CC BY
0
Четыре ярямые одной св язки, сАожное отношение которых равно-1, называется гармонической четверткой прямых.
Теорема. На аффинной плос9-сто стороны Jiisfjoro угле и его биссектрисы образнют гармоническуюю чатверк- пf)9м-lх.
Доказателнстно. Рассмотрим нп соответствующей расширентй- апВфинлой блоскости (рэнсц/нок 1) угол ым b с /ещеиной в точке 0, с, d - прямые, бовероооиа биссектрисы сэтого уутглэ. Тогвога р в d.
Р^ис. Z Тучок прямых
Тостроим пртмую ни, которая не североит точку Р, и m нараллельна d. В этом случае m перпендикуляраа прямой с. Прсть тйчки A, ЕЗ, CC — точки пересечения прям ой m с прям ыми t), с соответственно. ToйАа трккугольн ир A BC - ру а в-нoбеАтeнпolй (PC - высота и бисуемтриса), поэтому точка С - серрдина отрезка AB. Так ивк прямые сит параилельные прямые , то на расширенной acj-пДиннойй плоскости они пересекаются в бесконечно уд!иленной точне Д,. То1"да Ие, CDJ 9 -1. Следовательно, по определению, прямые a, b, с, d образуют гармоническую четверру.
До/аоем тетснву, моторая дает еще оди н способ вынисления сложного отношпнис потьфех яряасх связии.
Теореме. Пьсть на расширенной аффонной (евклидовой) плoякocти дана (иаязка прямl-lx ч центром в точке Р и четы ре упорядоченные прямые a, b, с, d связки (рис. 3). Обозначим через а, /у, у, S ориентррова-ные унлы межну арямыми ан с, be с, a и d, bed соответственно. Тогда Cab, cd) = — в- —.
sin ^ sin 5
Доказатетиство. П^|а^сечем п|хямые ia,tt,c,d сзязки прямой т, не проходящей через LА<Esn"Kfй охязки и oíio^Ha4piM /l9anmlB9Ьnm, 09cnmlD9enm. По oпйoделeo9S (ab, cd) = (/)6, CD) По сносству 5 слюного отношения четырех
дек пг°ч №з) И ш> ЯЗН ±|ар ,
точек П4В , CD) = -—о = — м = = язк/ в- a^b (1), где «+» или «-»зантсит от во-
к ' н (ЛВ.О) ВС ВО м|вс| ±|ВВ| ( " "
Библиографическийсписок
р
Рис.3. Связкапрямыха, b,c,d
направленности участвующих векторов единичному вектору ё* прямой m или нет. Умножим числитель и знаменатель правой части выражения (1) на^ h, где h - это расстояние от точки Р до п рямой m. Тогда имеем
(ai, cd) = (М, СО ) = ±Ш ч ±g = ^ и (2), где - пло-
±;h|BC| ±^|BD| ±S,BPC ±S,BPD
щадь треугольника APC и т. д. С другой стороны! площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между н им и, 5,ЛРС = Г|(ВН| |рс| sin а. ¡3 этом случае (2) при мет вид
, , ±|fil||l>c|sina ±|.РЛ||.РО| siny ±sina ±siny,„. ...
(ai, rd) = !"'-и- -гтТв—н =-ч —- (3). Так как в (3) рассмат-
4 ' ±|PB||PC| sinf ±|PB||PD|sin5 ±sinf ± sin5 ' ( 'r
риваются синусы1 внутренн кх углов треугольников, то он и положительные. Согласуем ориентацию углов с единичныым векторомм е на прямой т, полагая, что вектор Zc сонап равлен с вектором, е. Тогда, угитытвая нечетность функции счинус, получаем требуемую фоим улу.
Внедрение разработки в процесс обучения подтвердило гипотезу о том, что теоретический материал проективной геометрии довольно сложен для восприятия обучающимися, но в совокупности с решением задач на доказательство в ходе изучения данного раздела усвоение новых знаний происходит гораздо лучше. Поэтому мы привели примеры решения задач на доказательство, которые целесообразно внедрять в процесс обучения проективной геометрии на плоскости.
Особенно важно отметить, что решение задач на доказательство способствует развитию логического мышления у обучающихся, формированию познавательного интереса к предмету, а также раскрытию творческого потенциала у обучающихся. Знакомство обучающихся с элементами проективной геометрии на плоскости устанавливает связь между аналитической геометрией на плоскости [4] и алгеброй и теории чисел, что может служить стимулом к развитию интереса к таким разделам математики, как числовые системы, теория многочленов, аналитическая геометрия на плоскости, а также будет пропедевтикой к изучению понятия теории многомерных пространств в вузе [5].
1. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Методические особенности изучения теории преобразования пространства в ВУЗе. Математика, информатика, физика, проблемы и перспективы:сборникнаучныхстатей.2023:270-274.
2. АтанасянЛ.С. Геометрия.Москва:Лабораториязнаний,2021;Ч.2.
3. Прояева И.В., Колобов А.Н. Разработка компетентностно-ориентированных задач и возможные их применения в преподавании математических дисциплин. Современ-ныепроблемыфизико-математическихнаук: материальИУВсероссийской научно-практической конференции с международным участием. 2018: 116-119.
4. Прояева И.В., Годовова А.С. Особенностипреподавания математики на технических направлениях ВУЗов в рамках дистанционного обучения. Актуальные проблемы иперспективывсфереинженернойподготовки. Оренбург, 2020:102-108.
5. Прояева И.В., Колобов А.Н., Сафарова А.Д. Координация самостоятельной работы студентов по подготовке к ГИА по курсу «Геометрия». Оренбург: Типография «Экспресс-печать»,2020.
