CC BY
181
Наука к Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
ISSN 1994-0408
УДК 519.6
Динамическая модель манипулятора платформенного типа с шестью степенями свободы
Лапиков А. Л.1'*, Пащенко В. Н.1, "antonlapikoYginboxju
Середин П. В. , Артемьев А. В.
:КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, Калуга, Россия 2Филиал ФГУП "НПО им. С.А. Лавочкина", Калуга, Россия
В статье рассмотрены актуальные вопросы, связанные с построением динамических моделей манипуляторов платформенного типа с шестью степенями свободы. Существующие динамические модели платформенных механизмов, наиболее известным примером которых является платформа Гью-Стюарта, подробно описывают динамику подвижной платформы механизма, в то время как динамикой приводящих штанг зачастую пренебрегается. Кроме того, при выводе моделей для подобных механизмов остро стоит вопрос выбора обобщенных координат, поскольку зачастую связь между обобщенными координатами и положением выходного звена механизма представляется неявной зависимостью. Предложенная в работе модель,во-первых, описывается только явными зависимостями, что позволяет исключить необходимость численного дифференцирования при выводе соотношений и, во-вторых, учитывает динамику штанг механизма и ранее внесенные кинематические модификации.
Ключевые слова: динамическая модель, манипуляторы параллельной кинематики, платформа Гью-Стюарта, гексапод
Введение
При проектировании технологического оборудования на основе механизмов параллельной кинематики и синтеза систем управления для него крайне необходима точная динамическая модель. Построение динамической модели параллельного манипулятора весьма затруднительно из-за замкнутой кинематической структуры, взаимовлияния параметров, нелинейности динамических и кинематических ограничений системы. Сложная кинематика и динамика системы приводят к необходимости упрощения модели, что в свою очередь ведет к уменьшению точности.
Динамическая модель используется для решения следующих задач: - прямая задача динамики: по заданным траектории движения, скоростям и ускорениям рабочего органа определить силы в приводных кинематических парах.
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 05. С. 59-81.
Б01: 10.7463/0515.0771033
Представлена в редакцию: 03.05.2015
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
- обратная задача динамики: по заданным силам/моментам в приводных кинематических парах определить траекторию, скорости и ускорения рабочего органа.
Классический метод вывода динамической модели замкнутой кинематической цепи состоит в рассмотрении эквивалентной древовидной структуры и ограничений, накладываемых на систему, посредством множителей Лагранжа или принципа Даламбера [1], применимость которого доказана в [2]. Другие подходы основаны на применении теории винтов [3] принципа виртуальной работы [4,5], формализма Лагранжа [6,7], выводе уравнений Ньютона-Эйлера [8-11].
Метод Ньютона-Эйлера требует вычисления всех действующих на звенья сил и моментов. Например, исследование динамической модели гексапода было представлено Дасгуптой и Мрутхъюнджайей. В своей работе они выявили уравнения динамики для платформы Стюарта с шестью универсальными призматическо-шарнирными штангами (6-УПШ) в рабочем пространстве и пространстве конфигураций на основе подхода Ньютона-Эйлера. Выведенные динамические уравнения были применены для решения прямой и обратной задач динамики платформы Стюарта; результаты моделирования показали, что данная модель полностью отражает динамику платформы Стюарта. Более того, результаты данной работы продемонстрировали эффективность метода Ньютона-Эйлера для механизмов параллельной структуры и указали эффективный способ вывода динамических уравнений на основе данного подхода [12]. Этот метод был также применен Халилом и Ибрагимом [13]. Они продемонстрировали простое общее аналитическое решение для прямой и обратной задач динамики роботов параллельной структуры.
Хариб и Шринивасан выполнили анализ кинематики и динамики основанных на платформе Стюарта механизмов с обратной и прямой кинематикой, сингулярностью, прямой и обратной динамикой [11]. Для вывода уравнений динамики твердого тела ими был использован метод Ньютона-Эйлера. До и Ян [10], а также Ребуле и Бертомьё [14] представили динамическую модель гексапода на основе метода Ньютона-Эйлера. Они предложили несколько упрощений модели штанг. Метод был также использован в работах Го и Ли [15], Карвальо и Чеккарелли [16], Рибе и Ульбриха [17].
Другим подходом к выводу динамической модели платформы Стюарта является метод Лагранжа. Данный метод используется для описания динамики системы через понятия работы и энергии. Абделлатиф и Хайманн выявили наглядную точную систему дифференциальных уравнений, описывающих задачу обратной динамики статически неопределенного манипулятора параллельной структуры с шестью степенями свободы. Они продемонстрировали, что вывод наглядной, вычислительно эффективной модели, не требующей упрощений, возможен при использовании формализма Лагранжа [18]. Ли и Шах вывели обратную динамическую модель в пространстве конфигурации для манипулятора параллельной структуры с тремя степенями свободы на основе формализма Лагранжа. Кроме того, ими был представлен численный пример отслеживания винтовой траектории для демонстрации влияния динамики связей на требуемое значение силы привода [19].
Иногда формализмы смешиваются: например, Занганех [20] использует одновременно формализмы Лагранжа и Ньютона-Эйлера. Го и Ли вывели наглядные компактные аналитические уравнения платформы Стюарта с шестью степенями свободы с призматическими приводами, используя комбинированный метод на основе формализма Ньютона-Эйлера и Лагранжа [15]. Чтобы подтвердить предложенное описание, ими были изучены численные методы, использованные в других работах. Результаты моделирования показали, что возможен вывод наглядных динамических уравнений для манипулятора на основе платформы Стюарта при использовании комбинации методов Ньютона-Эйлера и Лагранжа. Лебрэ и его соавторы изучали динамические уравнения манипулятора на основе платформы Стюарта. Динамическая модель была представлена в виде пошагового алгоритма [7].
Важнейшим вопросом при решении задач динамики является вычислительная сложность, так как, хотя теоретически все формализмы эквивалентны [21], их вычислительная сложность существенно различается.
