CC BY
245
Наука к Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 12. С. 128-136.
Б01: 10.7463/0815.9328000
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
##.##.2014 ##.##.2014
УДК 519.6
Алгоритм решения прямой задачи кинематики многосекционного манипулятора параллельной структуры
*
Лапиков А. Л., Пащенко В. Н.
:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В статье рассмотрен вопрос решения прямой задачи кинематики многосекционных манипуляторов параллельной структуры. Описана структура подобных механизмов. Выявлены основные проблемы, возникающие при создании математических моделей данных манипуляторов. Предложен алгоритм, позволяющий получить положение и ориентацию подвижной платформы каждой секции (решение прямой задачи кинематики) в виде матрицы однородного преобразования. Выведены соотношения, описывающие переходы между смежными секциями манипулятора. Рассмотрен пример для трехсекционного механизма, в качестве секций которого выступают платформенные манипуляторы с шестью степенями свободы.
Ключевые слова: манипуляторы параллельной кинематики, многосекционные манипуляторы параллельной структуры, манипулятор типа «хобот», платформа Гью-Стюарта, гексапод, прямая задача кинематики, математическая модель
Введение
Манипуляторы параллельной кинематики (МПК) положительно зарекомендовали себя в различных областях промышленности. Важными достоинствами таких роботов являются относительно высокая жесткость, равномерное распределение нагрузки, низкая металлоемкость и т.п. К недостаткам механизмов параллельной структуры относятся ограниченность рабочей зоны, относительно небольшая манипулятивность, сложность системы управления, что сокращает возможности для применения таких манипуляторов. Использование многосекционных манипуляторов параллельной структуры (ММПС) позволит устранить вышеуказанные недостатки роботов-манипуляторов параллельной кинематики.
Идея ММПС была заложена в так называемых фермах переменной геометрии (в иностранной литературе известные под аббревиатурой VGT). Подобные устройства впервые упоминаются в работах Миуры [1], Райнхольца [2] и Сегути [3]. Предлагаемая ими ферма
состоит из соединенных между собой шарнирных октаэдров с тремя звеньями переменной длины. Манипулятор характеризуется большим рабочим пространством, малой массой и высокой избыточностью, но исследования кинематики, динамики и решение задач управления являются нетривиальными задачами высокой сложности.
Как и пространственные фермы переменной геометрии ММПС представляют собой соединение нескольких секций, в качестве которых выступают манипуляторы параллельной кинематики. Известными примерами подобных манипуляторов являются манипуля-ционный робот LX-4 компании Logabex [4], состоящий из 4-х идентичных секций (в данном механизме в роли секции выступает платформенный манипулятор Гью-Стюарта, известный также как платформа Стюарта), многосекционный манипулятор типа «хобот», разноплановое исследование которого проведено в работах [5-8].
Многосекционные манипуляторы параллельной структуры значительно превосходят обычные манипуляторы параллельной кинематики по ряду важных параметров, таких как объем рабочей зоны, манипулятивность, число степеней подвижности и т.п. Однако анализ кинематики и структуры рабочего пространства для подобных манипуляторов, согласно исследованиям, проведенным в работах Эберта-Апхоффа [9] и Ли [10], достаточно сложен. Трудности при построении моделей ММПС обусловлены двумя основными причинами: во-первых, особенностями манипулятора параллельной кинематики как секции манипулятора, во-вторых, взаимовлиянием секций, обусловленным структурой многосекционного манипулятора параллельной кинематики. К проблемам, возникающим при исследовании МПК, можно отнести анизотропию и неоднородность динамических, упругих и скоростных свойств манипулятора, сложность задания движений манипулятора в обобщенных координатах, связанных со степенями подвижности устройства, необходимость использования непрямоугольного (нелинейного) базиса [11] и т.п.
Учитывая вышесказанное, актуальными становятся задачи разработки методик и алгоритмов изучения многосекционных манипуляторов параллельной структуры, базирующиеся на моделях секций механизма.
Кинематическое исследование любого манипулятора, в том числе и ММПС, требует решения двух основных задач: прямой задачи кинематики (ПЗК) и обратной задачи кинематики (ОЗК). ПЗК заключается в нахождении положения и ориентации манипулятора по известным обобщенным координатам, а ОЗК - в нахождении обобщенных координат по известным положению и ориентации манипулятора. В общем случае, решение ОЗК для платформенного типа с шестью степенями свободы сводится к решению шести нелиней-
ных уравнений [12, 13]. Решение ПЗК четко не формализовано, и зачастую каждый из подходов применим к определенным классам параллельных манипуляторов.
