний ,адаптивно настраиваемую на конкретный тип и специфику того класса экспериментов, с которым мы конкретно имеем дело.

Типовые постановки и соответственно модули будут отличаться моделями, критериями и способам измерения и наблюдения.

Из рекомендуемого общего числа 8-1о модулей рассмотрим только четыре- этого вполне достаточно для понимания тех общих проблем теоретического характера, которые обычно возникают.

Модуль 1. Пусть мы располагаем только моделями для установившихся процессов-модели статики, как принято говорить.

Ясно, что ни о каких-либо траекториях не идет речь, можно только рассуждать о следующих простых постановках задач:

-найти чувствительность модели к различным управлениям для выбора наиболее целесообразного по эффективности;

-провести редукцию пространства состояний модели ( и связанных с ним измерений) по оценкам градиента.

С точностью до более простых обозначений система уравнений имеет вид как записано ниже

м.

а. основная система «модель и критерий» представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений для модели с одним (или поочередно несколькими ) критериями J:

У = F (х, и) (8)

7 ( х, и) = о

(9)

б. модель сопряженного процесса-система уравнений:

— дF * ^ = -——

дх

(10)

Обратим внимание, что это линейная система уравнений, хотя исходная постановка была нелинейной!

в. Градиент и вариация функционала тоже находятся из взаимосвязанной с сопряженной моделью системы линейных уравнений:

дF VJ +

ди

. Т

ди (11)

dJ = (V/, ¿и) (12)

Если размерность пространства состояний [п], и размерность управлений [т], то придется в итоге решать систему совместных линейных уравнений размерности [п+т]. В принципе такие задачи достаточно легко решаются стандартными программами и пакетами прикладных программ.

Модуль 2. Известна модель динамики (кинетики, нестационарного процесса - по терминологии разных авторов), - которая задана в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений, но нас интересует и мы хотим управлять только конечным состоянием. Причины выбора такого критерия могут быть самые разные, но такое требование "конечного результата" довольно часто имеет место.

С учетом принятых упрощенных обозначений: А. основная система «модель-критерий» характеризуется свойствами: модель-это система обыкновенных дифференциальных уравнений, заданных в форме Коши; -критерий задан в форме нелинейного алгебраического уравнения по вектору состояний эксперимента в конечный момент времени t=T:

/ = F[ х (Т)]

(х - _ _ — = f [х(ч), и (ч)] (ч

х (о) = Хо Б. модель сопряженного процесса:

(Т

(13)

(г

дf (г)

дх

Т = 0

(14)

Т (Т) = F-x[ х (Т)] В. Градиент и вариация функционала:

д/ [и (•)] ди (г)

д/ [ч ]

ди

*Т (ч)

(15)

/[»(•)] = т(/и£г.«('))л <16>

0 ди (ч)

Как и ранее, получили системы линейных уравнений (но теперь уже линейных дифференциальных уравнений) , которые решаются

отдельно для сопряженной модели и градиента в силу специфики задания начальных и граничных условий. При небольшой размерности уравнения могут быть решены аналитически, при большой размерности используются соответствующие численные методы (Рунге-Кутта, Адамса и др.)

Обратим внимание на тот факт . что нам становятся известными оценки градиента в каждой точке траектории эксперимента по отношению к конечному состоянию системы, что позволяет изменять тактику управления в процессе эксперимента ( если речь идет о длительных по времени работах и возможности выбирать если не полностью переменное, то хотя бы кусочно-постоянное управление на каждом отдельном временном интервале)., используя т.н. интервальное управление [2].

Обратимся снова к [11] - для функционала

вида:

г =

: |ф[т (г), и (ч)(

0

И модели:

ч

(17)

(X___ _

— = / (X, и); X (0) = X 00

(18)

обозначив в точке X 0

X 0 (г), и 0 (г)) матрицы А и В:

А =

/

X

; в =

/и

Получено [11]

(г = Т2-2 (ч Л

0 к=\\дик г=\ дик

(19)

(20)

где Т(^) решение системы дифференциальных уравнений:

= А* Т® = ФX [X0 (ч), и0 (ч)) Т(ч) 01 (21)