Анализируя работы, представленные по данной тематике, отметим, что в связи с рядом кинематических допущений и ограничений использование большинства ранее предложенных динамических моделей манипуляторов платформенного типа малоэффективно для создания динамических моделей многосекционных механизмов параллельной кинематики. В связи с этим, в качестве цели данной работы обозначим создание динамической модели платформенного манипулятора с шестью степенями свободы, учитывающей модификации, внесенные в кинематическую модель в работе [22].
1. Постановка задачи
Рассматриваемый в данной работе механизм (рис. 1) состоит из подвижной платформы, моделируемой круглым тонким диском. Диск соединяется штангами с неподвижным основанием. Штанги рассматриваются как стержни, способные изменять свою длину. Согласно дополнениям, внесенным в кинематику механизма в работе [22], крепление штоков к основанию и диску осуществляется в точках Д,I = 1..6 и Д,I = 1..6 соответственно, отстоящих от плоскостей основания и диска на некоторую величину. Подразумевается, что крепление штоков к основанию осуществляется с помощью шарниров Гука, а к платформе - с помощью сферических шарниров.
Для однозначного описания любой модели были определены следующие параметры:
1) радиус описанной окружности шестиугольника основания Я;
2) угловая координата первого шарнира основания фь ;
3) обобщенный параметр расстояния от плоскости основания до оси вращения в шарнирах основания кь;
4) радиус описанной окружности шестиугольника подвижной платформы г ;
5) угловая координата первого шарнира подвижной платформы фтр ;
6) обобщенный параметр расстояния от плоскости подвижной платформы до оси вращения в шарнирах подвижной платформы Итр .
Ви-Л
Рис. 1. Структура платформенного манипулятора
Ставится следующая задача: разработать математическое описание динамики манипулятора платформенного типа с шестью степенями свободы, учитывающее модификации, внесенные в кинематическую модель в работе [22].
2. Предлагаемая модель
Вывод математического описания механической системы платформенного манипулятора является важным этапом разработки системы управления. Обычно подобная модель включает в себя соотношения кинематики, выражающие координаты схвата в неподвижной системе координат через обобщенные координаты манипулятора, и динамики, связывающие обобщенные координаты с действующими на систему движущими и противодействующими силами.
Выберем систему координат 0ХХУ2 с началом в центре шестиугольника А1А2А3А4А5А6 в качестве неподвижной; подвижную систему координат ахуг свяжем с центром платформы.
Для вывода уравнений динамики механической системы воспользуемся уравнением Лагранжа 2-го рода
сИ
гдТл
дТ
л- = (1)
дд1) дд1
где Т - кинетическая энергия системы, Qi - обобщенная сила.
В качестве обобщенных координат для записи уравнения динамики выберем элементы вектора [х0 у0 20 а Р у], где х0,у0,га - декартовы координаты центра
подвижной платформы в неподвижной системе координат, а а, Р, у - углы поворота осей подвижной системы координат относительно неподвижной на углы прецессии, нутации и собственного вращения. Переобозначим однородные координаты следующим образом Ъ = X %2 = У. Ъз = ^ Ъ = а Ъ = р Ъ = У.
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех ее звеньев. Во многих работах, например [23, 24], придерживаются допущения о невесомости штанг, и, как следствие, их влияние на кинетическую энергию системы не учитывается. Поскольку в настоящей работе не было принято допущение о невесомости штанг, кинетическая энергия системы представляется следующим образом:
6
Т = Тр1+^ % (2)
г=1
где Тр1 - кинетическая энергия платформы, Гг - кинетическая энергия штанги.
Выразим кинетическую энергию системы через обобщенные координаты. Кинетическая энергия подвижной платформы будет складываться из двух составляющих: кинетической энергии движения центра масс диска и кинетической энергии вращения относительно центра масс. Обозначим через М массу платформы, а через , Jy,
главные центральные моменты инерции диска относительно осей подвижной системы координат. Тогда выражение для кинетической энергии платформы примет вид
Тр1 =\м{ч1+ч1 +JyU>2y (3)
где юх, ю у, юг - составляющие вектора мгновенной угловой скорости подвижной платформы.
Воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера для выражения компонентов вектора мгновенной угловой скорости платформы через обобщенные координаты
Юх вт (% ) вт ( Ъб ) СОБ(Ъб) о" 94
юу = вт ( % ) СОБ (Ъб ) - вт ( Ъб ) 0 Ъ
СОБ(д5) 0 1 Яв
Рассмотрим динамику штанг. При вычислении кинетической энергии данного элемента примем следующие допущения:
1) кинетическая энергия вращения штанги вокруг центра масс значительно меньше кинетической энергии движения центра масс штанги и при расчете учитываться не будет;
2) при вычислении линейной скорости центра масс каждой штанги составляющей, определяемой угловой скоростью вращения штанги в шарнире Л{, пренебрегаем в связи с малостью.
С учетом принятых допущений кинетическая энергия штанги примет вид
~ 1 -2 — Т] = 7 =1..6,
'2
где т - масса штанги, /., - скорость раздвижения штанги.
Для вычисления скорости раздвижения штанги рассмотрим рис. 2.