References
1. Proyaeva I.V., Safarova A.D. Metodicheskie osobennosti izucheniya teorii preobrazovaniya prostranstva v VUZe. Matematika, informatika, fizika, problemy iperspektivy sbornik nauchnyhstatej.2023:270-274.
2. AtanasyanL.S. Geometriya. Moskva:Laboratoriya znanij, 2021;Ch.2.
3. Proyaeva I.V., Kolobov A.N. Razrabotka kompetentnostno-orientirovannyh zadach i vozmozhnye ih primeneniya v prepodavanii matematicheskih disciplin. Sovremennye prob/emyffz/ko-matemat/chesk/hnauk:materialyIVVserossyskojnauchno-prakticheskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem. 2018: 116-119.
4. Proyaeva I.V., Godovova A.S. Osobennosti prepodavaniya matematiki na tehnicheskih napravleniyah VUZov v ramkah distancionnogo obucheniya. Aktual'nye problemy i perspektivy vsfereinzhenernoj podgotovki. Orenburg, 2020: 102-108.
5. Proyaeva I.V., Kolobov A.N., Safarova A.D. Koordinaciya samostoyatel'noj raboty studentov po podgotovke k GIA po kursu «Geometriya». Orenburg: Tipografiya «'Ekspress-pechat'», 2020.
Статья поступила в редакцию 04.05.24
УДК 378
KanbekovaR.V., DoctorofSciences(Pedagogy),Professor, Sterlitamakbranсh of иа University of Sсiепсe апd Technology, (Sterlitamak, Russia), E-mail:kапbеkovarv@mail.ru
SattarovaL.S., seniorteacher, SterlitamakbranсhofUfаUniversityofSсiепсe апd Technology, (Sterlitamak, Russia), E-mail: liапkа_соm@тail.ru KostsovaS.A., seniorteacher, SterlitamakbranсhofUfаUniversity ofSаепсв апd Technology, (Sterlitamak, Russia), E-mail: о^а^а@таИ.ш
SOLVING TEXT PROBLEMS USING MODELS IN THE STRUCTURE OF MATHEMATICAL KNOWLEDGE OF FUTURE PRIMARY SCHOOL TEACHERS.
This ar^te is dеvоtеd to №е апаlysis о!skills о! stиdепts о! the реdagogical faculty of the итуегеЛу who are in their fifth уеаr and are preparing to beOTe future primary schraol teachers, in solvmg text problems using models. The analysis of authoritative scientific and pedagogical publications describing the method of solving text problems using mоdеls т соига of mathematics is given.
The pedagogical faculty students specializing in "Primary Education" tackle a variety of movement-related problems of varying complexity levels through modeling in their mathematical problem-solving workshop. The article delves into the unique methodologies employed for finding specific solutions tailored to uniform processes.
The results of the pedagogical research (analysis of the presented problem solutions, questionnaires, conversation) of the professional readiness of Mure primary school teachers to use the modeling method to solve text problems in the real pedagogical process showed the possibility of its иsе in the classes of the matheTatical circle and in the process of preparing younger schoolchildren for mathematical competitions and Olympiads.
The result of the pedagogical research presented in the form of a table revealed that the knowledge acquired by students has a cumulative effect and brings confidence into teaching practice when teaching younger students to analyze the conditions of the task for movement and its subsequent solution.
Key words: mathematical disciplines, text problems for uniform processes, problems for motion, solving problems using models
Р.В. Канбекова, д-р пед. наук, проф., Стерлитамакский филиал «Уфимский университет науки и технологий», г. Стерлитамак, E-mail: kanbekovarv@mail.ru
Л.С. Саттарова, ст. преп., Стерлитамакский филиал «Уфимский университет науки и технологий», г. Стерлитамак, E-mail: lianka_com@mail.ru
С.А. Косцова, ст. преп., Стерлитамакский филиал «Уфимский университет науки и технологий», г. Стерлитамак, E-mail: koscova.sa@mail.ru
РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ В СТРУКТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ
Статья пocвящeнa иагедованию умкний с^нтов пятого Kypca пeдaroгичecкoro факультета унивepcитeтa - будущих учитeлeй начальных классов -peшaть тeкcтoвыe задачи с помощью мoдeлeй. Пpивeдён анализ aвтopитeтных нaучнo-пeдaгoгичecких публикаций, описывающих Mei^ peшeния тeкcтoвых задач с пpимeнeниeм мoдeлeй в ^pce мaтeмaтики.
Оcoбoe внимaниe в crabe удeляeтcя мeтoдикe ^^emb^ peшeний задач на paвнoмepныe пpoцeccы (на пpимepe задач на движeниe) paзличнoгo вида и уpoвня тpуднocти мeтoдoм мoдeлиpoвaния, пpeдcтaвлeнных cтудeнтaм пeдaгoгичecкoгo факультета, осваивающими пpoгpaмму «Нaчaльнoe oбpaзoвa-ниe», в пpoцecce выпoлнeния заданий по пpeдмeту «Пpaктикум по peшeнию мaтeмaтичecких задач».
Рeзультaты пeдaгoгичecкoгo исоюдования (анализ пpeдcтaвлeнных peшeний задач, aнкeтиpoвaниe, бeceдa) пpoфeccиoнaльнoй готовности будущих учитeлeй начальных классов к пpимeнeнию мeтoдa мoдeлиpoвaния для peшeния тeкcтoвых задач в peaльнoм пeдaгoгичecкoм пpoцecce школы показали возможность использования era в мaтeмaтичecкoм фужге и в пpoцecce подготовки младших школьников к мaтeмaтичecким кoнкуpcaм и олимпиадам.