Отметим, что сопряженная система является линейной (хотя исходная система критерий-ограничения может быть нелинейной ) и решается она в «обратном времени» при нулевых граничных условиях (при t=T)

Таким образом, получим совпадающее с [2,6] в принятых обозначениях:

('I=ЛФ-Тв

ли ли

(22)

Модуль 3. Проведем дальнейшее упрощение задачи, сделав предположение, что несмотря на то, что динамическая модель известна, мы бы хотели упростить процесс реализации, выбрав некоторое среднее -оптимальное в данных условиях управление и сохраняя его постоянным на всем временном интервале от 0 до Т. Разумеется, мы можем сравнить результат с предыдущим в рамках системы многоальтернативного управления экспериментом и оценить потери по величине изменения критерия. Следует понимать, что возникшая разница - это «плата» за удобство и

+

простоту эксперимента, в данном случае постоянство управления. Как и ранее, имеем: А. исходная система модель-критерий:

т

У = | Ф[ х ((), -]Л + F[ х (Т)] (23)

=7 [ х а),

_ _ " (24)

х (о) = хо

Здесь такое усредненное, постоянное на всем временном интервале управление обозначено как вектор и = Р

Б. модель сопряженного процесса:

ЛТ

dt

д7 (t)

йг

<Т = -

йх

(25)

Т(Т) = F-x[ х (Т)] В. Градиент и вариация функционала:

й7

т аФ уу = / [ йф +

о йр йр У (Ф) = (уу, Лр)

: Т(ОЛ

(26)

Как и ранее, все замечания относительно нелинейности исходной и линейности полученных систем сохраняются.

Все полученные оценки - это чувствительность критерия к соответствующим коэффициентам модели ( различать: те , которые можно изменять с целью управления, и те , которые можно использовать для упрощения модели-редукции пространства состояний эксперимента за счет пренебрежения второстепенными эффектами) при разработке модели.

Тогда для чисто интегрального критерия [11] можно записать:

уг =

dZ йи1

dZ

йи*

= 1

т ^ дF

(Т, ^)

ди ди

\

Ж

(27)

что совпадает с принятыми соотношениями теории чувствительности.

Модуль 4. Пусть речь идет об еще более реалистичной типовой ситуации, когда пространство х(^) состояний модели невозможно наблюдать, но имеется некоторое связанное с ним пространство уО) реальных измерений хода и конечного состояния эксперимента. Вот в этом пространстве измерений и приходится решать все вышеуказанные и другие задачи управления экспериментом.

Как правило, при этом приходится предварительно решать т.н. задачу наблюдаемости, т.е. оценить принципиальную возможность восстановления по сделанным измерениям у(^) необходимые для анализа состояния эксперимента х^)/ Заметим, что такая задача решена в настоящее время только для линейно связанных пространств состояний и измерений [1,5,12] а значит, требуется

построить линейное приближение по тем же оценкам градиента через сопряженные системы.

Общая формулировка такой типовой модели представлена ниже.

А. основная система «критерий-модель состояния-модель измерения»

т

у = }Ф[У (г ),ао^

(28)

Лх

= 7 [ х ^), р]

л

х (о) = хо

У (t) = £[ х (t), д ]

Б. сопряженная система:

ЛТ 11-1 и

— + 7-лФ т = 11 11

= - ||* Ф У

Т (т) = о

В. Градиент и вариация функционала

0

т _

1 7-Р

(29)

(3о)

уу =

Т (t)dt

I gg * Фу (t)dt

(31)

У = (УУ, dQ );

И_ _ _цТ

Q = \\ао, -, д

(32)

Эти результаты могут быть сведены в систему типовых модулей и позволяют выбрать любой из представленных выше модулей в зависимости от условий реализации и управления экспериментом в рамках создаваемой АСНИ. Ряд подобных модулей положены в основу систем оптимизации статических и динамических режимов процессов синтеза полимеров конкретных объектов [6,7] и сложных систем в целом [8-9]. Общее число таких модулей обычно - не более 1о.

По-видимому, в зависимости от частных особенностей и функций проектируемой системы управления экспериментом либо просто моделирования в нее войдут все рассмотренные модули, либо их часть. Обычно, для облегчения выбора модулей строится соответствующий логический граф [1,9] либо используют эволюционный подход [15-17].