(4)
h
Рис. 2. К вычислению кинетической энергии штанги
Необходимую величину длины штанги нетрудно выразить через обобщенные координаты посредством кинематических ограничений, накладываемых на механизм. При выражении длин штанг через однородные координаты используем аппарат однородных преобразований. Запишем однородные координаты шарниров основания в неподвижной системе координат
А = [А1 А2 А3 А4 А5 А6 ],
A =
Rc(Фб) Rc
Rs(фь) R s
2л
2л
"Фъ
Rc
2л
+ Фй I R c
--Фъ I R s
h
h
2л h
Rs
4л
4л
Фъ
Rc
4л
+ Фъ I R c ("Фъ )
--Фъ I R s
h
4л h
Rs("Фъ)
h
где s(a) = sin (a), c(a) = cos (a). Аналогичным образом получим соотношения для однородных координат шарниров платформы в подвижной системе координат
B-[Bj B2 B3 B4 B5 B6],
в
r c
rs
(фтр ) (ф|,,р)
f 2л r c I--ф
I 3 ф
f 2л
r s--ф
I 3
тр
mp
f 2л r c--Ъф
I 3 ^
f 2л
r s--Ъф
I 3 ^
mp
mp
f 4л
r c I--ф
I 3
mp
f 4л
r s ^"фтр
f 4л
r c I у + фтр
f 4л
r s I у + фтр
r c I -I
r s I -
(-фтр ) (-фтр )
-h
тр
-h
тр
-h
тр
-h
тр
-h
тр
-h
тр
Переход из подвижной системы координат в неподвижную в общем случае описывается матрицей однородного преобразования следующего вида
¿11 (Ч4, Ч5, 4б ) ¿12 (Ч4, 45, 4б ) ¿13 (Я4,45 ) ¿14 (41)
¿21 (Ч4, Ч5, Чб ) 42 ( 44, Ч5, Чб ) ¿23 (Ч4,45 ) ¿24 (42 )
¿31 (45, 4б ) ¿32 (Ч5,4б ) ¿33 (45) ¿34 (4з ) 0 0 0 1
T
где составляющие матрицы выражаются через однородные координаты следующим образом:
¿11 = cos ( q4 ) cos (q6 )-sin (q4 ) cos ( q5 ) sin (q6 ), ¿13 = sin ( q4 ) sin (q5 ),
¿12 = - cos (q4)sin (q6)- sin (q4)cos (q5)cos (q6), ¿14 = qi,
t21 = sin ( q4 ) cos ( q6 ) + cos ( q4 ) cos ( q5 ) sin ( q6 ), ¿23 =-cos ( q4 ) sin (q5 ),
¿22 = - sin (q4)sin (q6)+cos (q4)cos (q5)cos (q6)> ¿24 = q2>
¿31 =sin (q5)sin (q6), ¿32 =sin (q5)cos (q6),
¿33 =cos (q5), ¿34 =q3-
Однородные координаты шарниров подвижной платформы в неподвижной системе координат могут быть вычислены
в = тв
Выполним операцию матричного умножения и в общем виде получим выражение зависимости координат шарниров подвижной платформы от вектора обобщенных координат
B
где элементы матрицы с учетом незначительных тригонометрических преобразований равны
Ъц Ъ12 Ъ13 Ъ14 Ъ15 Ъ16
Ъ21 Ъ22 Ъ23 Ъ24 Ъ25 Ъ26
Ъ31 Ъ32 Ъ33 Ъ34 Ъ35 Ъ36
1 1 1 1 1 1
Ъп = r C°s (фтр ) ¿11 + r sin (фтр ) ¿12 hmp¿13 + ¿14, Ъ21 = r cos (фтр ) ¿21 + r sin (фтр ) ¿22 hmp¿23 + ¿24:
¿31 = Г соб (фтр ) tзl + Г б1п (ф;тр ) /32 ктрЧз + ^34,
= -г б1п
Л | (Л
--Фтр I ¿11 + Г СОБ ^-Фтр
¿22 =
- Г Б1П
Л
- Фтр I¿21 + Г СОБ
Ъ32 = -г б1п
Т-Фтр I ¿31 + Г СОБ
Л
V 6
Ъ13 =
- Г Б1П
Л
ф,
тр
Л 6
Л
--Фтр
+ Фтр I ¿11 + Г СОБ
Л
■ + ф,
тр
ъ23 = - г б1п
Т + Фтр I ¿21 + Г СОБ
Л
V 6
Ъ33 =
-г б1п
Л
V 6
V 6
Т + Фтр
+ Фтр I ¿31 + Г СОБ
Л
■ + ф,
ъ14 = - г б1п
Л
- + Фтр I ¿11 -г СОБ
Ъ24 =
- Г Б1П
Л
V 6
V 6
тр
Т + Фтр
+ Фтр I ¿21 -Г СОБ
Л
■ + Ф,
ъ34 = -г б1п
Л
- + Фтр I¿31 -Г СОБ
ъ15 =
= - Г Б1П
Л
V 6
V 6
тр
Т + Фтр
- Фтр 141 -Г СОБ
Л
Ф,
ъ25 = -г б1п
Л
ъ« =
- Г Б1П
тр
~ Фтр I ¿21 -Г СОБ
Л
6- Фтр
Л
¿12 ^тр^13 + ¿14,
¿22 ^тр^23 + ¿24,
¿32 ^тр^33 + ¿34,
¿12 ^тр^13 + ¿14,
¿22 ^тр^23 + ¿24,
¿32 ^тр^33 + ¿34,
¿12 ^тр^13 + ¿14,
¿22 ^тр^23 + ¿24,
¿32 ^тр^33 + ¿34,
¿12 ^тр^13 + ¿14,
¿22 ^тр*23 + ¿24,
¿32 ^тр^33 + ¿34,
- Фтр I ¿31 -Г СОБ
Ъ16 = Г соб (Фтр ) ¿11 - Г б1п (Фтр ) 42 - КрЧ3 + ¿14,
Ъ26 = Гсоб(Фтр)¿21 -Гб1п(Фтр)¿22 "^23 +^
Ъ36 = Г СОБ (Фтр ) ¿31 -Г Б1п (Фтр ) ¿32 - ^33 + ¿34. Вычислим искомые величины длин штанг, как евклидово расстояние между точками
А и 5,.
Ц =а/(Л, -)2 + (4, -В2,)2 + (Ау -53,)2,. = 1..6.
