Равновесные распределения заряженной жидкости в пространствах-временах с простотранзитивными группами гомотетических движений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 2

Физико-математические пауки

2006

УДК 530.12:531.51

РАВНОВЕСНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЖИДКОСТИ В ПРОСТРАНСТВАХ-ВРЕМЕНАХ С ПРОСТОТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ ГОМОТЕТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

P.A. Даишев, В.А. Карин

Аннотация

Предложен метод нахождения точных решений самосогласованной системы уравнений Эйнштейна — Максвелла. Предполагалось, что пространство-время У4 допускает простотранзитивную группу гомотетических преобразований Н4, а источником такого пространства-времени служит идеальная заряженная жидкость. Метод является обобщением метода Ожвата нахождения точных однородных решений уравнений поля Эйнштейна. Предполагалось также, что вектор скорости жидкости коллипеареп времепиподобпо-му вектору V алгебры Ли группы Н4. При указанных выше предположениях найдены все точные решения системы.

Введение

Пространства-времена с группами гомотетических преобразований достаточно подробно изучены в общей теории относительности как с математической, так и с физической точек зрения (см.. например, впечатляющий обзор в [1]). Исследование таких пространств-времен вызывает несомненный интерес, поскольку пространства-времена, допускающие группы гомотетических преобразований, являются. во-первых, одним из простейших обобщений хорошо изученных полей тяготения с группами изометрических движений, а во-вторых, они играют важную роль в описании асимптотических свойств более общих моделей. Свойства жидкостей в пространствах-временах с группами гомотетических движений изучены также достаточно полно [2. 3]. Однако свойства заряженной жидкости в полях тяготения с симметриями более сложными, нежели симметрии изометрических групп, исследованы значительно меньше, тогда как исследования в области космической плазмы зачастую приводят к необходимости рассматривать материальные среды с тензором энергии-импульса заряженной жидкости, например идеальный газ заряженных частиц.

Самосогласованная система уравнений Эйнштейна Максвелла имеет вид

Щ.к — ^Щгк = —><{Тцг + Ецг), (1)

^ = Ji = аи \ (2)

^ = 0, (3)

где Т^ = (р+р)^ик +рд^ - компоненты тензора энергии-импульса идеальной жидкости. {иги.1 = —1). Егк = даЪРа,гРц — \Ра,ъРаЪдцг компоненты тензора энергии-

а

везде далее вертикальная черта обозначает ковариантную производную.

Для того чтобы пространство-время допускало группу гомотстичсских движений Hr с векторами Ха = C^ii (а = 1, 2,..., r) необходимо и достаточно, чтобы

а

были выполнены уравнения

LXffij = С i|j + С j | i = Vagij , (4)

а а а

где <ра = const = 0.

Производная Ли от тензора Эйнштейна в направлении вектора Ха группы Hr равна нулю: LXGij = 0. Следовательно, производная Ли от тензора энергии-

импульса в направлении этого вектора также должна быть равна нулю: LX(Tij +

+Eij) = 0. Согласно результатам статьи [4], это равенств о означает, что LXTij = 0,

LXEij = 0. № первого равенства следует: LXp = —руа, LXp = —р<ра, LXUi =

= ^Ui<fa, тогда как второе равенство эквивалентно соотношению

^Fik =-ipaFik + VcFik, (5)

где va - скаляры. Если при этом вектор Ui не является собственным вектором тензора Eik, то LXa+ ^аа = 0, vaa = 0, и va = const. Если же век тор Ui является

собственным вектором тензора Eik, то выполнено Lx(a cos а) + Vaa cos а = 0, где а - некоторый скадяр, удовлетворякмций условиям LXа = va, Uidiva = 0. Если к тому же а = 0, то va = const.

Предположим, что вектор скорости жидкости направлен вдоль временпподоб-ного вектора Y = Cidi алгебры Ли Hr

С

и1 = , ц (6)

Y

Y

— ааХа, аа = const

индексам подразумевается суммирование. При этом предположении ранее нами бы-

Y

Hr ,

идеал алгебры Ли этой группы: [Хт Y] = атY, что эквивалентно условию

ав= ат а17. (7)

Оказалось, что в этом случае уравнение (Tik + Eik)|k = 0 удается полностью проинтегрировать, а интегралы его позволяют записать все возможные уравнения состояния заряженной жидкости.

Поскольку не каждая алгебра Ли

группы G4, допускаемой пространством-временем V4, обладает временииодобным идеалом Y, среди всех прострапств-

Hr

пространства-времеиа, которые бы допускали группу с указанными свойствами.

Дальнейшая наша задача заключается в том, чтобы решить полевые уравнения (1), (2) и (3) в пространствах-временах, допускающие простотранзитивиые группы гомотетических преобразований, то есть группы H4, действующие па V4.

1. Метод решения

Метод решения уравнений Эйнштейна в случае иростотранзитивных групп изометрических движений впервые был предложен в работах [5. 6] и далее был развит в работе [7]. В этих работах были найдены все однородные решения уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса идеальной жидкости. В работах [8. 9] исследованы свойства идеальной заряженной жидкости, вектор скорости которой коллинеарен вектору допускаемой группы изометрических движений, и найдены все точные решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна Максвелла в том случае, когда допускаются группы Ог, г > 4, действующие па У4. Пространства-времена с группами гомотетнческнх движений, источником которых служит идеальная жидкость, исследованы в статье [10] и для групп высокой подвижности (Нг, г > 4) найдены все точные решения уравнений Эйнштейна. Ниже, мы модифицируем предложенные в этих работах методы, и, воспользовавшись полученным ранее результатом о том, что допускаемая пространством-временем У4 группа должна иметь алгебру Ли с времеииподобиым идеалом, найдем все точные решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна Максвелла.