Что касается самих поисковых алгоритмов оптимизации, то они используют полученные значения градиента для оптимизации в пространстве управлений, число которых при этом значительно больше числа координат X или У (например, в задаче с кусочно-постоянными интервалами [2]

т

изменения управления). Наличие точных оценок градиента позволяет использовать наиболее эффективные квази-ньютоновские методы (например, Давидона-Флетчера-Пауэлла [5] либо проекции градиента [2]) известным путем.

Другие особенности самой процедуры оптимизации будут предметом отдельного рассмотрения.

Заключение. Использование типовых модулей определения градиента с использованием сопряженных систем позволяет легко получить необходимый вариант из числа рассмотренных и использовать наиболее эффективные методы оптимизации динамических систем вообще и их частных случаев для управления экспериментом, в частности.

В дополнение к рассмотренным выше, укажем на работы по оптимизации систем, которые описываются уравнениями в частных производных [13-21] с использованием моделей сопряженных состояний. Это позволяет оптимально управлять пространственно-распределеными экспериментами , что существенно расширит потенциальную область применения подобных систем. Планируется также выделить более простые типовые, наиболее близкие к реализации модули, и ввести их в состав общей АСНИ для управления экспериментом.

В качестве другого направления исследований с использованием рассмотренных вариантов определения градиента упомянем обширный класс решения обратных задач ( идентификации) моделей динамических систем [6,8,11,16] с использованием интеллектуальных методов многоальтернативного моделирования [14-17] и управления [9,18] сложными объектами .

Литература

1. Подвальный, С.Л. Моделирование промышленных процессов полимеризации [Текст] / С.Л. Подвальный. - М.: Химия. - 1979.

2. Федоренко, Р.П. Введение в вычислительную физику [Текст] / Р.П. Федоренко. - М.: МФТИ. - 1994.

3. Янг, Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления [Текст] / Л. Янг. - М.: Мир. - 1974.

4. Подвальный, С.Л. Информационно-управляющие системы мониторинга сложных объектов [Текст] / С.Л. Подвальный. - Воронеж. - 2010.

5. Островский, Г.М. Оптимизация в химической технологии [Текст] / Г.М. Островский, Ю.М. Волин, Н.Н. Зиятдинов// - Казань. - 2005.

6. Подвальный, С.Л. Сопряженные системы и градиент при оптимизации динамических систем [Текст] /С.Л. Подвальный// Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. -Т.8. №12-1. - с. 57-62.

7. Подвальный, С.Л. Решение задач градиентной оптимизации каскадно-реакторных схем с использованием сопряженных систем [Текст] /С.Л. Подвальный// Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т.9. - №2. - с. 27-32.

8. Подвальный, С.Л. Многоальтернативные системы: обзор и классификация [Текст] /С.Л.

Подвальный// Системы управления и информационные технологии. - 2012. - Т.48. - №2. - с. 4-13.

9. Подвальный, С.Л. Многоальтернативное управление открытыми системами: концепция, состояние и перспективы [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев// Управление большими системами: сборник трудов. - 2014.

- №48. - с. 6-58.

10. Леденева, Т.М. Моделирование оценочных систем на основе принципа много-альтернативности [Текст] /Т.М. Леденева, С.Л. Подвальный// Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 57. - №3.1. - с. 155-161.

11. Подвальный, С.Л. Особенности поисковой градиентной оптимизации сложных объектов с использованием сопряженных систем[Текст] /С.Л. Подвальный// Системы управления и информационные технологии. - 2014. - т.56. - №2. - С.18-22.

12. Подвальный, С.Л. Модульная структура системы многоальтернативного моделирования процессов полимеризации [Текст] / С.Л. Подвальный, А.В. Барабанов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т.9. - №5-1. - С.41-43.

13. Подвальный, С.Л. Оптимизация по стартовым условиям параболической системы с распределенными параметрами на графе [Текст] /С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов// Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т.58. - №4. - С.70-74.

14. Подвальный,С.Л. Модели многоальтернативного управления и принятия решений в сложных системах. [Текст] /С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев// Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т.56.

- №2.1. - С.169-173.