(5)
В связи с большим объемом выкладок здесь и далее будем приводить полученные соотношения только для первой штанги
к =
(R СОБ (ф6 ) - г СОБ (^ ) ¿11 - г §1п (фтр ) ¿12 + ^¿13 - ¿14 ) +
+ (R вт (ф6 ) - г СОБ (фтр ) ¿21 - г 81п (ф
тр ) ¿22 + hmp¿23 ¿24 )
+
+ (Д - г СОБ (фтр ) ¿31 - г 81п (фтр ) ¿32 + ^33 - ¿34 )
2
Для вычисления величины скорости движения центра масс каждой штанги продифференцируем соотношение (5) по времени. Отметим, что величина длины штанги явно не зависит от времени. Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим следующее выражение
3 ( б
i[2(3, - Л,)1 *))
2.
Л
(б)
3
1( ^ - )
г=1
Поскольку элементы матрицы В зависят только от части вектора обобщенных координат, то в вычислении всех частных производных нет необходимости. Так, например, соотношение (6) для вычисления Д может быть упрощено следующим образом
'(Я (ф6 ) - Г (фтр ) ¿11 - Г вт (фтр ) ¿12 + ^¿13 - ¿14 ) Х Л
-Г СОБ
I ^11 д41
(фтр ) У - Г Б1П
уУтр) ^
(ф )У ^ д% +
( р I дд{ &
+к У д41
тр^4 дЧг д¿ д41 д¿ " (Я (ф6 ) - Г СОБ (фтр ) ¿21 - Г (фтр ) ¿22 + ^23 - ¿24 ) х
-Г СОБ
(фтр - Г 81п
(ф )У д¿22дЧ, +
(фтр )у дд, ^
у ^23 д4-д14 д42 тр 1 д4, д¿ д42 д¿
+ (Д - Г СОБ (фтр ) ¿31 - Г Б1п (ф
тр ) ¿32 + Дтр^33 ¿34 ) Х
-Г СОБ
б
(фтр )У
+Д
тр
[ [
^¿31 д4_
д4, д¿
^^¿33 д45 д¿34 д43 д45 д¿ д43 д¿
- Г ^ (фтр )У
д32 д4,
,=5 д4 д¿
(Я СОБ (фь ) - Г СОБ (фтр ) ¿11 - Г Б1п (фтр ) ¿12 + ^¿13 - ¿14 ) + + (Я ^ (ф6 ) - Г СОБ (фтр ) ¿21 - Г ^ (фтр ) ¿22 + ^23 - ¿24 )2 +
(Д - Г СОБ (фтр ) ¿31 - Г Б1п (ф
тр ) ¿32 + Дтр^33 ¿34 )
Подставив величину скорости (6) в выражение (4), получим соотношение для вычисления кинетической энергии штанги
( 3 г '
т 1
У, = —т
] 8
у хв--^ Ч)))
V '=1 V
3
у( "/-в,; )
г=1
(7)
Таким образом, полная кинетическая энергия механической системы платформенного манипулятора, описанная выражением (2), с учетом (3) и (7) примет вид
( 2 Л
Л (мп (с/з) ^п (Чб ) + С08 (Чб )Чз) +
+Зу (мп (д5) сое (д6 ) с/4 - мп (с/6 )с/5 )2 Н
1 6
+ — ту 8 у
У ( 2 (В. , )у [^ ^ ^2
3 "
у( )2
г=1
Вычислим необходимые производные кинетической энергии: - производную (8) по обобщенной скорости ВТ
Щ
(
дТ 1 5 --
м/, 8 м/.
( 3
6
Е
>1
у|2 (в,;-",; )у
г=1 V к=1
^ (ВВгJ Вдк)))
2Л
к=11ВЪк В )))
у ( 4,;-% )2 ¿=1
с5Г ... 1 с5
-=Мс]2 +-ТП
дд2 8
(42
( 3
6
г
>1
у2 (* - "; )у Вк
)
2\
г=1
)))
у (а,; - в; )2
г=1
(
дТ ... 1 5
-= М/3 + - /7?-
ск/з ~ 8
) 2 Л
6
Е
]=1
у ( 2 (В ; - А ; )у ^ ^ I))
уI ( г,; )у V ВЪк ВГ
у (а,; - в,; )2
г=1
(8)
дТ
д44
вт (д5) МП (д6 ) (вт (д5 ) мп (д6 ) ¿¡4 + сое {д6 ) д5)
+
3у МП(д5)сое(д6)(мп(д5)сое(д6)¿¡4 -вт(д6)д5)-
+Л сое)(сое(45)д4+д6) +
(
1 д
+ — т-
8 дд4
( 3 Г
б 7=1
У\)
i 2(В" - )уу^,)
2Л
[ г=1 [
i (А, - )2
г=1
ВТ
— = Зх сое {д6) (мп (д5) вт (д6) д4 + сое (д6) д5)
од5
Л {ск)(в1п(д5)С0*(Чб)Ча ~вт(я6)д5) +
б (дВи д4к )))
+
(
1 д
+ — т-
8 дд5
( 3
2Л
б
7=1
II 2(Вг,, -4,)У
г=1 [ к=1
к=1 [ д4к д¿ )))
I (А, - )2
г=1
(
дд6 8 дд6
( 3
б
Е
7=1
iI2 (ви - )!
