Решение уравнения конвективного обтекания теплоотвода методом электростатического аналога Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция конструирования электронной аппаратуры

менно определяться условиями когерентности колебаний потока носителей заряда и потенциала поля, мощностью, передаваемой межсоединением, и нелинейными параметрами транзистора, связанными с работой, совершаемой электрическим полем при переносе зарядов, и минимальным энергопотреблением динамической системы.

УДК 533.6.071

A.B. Палий

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКТИВНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕПЛООТВОДА МЕТОДОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО АНАЛОГА

Рассмотрена возможность составления и решения уравнений, описывающих течение для случая постоянного потока несжимаемой, не вязкой, лишенной завихрений жидкости. Если движение постоянно (случай, для которого имеется электростатическая аналогия), то скорость потока V не зависит от времени. Если р - плотность жидкости, то pV - масса жидкости, проходящая в единицу времени через единичную площадь. Из закона сохранения вещества дивергенция pV равна изменению со временем массы вещества в единице объема. Сохранение вещества требует, чтобы VpV=0. ^ правовой части стоит -dp/dt, но поскольку принято, что , р ). р , его можно вынести, и тогда уравнение запишется просто - V-V=0. Однако электростатическая аналогия требует, чтобы rot от V равнялся 0. Но для настоящих жидкостей это не так. Следовательно, мы ограничиваемся случаем, когда циркуляция жидкости отсутствует. Поскольку в этом случае и VxV=0, то скорость так называемой «сухой воды» можно написать в виде градиента от некоторого потенциала V=-Vy. По аналогии с электростатикой у называется потен циалом скоростей. Поскольку дивергенция V равна нулю, то V-(Vy) = V2y = 0. Потенциал скоростей у подчиняется тому же дифференциальному уравнению, что и электростатический потенциал в пустом пространстве (р = 0).

Если рассматривать задачу о шаре радиуса а, падающем в жидкости, в систе-, , , удовлетворял бы следующим двум условиям: течение отсутствует в сферической области на поверхности шара, течение постоянно на больших расстояниях.

, V,

поверхности шара, должна обращаться в нуль. Это значит, что ду/ дг = 0 при r = а. Для выполнения второго ограничения нужно иметь ду/ dz = V0 всюду, где r>>a.

Для рассматриваемого случая задача состоит в решении уравнения V2y = 0, чтобы V=-Vy равнялось постоянной, скажем V0, для больших r и, кроме того, чтобы радиальная компонента V была равна нулю при r = а. Иначе говоря:

ду / dr | г = а = 0, (1)

Без шара у был бы равен - V0Z. Тогда V было бы направленно по Z и имело бы всюду постоянную величину V0. В нашем же случае мы еще имеем и составляющую от шара, которая совпадает с точечным диполем, расположенным в центре. А, следовательно, искомое решение есть суперпозиция однородного поля,

Известия ТРТУ

Специальный выпуск

плюс поле диполя. В случае электростатического аналога решение можно записать как

ф = - E0Z + pZ / 4л£0г3, (2)

где ф соответствует у, а Е0 соответственно V0, р - сила диполя.

Для определения выражения для силы диполя р мы должны продифференцировать ф по г при постоянном угле 0 (Z = г cos 0):

ф = - Е0 г cos 0 + p cos 0 / 4nE0r2, (3)

Радиальная составляющая Е есть - дф-дг = + Е0 г cos 0 + p cos 0 / 2nE0r3, она

должна быть равна нулю при г = а для всех 0. Это будет выполнено если р = -

2пЕ0а3Е0. Значение распределения потенциала в нашей системе однородного поля и поля диполя:

ф = - Е0 cos 0 (г+ а3/2г2), (4)

, -

V:

у = - V cos 0 (г + а3/2г2). (5)