Решение прямой задачи кинематики для платформы Гью-Стюарта с использованием аналитического уравнения плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

научное издание мгту им. н. э. баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 4 8211. Государственная регистрация №042 1200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Решение прямой задачи кинематики для платформы Гью-Стюарта с использованием аналитического уравнения плоскости

# 04, апрель 2014

DOI: 10.7463/0414.0706936 Лапиков А. Л., Пащенко В. Н.

УДК 519.6

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана ant on lapikov ä inbox ru pashenkovn 'S inbox.ru

Введение

Комплексное исследование многосекционных манипуляторов параллельной кинематики требует решения совокупности взаимосвязанных задач структурного синтеза, параметрического синтеза и синтеза систем автоматического управления. Одним из вариантов решения данной задачи может являться система поддержки принятия решений (СППР), концепция которой заложена в статье [1]. Особенностью данного подхода является возможность использования геометрически подобного 3D-прототипа в качестве объекта проведения исследований. Создание такого прототипа требует разработки ряда обобщенных моделей, описывающих структуру и поведение манипулятора в целом.

С точки зрения структуры СППР, любой платформенный манипулятор может быть рассмотрен как частный случай многосекционного манипулятора параллельной кинематики, состоящий из одной секции. В данной работе рассматривается решение прямой задачи кинематики на примере платформенного манипулятора Гью-Стюарта.

Решение прямой задачи кинематики заключается в нахождении положения и ориентации схвата манипулятора по известным обобщенным координатам, в качестве которых, в случае платформы Гью-Стюарта, выступают длины телескопических штанг. «Известно, что шести значений недостаточно для однозначного определения положения тела в пространстве. Кроме этого необходимы связи, которые исключают неоднозначность. Так, в координатах Декарта-Эйлера такими связями являются взаимная ориентация осей коор-

динат, знаки линейных и угловых координат. Значения длин штанг не обеспечивают однозначности задания положения тела в пространстве без учета соответствующих условий связи» [2].

Для механизмов, построенных на основе разомкнутой кинематической цепи, решение прямой задачи сводится к нахождению матрицы однородных преобразований и не вызывает существенных трудностей. Более того, для подобных механизмов сложность решения прямой задачи кинематики значительно ниже сложности решения обратной задачи кинематики, заключающейся в нахождении обобщенных координат по известным положению и ориентации манипулятора. Для платформенных манипуляторов характерна обратная ситуация, обусловленная сложной структурой механизма, состоящего из нескольких замкнутых кинематических цепей, о чем указывается в статье [3]. В общем случае, решение обратной задачи кинематики для платформенного манипулятора Гью-Стюарта типа 6-6 [4] сводится к решению шести нелинейных уравнений [3].

Решение прямой задачи кинематики не имеет четко формализованного решения, как следствие существует большое число различных подходов к ее решению для класса платформенных механизмов, подробный анализ которых представлен в статье [5]. По формальному признаку большинство этих подходов можно подразделить на две группы. Первая группа использует аппарат векторной алгебры: положение и ориентация платформы выражаются через орты подвижной системы координат, которые определяются с помощью векторов, соединяющих основание и подвижную платформу [6-9], или через составляющие матрицы поворота [10-11]. Второй подход к решению задачи основан на применении геометрических соотношений, при этом сам манипулятор рассматривается как сложная пространственная конструкция [12-14].

Несмотря на разнообразие методов, решение прямой задачи кинематики для платформенного манипулятора Гью-Стюарта сводится к решению системы из девяти нелинейных уравнений, требующих априорного знания большого числа параметров, связанных с конструктивными особенностями манипулятора, расположением шарниров и т.п. Для решения системы уравнений применяются численные методы. Результаты исследования, представленные в работе [15], показывают, что для манипулятора стандартной конфигурации эта система может иметь до 40 различных решений.

В основе предлагаемого метода решения прямой задачи кинематики для платформы Гью-Стюарта типа 6-3 лежит определение аналитического уравнения плоскости подвижной платформы. Задача формализована в виде системы нелинейных алгебраических уравнений, особенностью которой является единообразные уравнения с одинаковым типом

нелинейности. Решение прямой задачи кинематики представлено в виде матрицы однородного преобразования.