г=1 [ к=1
дВг, д4к ыхI д4к д¿
¿(4, ",,Г
г=1
2Л
- производную по времени от производной кинетической энергии по обобщенной
скорости
сЬ
( дТ ^
V
(
с1 дТ 1 а д
--=Мд{ +-т-
сН ддх
с// ддх
( 3
б
X
7=1
112(^ - *,Е№ дкли
2Л
г=1
с5Г 1 ¿/5
--= Мд2 + — т--
б// сс/2 8 б// сс/2
( 3
б
г
7=1
512 < В- - 45 Й1 *)))
)
2 Л
¿(4,
г=1
(
с1 дТ 1 ё д
--= Мд3+-т--
б// с с/^ " 8 б// с с/^
( 3
6
X
>1
512 < В- - --'у [I1 * )Ц
2Л
Ш-ви)2
г=1
Л С08 ) МП ) Ъ (в1П ) ^П (Чб ) ЧА + С08 (Чб ) 45 )
+
дТ_ Ж ссц
+Зу СОв ) СОБ ) ¿¡5 (мП (д5 ) сое ) ¿¡4 - МП {д6 ) д5 ) +Л вт (^5) сое (д6 ) д6 (мп (д5) мп (д6 ) ¿¡4 + сое (д6 ) )
Л ЯП)вт(Чб)Чв (в1п (д5)С0*(Чб)44 - (ч6)д5) Л- вт (Чз) % (С08 (Чз) Ча + Яб ) +
ГСОЬ (д5 ) МП (д6 ) ¿¡4д5 + МП (д5 ) СОБ (д6 ) д4д6 -
- МП (д6 ) д5д6 + мп (д5) мп (д6 ) д4 + сое (д6 ) д5
+
■ —
I —
+Jx 81п ( Ъ5 ) 81п ( Ъ6 )
+Jy ^ ( Ъ5) СОБ (Ъ6 )
сое ) сое (д6) д4д5 - мп (д5) мп (д6) д4д6 -
- сое (д6) д5д6 + мп (д5) сое (д6) д4 - мп (д6) д5 +3,_ сое ) (- МП (д5) д4д5 + сое ) д4 + д6) +
1 ё В
+ — т-
( ( 3 ( 6 (ВВ р,п \)Л2Л
У 2(^ -I?№£ 1
8 Ж дд4
6
Т.
>1
V г=1 V
У ( А- - Вг,- )2
г=1
ё ВТ
"Л вт(Чб)Чб (в1п(д5)вт(Чб)я4 + сое(д6)д5)
Ж дд5
+Зу сое {д6) д6 (мп (д5) сое (д6) д4 - мп (д6) д5)
+
+
+Jx СОБ ( 46 )
+Jy ^ ( Ъ6 )
'сое ) МП (д6 ) д4д5 + мп ) сое (д6 ) д4дь -
- МП (д6 ) д5д6 + мп ) мп (д6 ) д4 + сое (д6 ) д5 сое ) сое (д6) д4д5 - мп ) мп (д6) д4д6 -
- сое (д6) д5д6 + мп ) сое (д6) д4 - з1п (д6) д5
1 ё В
+ — т-
8 Ж дд5
6
Т.
>1
[У (2(В, - А,)У [^^
V г=1 V к=1 [В4k ВТ
2Л
У (4.- - Вг,- )2
г=1
С _дТ
Ж дс]6
3,_ (- мп (д5) ¿]4с]5 + сое (д5) д4 + д6 ) +
(
1 С д
+ — т-
8 Л дд6
( 3 (
б
I
7=1
I 2 (Ви - 4, Ц
б (дВи д4к )))
2Л
[ г=1 [
к=1 [ д4к д¿ )))
I (4, - Ви, )2
г=1
- производную (8) по обобщенной координате ■дТ
д4г
(
дТ 1 д
-= - т —
д4г 8 д4г
( 3
б
i
,=1
iI2(- л,)!
г=1 [ к=1
б (дВг,, д4к )))
2Л
к=1 [ д4к д¿ )))
i (4, - Ви, )2
г=1
,г = 1..4
дТ д45
Зх сое ) МП (46 ) д4 (мп (д5) МП (д6 ) д4 + сое (д6 ) д5)
+
+Зу сое (д5) сое (д6 ) д4 (мп (д5) сое (д6 ) д4 - мп (д6 ) д5) -3,_ мп(д5)с14 (сое(д5)д4 + д5) +
1 д
+ — т-
8 д45
/ 5)44
(
б
i
,=1
( 3 г
i 2(Ви -)!
б (дВг,, д4к )))
2Л
V г=1 V
к=1 [ д4к д¿ )))
3
К А, - В„)
г=1
дТ
д4б
: Л (в1п(45)^п(46 ) 44 + С08 ( 46 ) 45)(в1п(45)со*(4б)44 " вт(4б)45)
+
+Зу (-мп(45)мп(д6)д4- со$(д6)д5)(мп (д5)со$(д6)д4 - мп (д6)д5)
+
С
1д
+ — т-
8 д4б
3
б ,=1
II 2(Вг,, -4,)!
г=1 [ к=1
дВг,, д4к
2
к=1 [ д4к д¿ )))
I (- Ви )2
г=1
Теперь приступим к выражению обобщенных сил Qi через обобщенные координаты . Рассмотрим силы, действующие на систему, и радиус-векторы точек их приложения:
- на подвижную платформу действует сила тяжести Р, приложенная в точке;
- на каждую из штанг действует сила тяжести Р;, приложенная в точке;
- приложенные к точкам B и направленные вдоль соответствующих штанг силы
F, i=О.
Векторы сил, действующих на систему, представим в следующем виде:
Р = (0 0 -Mg), Р, =(0 0 -mg),i = О, F( = /<;е,, / = Пб,
.. .. .. .. Ia i - Bi|
где е г - единичным вектор, направленный вдоль оси г — ои штанги и равный е,- =
1И-11 ■
Составим выражение работы на элементарных перемещениях. Работа каждой силы будет равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения:
г=1 г=1
б дгБ — б 5Гс -
где = 1^^,г = 1"6, а бгС; = 2^§4],г = 1-6.
]=1 64] ]=1 64]
Подставив величины действующих сил в выражение работы и обозначив компоненты вектора гв через хг, уг, , а компоненты вектора Рг- через Ц*, , ^, найдем
значения обобщенных сил:
Qj =Z
6 ГFx + Fy _°Уа_ + fz ^
i=1
iii öq?- oqj dq
, j = 1,2,4,5,6,
6 V ^L + Fy + Fz
0з =— + 6т) Я + 1 ^ . ^ .
г=1 I д4з д4з д4з.