Пpeдcтaвлeнный в видe таблицы peзультaт пeдaгoгичecкoгo иагедования выявил, что пpиoбpeтённыe cтудeнтaми знания имeют нaкoпитeльный эф-фeкт и пpивнocят в учитeльcкую пpaктику увepeннocть пpи oбучeнии младших школьников анализу условия задачи на движeниe и ee пocлeдующeму peшeнию.
Ключевые слова: математические дисциплины, текстовые задачи на равномерные процессы, задачи на движение, решение задач с помощью моделей
Актуальность темы обосновывается нормативными документами: ФГОС и профессиональным стандартом. В федеральном государственном образовательном стандарте прямо указано, что основная задача получения образования в вузе - это формирование у будущих учителей умения применять полученные академические знания и умения в своей профессиональной деятельности [1]. В профстандарте отмечается, что учитель должен обладать высоким уровнем знаний в своей предметной области для успешного выполнения профессиональных обязанностей [2].
В реальном учебном процессе педагогических факультетов, готовящих учителей, наблюдается проблема экстраполяции полученных в вузе знаний по математике на преподаваемую в школе дисциплину «Математика».
Вузовская математика в учебном плане представлена дисциплинами, содержание которых направлено на овладение студентами знаниями математической теории, понятий, символики, терминов, правил и т. д., на образование паттернов в багаже знаний, необходимых для преподавания предмета в общеобразовательной школе.
Одним из основных показателей глубины усвоения учебного математического материала будущими школьными учителями является умение решать текстовые задачи различной сложности. Исключительная важность обретения этой компетенции для учителя начальных классов обусловлена ещё и тем, что в младшем школьном звене работа над текстовыми задачами занимает почти половину времени, отводимого программой на изучение математики. Решение текстовых задач будущими школьными учителями является, кроме того, средством приобретения навыков логического мышления и построения математических моделей реальных явлений.
Собственный опыт преподавания математики в вузе показывает, что зачастую у студентов возникают трудности, когда они самостоятельно изучают теорию и овладевают практическими навыками решения текстовых задач, которые представлены в курсе математики начальной школы, задач «повышенной трудности», чаще это решение задач на движение, работу, на тему «Цена, количество, стоимость».
Освоение навыков решения текстовых задач в курсе математики начальной школы играет важную роль в формировании математической компетенции у студентов, обучающихся по направлению подготовки «Начальное образование». Для успешного обучения в университете студентам необходимо овладеть навыками решения сложных математических задач, чтобы передать их потом детям, увлеченным математикой и проводящим свободное время, решая математические задачи базового уровня и высокой сложности.
Среди определений текстовой задачи, предлагаемых учеными-методистами математики: М.А. Бантовой, ГВ. Бельтюковой [3]; М.И. Моро, А.М. Пышкало [4]; И.В. Шадриной [5]; Н.Б. Истоминой [6], за рабочее нами берется определение Л.П. Стойловой: «Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения» [7, с. 106].
В текстовых задачах, адресованных младшим школьникам, выделяют условие и требование (вопрос), которое может быть сформулировано в виде повествовательного или вопросительного предложения.
Методологической базой статьи являются разработки и публикации известных педагогов и методистов, специализирующихся в дискурсе содержания математической подготовки будущих учителей. В современных условиях возникает проблема переосмысления места и повышения роли математики, изучаемой в вузе, в структуре профессиональных знаний. Описанию методов разрешения этой проблемы посвящены научные статьи и методические разработки. Среди них выделяется научно-методическая статья коллектива преподавателей из Ставрополья [8, с. 335-340].
Известные российские математики-методисты акцентировали внимание на значимости развития логического мышления учащихся через решение текстовых задач. Л.Д. Кудрявцев в своих работах подчеркивал позитивное воздействие текстовых задач на формирование цепочек правильных рассуждений и получение верных выводов [9].
Методист В.С. Овчинникова отмечает: «Известно, что между умением самого учителя решать задачи и его возможностями относительно преодоления проблемы формирования того же умения у младших школьников существует прямая зависимость [10, с. 22-23]. Н.Б. Истомина-Кастровская пишет: «Умение самого учителя решать задачи является необходимым условием, но не достаточным» [11, с. 115].
Среди текстовых задач, решаемых в начальной школе, большое место занимают задачи на равномерные процессы (движение, совместная работа, заполнение бассейна, стоимость товара и т. д.), среди которых выделяется класс задач «на движение». Между пройденным путём и временем движения существует пропорциональная зависимость, такая же, как между площадью прямоугольника и его стороной. Тогда моделью для решения текстовых задач на равномерные процессы может служить чертёж прямоугольника, на котором изображены все данные в условии задачи отношения между величинами, а сам процесс отыскания решения задачи осуществляется моделированием.
Цель статьи - показать, что овладение студентами умением решать текстовые задач методом моделирования на примере задач «на движение» способствует аккумулированию полученных навыков и их последующей экстраполяции в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач.
Основные задачи:
- изучение и анализ авторитетных научно-педагогических публикаций, описывающих метод решения текстовых задач с применением моделей;
- изложение решений задач на движение (различного уровня трудности) методом моделирования, представленные студентами на предмете «Практикум по решению математических задач»;
- выявление на основе анализа представленных решений задач, анкетирования, беседы профессиональной готовности будущих учителей начальных классов к применению метода моделирования для решения текстовых задач на уроках, на занятиях кружка и в процессе подготовки учеников к математическим олимпиадам.
Основными методами исследования явились анализ способов решения текстовых задач, изложенных в современной методической литературе; представленные примеры применения метода моделирования для решения задач на движение (различного уровня трудности), собственного опыта преподавания предмета «Практикум по решению математических задач». Проведен эксперимент по выявлению роли моделирования при решении текстовых задач «на движение» в структуре математических знаний будущих учителей начальных классов.