Для решения поставленной задачи систему уравнений Эйнштейна Максвелла удобно представить в несколько ином виде. Как известно, в тензоре электромагнитного поля ^ можно выделить электрическую Ег = ^ и3 и магнитную Н^ = Рц и3 составляющие, при этом = игЕ3- — и3-Ег — щы икН1, а компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля Ец имеют вид

Ец = {^дц + (Е2 + Н2) - (ВД + ЩЩ) + {ЩБз +

Здесь Е2 = ЕЕ, Н2 = НгНг, а Бг = щыЕ3Нки1 - компоненты вектора Пойн-тинга. Далее всюду будем считать, что Бг = 0. Это предположение означает, что в равновесной ситуации, рассматриваемой нами, поток электромагнитной энергии отсутствует, а вектор иг является собственным вектором тензора Егк. После этого уравнения Эйнштейна (1) удобно записать так

Д3

(р + р + Е2 + Н2)1ГЧР + - р + Е2 + Н2)дц - (ВД + ЩЩ

а уравнения Максвелла (2) и (3), в силу предположения иг ~ можно записать в виде

— и Ег + = а, (8)

Н| — и Нг — 2^Ег = 0, (9)

и3(Е |з — Е3|) + 3 икНЦ3 + 3 Щ икЩ = 0, (10)

и3(Н|з — Н) — 3 ЩЕцц — 3 Щ икЕг = 0. (И)

/

Здесь иг - вектор ускорения, и>1 - вектор вращения линий тока жидкости. Приведённую выше систему уравнений следует дополнить условиями равенства нулю дивергенции тензора энергии-импульса (Т3 + Е3 )|3- = 0, которые, используя уравнения Максвелла (2) и (3), можно привести к виду

/

(р + р) иг +(иги3 + д3)Р13 = аЕг. (12)

—к

У любой простотранзитивной группы Н4 матрица рг, построенная из компо-

а

нент векторов алгебры Ли Ха, имеет полный ранг, и, следовательно, существует

а а в

обратная к ней матрица рг такая, что рк рг = 6к и рг рг = Зв, а четыре векто-

аа

ра Ха можно принять в качестве 4-репера. В дальнейшем условимся латинскими буквами обозначать координатные индексы, греческими номера векторов и реперные индексы. Так, для компонент метрического тензора можем записать дав = 9гкСа^ф- Запишем в этом репере систему уравнений Эйнштейна-Максвелла. Для этого рассмотрим систему скаляров Хаф7 = рг^ рг £■>. Используя обобщённые

а в 1

уравнения Киплинга рг^ + р^г = уадг^ и уравнения структуры группы

аа

рг рк _ рг рк = с"! рк р р1г р р|г = саф 5 ,

вв

(13)

найдем связь между \аф-у, структурными постоя иными С^в, постоянными гомотетии уа И даф-

= ^(Са/3|7 — С/3-у\а + С-уа\13 + фав/З-у ~ Урв-уа + У^За/з), (14)

где Саф17 = С^вдг7 ■ Для нахождения реперных компонент тензора кривизны используем дифференциальное следствие уравнений структуры группы, которое в случае групп гомотетических движений можно привести к виду

2 р\г рф - ря р3 Кфк = Сав рк|г ■

[а в] а в а

Свернув это равенство с рг рк , получим искомое выражение для Яав^г ■ С помощью

т г

свертки по первому и четвертому индексам тензора кривизны и с использованием (14) получим реперные компоненты тензора Риччи

Кав = КаКтв - КхвСта + УаСТ^а - у аУ в,

(15)

где хав = дат Лавт ■

Ха

группы, имеет вид

К

ав = -Х

(р + р)иаи,3 + \{р-р + Е2 + Н2)да1з - (ЕаЕ,3 + НаН,3)

(16)

а система уравнений Максвелла (8) (11), записанная в том же репере, такова:

(1^,3 ~ «,з - С^ Е" + + 2= а, (17)

(т2У,з ~ а,з ~ СН'3 - (и,3 + 2и,3)Е'3 = 0, (18)

в га ив д

ив дга

и!3Н6 - щН,3 + + ( ф13Щ - и13Е6 + ) = 0, (19)

-г // «7 1 —„ - , 0 -

иг Ев - Vв Ег + С"^г Н7

■Па^ип (>ф,3Е6 + у13Еь + гС^Еа ) = 0. (20)

При получении уравнений (17) (20) были существенно использованы равенства (4) (7). (13). а в их написании принято обозначение ф/3 = а/3 + 7;<рр. Здесь и>а = = — арС^6аа репериые компоненты вектора вращения линий тока жидко-

сти, иа - реперные компоненты вектора скорости.

Условие (12) равенства нулю дивергенции тензора энергии-импульса в принятом репере примет вид:

-{р+р)а,3 + -{р-р)<р,3=аЕ,3. (21)

Таким образом, мы показали, что система уравнений Эйнштейна Максвелла (16)—(21) в репере векторов Ха алгебры Ли допускаемой группы превратилась в чисто алгебраическую систему уравнений, решение которой позволит нам определить компоненты метрики, постоянные гомотетии и структурные постоянные алгебры Ли допускаемой пространством-временем группы, то есть фактически определить симметрию данного пространства-времени, а также все величины, относящиеся к источникам данного поля тяготения.

2. Решение алгебраической системы

Как показано в статье [7], 4-мерные алгебры Ли могут быть разделены на два широких класса, используя вектор ка = касательного пространства.