Подставляя полученные выражения производных кинетической энергии и
обобщенных сил в (1) получим систему динамических уравнений рассматриваемой
механической системы.
Решая полученную систему дифференциальных уравнений, описывающую
динамику механической системы, можно по заданным законам изменения управляющих
сил ^ = ^ (?), г = 1.б найти закон изменения обобщенных координат 4 = 4 (?), г = 1..6 и
наоборот.
3. Численный пример
Рассмотрим следующий пример. Пусть параметры модели равны: К = 1(м), фь = —(рад), \ = °Д(м),
Г = °,8 (м), фтр =—(Рад), Кр = 0,1(м),
M = 20 (кг), m = 1( кг ), g = 9,8
г м_ V с2.
Прямая задача динамики (определение закона изменения обобщенных координат по известным законам изменения управляющих сил) платформенных механизмов имеет простое аналитическое решение [24], поэтому рассматриваться не будет.
Рассмотрим решение обратной задачи динамики механизма. Зададим следующие законы изменения управляющих сил:
^ = 50Б1П (Г), г = Пб. (9)
Для данной задачи получение аналитического решения сопряжено с большим объемом необходимых преобразований и в общем случае затруднительно. В связи с этим будем искать решение численно с использованием встроенных численных методов пакета МаХквтаНеа. Для этого зададим необходимые начальные условия
Ъ = 0, ъ = 0, Ъ = 140, = 0, Ъ = 0, Ъ = 0,
^ =0, с]0 = 0, =0, д4 = 0, д5 =0, с)6 = 0.
На рис. 3 и рис. 4 для заданного программного закона изменения управляющих сил (9) приведены результаты численного решения прямой задачи динамики платформенного манипулятора с шестью степенями свободы.
Рис. 3. Законы изменения обобщенных координат %1, %2, 4э
Рис. 4. Законы изменения обобщенных координат 44,45, %6
Как видно из графиков, платформа совершает поступательные гармонические колебания по обобщенной координате 43.
Заключение
В работе предлагается динамическая модель платформенного манипулятора с шестью степенями свободы. Отличительными особенностями полученной модели являются, во-первых, уточнение выражения кинетической энергии системы, за счет введения составляющих, описывающих энергию штанг, во-вторых, возможность в явном виде (а не численно) вычислять производные кинетической энергии в отличие от, например, [25]. В-третьих, использование модифицированных соотношений кинематики [22], что позволит существенно повысить точность при построении моделей многосекционных механизмов параллельной структуры.
В развитии работы планируется расширение функциональности модели для учета влияния полезной нагрузки и создание алгоритмов для построения динамической модели многосекционного манипулятора параллельной структуры.
Список литературы
1. Liu M.-J., Li C.-X., Li C.-N. Dynamics analysis of the Gough-Stewart platform manipulator // IEEE Trans. on Robotics and Automation. 2000. Vol. 16, no. 1. P. 94-98. DOI: 10.1109/70.833196
2. Liu G.F., Wu X.Z. Inertia equivalence principle and adaptive control of redundant parallel manipulator // Proceedings IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation (ICRA '02). Vol. 1. IEEE Publ., 2002. P. 835-840. DOI: 10.1109/R0B0T.2002.1013461
3. Gallardo J. Dynamics of parallel manipulators by means of screw theory // Mechanism and Machine Theory. 2003. Vol. 38, no. 11. p. 1113-1131. DOI: 10.1016/S0094-114X(03)00054-5
4. Wang J., Gosselin C.M. A new approach for the dynamic analysis of parallel manipulators // Multibody System Dynamics. 1998. Vol. 2, no. 3. P. 317-334. DOI: 10.1023/A:1009740326195
5. Tsai L.-W. Solving the inverse dynamics of a Stewart-Gough manipulator by the principle of virtual work // ASME Journal of Mechanical Design. 2000. Vol. 122, no. 1. P. 3-9. DOI: 10.1115/1.533540
6. Geng Z., Haynes L.S. On the dynamic model and kinematic analysis of a class of Stewart platforms // Robotics and Autonomous Systems. 1992. Vol. 9, no. 4. P. 237-254. DOI: 10.1016/0921 -8890(92)90041 -V
7. Liu K., Lewis F., Lebret G., Taylor D. The singularities and dynamics of a Stewart platform manipulator // Journal of Intelligent and Robotic Systems. 1993. Vol. 8. P. 287-308. DOI: 10.1007/BF01257946
8. Codourey A., Burdet E. A body oriented method for finding a linear form of the dynamic equations of fully parallel robots // Proc. 1997 IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. Vol. 2. IEEE Publ., 1997. P. 1612-1618. DOI: 1Q.11Q9/ROBOT.1997.614371
9. Dasgupta B., Choudhury P. A general strategy based on the Newton-Euler approach for the dynamic formulation of parallel manipulators // Mechanism and Machine Theory. 1999. Vol. 34, iss. 6. P. 801-824. DOI: 10.1016/S0094- 114X(98)00081 -0
10. Do W.Q.D., Yang D.C.H. Invers Dynamic Analysis and Simulation of a Platform Type of Robot // Journal of Robotic Systems. 1988. Vol. 5, no. 3. P. 209-227. DOI: 10.1002/rob.4620050304
11. Harib K., Srinivasan K. Kinematic and dynamic analysis of Stewart platform-based machine tool structures // Robotica. 2003. Vol. 21, no. 5. P. 541-554. DOI: 10.1017/S0263574703005046
12. Dasgupta B., Mruthyunjaya T.S. Closed-Form Dynamic Equations of the General Stewart Platform through the Newton-Euler // Mechanism and Machine Theory. 1998. Vol. 33, no. 7. P. 993-1012. DOI: 10.1016/S0094-114X(97)00087-6
13. Khalil W, Ibrahim O. General Solution for the Dynamic Modeling of Parallel Robots // Journal of Intelligent and Robotic Systems. 2007. Vol. 49, iss. 1. P. 19-37. DOI: 10.1007/s10846-007-9137-x