Научная новизна исследования заключается в определении нового формата формирования умения решать текстовые задачи методом моделирования у студентов в виде глубокого погружения самих обучающихся в реальный процесс решения задач различного уровня трудности с помощью модели.
Теоретическая значимость представленных в статье результатов исследования заключается в переосмыслении содержательного наполнения блока математических дисциплин, в структуре профессиональной подготовки будущего учителя начальных классов решением задач на примере задач «на движение» методом моделирования.
Практическая значимость исследования заключается в определении важности овладения умением решать текстовые задачи методом моделирования будущими учителями начальных классов в структуре полученных математических знаний.
Для достижения поставленной цели был проведен эксперимент по формированию теоретических знаний и практических навыков умения решать тврсто-вые задачи методом моделирования «на движение» студентами 5 курса направления подготовки «Начальное образование».
В школьном курсе математики чаще используются арифметический и алгебраический способы решения задач. Кроме них существует ряд других способое решения: графический, практический и т. д.
В методической литературе описан способ решения задачи при помо-0-построения модели, с помощью которого находят ответ через построение схемы отношений между данными и искомыми. Описаны уровни моделирования текста задачи: моделирование на уровне предметов; моделирование с использованием отрезков [12, с. 25-29]; моделирование с использованием прямоугольников [13, с. 19-25].
Учителя математики предлагают метод решения текстовых задач с помощью модели, называя моделью плоскостной чертёж, отражающий все отношения между величинами, данными в условии задачи [14, с. 4-10].
Использование плоскостного чертежа в самом начале решения задач на движение (то есть в начальной школе) помогает понять текст задачи, величины, которые в них даны и отношения, связывающие эти величины учащимся, которым трудно «представить» задачу.
Для решения задач на равномерное движение можно использовать в качестве плоскостной модели прямоугольник, поскольку длина, ширина его сторон и площадь (5 = аЬ) находятся в тех же отношениях, что и скорость, время, расстояние (5 = v•t). Заметим, что использование такой модели в начальной школе, когда младшиешкольникитолькоприступаютк решению задач на движение,поможет детямвизуалыно«представить»её условие.
елттентыО ктьсаса оанятитрпопретметь «Праютиыуа пк решеиию еате-матических задач» овладевали способом решения задач «повышенной трудно-ств», прктепяя моуаль в виде плоскостного чертежа. Покажем на конкретных решениыроептаои,пек пабттаат модеаь в виде пот-скастного чeртежaвоeкcтoпыxыaоеиеx«пa двпжтпае» .
т-ячествси^|^вогаг^риьет;т ьacыматрзм сешхвие с кспользхваныюм -юдь-ли несложной задачи на «встречное движение».
.адеыа т. «Из пактов А и^девв^иеоноуавсср^др^доуьусысхсли метокикопетпавтомоРишв В чеьемечаса ^^слепстье-чи, а автомобилист в A через 45 минут после встречи. Сколько часов в пути был ^^пол^С^ОВШСТ^» [15, т. 4Ю].
Решение. Пусть скорость мотоциклиста равна у1 км/ч, а автомобилиста -у2 км/о. н^^^т п°вкоо A дт рдвго 0,реУ2ш,а ьасстоеспм
oыоьнодПyечкьоевyвlгтеЖpaвч к Ь-1кв.
Перейдём к построению плоскостного чертежа (модели). В условии з адаое опрcьоаовacoбыспя: 1)псыжениьметосоклиьтр из гыптпа А к пунктВ; 2)двк-сысие aдьyмoбимecтaор повито В са^ект Л. Ото зсепит сект^юг^ее: ипебыпзо-^питс п(^у1екь^т^(] зсдачо, ионадо^тся доа чертеже (дрaизяьloyгееприкер нге омоемя з^с^п^еь^^х бымь'рп«еpхжeнывe«ппдны,ывп сывеющио пьопе с<з движения
vi км/ч
V2 км/ч
t4
б)
мотоциклиста (1-е событие), а на втором - процесс движения автомобилиста (2-е событие). Модель в виде прямоугольников изображена на рис. 1: а) 1-е событие, б) 2-е.
Время движения до точки встречи одинаково, а это означает, что прямоугольники, изображающие путь, имеют по одной равной стороне. Пусть это будет вертикальная сторона каждого прямоугольника, обозначим её 1
Далее начинаем работать с моделью. В каждом прямоугольнике (см. рис. 1) выразим 1 через площадь прямоугольника и известную сторону, запишем следующее равенство:
0,75 • V, 3^г 2 2
-= — => V, = => V, = 2%
2 12 1
Тогда ремя в пути автомобилиста легко определяется выполнением действия деления расстояния на скорость: (Зу1 + 0,75 ■ 2у1) : 2у = 2,25 часа.
Далее пр иведём пример решения задачи с использованием модели на движение «в одномна правлении».
Задача 2. «Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег. =4рвый ааал сн ся4роетью, на =оляшей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипе-деста, еришед|ррг0 к финиш. перным. Ответ дайте е км/ч» [16, с. -2].
Решенне. Обозначим акорость р-го велосипедиста за V км/ч, тогда скорость 1ыгоеелесоаедаббаыавна (v+ 8) км/ч.
Перейдёб кмедели. е ю оеисано два события: 1) движение
1-го ееыас1сбдысбчнараыст0еб1е СЫЗа^-л со2ки^сблю(-Ч.а)^1«2о; 2)двржюние
2-го велосипедиста на расстояние 153 км го скоростью V км/ч.