Структура платформенного манипулятора Гью-Стюарта типа 6-3 [4] приведена на рис. 1. Манипулятор состоит из двух платформ, соединенных между собой телескопическими штангами. Полагаем, что платформы представляют собой идеальные диски радиусами R и r для основания и подвижной платформы соответственно. Штанги крепятся к платформам с помощью сферических шарниров. Шарниры основания лежат в плоскости основания в вершинах правильного шестиугольника с радиусом R . Шарниры подвижной платформы лежат в плоскости подвижной платформы в вершинах правильного треугольника с радиусом r . Неподвижная система координат связана с основанием и ее начало отсчета лежит в центре правильного шестигранника ABCDEF (рис. 1). Подвижная система координат связана с подвижной платформой, и ее начало отсчета лежит в центре правильного треугольника abc (рис. 1).

1. Постановка задачи

z (n)

Y

Рис. 1. Структура платформенного манипулятора Гью-Стюарта типа 6-3

Прямая задача кинематики заключается в нахождении положения и ориентации подвижной платформы при известных обобщенных координатах. Обобщенные координаты платформенного манипулятора определяет вектор длин штанг, соединяющих основание и подвижную платформу манипулятора (рис. 1) Ь = [ Ьх Ь2 ... Ьп ]. Размерность вектора обобщенных координат в случае манипулятора Гью-Стюарта типа 6-3 п = 6 [4]. Положение и ориентацию платформы определяет вектор X = [х0 у0 10 а р у], где

х0, у0, х0 - декартовы координаты центра подвижной платформы, а а, Р у - тройка углов, которая однозначно определяет ориентацию системы координат подвижной платформы относительно системы координат основания (задает вид матрицы поворота), например углы Эйлера. Функциональная зависимость X = / (Ь) неизвестна.

Ставится следующая задача: установить соотношения, определяющие зависимость X = / (Ь). Полученное решение представить в виде матрицы однородного преобразова-

ния.

2. Метод формализации и решения прямой задачи кинематики

Для отыскания аналитического уравнения плоскости платформы используем координаты трех точек, лежащих в этой плоскости. В качестве таких точек выступают точки а, Ъ, с крепления шарниров к подвижной платформе (рис. 1). Подставляя координаты шарниров в уравнение плоскости, получаем выражение для искомой плоскости

х ха ХЬ ха хс ха

У-Уа Уъ-Уа Ус-Уа

1 — 1 1и — 1 1—1

а Ъ а с а

= 0,

(1)

где а (ха Уа 1а), Ъ (хъ Уъ 1Ъ), с (хс Ус 1с) - координаты соответствующих

шарниров подвижной платформы.

Упростив выражение (1), получаем

где

(х —ха М —(У-Уа )й2 + (1 —1а )й3 = 0

¿1 = (УЪ — Уа )(1с — 1а ) — (Ус — Уа )(1Ъ — 1а ), й2 = ( хъ — ха )(1с — 1а ) — (хс — ха )(1Ъ — 1а ), ¿3 = (хЪ — ха )(Ус — Уа ) — (хс — ха )(УЪ — Уа ).

(2)

(3)

(4)

Евклидовы расстояния между шарнирами нижней и верхней платформ, то есть длин штанг, определяют выражения (рис. 1)

(ла -)2 + (уа -Уа)2 + (-ХА)2 =

(Ха - ЛВ )2 + (Уа - Ув )2 + (^ - )2 = ^, (хъ - Хс )2 + (Уъ - Ус )2 + (хъ - Хс )2 = ^ (хъ -Хв)2 + (Уъ -Ув)2 + (хъ -^)2 = ^

(Хс - ХЕ)2 + (Ус - УЕ)2 + (гс - )2 = 4, (Хс - Хр )2 + (Ус - Ур )2 + (- Хр )2 = ь26.

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

Здесь , I = 1..6 - обобщенные координаты манипулятора (длины штанг), а выражения для координат шарниров основания определяются соотношениями

А( ха уа )= Я соб v

/

в ( хв Ув хв )= Я соб

v

/

С (хс ус гс )= Я соб

v

В ( х0 ув Хв )= Я соб

v

/

Е (ХЕ УЕ ХЕ )= Я с055

Г

к

v ^ у

v 6 у

v 2 у

'5 кл

v ^ у

'7 кл

Я Бт

Я Бт

Я Бт

л

к

Г Л

|-к| 0 i

v 6) ) 0

v 6 ) у (-гЛ ^

(к1 о

v 2 у у

Я Бт

0

v 6 ) J

л

Я Бт

К

р (хр ур хр ) =

v ^ у

0

Я соб

'3

Я Бт

v и ) у

v ^ у

v 2 у )

Расстояния между шарнирами на подвижной платформе подчиняются уравнениям

(Ха - Хъ )2 + (Уа - Уъ )2 + (*а - ^ )2 = А^, (Ха - Хс )2 + (Уа - Ус )2 + (Ха - ^ )2 = А^,

(Хъ - хс )2 + (Уъ - Ус )2 + (Хъ - Хс )2 =а2Ьс ,

(11) (12) (13)

где Аь> Ас' Ас - расстояние между шарнирами подвижной платформы (рис. 1). Уравнения (5)-(13) представляют собой систему из девяти нелинейных уравнений с девятью неизвестными ха, уа, , х6 , уъ, , хс , ус, , которые определяют координаты шарниров а, ъ, с , лежащих в плоскости подвижной платформы.