Первый класс "К" получится, если ка = 0. В этом случае выделяются три подкласса в зависимости от того, пространствеиноподобный, изотропный или вре-мениподобный вектор ка, то есть какрдав > 0, = 0 или < 0. Эти подклассы обозначены "КБ", "КМ", "КТ".

Второй класс получится, если ка = 0. Оказывается, в этом случае алгебры Ли могут быть двух типов.

Тип "Р": О^р = 0|О,Р7], гДе Ра ~ вектор касательного пространства, а в^ -

матрица, удовлетворяющая условию в1^ра — ввРв = 0. В зависимости от того, какой вектор ра: иространственноподобный ("РБ"), изотропный ("РМ") или временипо-добный (" РТ"), опять выделяются три подтипа.

Тип "Ь": О<а1 = ер-уЗо-БаЗ1о, где Ба5 - матрица, а 1о - вектор, пространствеиноподобный ("ЬБ"), изотропный ("ЬМ") или времениподобный ("ЬТ"). В каждом из этих случаев в статье [7], с точностью до лоренцевых вращений, приведен вид коммутационных соотношений.

Из условия ааО°0а = атао легко получить, что аака = 0, то есть векторы аа и ка ортогональны друг другу. Поскольку аа - времениподобный вектор, то вектор

ка

К КБ

В типе "Р" аналогичное исследование показывает, что аара = 0, и, следова-

РБ

ЬК

Р

обозначены "ЬБ", "ЬМ" и " ЬТ".

Таким образом, в каждом из случаев "КБ", "РБ", "ЬБ", "ЬМ" и "ЬТ" необходимо решать алгебраическую систему уравнений Эйнштейна Максвелла (16) (20) совместно с условиями (21) и (22), тождествами Якоби (23) и условием (7) того, что алгебра Ли группы имеет времениподобный идеал. Однако, приведенная выше система пока слишком сложна для решения. Необходимо эту систему упростить.

Реперные компоненты метрического тензора дар в приведённой выше системе уравнений Эйнштейна —Максвелла не являются постоянными: дар = дар (х). В точке общего положения х линейными преобразованиями да'р' = дар Аа Аа' матрицу

да'в'(х) можно привести к диагональному виду: да'в'(х) = 1,1,1,1). При

этом также преобразуются и структурные постоянные. Из коммутационных соотношений алгебры Ли [ХаХв ] = С^в Х7, следует, что структурные постоянные С^в будут являться компонентами тензора, заданного в касательном пространстве, образованного векторами репера. Поэтому С^'в' = А^ С^вА^Авв', где -матрица, обратная к Ау ■ Кроме того, у нас остаётся ещё произвол в «лоренцевых вращениях», не меняющих диагонального вида матрицы да'в' : d1ag( — 1,1,1,1) = да'в' = = Ьа Ьв' дав ■ Этот произвол может быть использован для того, чтобы упростить либо структурные постоянные, либо репериые компоненты величин, входящих в уравнения. Так, за счет этих «лоренцевых вращений» можно всегда аа выбрать в виде аа = (а0,0, 0,0) Без ущерба для общности можно считать, что в выбранной точке а/—0^0(7 = 1, поэтому V" = аа = 6".

При решении системы (16) (21) оказываются полезными хорошо известные для любых групп конформных преобразований соотношения

С°в У- = 0- (22)

Эту же систему также необходимо дополнить тождествами Якоби, которые после осуществления указанных выше преобразований выступают как дополнительная система уравнений относительно величин С^ :

Сав СТ-у + С/Т7 СТа + С°аС1в = 0

Векторы репера {Ха} теперь выступают в качестве векторов орторепера, но не векторов алгебры Ли. Иначе говоря, после осуществления в точке указанных выше преобразований мы потеряли информацию о допускаемой пространством-временем группе. Эту информацию нам придется позже восстановить.

Рассмотрим решение этой системы в случае, когда алгебра Ли допускаемой пространством-временем группы относится к подклассу "КБ". Коммутационные соотношения алгебры Ли для этого подкласса выглядят следующим образом:

[Х1Х2] = АХо + Е Х1 + ЕХ2,

[Х2Х0] = Е Хо + ВХ1 +

[Х0Х1] = ЕХо + № + С Х2,

[Х0Х3] = -аХо + (/ - г)Х1 + (е + д)Х2,

[Х1Х3] = -(/ + г)Хо + 6Х1 + (< - р)Х2,

[Х2Х3] = -(е - д)Хо + (< + р)Х1 + 0X2 ■

Здесь без ущерба для общности положено ка = (0, 0, 0, к). Вследствие условия ка = С^а = 0 имеем -а + Ь + с = к = 0^ Имеющийся произвол во вращениях репера используем так, чтобы аа = Зд ■ № условия (7) определим значения ав : ао = 0, а1 = -Е, а2 = Е, аз = а, а также получим В = С = П = 0, / = г, е = -^ Остающийся произвол во вращениях в плоскости {Х1Х2} используем для того, чтобы положить < = р■ Реперные компоненты вектора вращения линий тока жидкости после этого таковы: ио = ио = 0, и!1 = и = -е, и!2 = и = г, и;3 = и;з = ^А. Принимая во внимание ортогональность векторов Еа и На вектору аа, можем записать окончательный вид алгебраической системы уравнений Эйнштейна-Максвелла в подклассе "КБ".