Это лка-дт,-™ ыооб^жения 1подеа1Ы эбч° сндлчи ррсмдdбинcядмaчeетeжa (вынелыбосгоо-нжое -додномиз котоез1х булые н^^биеженывелччивы, опи-с—оющик мноцлмб вв-женив педыога идке^кк^кееаа ял еанатиенее -ез кч1(1мр го6ордд)|в на вты|бом - п.-цессдммжкмив эторсго зееосмоедзсте еа бPcc^э"oна^¡P ^5бчо ((ее нобмеоие- На чос. 2 иеобрсежеэ е- а) 1мь сэдытзе, 2) 2-е событие.
(v +8) км/ч
ю им/м
153 км
153 км
Рис. 2
Используя мвдмль.гфпздотавленоуюоа °пс. ^пеждои собсггаезасьшем в ^кп^е: roотвeocрстющeуo .^именем. Поепчвт1 <^кекп^1с^ г (тез 8з ■ (1-8 )= 153-1-е событие. [V ■ t = 153-2-е чобыасе0
-5 сие- ра-чнетоа пмаотей ы есэ^^^^ысон^иа едпишесо о виде
одсспго ^йвнввкя, п|^ю|чз^тмик их сепые миттс: V Э с 8П- ди - о= = v-I. ПреобравЫ( сав его, пол-евс ы-леуоющев доледамба:
t-v = ед>ы = 1- 8. Индсто вимаыспение v го второе уравнение системы, ещр2пиж:
(81- 8) ■ 1= 153- 2-2совыеие, еешая эюо^вв-о-^, пoлаPкм оеыеа на вопрос зад чи.
Этв ет. V + 8 = 17 км/ч - скорость велосипедиста, который пришел первым к фи н ишу.
Рп ведём пример решения задачи, сочетающей в своём условии два вида движения: начала «в одном направлении», затем движение «навстречу руг ДРУ=».
ЗадсоаМ. «Два пелоыбко отпиывляютсяиз одсога ев-го жпместм на прогвмъ ктд о илут ки леса, находящейся в 3,5 км от ме ста отправления. Первый идёт со сто^стсю 3,6кав чле,о ртopoм-coвреp2Pмнюа.7 км в дао. И, кдпдк о^г^^пиш, первый человекс г^з^ОУ жемксаостею воовращоытсп оОдтисо. На каком расстоянии от точки 4оправлеоия произойдёт их встреча?» [16, с. 55].
Решенин. В за-аче описано два события: 1) движение первого человека на расстоярие е,5 км с о ексеостаю 0:6имЬч ; 2) движение второго человека на расстояние 3,5 км соссоностзю 2,7 км/ч. Эпы знннит, чтобы изобразить модель этой задачи понадобится ^^а прямоткольнска. На пертоо из которых будут изображены величины, олня ывкклцие п ряцесо - вижения первого человека на расстояние 3,5 км (1-е событие), / на втн.оо - ороцесс движения второго человека на расстояние 3,5 км (2-е стбёггие) (см.рис. 3: а) и б)).
Испольлуя модель, выполним следующие вычисления:
Рис. 1
2,7 ■ (С -ШЬ = Ь ( ккл) - путь, котаражосталось проСти2рОму человеку до
2/ ob о
опушки.
t-8 ч
V
35 ч35,
27 36
3,5 км
^36 то
0,5 =
Р ис. 4
С помощью построенной модели выполним требуемые вычисления. 20 : 4 = 5 км/ч - это V + V - скорость лодки вверх по реке.
20 : 6 = 10 км/ч -
это Vс - vт - скорость лодки против течения.
Для начала составим модель. В данной задаче учитываются два события: 120 км пути теплохода вдоль течения реки и 120 км против течения. Для построения модели потребуются два чертежа, включающие в себя данные о движении теплохода вдоль течения реки (первый случай) и против течения (второй случай). Таким образом, мы создадим два прямоугольника, каждый из которых будет представлять соответствующее событие.
Теплоход обозначен прямоугольниками на чертеже. Для наглядности стоит объединить эти прямоугольники на одной модели - в таком случае будет проще понять движение теплохода как по течению, так и против него. Модель изображена на рис. 5.
Рис.3
2: (3,6+2,7) = = (час) - время довсткеч- после возвраще-ия обр-ттс пе--8 36
вого человека.
= 3 (км) - расстоон-о, нт котором от тоски отпратлт-
сияпоо взошла вотречрдвом людей.
С алешприподенл1решения задшч (Ли 5)с еомощью ммлемеСма «ечажени е по реке», та есть с учРтом зсоросии ■сиэтене- мотл« азошат- зр-пе^^дас онзичаюася л-шь «ро|оям«олл» озир«г«зс:в стсеор езна - лвазола дврже«ие «пртсисеоче-еиа», «ооом «тт зстяхнрюл, вовто^ -вобретномпорядке.
^бере Р. сТу|мксз зодгееио л лодке вва|нд и- тсчс не 20 им о селвттмст н--рстно, -аттативта -ич 1-чапав.Пумкпроткв течексч панялвтолтотораза больше времвии. чем обратный путь. Найдите скорость течения реки» [17, с. 156].
Тешетод.Обо зн аелмооостядятою рко^ерь дор клче^^ ей! ч.аскс^ост ь таодвга в^^чч — лот кмА^
ПоеоадЛо ч1всд!лл^и. Юселовиградачзописан(» двт coeытoя: 1) дтз«<еиие таоивта воедко чсвр ло рекеГпроти отечечзр)гор н»стоян oeрOш.O) д тз«<еии е иу^стаи лодае ездя то лоoр(«ееeландю) тсрассроядие лшн^т.е^'^оио^чят,чмобы изоeршыить мдеeлиэреЧ садаии П0нaд0битсрдчaвритeж0 (лчо пpчмдоr'oлыoинa). Hозыввы чз жшовыебшРЛм «нображевт вэ^ич«oы,oпчрываюрчопроцессрви-жения туриста в лодке вверх по реке на расстояние 20 км (1-е событие), а на зеороз- процесодеижечсвтерчрлм «лодкнввиз нoсмвеиeсaccтояние 20 км (е^í;роOиер(.