Определив координаты шарниров, координаты х0, у0, центра описанной вокруг треугольника аъс окружности могут быть найдены как

Х0 =

Ха + Хъ + Хс

3

Уе =

Уа + Уъ + УС 3

ее =

Ед + Ч + Ес

Т

Используя полученные соотношения, сформируем вектор переноса р = ( х0 уа е0)

для матрицы однородного преобразования.

Преобразуем уравнение плоскости (1) к каноническому виду

Ах+Ву+СЕ+П=О,

где коэффициенты канонического уравнения плоскости могут быть получены из уравнений (2)-(4) и равны А = <, В = -< 2, С = < 3, ^ = -ха<Л\ + Уа<.-2а<з •

Тогда вектор нормали п к искомой плоскости (ось се системы координат подвижной платформы) определяют направляющие косинусы

сое р се =

СОЭ у се =

>М2 +<22 - ^з2

-<2

№ 22 ■ ь<32'

<3

2 ■ <2 + <2

Аналогично направляющие косинусы осей координат сх, су равны соответственно

Хд Хс

Р сх =

У сх =

>/( хд -хе )2 + (Уд Уе )2 + (Ед-Ее )2

Уд" -Уе

4(х ха -хе )2 + (Уд -Уе ) + (Ед-Ее )

Ед "ес

'(Хд -хс )2 + (Уд - Ус )2 + (Ед - Ее )2

ГОБ Ысу = Усе СОЭ рех - рж СО8 Уех>

ГОБ Рсу = СО8 Усе СО^ Ыех - СОв а^ ГОБ у сх , СО У СУ = СО^ Ысе СО^ рех - СО^ Рсе СО^ Ыех •

Тогда матрица поворота для матрицы однородного преобразования примет вид

Я

СО^ Рех СО^ РСУ СО^ РСЕ

У сх СО^ У СУ СО^ У СЕ

Положение и ориентацию подвижной платформы (решение прямой задачи кинематики) представим в виде матрицы однородного преобразования

3

T

COS <Хох COS a oy COS aoz Xo

COS ßox COS ßoy COS ßoz yo

COS У ox COS У oy COS yoz zo

0 0 0 1

Заключение

В работе предложен новый метод решения прямой задачи кинематики платформенного манипулятора Гью-Стюарта типа 6-3. Решение получено в виде матрицы однородного преобразования (14). К достоинствам метода относятся: однотипность уравнений (каждое из уравнений (5)-(13) имеет один и тот же смысл - евклидово расстояние между некоторыми точками секции манипулятора); простые геометрические соотношения, позволяющие без кардинального изменения уравнений связи усложнять модель; одинаковый тип нелинейности во всех уравнениях.

В развитии работы планируется провести оптимальный выбор численного метода решения предложенной системы уравнений, учитывающий тип нелинейности и т.п., а так же разработать методику оценки полученных решений.

Список литературы

1. Пащенко В .Н. Концептуальная модель автоматизированного синтеза многосекционных манипуляторов, основанных на параллельных структурах. // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. № 8. Режим доступа: http://engjournal.ru/catalog/pribor/robot/986.html (дата обращения 20.12.2013).

2. Кузнецов Ю.Н., Дмитриев Д.А., Диневич Г.Е. Компоновка станков с механизмами параллельной структуры. Гл. 5 / под ред. Ю.Н. Кузнецова. Херсон: 1111 Вишемирський В.С., 2010. С. 234-252.

3. Янг Д., Ли Т. Исследование кинематики манипуляторов платформенного типа // Конструирование. 1984. Т. 106, № 2. С. 264-272. [Yang D.C., Lee T.W. Feasibility Study of a Platform Type of Robotic Manipulators from a Kinematic Viewpoint // Transactions of ASME Journal of Mechanisms, Transmission and Automation in Design. 1984. Vol. 106. P. 191-198].