В данной статье в качестве секции ММПС рассматриваются манипуляторы параллельной кинематики платформенного типа с шестью степенями свободы, наиболее широко известным примером которых является платформа Гью-Стюарта. Для платформы Гью-Стюарта предложено множество моделей. Степень детализации такой модели определяется числом и расположением шарниров на основании и подвижной платформе манипулятора. В литературе особенно широко освещены следующие модели: платформа Гью-Стюарта типа 6-3 [4], характеризующаяся шестью шарнирами на основании и тремя шарнирами на подвижной платформе, платформа Гью-Стюарта типа 6-6 [4] с шестью шарнирами на основании и платформе. Шарниры могут быть расположены либо равномерно по границе основания и/или платформы, либо неравномерно (попарно). В этих моделях в качестве обобщенных координат манипулятора принято рассматривать длины телескопических штанг. В работе [14] было произведено обобщение существующих моделей и предложены соотношения, описывающие решения основных кинематических задач.
Целью данной работы является создание алгоритма решения прямой задачи кинематики многосекционного манипулятора параллельной структуры, в качестве секций которого выступают манипуляторы параллельной кинематики платформенного типа с шестью степенями свободы.
1. Постановка задачи
Рассмотрим структуру многосекционного манипулятора параллельной кинематики на примере механизма, состоящего из 3 секций. Каждая секция является манипулятором параллельной кинематики платформенного типа с шестью степенями свободы. Будем считать, что все секции одинаковы и представляют собой платформу Гью-Стюарта типа 6-6 с парным расположением шарниров. Каждая секций состоит из двух платформ, соединенных между собой телескопическими штангами, которые крепятся к платформам с помощью сферических шарниров. Платформы представляют собой идеальные диски. Штанги представляют собой невесомые нерастяжимые стержни. Шарниры лежат в вершинах шестиугольников фиксированного радиуса. Структура секции манипулятора приведена на рис. 1.
Рис. 1. Структура платформенного манипулятора Гью-Стюарта типа 6-6 с парным расположением
шарниров
Для описания секции манипулятора необходимы следующие параметры:
1) радиус описанной окружности шестиугольника основания Я;
2) угловая координата первого шарнира основания фъ {;
3) обобщенный параметр расстояния от плоскости основания до оси вращения в шарнирах основания Иъ {;
4) радиус описанной окружности шестиугольника подвижной платформы г ;
5) угловая координата первого шарнира подвижной платформы ;
6) обобщенный параметр расстояния от плоскости подвижной платформы до оси вращения в шарнирах подвижной платформы Ьтр1.
Структура и ЗБ-прототип механизма, состоящего из 3 секций, приведены на рис. 2 и рис. 3 соответственно.
Рис. 2. Структура многосекционного манипулятора параллельной кинематики
Рис. 3. 3Б-прототип многосекционного манипулятора параллельной кинематики
Введем неподвижную систему координат О0хуо, связав ее с основанием первой секции. Подвижные системы координат свяжем с каждой из платформ, причем оси О1г1 перпендикулярны плоскости соответствующей платформы. Оси О1х1 направляются из центра каждой платформы через виртуальные точки и^. Оси О1у1 выбираются так, чтобы
тройка векторов была правой. Под схватом многосекционного манипулятора параллельной структуры подразумеваем центр подвижной платформы N — ой секции.
Для манипуляторов платформенного типа в качестве элементов вектора обобщенных
координат обычно выбирают длины телескопических штанг Ьг- = [Ц1 Ц 2 ... Ц 6 ^.
Принимая во внимание, что ММПС состоят из нескольких манипуляторов параллельной кинематики, в качестве обобщенных координат механизма выберем
К
-'N,
где Ь/3/ = 1..N - вектор обобщенных координат секции; N - количество секций в манипуляторе.