Пoшсноиию зтдочичо зecьчяeииypиcтвaбстсoo10 трлов. Л^ттз.сг^о^с^т позволяет сразу определить, что турист затратил против течения 6 часов, по те-чв«ии) - о ооскдлыу л лРШ«исздвoсе еоалан е^вдзич^щи^яд^чкт «турист в лотке^то цлшатоебразoocoвжeрoчрсяиeмoyглези ике, ичoбpв>l<шющие зыгoтрсoртa тсерх и вниз чор^^^^ на одном чертеже (см. рис. 4).
г
й км/ч V км/ч т
120 км
120 км
vкм/ч^;_=,v км/ч
V I 8-11
Рис. 5
Исполь зуя мод ель, можно записать следующую систему: '12(5:1 = й +>т; .120: (8-0 = ^ -й .
Из сэтих ооотношений получи муравнение. М = 3 .
8-С/
Тогда:
г= П- ка (= 40; г;(. -121, пи 24. тр:г = 85 км/ч, = /32 км/ч
Заметим, что прадставленнаы модмль состоит из одногочертежа, о^^кото-ром совмещены д в^пгинивзрттжльтпка, паедставляющие два событая.
Р^гпссгл от «им ещ« сгдюн 340е заддр аа дважезие «двбжоидевдогенкр», ко гда один движу щи «из оищеег^г!^<8^(^1^яети8е^ои,т»^1>ева
Зайхел е.<^1цзы^1^з»а Горюхтновыерал тсдои-ледист, е ме^кзетсертьчаса вс5€^8дка нк^гж вь^^х;^лгыРомриа^иые ке»орыь догсаые вт^лоти58дыттт щщ |зоетамрнии Юкмот горюхтиы. Коыда лл(^'^орикытст бым та патзтоянет ВО ыргоаг Гс^тэюхино, гелосипедист отставал от него сже нс 20 км. Найдите скорость велосипедиста и мото цимиста »[»а, м.155].
Решенио. Пость с^с^^с^сть мслоаитодикта равка в км/ч,а скоросить мотоци-етьета оаднат км/и,
м м
Пе|этйдём о костреенью плсс1=остнмао мортевтт (модели).р дсловдиза-сачт оессана деа стбыдио: 1) дсижонпе велодалрдпста о мотою-излиста сз села Ге°=хиёо ло моееитп лс всеречо пв ротиорюхаоо; Д)доижесие моиооикттсса иссилдГазюхлсо. Этостачдт чтибыпзоёрдзить модель этой зодачд пьнапобитпя дба дерьедп (две прямоугольника), на од-мод сз кёсирдд Иудуд изе(Дда>теи-I дьлспены.опссовающие просессмвзжоЕ ния велосииьднстк / 1 -е кыбыть т) и на утором - пру цес<и движения мотоци-идгде) ом назддилдс нл |с!сссысявил 50 км от ["орюнеьо (О— ои^тид) (см. код М и 7).
(-д ао0ыяте: дсм-тсееео до о/ока ,ман мммециклетт тоои^л кыт (см.
О-с. тс.
Полученная система уравнений выглядит следующим образом:
- v = 10 т 3
Решив ее, получим vт=5 км/ч
Решение задачи достигнуто благодаря использованию модели совмещенного плоскостного чертежа, который был создан для этой конкретной задачи.
Задача 5. «Теплоход прошёл по течению реки 120 км и столько же против течения, затратив на весь путь 8 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 8 км/ч» [17, с. 156].
Решение. Обозначим собственную скорость теплохода за vс км/ч, а скорость течения реки - V км/ч.
Рис.6
Изрис. 6 имеем:
ра • £ п 10 и • би - ^Ь п Ю. а.д.^-СпЮ и дЬ
2-е событие: движение после того, как мотоциклист догнал велосипедиста
(см. рис. 7).
Р.Р см
ч
1-и стбыеаи
8 ч
К-и стбыеаи
V + V
v„км/ч
vbkm/h
t|4
Р ^ч
2-ое событие
Рис.2
резплощадь (см . сое. 7) с учетоб того, что
до всфечи (инр гроехели ео )о те рт 7осюхтно.
Т0 -10 30 м30
1/м Реш ееле.
40 - % => % = 2
20 vR vr 1
= t = % (t - -j <=> t = 2 = - 4j <=> t = 0,5
Вернбмсс к рис. 6, получим: Ы = 2 (5 kwi/4;v«= 40 км/ч.
Замечание. Зада/о № 05 болок сложиоо па сравнски ip с средыд^щими задача ми, оне пофебовапо инобранение ю1СРо^ли ие четы/аа^хпо1икгаачвыо /ертежах (рис. 6, |эис. 7К Рати сзон ркешенчо послек изс/ражго^ её асловияна модели оказалось бкспсентарн ым.
Сааауюпц^я задочл дл/ локзоотоеып,оуцир|(И|-о [арийская.
П^;иеЭаеогз с/° 0. «Раиооооние опеикпу пбир'^кеямн! 0Р е В по реки 150 ииы по /соссе 40 км. Пассеждр окоздлз к итплыкиз усии оксзп^п ми А ыа 1,е а, Он мгндрспно схл в такси и пииииалст im М oеиoвиомавые с «епл oxcjiac/^ ы Пкиесилоов. чао спорость оикки Зыка на 5ЕИ кзНо »ииьши сдсорснд т^плоходг^. Кузова дкняостть теплзхора?» [17,с. 1ТЧЗ].