4. Merlet J.P. Parallel Robots. Springer Netherlands, 2006. 394 с. (Ser. Solid mechanics and its applications; vol. 128). DOI: 10.1007/1-4020-4133-0

5. Jakobovic D., Budin L. Forward Kinematics of a Stewart Platform Mechanism. Режим доступа: http://www.zemris.fer.hr/~yeti/download/ines2002.pdf (дата обращения 20.12.2013).

6. Cruz P., Ferreira R., Sequeira J.S. Kinematic modeling of Stewart-Gough platforms. Режим доступа:

http://users.isr.ist.utl.pt/~ricardo/publications/icinco2005.pdf (дата обращения 20.12.2013).

7. Lee T.-Y. , Shim J.-K. Elimination-Based Solution Method for the Forward Kinematics of the General Stewart-Gough Platform. Режим доступа: http://www-sop.inria.fr/coprin/EJCK/Vol1-1/24 Lee Shi.pdf (дата обращения 20.12.2013).

8. Lee T.-Y. , Shim J.-K. Algebraic Elimination-Based Real-Time Forward Kinematics of the 6-6 Stewart Platform with Planar Base and Platform. Режим доступа: http://www.ent.mrt.ac.lk/iml/paperbase/ICRA CDs/ICRA2001/PDFFILES/PAPERS/ICRA

PAPERS/I0271.pdf (дата обращения 20.12.2013).

9. Bonev I.A., Ryu J. A new method for solving the direct kinematics of general6-6 Stewart Platforms using three linear extra sensors // Mechanism and Machine Theory. 2000. Vol. 35. P. 423-436.

10. Dasgupta B., Mruthyunjaya T.S. A Canonical Formulation of the Direct Position Kinematics Problem for a General 6-6 Stewart Platform // Mech. Mach. Theory. 1994. Vol. 29, no. 6. P. 819-827.

11. Wang Q. Closed form direct kinematics of a class of Stewart platform. Режим доступа: http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/prost/proceedings/ifac2002/data/content/00906/906.pdf (дата обращения 20.12.2013).

12. Song S.-K. , Kwon D.-S. New Direct Kinematic Formulation of 6 D.O.F Stewart-Gough Platforms Using the Tetrahedron Approach // Transactions on Control, Automation and Systems Engineering (journal of ICASE: The Institute of Control, Automation and Systems Engineers, Korea). 2002. Vol. 2, no. 1. P. 1-8.

13. Zarkandi S., Esmaili M.R. Direct position kinematics of a three revolute-prismatic-spherical parallel manipulator. Режим доступа: http://www.arpapress.com/Volumes/Vol7Issue1/IJRRAS_7_1_13.pdf (дата обращения 20.12.2013).

14. Husty M.L. An algorithm for Solving the Direct Kinematics of General Stewart-Gough Platforms // Mechanism and Machine Theory. 1996. Vol. 31. P. 365-380.

15. Dietmaier P.The Stewart-Gough platform of general geometry can have 40 real postures // Advances in Robot Kinematics: Analysis and Control. Springer Netherlands, 1998. P. 7-16. DOI: 10.1007/978-94-015-9064-8 1

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. N»0421200025. ISSN 1994-0408

Solution of direct kinematic problem for Stewart-Gough platform

with the use of analytical equation of plane

# 04, April 2014

DOI: 10.7463/0414.0706936

A.L. Lapikov, V.N. Paschenko

Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation

ant on lapikov 5 inb ox ru pashenkovn '5inbox.ru

The paper concerns the solution of direct kinematic problem for the Stewart-Gough platform of the type 6-3. The article represents a detailed analysis of methods of direct kinematic problem solution for platform mechanisms based on the parallel structures. The complexity of the problem solution is estimated for the mechanisms of parallel kinematics in comparison with the classic manipulators, characterized by the open kinematic chain.

The method for the solution of this problem is suggested. It consists in setting up the correspondence between the functional dependence of Cartesian coordinates and the orientation of the moving platform centre on the values of generalized coordinates of the manipulator, which may be represented, in the case of platform manipulators, by the lengths of extensible arms to connect the foundation and the moving platform of the manipulator. The method is constructed in such a way that the solution of the direct kinematic problem reduces to solution of the analytical equation of plane where the moving platform is situated. The equation of the required plane is built according to three points which in this case are attachment points of moving platform joints. To define joints coordinates values it is necessary to generate a system of nine nonlinear equations. It ought to be noted that in generating a system of equation are used the equations with the same type of nonlinearity. The physical meaning of all nine equations of the system is Euclidean distance between the points of the manipulator. The location and orientation of the moving platform is represented as a homogeneous transformation matrix. The components of translation and rotation of this matrix can be defined through the required plane.