15. Леденева, Т.М. Системы искусственного интеллекта и принятия решений / Т.М. Леденева, С.Л. Подвальный, В.И. Васильев // - Уфа: изд. УГАТУ. - 2005.206 с.

16. Подвальный, С.Л. Эволюционные принципы построения интеллектуальных систем многоальтернативного управления [Текст] /С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев// Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т.57. - №3. - С. 4-8.

17. Махортов, С.Д. Алгебраический подход к исследованию и оптимизации баз знаний продукционного типа [Текст] / С.Д. Махортов, С.Л. Подвальный // Информационные технологии. - 2008. - №8. - С.55-60.

18. Подвальный, С.Л. Многоальтернативность как основа как основа обеспечения интеллектуальности систем управления [Текст] / С.Л. Подвальный, Т.М. Леденева// Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т.8. -№ 11. - С.17-23.

19. Подвальный, С.Л. Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системой с распределенными параметрами на графе [Текст] // С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов// Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2014. -Т.10. - №6. - С.29-35.

20. Подвальный, С.Л. Управляемость дифференциальной системы параболического типа с распределенными параметрами на графе /С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015. -Т.11. - №3. - С.49-56.

21. Подвальный, С.Л. Задача оптимизации дифференциальных систем с использованием сопряженных состояний /С.Л. Подвальный, В.В. Провоторов// Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2016. - Т.12. - №2. - С.26-34.

Воронежский государственный технический университет

MULTIALTERNATIVE CONTROL OF THE EXPERIMENT USING THE MODELS

OF CONJUGATED SYSTEMS

S.L. Podvalny, Doctor of technical ssciences, Full professor, Head of department, Voronezh state technical university, Voronezh, Russian Federation,e-mail: [email protected]

In this article we examined general patterns of the control experiment when using accurate estimates of the gradient using models of conjugated systems. The proposed model scheme implementations for the most common formulation of the experiment, including measurements, indirect estimates, observability over the entire time trajectory or its end ( terminal) state, the presence of the researcher models of static of dynamic type. The obtained systems of modules forms the basis of mathematical software in the framework generated by the automated systems of scientific research using the concept of multi-alternativeness. In future, possible inclusion in the system of modules for space-time optimization based on the models with distributed parameters on the graph

Key words: control of the experiment, conjugated systems, model modules, multi-alternativeness

References

1. Podvalny S.L. Modelirovanie promyshlennykh protsessov polymrizatsii [Industrial Polymerization process Modelling], Moscow: khimia, 1979.

2. Fedorenko R.P. Vvedenie v vychislitel'nuyu fiziku [Introduction to computational Physics ], Moscow, MFTI, 1994.

3. Yang L. Lekcii po variacionnomu ischisleniju i teorii optimal'nogo upravlenija [Lectures on the Calculus of Variations and optimal Control Theory]. London: Saunders, 1969. Moscow: Mir, 1974.

4. Podvalny S.L. Informatsionno-upravlyayushchie sistemy monitoring slozhnykh ob'ektov [Information and Control Systems of Complex Objects Monitoring ], Voronezh:Nauchnaya kniga, 2010

5. Ostrovskii G.M., Volin Yu.M., Ziyatdinov N.N. Optimizatsiya v khimicheskoi tekhnologii [Optimization in chemical Technology], Kazan: Fen,2004.

6. Podvalny S.L. Soprjazhennye sistemy i gradient pri optimizacii dinamicheskih sistem [Adjoint Systems and Gradient in Dynamic Systems Optimization]. Vestn. Voronezh.Gos.Tekh.Univ., 2012, vol.8, no.12-1, pp.57-62.

7. Podvalny S.L. Reshenie zadach gradientnoj optimizacii kaskadno-reaktornyh shem s ispol'zovaniem soprjazhennyh sistem [Solution of Gradient Optimization Problems for Cascade Reactor Schemes Using Adjoint Systems], Vestn. Voronezh. Gos. Tech. Univ.,2013, vol. 9, no. 2, pp. 27-32.

8. Podvalny S.L. Mnogoal'ternativnye sistemy: obzor i klassifikacija [Multi-alternative systems : a Review and Classification], Sist. Upravlen. Inform. Technol., 2012, vol. 48, no. 2,pp. 4-13.