Н/!зе ил2рчурирпид сазноснрстядзл»»никэ нсшипие: 2«2УPиз»^■oз пятдeзсaмн на засяндч ю ппедмету иПиактикум псы епшенню /я^досматккческих иисдолч».
Рлшение. П^сии зауростт тчсмлохсо,!^ f/онна с »мЛ<, у окортсть егчкси равнт v+50 км)ч . норуйдам in нссадтезию иооскаеннаон чедтлжо (мооeло» т ^иЧ:ПРхи»1 задати опеюато дт/т зттэ(й1н1тин: О) движнлтс теплти1^д1т »1еждт' ^нисназчами О тКТ »О коР)»=.1тикг), т) мои«« 5?со сaлдoжиые н ситиз одткдр пспс^^то1ни А и В (н-ето-
бытиЗс
(Ъм; рис. д: д)д1-х заСтины« Р. т-о сооыапе.
Рис.8
Исплвсгуя млрев ь, го ) 7шсо сверрую щее уравнение: 40 50
-U7 = ---l, 5
V + 55 V
Библиогрсф ическтй списьп
Решх м его а пееа^м отчет
оо^р 5бгн-Р7СсОк- /,5(=рк551!)ао /,М Vя к 72,5 и - Р75о - о 3^р к /45у - 55оо - о
ёГ4)+V2ГM2)+66MMM ёб4)+29)
- ~^-Г"
Отве . Скорость теплохода равна 25 км/час.
С решeвкeмкcкпpoлсьдйcа=ех итмт сетодямооем™ ровипсс веитсзуись все стедтнсы испыспеыой груапы.
Отметио, изо пно иач есп ы^<амвE^аи^oыносообра-зия зо=еч об дс ижение, но ориентпсюют Худищего учитоляиочале ноккпиусов на правильноа тoосаэыeниe оыcлитемкоeB деятельные™ юосас хр^и уопсар их решесес.
За основу исследования были приняты и проанализированы результаты применения метода моделирования при решении текстовых задач «на движение» студентами пятого курса будущими учителями начальных классов в количестве 23 человек. Диагностические работы были организованы во время преддипломной практики, эксперимент был проведен ими в различных школах города, при этом некоторые из участвовавших студентов уже работали учителями начальных классов. После завершения практики было написано эссе на тему «Применение знаний, полученных на «Практикуме», на уроках математики в начальной школе», также была проведена беседа и на основании полученной информации были использованы для составления соответствующей табл.
Таблица 1
Применение р период преддипломной практики математических знаний, полученных в процессе обучения в вузе
Вариант применения Общее количество применений Доля применения в процентном отношении
["Веподчотсеке унезркопр меземзричеркимолимпирд ам 20 87%
В заданиях ВПР по математике 16 70%
Припедоотовке к внеклассным мериооизряям 18 78%
При написании ВКР по математике 12 52%
Из таблицы видно, что большинство испытуемых применяло во время практики математические знания, полученные в университете. Те студенты, которые непосредственно не использовали университетские математические знания в данный момент, отмечали (в эссе), что накопленные знания всё равно принесли им пользу в учительской практике, поскольку запас полученных знаний придавал им уверенность при решении и разборе с учениками выпускных (ВПР) и олимпи-адных заданий.
Основываясь на результатах педагогического исследования можно заключить, что изучение метода моделирования для решения текстовых задач (на примере задач на движение), подробный анализ представленных решений конкретных задач, анкетирование, беседа аккумулируют профессиональную готовность будущих учителей начальных классов к применению современных методов и технологий обучения математике младших школьников.
1. Об утверждении федерального государственного обраезвательного стандарта высшего образования - бакалавриат по направлению подготовки 44.03.01 Педагогическое образование Кг ивнгненпаеи и 5клелокнпяш,).Нреказ Министерства образования и науки РФ от 22 февраля 2018 г. № 121. Available at: https://fgovo.ru/ uplHoKfiles/FGOS UO 0+a/BOK/aeKP41_ejHe62021.pdf
2. P6 етеержСзеиа лоофегеиаекаьаеге атанУоеонг «2Кг<Заазг (кесЖгоеическая деятельность в сфере дошкольного, начального общего, основного общего, среднего одкгеае оорасокнкпя1 вкакетатолг, уоктелн| ПргоагМикенрдо России от 18 октября 2013 г. № 544н (ред. от 5 августа 2016 г). Available at: https://base.garant.
гиокоогвана/
3. дантона I\KI.Ai| ¡Ка^лоогзеоа^ Г.Н. Дfeрг7eaеи ееeлo7Íраaндe за^ггге^ог^тгннкк/ в начальных классах. Москва: Просвещение, 1986.
2 Apn^oинaoыe kuo6poph/ оннюрокд обреемое лн1ак/катк/1е л еаоарннк/,13 классах. Москва: Педагогика, 1977.
5 Шадоноа у/В. мепанЭака ^;!3eí7oKi^i^^77U77 e2чнлкаuак о«ув2 мазооштнаи: учебник и практикум для вузов. Москва: Издательство «Юрайт», 2022.
6. Исаеминг НрЕЕ>. Пеактает/н ото /ёоuюl7дрe убуиеноа мнажматоио а ннчнльной^гале: развивающее обучение. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2009.
7. УтоаоааоН.П е1снкоаи/нква: рчкОКуикная отудзнаоа ны зшиу KHyó^rKrH4еских учебных заведений. Москва: Издательский центр «Академия», 2007.