The obtained theoretical results are supposed to be used in the decision support system during the complex research of multi-sectional manipulators of parallel kinematics to describe the geometrically similar 3D-prototype of the manipulator.

In the process of work it is planned to make the optimal choice of numerical approach to the solution of the suggested equation system, considering the nonlinearity type etc., to develop the methodology for evaluation of received solutions, to adjust the suggested method for the solution of direct kinematic problem for the Stewart-Gough platform of the type 6-6.

Publications with keywords: mathematical model, Gough-Stewart platform, direct kinematic problem

Publications with words: mathematical model, Gough-Stewart platform, direct kinematic problem

References

1. Pashchenko V.N. [Conceptual model for automated synthesis based on multiple manipulators parallel structures]. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii - Engineering Journal: Science and Innovation, 2013, no. 8. Available at:

http://engjournal.ru/eng/catalog/pribor/robot/986.html , accessed 20.12.2013. (in Russian).

2. Kuznetsov Yu.N., Dmitriev D.A., Dinevich G.E. Komponovka stankov s mekhanizmami parallel'noy struktury. Gl. 5 [Machine arrangement with mechanisms of parallel structure. Ch. 5]. Kherson, PP Vishemirs'kiy Publ., 2010, pp. 234-252. (in Russian).

3. Yang D.C., Lee T.W. Feasibility Study of a Platform Type of Robotic Manipulators from a Kinematic Viewpoint. Transactions of ASME Journal of Mechanisms, Transmission and Automation in Design, 1984, vol. 106, pp. 191-198.

4. Merlet J.P. Parallel Robots. Springer Netherlands, 2006. 394 c. (Ser. Solid mechanics and its applications; vol. 128.). DOI: 10.1007/1-4020-4133-0

5. Jakobovic D., Budin L. Forward Kinematics of a Stewart Platform Mechanism. Available at: http://www.zemris.fer.hr/~yeti/download/ines2002.pdf , accessed 20.12.2013.

6. Cruz P., Ferreira R., Sequeira J.S. Kinematic modeling of Stewart-Gough platforms. Available at: http://users.isr.ist.utl.pt/~ricardo/publications/icinco2005.pdf , accessed 20.12.2013.

7. Lee T.-Y. , Shim J.-K. Elimination-Based Solution Method for the Forward Kinematics of the General Stewart-Gough Platform. Available at: http://www-sop.inria.fr/coprin/EJCK/Vol1 -1/24 Lee Shi.pdf , accessed 20.12.2013.

8. Lee T.-Y. , Shim J.-K. Algebraic Elimination-Based Real-Time Forward Kinematics of the 66 Stewart Platform with Planar Base and Platform. Available at:

http://www.ent.mrt.ac.lk/iml/paperbase/ICRA CDs/ICRA2001/PDFFILES/PAPERS/ICRA P APERS/I0271.pdf , accessed 20.12.2013. 9. Bonev I.A., Ryu J. A new method for solving the direct kinematics of general6-6 Stewart Platforms using three linear extra sensors. Mechanism and Machine Theory, 2000, vol. 35, pp. 423-436.

10. Dasgupta B., Mruthyunjaya T.S. A Canonical Formulation of the Direct Position Kinematics Problem for a General 6-6 Stewart Platform. Mechanism and Machine Theory, 1994, vol. 29, no. 6, pp. 819-827.

11. Wang Q. Closed form direct kinematics of a class of Stewart platform. Available at: http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/prost/proceedings/ifac2002/data/content/00906/906.pdf , accessed 20.12.2013.

12. Song S.-K. , Kwon D.-S. New Direct Kinematic Formulation of 6 D.O.F Stewart-Gough Platforms Using the Tetrahedron Approach. Transactions on Control, Automation and Systems Engineering (journal of ICASE: The Institute of Control, Automation and Systems Engineers, Korea), 2002, vol. 2, no. 1, pp. 1-813. Zarkandi S., Esmaili M.R. Direct position kinematics of a three revolute-prismatic-spherical

parallel manipulator. Available at:

http://www.arpapress.com/Volumes/Vol7Issue1/IJRRAS 7 1 13.pdf, accessed 20.12.2013.

14. Husty M.L. An algorithm for Solving the Direct Kinematics of General Stewart-Gough Platforms. Mechanism and Machine Theory, 1996, vol. 31, pp. 365-380.

15. Dietmaier P.The Stewart-Gough platform of general geometry can have 40 real postures. In: Advances in Robot Kinematics: Analysis and Control. Springer Netherlands, 1998, pp. 7-16. DOI: 10.1007/978-94-015-9064-8 1