14. Reboulet C., Berthomieu T. Dynamic Models of a Six Degree of Freedom Parallel Manipulators // Fifth International Conference on Advanced Robotics, 1991. 'Robots in Unstructured Environments' (91 ICAR). Vol. 2. IEEE Publ., 1991. P. 1153-1157. DOI: 10.1109/ICAR.1991.240400
15. Guo H., Li H. Dynamic analysis and simulation of a six degree of freedom Stewart platform manipulator // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2006. Vol. 220, no. 1. P. 61-72. DOI: 10.1243/095440605X32075
16. Carvalho J., Ceccarelli M. A Closed-Form Formulation for the Inverse Dynamics of a Cas-sino Parallel Manipulator // Multibody System Dynamics. 2001. Vol. 5, iss. 2. P. 185-210. DOI: 10.1023/A:1009845926734
17. Riebe S., Ulbrich H. Modeling and online computation of the dynamics of a parallel kinematic with six degrees-of-freedom // Archive of Applied Mechanics. 2003. Vol. 72, iss. 1112. P. 817-829. DOI: 10.1007/s00419-002-0262-5
18. Abdellatif H., Heimann B. Computational efficient inverse dynamics of 6-DOF fully parallel manipulators by using the Lagrangian formalism // Mechanism and Machine Theory. 2009. Vol. 44, iss. 1. P. 192-207. DOI: 10.1016/j.mechmachtheory.2008.02.003
19. Lee K.-M., Shah D.K. Kinematic analysis of a three-degrees-of-freedom in-parallel actuated manipulator // IEEE Journal of Robotics and Automation. 1998. Vol. 4, no. 3. P. 354-360. DOI: 10.1109/56.796
20. Zanganeh K.E., Sinatra R., Angeles J. Kinematics and dynamics of a six-degree-of-freedom parallel manipulator with revolute legs // Robotica. 1997. Vol. 15, no. 4. P. 385-394. DOI: 10.1017/S0263574797000477
21. Yiu Y.-K. On the dynamics of parallel manipulators // Proceedings IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation (2001 ICRA). Vol. 4. IEEE Publ., 2001. P. 3766-3771. DOI: 10.11Q9/ROBOT.2001.933204
22. Лапиков А.Л., Пащенко В.Н., Масюк В.М. Модификация метода решения прямой задачи кинематики для класса платформенных манипуляторов с шестью степенями свободы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 11. С. 72-94. DOI: 10.7463/1114.0735505
23. Каганов Ю.Т., Карпенко А.П. Математическое моделирование кинематики и динамики робота-манипулятора типа «хобот». 2. математические модели секции манипулятора, как механизма параллельной кинематики типа «гексапод» // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2009. № 11. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/133731.html (дата обращения 01.04.2015).
24. Зуев С.М. Стабилизация положений равновесия нагруженных модификаций платформы Стюарта: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2014. 115 с.
25. Смирнов В.А., Петрова Л.Н. Динамическая модель механизма параллельной кинематики // Вестник ЮУрГУ. Сер. Машиностроение. 2009. № 11. С. 50-56.
Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 05, pp. 59-81.
DOI: 10.7463/0515.0771033
Received: 03.05.2015
Science^Education
of the Bauman MSTU
ISS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity
Dynamic Model of Platform Manipulator with Six Degrees of Freedom
A.L. Lapikov1'*, V.N. Paschenko1, P.V. Seredin2, ''antoniapiko^mbox ju
A.V. Artemev2
1Kaluga Branch of the Bauman MSTU, Kaluga, Russia 2Branch "NPO n.a. S.A. Lavochkin", Kaluga, Russia
Keywords: dynamic model, parallel kinematics manipulators, Stewart-Gough platform, hexapod
The paper considers a solution of the relevant tasks related to deriving dynamic equations for the platform manipulators with 6 degrees of freedom. It presents a detailed analysis of the subject area, describes key problems arising in the course of research, and suggests their solution methods. The equations describing dynamics of the mechanical system under discussion were derived using Lagrange equation of the second kind. For this purpose Cartesian coordinates and three Euler angles (angles of precession, nutation and intrinsic rotation) describing the orientation of moving frame of reference connected with the platform towards the base were chosen as generalized coordinates of the model. Such choice allowed us to simplify the derivation of the model considerably, because it was possible to represent a dependence of kinetic energy of the mechanical system on the generalized coordinates in an explicit form. In addition, formulation of kinetic energy was supplemented with correlations describing kinetic energy of the mechanism legs. During the derivation of equations for the legs velocities the part of the component defining a rotation movement of the leg against the joint of the base was ignored because of it was small in comparison with the component of linear separation. Besides, during the derivation of equations for kinetic energy of the legs, modified correlations for kinematics of platform manipulators with 6 degrees of freedom suggested in the previous papers of the authors were used.
The paper examines a numerical example to solve a reverse dynamic problem in the case of equal harmonic changes of controlling forces. It was found out that under controlling forces described above the platform carries out harmonic advancing movements along the vertical axis.
Further planning research concerns the extended capabilities of the model to consider the influence of the working load and to create algorithms for deriving dynamic models of a multi-sectional manipulator with a parallel structure.