Уравнения Эйнштейна (16):

Roo = -Ы2 - 2г2 - 2е2 + Ещ - F<p2 ~ ayз + (о + ±<р3)к - + + <р23) =

= -±х[р + Зр + Е2+Я2], (24)

Ли = -±А2 + 2£2 - 2г2 - 2d2 - F<p2 - bíp-з, + (b- Уз)к + \(<р2 + <Рз) =

= ~x[\ip - Р + Е2 + Н2) - Е2 - Я2], (25)

Л22 = -±А2 + 2F2 - 2е2 + 2d2 + EVí - сср3 + (с - уз)к + ±(ср2+ср2) =

= ~Х[Ь{Р~Р + Е2 + Я2) - Е2 - Я2], (26) Лзз = а2 +Ъ2 + с2 - 2г2 - 2е2 + 2d2 - ±к<рз + =

= -Х[\(Р-Р + Е2 + Я2) - Е2 - НЦ (27)

Д01 = AF - 2ed - (а + Ъ)г + fo- + ±А<р2 ~ rip3 = 0, (28)

Д02 = АЕ - (а + с)е + ек - \Aipx - &р>-3 = 0, (29)

Ros = eF - Er + + m = 0, (30) ñi2 = -2PF - 2er + (b - c)d + dk + \F<pi - \E<p>2 ~ díp-3 - \y\<p2 =

= x\EiE2 + Я1Я2], (31)

Л13 = -Ae - (a + c)E - dF + ±6^1 + áp2 - = X[EiE3 + Я1Я3], (32)

R23 = Ar + Ed+ (a + b)F + ±cy>2 - = x[E2E3 + Я2Я3]. (33) Уравнения Максвелла (17) (20): (i^i + E)EÍ + (ь>\ - 2e)Hí + - F)E2 + (v2 + 2r)H2 +

+ {by3~ a- k)E3 + (1/3 + A)H3 = a, (34) (i^i + E)HÍ - (z/i - 2e)Eí + - F)H2 - (v2 + 2r)E2 +

+ - й - k)H3 - (1/3 + A)E3 = 0, (35)

(2d - i/0)#i + (c-a- y3 )H2 - v2E3 + (F + y2)H3 + v3E2 = 0, (36)

- v3Ex + vxE3 + (a + У3 - b)Hí - щН2 + (E - )H3 = 0, (37) 1/2E1 - щE2 - Í^HÍ - щН3 + i^iH2 = 0, (38) (-2d + v0)E! + (a-c+ y3)E2 + v3H2 - (F + ^2)E3 - v2H3 = 0, (39)

- v3H\ + v\H3 + (b-a- У3)Е1 + voE2 - (E - \yx)E3 = 0, (40) \<p2Ei - ^ip-iEo + v0E3 - v\H2 + v2H\ = 0. (41)

Условия (21) приводят к следующим уравнениям:

-(р+р)Е+^(р-р)^1=аЕ1, (42)

~(p+p)F +\(р-р)<р2 =стЕ2, (43)

~(р +р)а+^(р - p)íp3 = аЕ3. (44) Используя в равенствах (22) уравнения (21). дополнительно получим

a(2dE1 + cE2) = 0, a(^2Ei - ^iE2) = 0, a(FE1 + EE2) = 0, = 0. (45) Условия, налагаемые тождествами Якоби:

-ЪЕ = 0, 2dE-cF = 0, (а+^кЛ A + 2rF+ 2еЕ = 0. (46)

Первое из этих условий будет выполнено, если положить Е = 0. Второму условию, после этого, удовлетворим, положив Е = 0, а третье условие при выполнении первых двух будет выполнено, если потребовать А = 0. Продолжая таким образом, придем к тому, что нетривиальным решением системы (24) (46) является

ХР = Ту {у2 + ХР = ~\ь2 + 2г2,

1

±2

I 2 г2 -Ъ2 - У2 / 2 г2 -Ъ2 - У2

Х(у2+ф2+2г)2у Яз = ±2Ыщ+2r)у ^friRT^ñ

с условиями 2r2 > b2 + у>2/2, b = 0, у2 = 0.

Исследование системы (24) (46), аналогичное проведенному выше, показывает, что других нетривиальных решений у этой системы нет.

Рассмотрим решение системы (16) (23) в случае, когда алгебра Ли допускаемой пространством-временем группы относится к подтипу " PS". Коммутационные соотношения имеют следующий вид

[X1X2] = 0, [X2X0] = 0, [X0X1] = 0, [X0X3] = -0X0 + (f - r)Xi + (e + q)X2, [X1X3] = -(f + r)X0 + bXi + (d - p)X2, [X1X3] = -(f + r)X0 + bXi + (d - p)X2. Вектора репера выбраны так, что вектор pа колли неарен X3,ToecT ьр а (0, 0, 0, p). Условие ka = Cfa = 0 дает -а + b + c = 0. Произвол во вращениях репера используем для того, чтобы положить аа = Óq . С помощью произвола во вращениях в плоскости {X1X2}, как и в случае " KS", добьемся того, чтобы d = p. Используя условие инвариантной подгруппы (7), получим f = r, e = -q. В результате ре-перные компоненты вектора вращения линий тока жидкости имеют вид: и0 = 0 , и1 = -e, и2 = r, и3 = 0.

Алгебраическая система уравнений Эйнштейна Максвелла (16) (23) выглядит следующим образом.