9. Podvalny S.L., Vasiljev E.M. Mnogoal'ternativnoe upravlenie otkrytymi sistemami: koncepcija, sostojanie i perspektivy [A Multi-alternative Approach to Control in Open Systems :Origins, Current State and Future Prospects], Upravlen. Bolsh.Syst., 2014, no.48, pp.6-58.

10. Ledeneva T.M., Podvalny S.L. Modelirovanie ocenochnyh sistem na osnove principa mnogo-al'ternativnosti [Estimative modeling Systems on the Base of Multi-alternativeness] Syst. Upravlen. Inform. Technol. 2014, vol. 57, no. 3.1, pp.155-161.

11. Podvalny S.L., Osobennosti poiskovoj gradientnoj optimizacii slozhnyh objektov s ispol'zovaniem soprjazhennyh system [Search Engine Features in Gradient Optimization of Complex Objects Using Adjoint Systems], Syst. Upravlen. Inform. Technol. 2014, vol. 56., no.2., pp.18-22.

12. Podvalny S.L., Barabanov A.V. Modul'naja struktura sistemy mnogoal'ternativnogo modelirovanija processov polimerizacii The Modular Structure of the Systems Multi-alternative modeling of Polymerization Processes.,Vestn. Voronezh. Gos. Techn.Univ.2013.vol.9, no.5-1.,pp.41-43.

13. Podvalny S.L., Provotorov V.V. Optimizacija po startovym uslovijam parabolicheskoj sistemy s raspredelennymi parametrami na grafe [Optimization of Initial Conditions with Distributed Parameters on the graph], Syst.Upravlen. Inform. Technol.,2014.,vol.58.,no.4, pp.70-74.

14. Podvalny S.L., Vasiljev E.V. Modeli mnogoal'ternativnogo upravlenija i prinjatija reshenij v slozhnyh sistemah [A Model of multi-alternative control and Decision - making in Complex Systems],Syst. Upravlen. Inform. Technol., 2014., vol.56.,no.2.1.,pp.169-173.

15. Ledeneva T.M., Podvalny S.L.,Vasiliev V.I. Sistemy iskusstvennogo intellekta i prinjatija reshenij [Artificial intelligence Systems and Decision-making], Ufa: Ugatu.,2005.

16. Podvalny S.L., Vasiljev E.M. Jevoljucionnye principy postroenija intellektual'nyh sistem mnogoal'ternativnogo upravlenija [Evolutionary principles of Intelligent systems multi-alternative Control], syst. Upravlen. Inform. Technol., 2014,vol.57., no.3., pp.4-8.

17. Makhortov S.D., Podvalny S.L. Algebraicheskij podhod k issledovaniju i optimizacii baz znanij produkcionnogo tipa [Algebraic Approach to the Study and Optimization of a Production Database Type], Inform. Technol.2008., no.8.,pp.55-60.

18. Podvalny S.L., Ledeneva T.M. Mnogoal'ternativnost' kak osnova kak osnova obespechenija intellektual'nosti sistem upravlenija [The Multi-alternativeness Property as the Basis for Control Systems Intelligence]. Vestn. Voronezh. Gos. Techn. Univ.2012, vol.11., pp.17-23.

19. Podvalny S.L., Provotorov V.V. Opredelenie startovoj funkcii v zadache nabljudenija parabolicheskoj sistemoj s raspredelennymi parametrami na grafe [The definition of the Starting Function in the problem of Observation of a Parabolic Systems with Distributed parameters on the Graph], Vestn. Voronezh. Gos.Techn. Univ.2014.,vol.10., no.6, pp.29-35.

20. Podvalny S.L., Provotorov V.V. Upravljaemost' differencial'noj sistemy parabolicheskogo tipa s raspredelennymi parametrami na grafe [Controllability for Differential Systems of parabolic with Distributed Parameters on the graph],Vestn.Voronezh. Gos. Techn. Univ. 2015.,vol.11., no.3., pp.49-56.

21. Podvalny S.L., Provotorov V.V. Zadacha optimizacii differencial'nyh sistem s ispol'zovaniem soprjazhennyh sostojanij [The Problem of Optimization of differential Systems using the Conjugated States],Vestn. Voronezh. Gos.Techn. Univ.2016, vol.12, no.2, pp.26-34.