References
1. Liu M.-J., Li C.-X., Li C.-N. Dynamics analysis of the Gough-Stewart platform manipulator. IEEE Trans. on Robotics and Automation, 2000, vol. 16, no. 1, pp. 94-98. DOI: 10.1109/70.833196
2. Liu G.F., Wu X.Z. Inertia equivalence principle and adaptive control of redundant parallel manipulator. Proceedings IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation (ICRA '02). Vol. 1. IEEE Publ., 2002, pp. 835-840. DOI: 10.1109/ROBOT.2002.1013461
3. Gallardo J. Dynamics of parallel manipulators by means of screw theory. Mechanism and Machine Theory, 2003, vol. 38, no. 11, pp. 1113-1131. DOI: 10.1016/S0094-114X(03)00054-5
4. Wang J., Gosselin C.M. A new approach for the dynamic analysis of parallel manipulators. Multibody System Dynamics. 1998, vol. 2, no. 3, pp. 317-334. DOI: 10.1023/A:1009740326195
5. Tsai L.-W. Solving the inverse dynamics of a Stewart-Gough manipulator by the principle of virtual work. ASME Journal of Mechanical Design, 2000, vol. 122, no. 1, pp. 3-9. DOI: 10.1115/1.533540
6. Geng Z., Haynes L.S. On the dynamic model and kinematic analysis of a class of Stewart platforms. Robotics and Autonomous Systems, 1992, vol. 9, no. 4, pp. 237-254. DOI: 10.1016/0921 -8890(92)90041 -V
7. Liu K., Lewis F., Lebret G., Taylor D. The singularities and dynamics of a Stewart platform manipulator. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 1993, vol. 8, pp. 287-308. DOI: 10.1007/BF01257946
8. Codourey A., Burdet E. A body oriented method for finding a linear form of the dynamic equations of fully parallel robots. Proc. 1997 IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. Vol. 2. IEEE Publ., 1997, pp. 1612-1618. DOI: 10.1109/ROBOT.1997.614371
9. Dasgupta B., Choudhury P. A general strategy based on the Newton-Euler approach for the dynamic formulation of parallel manipulators. Mechanism and Machine Theory, 1999, vol. 34, iss. 6, pp. 801-824. DOI: 10.1016/S0094- 114X(98)00081 -0
10. Do W.Q.D., Yang D.C.H. Invers Dynamic Analysis and Simulation of a Platform Type of Robot. Journal of Robotic Systems, 1988, vol. 5, no. 3, pp. 209-227. DOI: 10.1002/rob.4620050304
11. Harib K., Srinivasan K. Kinematic and dynamic analysis of Stewart platform-based machine tool structures. Robotica, 2003, vol. 21, no. 5, pp. 541-554. DOI: 10.1017/S0263574703005046
12. Dasgupta B., Mruthyunjaya T.S. Closed-Form Dynamic Equations of the General Stewart Platform through the Newton-Euler. Mechanism and Machine Theory, 1998, vol. 33, no. 7, pp. 993-1012. DOI: 10.1016/S0094- 114X(97)00087-6
13. Khalil W, Ibrahim O. General Solution for the Dynamic Modeling of Parallel Robots. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2007, vol. 49, iss. 1, pp. 19-37. DOI: 10.1007/s10846-007-9137-x
14. Reboulet C., Berthomieu T. Dynamic Models of a Six Degree of Freedom Parallel Manipulators. Fifth International Conference on Advanced Robotics, 1991. 'Robots in Unstructured Environments' (91ICAR). Vol. 2. IEEE Publ., 1991, pp. 1153-1157. DOI: 10.1109/ICAR.1991.240400
15. Guo H., Li H. Dynamic analysis and simulation of a six degree of freedom Stewart platform manipulator. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2006, vol. 220, no. 1, pp. 61-72. DOI: 10.1243/095440605X32075
16. Carvalho J., Ceccarelli M. A Closed-Form Formulation for the Inverse Dynamics of a Cas-sino Parallel Manipulator. Multibody System Dynamics, 2001, vol. 5, iss. 2, pp. 185-210. DOI: 10.1023/A:1009845926734
17. Riebe S., Ulbrich H. Modeling and online computation of the dynamics of a parallel kinematic with six degrees-of-freedom. Archive of Applied Mechanics, 2003, vol. 72, iss. 11-12, pp. 817-829. DOI: 10.1007/s00419-002-0262-5
18. Abdellatif H., Heimann B. Computational efficient inverse dynamics of 6-DOF fully parallel manipulators by using the Lagrangian formalism. Mechanism and Machine Theory, 2009, vol. 44, iss. 1, pp. 192-207. DOI: 10.1016/j.mechmachtheory.2008.02.003
19. Lee K.-M., Shah D.K. Kinematic analysis of a three-degrees-of-freedom in-parallel actuated manipulator. IEEE Journal of Robotics and Automation, 1998, vol. 4, no. 3, pp. 354-360. DOI: 10.1109/56.796
20. Zanganeh K.E., Sinatra R., Angeles J. Kinematics and dynamics of a six-degree-of-freedom parallel manipulator with revolute legs. Robotica, 1997, vol. 15, no. 4, pp. 385-394. DOI: 10.1017/S0263574797000477
21. Yiu Y.-K. On the dynamics of parallel manipulators. Proceedings IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation (2001 ICRA). Vol. 4. IEEE Publ., 2001, pp. 3766-3771. DOI: 10.11Q9/ROBOT.2001.933204
22. Lapikov A.L., Pashchenko V.N., Masyuk V.M. Modification of Method for Solution of Direct Kinematic Problem for the Type of Platform Manipulators with Six Degrees of Freedom. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 11, pp. 72-94. DOI: 10.7463/1114.0735505 (in Russian).
23. Kaganov Yu.T., Karpenko A.P. Kinematics and dynamics mathematical modeling of a "trunk" robot-manipulator. 2. Mathematical models of the manipulator section as the type "hexapod" parallel mechanism. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2009, no. 11. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/133731.html , accessed 01.04.2015. (in Russian).
24. Zuev S.M. Stabilizatsiya polozhenii ravnovesiya nagruzhennykh modifikatsii platformy Styuarta. Kand. diss. [Stabilization of equilibrium positions of loaded modifications of Stewart platform. Cand. diss.]. St. Petersburg, 2014. 115 p. (in Russian).
25. Smirnov V.A., Petrova L.N. Dynamic model of mechanism of parallel kinematics. Vestnik YuUrGU. Ser. Mashinostroenie = Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mechanical Engineering Industry, 2009, no. 11, pp. 50-56. (in Russian).