Уравнения Эйнштейна (16):

Roo = -Ы2 - 2г2 - 2е2 + Ещ - F<p2 - ар3 + (о + ±у3)к - + у22 + <ff) =

= -\х[р + Ър + Е2 +Н2], (47)

Ли = -Ы2 + 2Е2 - 2г2 - 2d2 - Fy2 - Ъу3 + (Ъ - уз)к + + =

=-х[Нр -Р + Е2 + н2) - Е2 - Н2}, (48)

Л22 = -Ы2 + 2F2 - 2е2 + 2d2 + Eipi - сср3 + (с - уз)к + + <р\) =

= -Х[Ь{Р-Р + Е2 + Н2) - Е2 - Я2], (49)

Лзз = а2 +Ъ2 + с2 - 2г2 - 2е2 + 2d2 - + =

= -Х[\(Р-Р + Е2 + Н2) - Е2 - НЦ (50)

R01 = -2ed - (а + b)r - ry3 = 0, (51)

R02 = -(а + c)e - ey>3 = 0, (52)

R03 = e^2 + ry1 = 0, (53)

Л12 = -2er +(b- c)d - áp3 - = x[EiE2 + НХН2], (54)

Л13 = ! + dy2 - yiV>3 = X[EiE3 + Я1Я3], (55)

Д2з = 2 - \yiyi = х[ЕоЕз + Я2Я3]. (56) Уравнения Максвелла (17) (20):

\ухЕх + (г/1 - 2е)#1 + \у2)Е2 + (г/2 + 2г)Я2 + (±^>3 - 6 - с)Е3 + г/3Я3 = а, (57) - (г/1 - 2е)Е\ + \у2Я2 - (г/2 + 2г)Е2 + - 6 - с)Н3 - щЕ3 = 0, (58)

(2(1 - щ)Н1 + (с — о — ^3)Я2 - г/2Е3 + ^2Я3 + г/3£2 = 0, (59)

- г/3£4 + г/^з + (а + - Ь)Н1 - щН2 - А^Яз = 0, (60) г/2^1 - г/1_Б2 - - г/0Я3 + ^^чЯо = 0, (61) (-2^+1/0)^1 + (о - с + Уз)Е2 + г/3Я2 - - г/2Я3 = 0, (62)

- 1У3Н\ + щН3 + (6 - а - ^уз)Ег + щЕ2 + ±угЕз = 0, (63) \уп_Ех - ^ухЕ2 + щЕ3 - г/1 Я2 + v2Hl = 0. (64)

Условия (21) приводят к уравнениям

\{р-р)у! = аЕ1, ^(р-р)у1=аЕ1, -(р + р)а + ^(р - р)у-3 = аЕ3. (65) Условия (22) дают ещё два дополнительных уравнения

2^1 + еу2 = 0, Ьср! = 0. (66)

Рассуждая так же, как и в случае "КБ", получим решение этой алгебраической системы:

с

ХР = Ц2Ъ + с), л:р=--(12Ь + 9с), а = (§с2- 262 _Ъс) (г/2 + (2Ь+|с)2),

при этом должны быть выполнены условия: 6 (Е с; —|с^ при с > 0 и

6 € (^Н-с; о) и ( —^с; -§с) при с < 0.

Исследование системы (47) (66) показывает, что других нетривиальных решений у этой системы пет.

Рассмотрим теперь подтип " ЬТ". Коммутационные соотношения в этом случае имеют вид

[Х2Х0] = 0, [Х0Х1] = 0, [Х0Х3] = 0,

[Х1Х2] = -№ - ЕХ1 - № - СХз,

[Х3Х1] = -МХо - ЕХ1 - ВХ2 - БХз,

[Х2Х3] = -ЬХо - АХ1 - ЕХ2 - ЕХ3.

Используя, как и ранее, имеющийся произвол во вращениях репера, произведем диагонализацию пространственной части матрицы БаЪ с помощью которой строятся структурные постоянные для подтипа иЬТ", сохраняя аа = (1, 0, 0, 0). Коммутационные соотношения в этом случае упростятся и примут вид

[Х2Х0] = 0, [Х0Х1] = 0, [Х0Х3] = 0, [Х1Х2Н -ЬХо - АХ1,

§ с2 - 2б2 - Ъс X (щ + 4 (26 + |с)"

Н3 = ±^3

\

§ с2 - 2Ь2 - Ъс X {^з + 4 (26 + |с)2

[Х3Х1] = -МХо - ВХ2, [Х2Х3] = -ЬХо - АХЬ

Система уравнений Эйнштейна Максвелла (16) (20) в этом подтипе имеет следующий вид.

Уравнения Эйнштейна (16):

Доо = - М2 - м2 -с^-ср!- <р2) = -\х[р + 3р + Е2 + Я2], (67) Дп = ±(-А2 + (В - С)2 - М2 - М2 + <р\ + <р2) =

= ~х[\{р -Р + Е2+Н2)-Е2- Я2], (68) Д22 = ^(-В2 + (А- С)2 -Ь2 -К2+<р2 + <р1) =

= -Х[Нр~Р + Е2+Н2)-Е2-Н1 (69) Дзз = - В)2 — С2 — Ь2 — М2 +ср2+ср2) =

= -х[НР~Р + Е2+Н2)-Е2-Н2}, (70)

До1 = ^(АЬ-ЛГ^2 + М^З) = 0, (71)

Д02 = + - Ь^з) = 0, (72)

Доз = ^(СЛГ-М^1 + ^2)=0, (73)

Д12 = + (А- В)срз - пщ) = Х[Е1Е2 + Я1Я2], (74)

Д13 = ±(ЬЛГ + (С - - = х[Е1Е3 + Я1Я3], (75)

Д23 = |(М№+ (В - С)ух - ср2ср3) = х[Е2Е3 + Я2Я3]. (76)

Уравнения Максвелла (17) (20):

\ухЕх + (г/1 - 2е)#1 + 5^2)^2 + (У2 + 2г)Я2 + (5^3 - Ь - с)Е3 + г/3Я3 = а, (77)

У1Н1 - (г/1 - 2е)^1 + \у2Я2 - (у2 + 2г)Е2 + - Ь - с)Я3 - г/3£з = 0, (78)

(2(1 - щ)Н1 + (с-а- Уз)Н2 - у2Ез + \у2Яз + 1у3Е2 = 0, (79)