6 уаокног К.А. , Лрикчрян ЛА.Зварева Л.Л Вузовская математика в структуре профессиональных знаний будущих учителей математики. Бизнес. Образование. Право.
ааоз; икч р (pu1e сдр-око.
9. К.^яицевЯД Coвpe/l/eннaя/роmдуо7muаa е </«э лрелоз/кааеие Москве: Науко.С 985.
It0. Оачантиаозо1..:., Зсяц ЮнСМапиеЗира об.лзкгни«яеаизоо;а(321Й17!вis есгосаизноИшколе: учебное пособие. М.: Жизнь и мысль, 2003: 22-23.
11. НатоаучатНоугноввчря НЬ. !дк^о!к^<^ рдучиние нза/рЕимоспсо^ в еа«альнойаоаоле. Практикум: учебное пособие. Москва: ИНФРА-М, 2023.
12 ОэдёввааТ.Ю. Иоти.з.ооация к o0eигсe^ЕU^ ол70a|^aоч^зкaо мoнeа^й. Началвное образование. 2011; № 2: 25-29.
13. Студёнова Т.Ю. Психолого-педагогические проблемы обучения детей решению задач в процессе текстового моделирования. Начальное образование. 2010; № 5: 19-25.
14. Латышева М. Как плоскостной чертёж помогает в решении текстовых задач. Математика. 2015; № 4 (764): 4-10.
15. Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ МАТЕМАТИКА. Практикум по выполнению типовых заданий ЕГЭ. Москва: Издательство «Экзамен», 2011.
16. ЕГЭ-2014: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий. Авторы-составители И.В. Ященко, И.Р Высоцкий. Москва: АСТ: Астрель, 2014.
17. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: книга для учащихся 5-7 классов. Москва: Просвещение, 2002.
References
1. Ob utverzhdenii federal'nogo gosudarstvennogo obrazovatel'nogo standarta vysshego obrazovaniya - bakalavriat po napravleniyu podgotovki 44.03.01 Pedagogicheskoe obrazovanie (s izmeneniyamii dopolneniyami). Prikaz Ministerstva obrazovaniya i nauki RF ot 22 fevralya 2018 g. № 121. Available at: https://fgovo.ru/uploadfiles/FGOS VO 3++/ BAKM40301_B_15062021.pdf
2. Ob utverzhdeniiprofessional'nogo standarta «Pedagog (pedagogicheskaya deyatel'nost' v sfere doshkol'nogo, nachal'nogo obschego, osnovnogo obschego, srednego obschego obrazovaniya) (vospitatel', uchitel). Prikaz Mintruda Rossii ot 18 oktyabrya 2013 g. № 544n (red. ot 5 avgusta 2016 g.). Available at: https://base.garant.ru/70535556/
3. Bantova M.A., Bel'tyukova G.V. Metodika prepodavaniya matematiki v nachal'nyh klassah. Moskva: Prosveschenie, 1986.
4. Aktual'nye problemy metodiki obucheniya matematike v nachal'nyh klassah. Moskva: Pedagogika, 1977.
5. Shadrina I.V. Metodika prepodavaniya nachal'nogo kursa matematiki: uchebnikipraktikum dlya vuzov. Moskva: Izdatel'stvo «Yurajt», 2022.
6. Istomina N.B. Praktikum po metodike obucheniya matematike v nachal'noj shkole: razvivayuschee obuchenie. Smolensk: Associaciya XXI vek, 2009.
7. Stojlova L.P. Matematika: uchebnik dlya studentov vysshih pedagogicheskih uchebnyh zavedenij. Moskva: Izdatel'skij centr «Akademiya», 2007.
8. Halatyan K.A., Grigoryan L.A., Zvereva L.G. Vuzovskaya matematika v strukture professional'nyh znanij buduschih uchitelej matematiki. Biznes. Obrazovanie. Pravo. 2023; № 3 (64): 335-340.
9. Kudryavcev L.D. Sovremennaya matematika iee prepodavanie. Moskva: Nauka, 1985.
10. Ovchinnikova V.S., Zayac Yu.S. Metodika obucheniya resheniyu zadach v nachal'noj shkole: uchebnoe posobie. M.: Zhizn' i mysl', 2003: 22-23.
11. Istomina-Kastrovskaya N.B. Metodika obucheniya matematike v nachal'noj shkole. Praktikum: uchebnoe posobie. Moskva: INFRA-M, 2023.
12. Studenova T.Yu. Interpretaciya i ob'yasnenie algebraicheskih modelej. Nachal'noe obrazovanie. 2011; № 2: 25-29.
13. Studenova T.Yu. Psihologo-pedagogicheskie problemy obucheniya detej resheniyu zadach v processe tekstovogo modelirovaniya. Nachal'noe obrazovanie. 2010; № 5: 19-25.
14. Latysheva M. Kak ploskostnoj chertezh pomogaet v reshenii tekstovyh zadach. Matematika. 2015; № 4 (764): 4-10.
15. Lappo L.D., Popov M.A. EG'E MATEMATIKA. Praktikum po vypolneniyu tipovyh zadanij EG'E. Moskva: Izdatel'stvo «'Ekzamen», 2011.
16. EG'E-2014: Matematika: samoepolnoe izdanie tipovyh variantovzadanij. Avtory-sostaviteli I.V. Yaschenko, I.R. Vysockij. Moskva: AST: Astrel', 2014.
17. Spivak A.V. Tysyacha i odna zadacha po matematike: kniga dlya uchaschihsya 5-7 klassov. Moskva: Prosveschenie, 2002.
Статья поступила в редакцию 02.04.24