Аппарат однородных преобразований широко применим в задачах робототехники для описания взаимного положения систем координат, связанных со звеньями манипулятора, поскольку существенно сокращает необходимые вычисления. Общий вид матрицы однородного преобразования для нашей задачи
к/ (а/,р/,У/) Р/ (хогУогго,) 0 1
Т (X ) =
где Х/ =
х у
а У о
а/ р/ У/
вектор, определяющий положение и ориентацию
секции; Я; (аг, Рг, уг) - матрица поворота, которая однозначно определяет ориентацию
подвижной системы координат, связанной с / — ой секцией, относительно системы координат основания (матрица поворота функционально зависит от углов Эйлера);
Рг (х0, Уо , го-) - вектор переноса, который задает координаты начала отсчета подвижной
системы координат, связанной с / — ой секцией; 0 - нулевой вектор размерностью 1 х 3 .
Ставится следующая задача: разработать алгоритм определения положения и ориентации схвата (решение прямой задачи кинематики) многосекционного манипулятора параллельной структуры, состоящего из N секций, в форме соотношения Ту (XN ) = / (К) .
2. Предлагаемый алгоритм
При решении прямой задачи кинематики механизма стремятся получить некоторую функциональную зависимость положения и ориентации схвата манипулятора от значений
обобщенных координат механизма. Учитывая, что данная зависимость для большинства МПК неявна и число обобщенных координат многосекционного манипулятора параллельной структуры велико, построение подобной функции теряет свою актуальность. В то же время, рассматривая движение каждой секции в отдельности и учитывая влияние нижележащих секций на вышележащие, решение данной задачи можно представить в виде следующего итеративного алгоритма.
1) Задать параметры , фЬ1, НЪ1, г, фтр1, Нтр1 для каждой секции.
2) Задать значения обобщенных координат К многосекционного манипулятора параллельной структуры.
3) Задать матрицу однородного преобразования, описывающую неподвижную систему координат 70 = Е .
4) Для I — ой секции /' = \..И выполнить пункты 5 - 8.
5) Определить координаты шарниров основания / — ой секции в неподвижной системе координат, используя матрицу однородного преобразования согласно формуле
с = тг_Д
С
где ^ - матрица координат шарниров основания секции в подвижной системе координат, связанной с этой секцией.
6) Вычислить координаты центра платформы на заданном векторе обобщенных координат секции манипулятора
%,. + ху + уи,. + уу + Уж, 2и + 2у + 2ж ^
O
i i i i i i i i i
3 3 3
\ У
где хи , уи , , xVi, yVi, zVi, Хщ, ущ, zW^ - координаты виртуальных точек, необходимых для нахождения аналитического уравнения плоскости подвижной платформы секции.
7) Вычислить на заданном векторе обобщенных координат орты подвижной системы
координат секции манипулятора - для оси Oizi:
A
cos ап„ =
OiZi 4a2+B2 + C2'
COS P O,z, = B
со8 У О,г, =■
С
где , Вг, Сг - коэффициенты канонического уравнения плоскости подвижной платформы г — ой секции манипулятора; для оси Огхг:
со8 ап„ =
со8 Рах =
со8 У ^^ =
■%, хО
— хО/ ) + (уи, — уО/ ) +(ги, — гО/ )
ги — г,-
хи, — хО,) + (уц — УО,) + (%, — гО,)
для оси О1у1:
со8 аО,у, = со8 рОЛ со8 Уол — со8 Уол со8 РОЛ,
сто рОу = со8 УОг со8 аОЛ — со8 аОЛ со8 У Ох,
со8 УОу = со8 аОг со8 РОх — со8 РОг со8 аОх. 8) Сформировать матрицу однородного преобразования, описывающую положение и ориентацию , — ой секции манипулятора:
Т
9) Конец.
Отметим, что в результате выполнения алгоритма, получаемые матрицы Т описывают переход из соответствующих локальных систем координат в неподвижную. В случае если необходимо описать переход между локальными системами координат, например от I—ой к т — ой (I > т) матрица однородного преобразования представляется в форме
= А„,+1АОТ+2 ... А/З
со8 аОхХ, со8 аО,у, со8 аП7 хО1
со§ РО,х, со8 РO/У/ со8 РО,г, уО,
со§ УО,х, со8 УО,у, со8 УО,г, гО,
0 0 0 1
где Аг- - матрица перехода между соседними локальными системами координат. Тогда, для рассматриваемой задачи, переход из (/ +1) — ой системы координат в / — ую может быть вычислен
А1 = Тг Тг+1.