- г/3£4 + щЕз + (а + ^з - Ь)Н1 - щН2 - А^Яз = 0, (80)

1У2Е1 - г/1 Е2 - \ч>о,Я\ ~ ЩН3 + \у\Я2 = 0, (81)

(^¿+щ)Е1 + (а-с+ Уз)Е2 + г/3Я2 - ±<р2Е3 - 1у2Н3 = 0, (82)

2^

- г/3#1 + ь>\Нз + (Ъ-а- ^<рз)Ег + щЕ2 + ±^£3 = 0, (83)

\ч>о,Е\ - + щЕ3 - г/1 Я2 + г/2Ях = 0. (84)

Уравнения закона «сохранения» (21):

\{р-р)ч>1 = аЕ1, \(р - р)<р2 = тЕ2, \(р-р)<рз =сгЕ3. (85)

Условие (22) даёт три дополнительных равенства

А<р1 = 0, В<р2 = 0, С^з = 0. (86)

Все условия, налагаемые тождествами Якоби (23). выполнены тождественно.

Приведенная выше алгебраическая система уравнений (67) (86) имеет два решения. Первое решение имеет вид

ХР=\у1 ХР=\ь2, а =

Х(<А + 4(1 - VI)2)' 1 ^ ^ ^ +4(1 - VI)2)•

В этом решении должно быть выполнено условие Ь2 > <р\. Второе решение системы (67) (86) таково:

1 о 3 о ,1

ХР = т2УЬ ХР = т2УЬ ° = +4г/Г)'

2x(f2 +4v2r 1 ^ ^ I 2\(f2 + 4v?)'

Других решений системы уравнений (67) (86) нет. Подтип " LN".

Коммутационные соотношения в этом случае имеют вид [X2X0] = 0, [X0X1] = 0, [X0X3] = 0, [X1X2] = LX0 + EX1 + DX2 + CX3, [X3X1] = M X0 + F X1 + BX2 + DX3, [X2X3] = N X0 + AX1 + F X2 + EX3.

Система уравнений Эйнштейна Максвелла (16) (20) в этом подтипе принимает следующий вид.

Уравнения Эйнштейна (16):

Roo = -H-L2 - N2 - М2 92) = -1Х[Р + 3р + Е2 + Я2, (87)

Дп = ±(-А2 + (В - С)2 - М2 - L2 + 4D2 - 2EVí + 2Fcp3 + ip\ + <р%) =

= -х[нр~Р + Е2+Н2)-Е2-Н2}, (88) Д22 = ±(-В2 + (Л - С)2 -L2-N2+ 4Е2 + 2DVl - 2FV3 + v2+ <р\) =

= -X[bip~p + Е2 + Н2) — Е2 - Я2], (89) Д33 = ±((Л - В)2 -С2 -N2 - М2 + 4 F2 - 2 DVl + 2 EV2 + v\+v22) =

= -xIHp~P + Е1 + Н2) - El - H¡i (90)

Roí = ±{EL + FM + AN + L<f2 - M<f3) =0, (91)

Д02 = \{DL + ВМ + FN - 1 + Nlp3) = 0, (92)

Доз = 5(CL + DM + EN + Mif! - Nlp2) = 0, (93) Д12 = U-4DE - 2(A + В - C-)F + MN + Vl{E -^2)-D^2 + {-A + В)<рз) =

= x[E1E2 + Я1Я2], (94) Д13 = H-2(A — В + C)E — 4DF + LN+(A- C)^2 + D<¿3 — (F + ^3)^1) =

= x[E1E3 + Я1Я3], (95) Д23 = \{2AD -2BD -2CD - AEF + LM + {-B + C)^ + F<f2 - {E + <f2)<f3) =

= x[E2E3 + Я2Я3]. (96)

Уравнения Максвелла (17) (20):

+ {v\ + N)HX + У2Е2 + {v2 + N)H2 + У3Е3 + [v3 + L)H3 = a, (97)

i^ihí - {щ + n)eí + y2h2 - (v2 + m)e2 + А^зЯз - (1/3 + це3 = 0, (98)

ah\ + fh2 - v2e3 + eh3 + v3e2 - 3 + шу2 = 0, (99)

- aet - fe2 - ee3 + \ey3 - \e3v2 + v3H2 - v2H3 = 0, (100)

v2ex - víe2 - y2ux + eh\ + dh2 + ch3 - \uy2 + = 0, (101)

- 1/3Ех + vxE3 + FH\ + ВН2 + DH3 + 3 - \H3Ví = О, (102)

- i/з+ v\H3 - FE\ - ВЕ2 - DE3 - ±ElV>3 + = О, (103)

- ЕЕХ - DE2 - СЕ3 + \EW2 - \E2V! - VíH2 + v2Ux = 0. (104)

Уравнения законов «сохранения» (21):

\{р - p)yi = vEu \{р - р)^2 = тЕ2, \{р - р)^3 = тЕ3. (105)

Все условия (23). налагаемые тождествами Якоби, выполнены тождественно. Условие (22) приводит к наличию трех дополнительных равенств:

Etpi + D^2 + Cip3 = 0, Ff! + Bf2 + Dip3 =0, Aif! + F^2 + Ep3 = 0. (106) Решение алгебраической системы уравнений (87) (106) имеет вид

xp=2B2+D2, ХР = 6 B2 + ^D2, а = ±±^(4 В2 + ±£2)И + 4(ЛГ +

Других решений системы уравнений (87) (106) нет.

Рассмотрение подтипа " LS" показало, что новые решения там отсутствуют.

Таким образом, рассмотрены все возможные случаи во всех подтипах. Для пространств-времен, допускающих V4 -простотрапзитивпые группы гомотетичес-ких преобразований, получены все возможные решения алгебраической системы уравнений Эйнштейна-Максвелла, записанной в репере Xa векторов алгебры Ли группы H4. Других решений этой алгебраической системы нет.

Теперь, исходя из полученных решений алгебраической системы, необходимо восстановить функциональный вид полученных решений. Иначе говоря, необходимо получить точные решения исходной системы (1) (3).

3. Метод получения функционального вида решений

Восстановление функционального вида решения по ранее предъявленному алгебраическому производится следующим образом. При решении алгебраической системы в каждом из рассмотренных случаев получены отличные от нуля структурные постоянные. Решая с этими структурными постоянными уравнения структуры группы, найдём компоненты базисных векторов Xa алгебры Ли груп-

а

пы. Известно, что для каждой простотранзитивной группы, решая уравнения di lk — ll di £k = 0, можно построить взаимную группу с векторами алгебры

a e e а

Ли Za = ll дг. Поскольку det(li) = 0, четыре вектора Za можно принять в ка-

а ' а

честве векторов репера. Известно [5, 6], что если группа в пространстве-времени V4 с метрическим тензором g.ij действует как группа изометрических движений, то: gap = g.j 1г lj = const. Без всякого ущерба для общности можно считать, что

да@(x) = diag(—1,1,1,1). Если в точке x, в которой решалась алгебраическая система уравнений, принять условие C(x) = ^(x), то окажется, что структурные

а 0 а 0

постоянные алгебр взаимных групп отличаются только знаком. Таким образом, зная компоненты £г вектор a Xa, можем найти компоненты l вектор a Za, а по

а а

а в а

ним - метрический тензор gij = д0@ h lj, где (l.) - матрица, обратная к (Г).

Для того чтобы записать метрику искомого решения, воспользуемся результатом. общим для всех групп конформных преобразований [11]. о том. что группа конформных преобразований размерности г < 5, допускаемая неконформно-плоскими пространствами-временами У4, является группой изометрических движений в пространствах-временах У4, конформных к У4: дц = е2^(х)дЦ. Здесь дц - метрический тензор пространства-времени У4, в котором наша группа действует как группа гомотетических преобразований. Скаляр р(х) и постоянные гомотетии ф связаны равенством ф = £к дкр. Интегрируя это уравнение, найдем р(х), а сле-

а а а

довательно, и дц. Вектор скорости и1 найдем из соотношения (6). Из уравнений Эйнштейна (1) найдём явный вид плотности энергии жидкости р(х) и давления р(х). Векторы электрического Е1 и магнитного Н1 полей найдем, пользуясь тем, что реперные и функциональные компоненты этих векторов связаны соотношениями: Ег(х) = Еа ¡г(х), Нг(х) = На ¡г(х). Из уравнения (8) найдем величину

а а

плотности зарядов в идеальной заряженной жидкости а(х).

Приведем далее конкретный вид точных решений системы уравнений Эйнштейна Максвелла (1) (3).

1. "КБ". Коммутационные соотношения алгебры Ли группы:

[Х0Х1] = [Х0Х2] = [Х0Х3] = [Х1Х2] = [Х2Х3] = 0, [Х1Х3] = -2гХо + ЪХ1.

Метрический тензор пространства-времени:

дц =

( -1 (1 — е ) 0 0\

2£е-Ъх3(1_еЬх3) е-2Ьа=3[1 _ _ е1™3)2] 0 0

0 0 10

0 1/

, (2,-2 _ 62 _

и% = <5*.

(107)

(108)

ХР = \(ф\ + Ь2) • е-^'2, ХР = (~\ь2 + 2г2) • е-*"2, (109)

1

а = ±- ^(2,-2 - б2 - у2)(ф1 + 4(1/2 + 2г)2) • е"^, (110)

/ (2,-2-62-1^)

Е* = ---¿5, (111)

V X ^2 +4 ^2 + 2г 2 2' 1

В этом решении должны быть выполнены условия: 2г2 > Ъ2 + Ъ = 0.

2. " РБ". Коммутационные соотношения алгебры Ли группы:

[Х1Х2] = [Х0Х1] = [Х0Х2] = 0, (ИЗ)

[ХоХз] = -(Ъ + с)Х0, [Х1Х3] = -2Х0 + ЪХ1, [Х2Х3] = сХ2. (114)

0

0

Метрический тензор пространства-времени:

дц = е^х

_е2(Ь+с)х3

2 е(.

с(е —е

2(Ь+с)х3

2с(ес

2(Ь+с)х3

) е"

2Ь+с

1Х3____

2Ь+с 0

(2Ь+с)2 0

0 0

ХР = Ь(2Ь + с) • е а = ±у/Щс? - 2Ь2 _ Ъс){4 + (2Ь + зс)2) .

3с

0 0

0 0

2сх3 0

0 1

3

§с2 - 2Ь2 - Ъс

5з,

|с2-2Ь2-Ьс з ■

(115)

(но)

(117)

(118)

(119)

«* = е2ж <5*.

В решении должны быть выполнены условия: Ь (Е (— с; — |с) при с > 0

Ь € и (-Ас; -§с) при с < 0, причем <р3 = -(26 + с). .

3. "ЬТ" (1-е решение). Коммутационные соотношения алгебры Ли группы:

[Х2Х0] = 0, [Х0Х1] = 0, [Х0Х3] = 0,

[Х1Х2] = —СХ3, [Х3Х1] = — Х2, [Х2Х3] = —ЬХо.

Метрический тензор пространства-времени:

/-1 0 0 Ьх2 \

дц = е^1Х

0 1 0

0 0 1

2

\Ьх2 0 0 1 — Ь2(х2)2/

, - -,п2 .