Пример 1
Рассмотрим следующий пример. Необходимо промоделировать движение многосекционного манипулятора параллельной структуры, состоящего из трех секций, из начального положения в требуемое. Напомним, что в данной работе в качестве секции выступают платформенные механизмы параллельной кинематики с шестью степенями свободы. За начальное положение ММПС примем такое состояние манипулятора, когда подвижные платформы каждой секции параллельны между собой и параллельны основанию первой секции. Требуемым положением является такое положение, при котором центры подвижных платформ каждой секции равномерно расположены на участке кривой окружности, как это показано на рис. 4.
Уо
Рис. 4. Конечное положение манипулятора
Определим параметры секций манипулятора следующими величинами:
1) радиус Яг = 50, г = 1..3;
— . —
2) угловая координата первого шарнира основания ф6,г- = —,г = 1..3 ;
3) обобщенный параметр расстояния от плоскости основания до оси вращения в шарнирах основания НЬг = 5,г = 1..3 ;
4) радиус описанной окружности шестиугольника подвижной платформы
^ = 50, / = 1.3 ;
— . -
5) угловая координата первого шарнира подвижной платформы Фтр,г- = —, г = 1. 3;
18
6) обобщенный параметр расстояния от плоскости подвижной платформы до оси вращения в шарнирах подвижной платформыктр г = 5,г = 1..3 .
Пусть начальное положение манипулятора характеризуется следующим набором обобщенных координат К1 ^ = 100, г = 1..3, ] = 1..6 . Радиус окружности Я = 300.
Значения обобщенных координат ММПС для конечного положения может быть найдено из решения обратной задачи кинематики для каждой из секций. Для решения ОЗК необходимо задать положение и ориентацию подвижных систем координат. Как показано на рис. 4., движение манипулятора происходит в плоскости ^0^0У0 . Принимая во внимание, что точки Ог,г = 1..3 лежат на дуге окружности и отстоят друг от друга на угол
у = — , координаты начала отсчета подвижных систем координат легко могут быть полу-6
чены из уравнения окружности. Отметим, что в рамках нашей задачи ось О111 направлена
по касательной к окружности. Компоненты поворота для матрицы однородного преобразования могут быть получены с помощью матрицы элементарного вращения вокруг оси Ох. Величина угла поворота определяются как угол между ортами соседних систем координат.
На основании вышесказанного сформируем исходные данные для решения ОЗК:
"10 0 0
0 0,8660 —0,5 40,1924
А, =
1 0 0,5 0,8660 150
0 0 0 1
A2 =
A3 =
10 0 0
0 0,8660 -0,5 109,8076
0 0,5 0,8660 109,8076 0 0 0 1
"1 0 0 0 " 0 0,8660 -0,5 150 0 0,5 0,8660 40,1924 0 0 0 1 Решая обратную задачу кинематики для каждой секции, сформируем матрицу обобщенных координат для конечного положения многосекционного манипулятора параллельной структуры
140,2779 153,8549 169,0322 161,9697 132,6159 126,2190" 147,2589 154,4674 163,6825 159,2591 143,7144 141,0932 156,2921 155,3003 156,0787 155,4802 157,6173 159,1814
В задачах управления манипуляторами параллельной кинематики желаемая траектория должна разбиваться на участки, характер движения на которых описывается простыми зависимостями [15]. В общем случае производят линейную интерполяцию траектории, поскольку таким образом можно обеспечить наибольшее быстродействие системы. В начальный момент времени манипулятор характеризуется известным вектором обобщенных координат. Подставляя вычисленные значения обобщенных координат для желаемого положения, линейную аппроксимацию законов изменения обобщенных координат можно описать итерационными соотношениями
K
Ki, j,n+1 Ki, j,n + "
K*-K0 _ _
i,j
i,j
T
t, i = 1..3, j = 1..6, n = 0..T,
где Kг0y - начальное значение обобщенной координаты; K*y - желаемое значение обобщенной координаты; T - число точек дискретизации.
Процесс моделирования движения платформы представляет собой итеративное решение прямой задачи кинематики. Для решения поставленной задачи в пакете MATLAB разработана программа, алгоритм которой приведен на рис. 5. Для решения системы нелинейных уравнений будем использовать встроенные методы ломаных доверительных областей среды МЛТЬЛБ.
Рис. 5. Алгоритм программы
Графики перемещения центральных точек каждой секции манипулятора приведены на рис. 6-8.
Рис. 6. Траектория движения первой секции ММПС
Рис. 7. Траектория движения второй секции ММПС
х 0
01 2345678
1
400
200
01 2345678
1
500
400
300
0 1 2 3
5 6 7 8
0
Рис. 8. Траектория движения третьей секции ММПС
Для проверки результатов проведем сравнение полученных данных и значений, получаемых на 3D-прототипе. В таблице 1 приведены результаты для некоторых наборов обобщенных координат манипулятора.
Таблица 1. Результаты моделирования и данные с 3Б-прототипа
Обобщенные координаты Модель 3Б-прототип
"150 150 150 150 150 150" 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 X = 0 у = 0 ^ = 140,76 х2 = 0 у2 = 0 ^ = 281,52 х3 = 0 у3 = 0 = 422,28 х = 0 у = 0 ^ = 140,76 х2 = 0 у2 = 0 ^ = 281,52 х3 = 0 у3 = 0 = 422,28
"144,4 151,9 159,6 155,9 141,1 138,1" 148,6 152,2 157,8 154,6 146,9 145,5 153,1 152,6 153,1 152,7 153,8 154,6 х1 =-1,13 у1 = 67,47 ^ = 128,28 х2 =-0,9 у2 = 117,89 72 = 265,1 х3 = 2,29 у3 = 131,6773 = 404,19 х =-1,09 у = 67,49 ^ = 128,33 х2 =-0,95 у2 = 117,89 22 = 265,08 х3 = 2,1 у3 = 131,3 23 = 404,4
"140,2 153,8 169,1 161,9 132,6 126,2" 147,2 154,4 163,6 159,2 143,7 141,1 156,2 155,3 156,1 155,4 157,6 159,1 X = 0 у = 150 ^ = 40,19 х2 = 0 у2 = 259,81 ^ = 150 х3 = 0 у3 = 300 = 300,1 х = 0 у = 150 ^ = 40,19 X = 0 у2 = 259,81 ^ = 150 х3 = 0 у3 = 300 = 300
Заключение
В работе проведен анализ работ в области исследования многосекционных манипуляторов параллельной структуры, показаны недостатки существующих методов исследования. Предложен алгоритм решения прямой задачи кинематики для манипулятора, состоящего из N секций, в качестве которых выступают платформенные манипуляторы параллельной кинематики с шестью степенями свободы. Проведено моделирование движения трехсекционного манипулятора. Произведено сравнение результатов моделирования с результатами, получаемыми на 3D-прототипе.
В развитии работы планируется проведение исследований в области динамики платформенных манипуляторов параллельной кинематики с шестью степенями свободы и многосекционных механизмов, построенных на их основе.
Список литературы
1. Miura K., Furuya H., Suzuki K. Variable geometry truss and its application to deployable truss and space crane arm (Paper presented at the 35th Congress of the International Astronautical Federation, Lausanne, Switzerland, 8-13 October 1984) // Acta Astronautica. 1985. Vol. 12, is. 7-8. P. 599-607. DOI: 10.1016/0094-5765(85)90131-6
2. Reinholtz C.F., Gokhale D. Design and analysis of variable geometry truss robots // Proc. of the 9th Annual Conf. on Applied Mechanisms, USA, Oklahoma State University, 1987. P. 1-5.
3. Seguchi Y., Tanaka M., Yamaguchi T., Sasabe Y., Tsuji H. Dynamic analysis of a truss-type flexible robot arm // JSME International Journal, Series C. 1990. Vol. 33, no. 2. P. 183-190.
4. Merlet J.-P. Parallel Robots. Springer Netherlands, 2006. 394 p. (Ser. Solid Mechanics and Its Applications; vol. 128). DOI: 10.1007/1-4020-4133-0
5. Каганов Ю.Т., Карпенко А.П. Математическое моделирование кинематики и динамики робота-манипулятора типа «хобот». 1. Математические модели секции манипулятора, как механизма параллельной кинематики типа «трипод» // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2009. № 10. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/133262.html (дата обращения 16.11.2014).
6. Каганов Ю.Т., Карпенко А.П. Математическое моделирование кинематики и динамики робота-манипулятора типа «хобот». 2. Математические модели секции манипулятора, как механизма параллельной кинематики типа «гексапод» // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2009. № 11. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/133731.html (дата обращения 16.11.2014).
7. Волкоморов С.В., Карпенко А.П. Геометрия многосекционного манипулятора типа «хобот» // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Электрон. журн. 2010. № 10. Режим доступа:
http://technomag.bmstu.ru/doc/ 163391.html (дата обращения 16.11.2014).
8. Карпенко А.П., Шмонин А.М. Исследование динамики многосекционного манипулятора типа «хобот» // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2010. № 9. Режим доступа:
http: //technomag. bmstu. ru/doc/157912. html (дата обращения 16.11.2014).
9. Ebert-Uphoff I., Chirikjian G.S. Inverse kinematics of discretely actuated hyper-redundant manipulators using workspace densities // Proc. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation (Minneapolis, 24-26 April, 1996). Vol. 1. IEEE Publ., 1996. P. 139-145. DOI: 10.11Q9/ROBOT.1996.5Q3586
10. Lee D.S., Chirikjian G.S. A combinatorial approach to trajectory planning for binary manipulators // Proc. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, (Minneapolis, 24-26 April, 1996). Vol. 3. IEEE Publ., 1996. P. 2749-2754. DOI: 10.1109/RQBQT.1996.506578
11. Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф. Пространственные механизмы параллельной структуры. М.: Наука, 1991. 94 с.
12. Янг Д., Ли Т. Исследование кинематики манипуляторов платформенного типа // Конструирование. 1984. Т. 106, № 2. С. 264-272. [Yang D.C., Lee T.W. Feasibility Study of a Platform Type of Robotic Manipulators from a Kinematic Viewpoint // Transactions of ASME Journal of Mechanisms, Transmission and Automation in Design. 1984. Vol. 106, no. 2. P. 191-198. DOI: 10.1115/1.3258578 ].
13. Лапиков А.Л., Пащенко В.Н. Математическая модель платформенного манипулятора Гью-Стюарта // Всероссийская научно-техническая конференция «Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе» (Москва, 10-12 декабря 2013 г.): матер. Т. 2. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. С. 144-156.
14. Лапиков А.Л., Пащенко В.Н., Масюк В.М. Модификация метода решения прямой задачи кинематики для класса платформенных манипуляторов с шестью степенями свободы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 11. С. 72-94. DOI: 10.7463/1114.0735505
15. Лапиков А.Л., Масюк В.М. Моделирование движения платформы Гью-Стюарта при линейной аппроксимации закона изменения обобщенных координат // Евразийский Союз Ученых (ЕСУ). 2014. № 4, ч. 5. С. 106-109.
Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 12, pp. 128-136.
DOI: 10.7463/0815.9328000
Received: Revised:
##.##.2014 ##.##.2014
Science^Education
of the Bauman MSTU
I SS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity
Algorithm for Solution of Direct Kinematic Problem
of Multi-sectional Manipulator with Parallel Structure
*
A.L. Lapikov, V.N. Paschenko
bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: parallel kinematics manipulators, multi-sectional manipulators with parallel structure, manipulator of type "trunk", Stewart-Gough platform, hexapod, direct kinematic problem, mathematical model
The article is aimed at creating techniques to study multi-sectional manipulators with parallel structure. To solve this task the analysis in the field concerned was carried out to reveal both advantages and drawbacks of such executive mechanisms and main problems to be encountered in the course of research. The work shows that it is inefficient to create complete mathematical models of multi-sectional manipulators, which in the context of solving a direct kinematic problem are to derive a functional dependence of location and orientation of the end effector on all the generalized coordinates of the mechanism. The structure of multi-sectional manipulators was considered, where the sections are platform manipulators of parallel kinematics with six degrees of freedom. The paper offers an algorithm to define location and orientation of the end effector of the manipulator by means of iterative solution of analytical equation of the moving platform plane for each section. The equation for the unknown plane is derived using three points, which are attachment points of the moving platform joints. To define the values of joint coordinates a system of nine non-linear equations is completed. It is necessary to mention that for completion of the equation system are used the equations with the same type of non-linearity. The physical sense of all nine equations of the system is Euclidean distance between the points of the manipulator. The result of algorithm execution is a matrix of homogenous transformation for each section. The correlations describing transformations between adjoining sections of the manipulator are given. An example of the mechanism consisting of three sections is examined. The comparison of theoretical calculations with results obtained on a 3D-
prototype is made. The next step of the work is to conduct research activities both in the field of dynamics of platform parallel kinematics manipulators with six degrees of freedom and in the field of multi-sectional mechanisms designed on their basis.
References
1. Miura K., Furuya H., Suzuki K. Variable geometry truss and its application to deployable truss and space crane arm (Paper presented at the 35th Congress of the International Astronautical Federation, Lausanne, Switzerland, 8-13 October 1984). Acta Astronautica, 1985, vol. 12, is. 7-8, pp. 599-607. DOI: 10.1016/0094-5765(85)90131-6
2. Reinholtz C.F., Gokhale D. Design and analysis of variable geometry truss robots. Proc. of the 9th Annual Conf. on Applied Mechanisms, USA, Oklahoma State University, 1987, pp. 1-5.
3. Seguchi Y., Tanaka M., Yamaguchi T., Sasabe Y., Tsuji H. Dynamic analysis of a truss-type flexible robot arm. JSME International Journal, Series C, 1990, vol. 33, no. 2, pp. 183-190.
4. Merlet J.-P. Parallel Robots. Springer Netherlands, 2006. 394 p. (Ser. Solid Mechanics and Its Applications; vol. 128). DOI: 10.1007/1-4020-4133-0
5. Kaganov Yu.T., Karpenko A.P. Kinematics and dynamics mathematical modeling of a "trunk" robot-manipulator. 1. Mathematical models of the manipulator section as the type "thripod" parallel mechanism. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2009, no. 10. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/133262.html , accessed 16.11.2014. (in Russian).
6. Kaganov Yu.T., Karpenko A.P. Kinematics and dynamics mathematical modeling of a "trunk" robot-manipulator. 2. Mathematical models of the manipulator section as the type "hexapod" parallel mechanism. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2009, no. 11. Available at: http://technomag.edu.ru/doc/133731.html , accessed 16.11.2014. (in Russian).
7. Volkomorov S.V., Karpenko A.P. Geometry of multisectional "trunk" manipulator. Nauka I obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2010, no. 12. Available at:
http://technomag.bmstu.ru/doc/ 163391.html , accessed 16.11.2014. (in Russian).
8. Karpenko A.P., Shmonin A.M. Dynamics research of a multi-section trunk robot-manipulator. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2010, no. 9. Available at: http://technomag.bmstu.ru/doc/157912.html , accessed 16.11.2014. (in Russian).
9. Ebert-Uphoff I., Chirikjian G.S. Inverse kinematics of discretely actuated hyper-redundant manipulators using workspace densities. Proc. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Minneapolis, 24-26 April, 1996. Vol. 1. IEEE Publ., 1996, pp. 139-145. DOI: 10.11Q9/ROBOT.1996.5Q3586
10. Lee D.S., Chirikjian G.S. A combinatorial approach to trajectory planning for binary manipulators. Proc. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Minneapolis, 24-26 April, 1996. Vol. 3. IEEE Publ., 1996, pp. 2749-2754. DOI:
10.1109/ROBOT.1996.506578
11. Glazunov V.A., Koliskor A.Sh., Kraynev A.F. Prostranstvennye mekhanizmy parallel'noy struktury [Spatial Parallel Structure Mechanisms]. Moscow, Nauka Publ., 1991. 94 p. (in Russian).
12. Yang D.C., Lee T.W. Feasibility Study of a Platform Type of Robotic Manipulators from a Kinematic Viewpoint. Transactions ofASME Journal of Mechanisms, Transmission and Automation in Design, 1984, vol. 106, iss. 2, pp. 191-198. DOI: DOI: 10.1115/1.3258578
13. Lapikov A.L., Pashchenko V.N. Mathematical model of Stewart-Gough platform manipulator. Vserossiyskaya nauchno-tekhnicheskaya konferentsiya "Naukoemkie tekhnologii v priboro- i mashinostroenii i razvitie innovatsionnoy deyatel'nosti v vuze": mater. [All-Russian Scientific and Technical Conference "High technologies in instrument-making engineering and mechanical engineering, and the development of innovation activities in high school"], Moscow, 10-12 December, 2013. Vol. 2. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2013, pp. 144-156. (in Russian).
14. Lapikov A.L., Pashchenko V.N., Masyuk V.M. Modification of Method for Solution of Direct Kinematic Problem for the Type of Platform Manipulators with Six Degrees of Freedom. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 11, pp. 72-94. DOI: 10.7463/1114.0735505
15. Lapikov A.L., Masyuk V.M. Motion simulation of Stewart-Gough platform when linear approximation of the law of change of generalized coordinates. Evraziyskiy Soyuz Uchenykh (ESU), 2014, no. 4, part 5, pp. 106-109. (in Russian).