хр=т>ч> 1-е , хр=т>ь -е ± - ^2+4(ь - "1)2)•

Е1 = ±фц

хЫ+ЦЬ-^Г)

Н1 = Т2^1(Ь — VI)«

(Ь2 — ^1)

хК +4(Ь — ^)2)

1 1 . и1 = <5*.

В решении должно быть выполнено условие Ь2 > <р\.

51.

(120) (121)

(122)

(123)

(124)

(125)

(126)

3

3

3

-фзх

3

а

4. "ЬТ" (2-е решение). Коммутационные соотношения алгебры Ли группы:

[Х2Х0] = 0, [Х0Х1] = 0, [Х0Х3] = 0, [Х2Х3] = 0, (127)

[Х1Х2] = — %/2СХо - СХ3, [Х3Х1] = — %/2Хо + СХ2. (128)

Метрический тензор пространства-времени:

где

9ij

/—1 0 g02 до2з\

0 10 0

д02 0 д22 д23

Удоз 0 д23 д22 J

до2 — -доз 1

V^e*1*1 - 1),

922 = дзз = 2(e-2ípixl - 4 + ве*1*1 - Зе2*1*1), 023 = ^е-2*1*1 + 4 - + Зе2*1*1).

ХР — & ■ e-ífixl,

E —

2ХИ + 4v2)

e-vix ¿í, — ±2y>ivn

e~2 «К

(129)

2X(f¡ + 4v2)

(130)

(131)

e-vix1 ¿i. (132) (133)

5. " LN". Коммутационные соотношения алгебры Ли группы:

[X2X0]—0, [XoXi]—0, [X0X3]— 0, [X2X3]—0.

[X1X2] — — (3B2 + D2)X3 + LBX0, [X3X1] — X2.

Метрический тензор пространства-времени:

( -1 д01 0 0 \

3 7 2 2

д01 ди x3 k2x2 0 0 10 у 0 k2x2 0 1 )

Здесь

дц

Dx1

L [fc.T2(l + екх1) + екх1 (е2кх1 - 1)ж3] к(е2кх1 + 1)

301 = -LB-

(134)

(135)

(136)

-2kx1

ди —

[k2(1+e2kx )(k4e —LB2)(x2)2—2ekx ( —1+e4kx )kLB2x2x3+

k2(1 + e2fcx1 )21

+ 2e4kx1 (2k2 cosh(kx1)2 + (k2 + LB2 + (k2 — L2B2) cosh(2kx1)(x3)2)], к = V'3B2+D2, L2 = 16 B2 + 4 D2,

V1'x

e

e

ХР = (2 В2 + D^e-*1*1, ХР = (6 В2 + %D2)e~*iX\ (137)

* = ±-+ + (138)

А(4В2 +АД2)

Е'1 = ±fi\ Л , u J, (139)

=(140)

Л = е-У1*181 (141)

Таким образом, найдены все возможные точные решения системы уравнений Эйнштейна Максвелла с идеальной заряженной жидкостью в правой части, в пространствах-временах, допускающих простотранзитивиые группы гомотетиче-ских преобразований.

Summary

R.A. Daishev, V.A. Karin. Equilibrium distributions of the charged fluids in the spacetimes with a simple-transitive groups of homothetic motions.

The method of finding of the exact solutions of the self-consistent. Einstein Maxwell equations system are suggested. It is supposed that the space-time admits simple-transitive group of homothetic transformations and the source of such space-times is the perfect fluid. The proposed method is the generalization of Ozsvat.h's method of finding of the homogeneous solutions of Einstein field equations. It is supposed also that the fluid's velocity vector is collinear to time-like vector Y of the Lie algebra of the group Hr. Under above assumption all exact solutions of the system are found.

Литература

1. Сатт B.J., Culey A.A. Self-similarity in general relativity // Class. Quantum Grav. 1999. V. 16, No 7. P. R31 R71.

2. Carot J., Sint.es A.M. Homothetic perfect fluid space-times // Class. Quantum Grav. 1997. V. 14, No 5. P. 1183 1205.

3. Burd A., Culey A.A. Viscous fluid cosmology//Class. Quantum Grav. 1994. V. 11, No 1. P. 83 105.

4. Wainright J., Ywremuvicz P. Killing vector fields and Eist.ein Maxwell field equations with perfect-fluid source // Gen. Rel. Grav. 1976. V. 7, No 4. P. 345.

5. Ozsvdth I. New homogeneous solutions of Einstein's field equations with incoherent mutter. // Abliandl. Mat.h.-nat.urwiss. 1965. No 1. P. 1 41.

6. Ozsvdth I. Homogeneous solutions of the Einstein-Maxwell equations // J. Math. Pliys. 1965. V. 6, No 8. P. 1255 1255.

7. Hiromoto R.E., Ozsvdth I. On homogeneous solutions of Einstein's field equations // Gen. Rel. Grav. 1978. V. 9, No 4. P. 299 327.

8. Даигиев Р.А. Однородные решения уравнений Эйнштейна с идеальной заряженной жидкостью // Изв. вузов. Физика. 1984. Л' 12. С. 74 77.

9. Даигиев Р.А. Изометрические движения идеальной заряженной жидкости // Изв. вузов. Физика. 1987. 10. С. 25 29.

10. Датшш P.A. Однородные решения уравнений Эйнштейна для идеальной жидкости // Украинский физ. жури. 1984. Т. 29. Л» 8. С. 1163 1170.

11. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука, 1966. 495 с.

Поступила в редакцию 26.04.06

Даишев Ринат Абдурашидович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета.

E-mail: Rinat.DaishevQksu.ru

Карин Владимир Андреевич магистрант кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета.