CC BY
183
2. Галушкин А.И. Нейронные сети: основы теории / А. И. Галушкин. - М.: Горячая линия-Телеком, 2010. - 496 с.
3. Каличкин А.И., Павлова А.И. Применение нейронной экспертной системы для классификации эрозионных земель // Сибирский вестник сельскохозяйственной науки. - 2014. - № 6. - С. 5-11.
4. Павлова А.И., Каличкин В.К. Картографирование эрозионных земель с помощью ГИС и нейронной экспертной системы // Интерэкспо Гео-Сибирь. 2013. Т. 3. № 4. С. 170-173.
5. Павлова А.И., Каличкин В.К. Автоматизированное картографирование сельскохозяйственных земель с помощью нейронной экспертной системы, интегрированной с ГИС // Достижения науки и техники АПК, 2011. - № 1. - С. 5 - 8.
6. Современные вычислительные сети с использованием туманных технологий / Медведева В.А., Осипенко А.С., Бабешко В.Н.// Современные инструментальные системы, информационные технологии и инновации. - Курск, 2015. С. 76-79.
Bobrikova Ksenya Anatolevna, student
(e-mail: kseniya.bobrikova@mail.ru)
Novosibirsk state university of economic and management, Novosibirsk, Russia
Pavlova Anna Illarionovna, Associate Professor, associate professor of Applied information technologies, Ph.D.
Novosibirsk state university of economy and management, Russia
Novosibirsk, Kamenskaya St. 52, case 5, audience 5-409.
e-mail: annstab@mail.ru
APPLICATION OF THE HOPFILDA NETWORK AS THE INSTRUMENT OF RECOGNITION OF IMAGES
Abstract. In article questions of training of a neural network for recognition of images are considered. The program in the Microsoft Visual Studio 2010 C# language is for this purpose developed for recognition of images on the basis of Hopfild's network.
Keywords: neural networks, recognition of images, Hopfild's network
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПЛАТФОРМЫ ГЬЮ-СТЮАРТА С ШЕСТЬЮ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Гебель Е.С., Воробьев А.
Омский государственный технический университет, Россия E-mail: Gebel_es@mail.ru
Платформа Гью-Стюарта с шестью степенями свободы широко используется при создании различных мехатронных устройств, в частности контрольно-измерительных головок, испытательных стендов и т.д. Достоинствами исследуемого механизма является повышенная жесткость и компактность конструкции, а недостатками - возможная потеря управляемости. В статье предложены методики решения прямой и обратной задач о положениях, которые, в соответствии с конструктивными особенностями используемых приводов, позволят оценить область допустимых положений платформы Гью-Стюарта.. Проверка адекватности предложенных подходов проводилась путем численного эксперимента в программной среде MathCad.
Одним из актуальных направлений развития современных робототехни-ческих систем является создание мехатронных устройств, обеспечивающих высокую точность управления перемещением и ориентацией выходного звена в рабочем пространстве, а также жесткость устройства при действии динамических нагрузок. Перечисленным требованиям удовлетворяют механизмы не с последовательной, а с параллельной кинематикой, которые используются в качестве базовой компоненты столов для монтажа сотовых сегментов экрана подземных туннелей и строительных конструкций; несущих конструкций многокоординатного сборочного и механооб-рабатывающего оборудования и в частности динамического тренажера водителей грузовых автомобилей [1 - 6]. Параллельные механизмы и их модификации отличаются типом и количеством опор, а также числом степеней подвижности.
В работе рассматривается испытательных стенд [1], реализованный на базе шестистепенной платформы Гью-Стюарта с классической кинематической схемой (рис. 1), управление положением и ориентацией выходного звена которой осуществляется изменением длин телескопических штанг (обобщенные координаты).
Решение прямой и обратной позиционной задач для механизмов с параллельной кинематикой требует использования непрямоугольного (нелинейного) базиса, что порождает следующие особенности [2]:
1. анизотропия и неоднородность динамических, упругих и скоростных свойств;
2. потеря управляемости в определенных конфигурациях;
3. интерференции (пересечение) отдельных кинематических цепей;
4. сложность задания движений манипулятора в обобщенных координатах.
Рис. 1 Конструктивный чертеж испытательного стенда
Таким образом, одной из важнейших задач, связанных с исследованием механизмов параллельной структуры, в частности шестистепенной платформы Гью-Стюарта, является определение возможных движений (в общем случае винтовых) выходного звена [3] для заданных входных воздействий.
В основаниях конструкции исследуемого испытательного стенда, показанного на рисунке 2, лежат правильные треугольники, смещенные относительно друг друга на угол 60°. Положение опорных шарниров верхнего и нижнего треугольных оснований заданы радиусами ^ и Я2 описанных около них окружностей.
Штанги попарно крепятся двух- и трехподвижными шарнирами в вершинах нижнего и верхнего оснований соответственно, и представляют собой линейные приводы, реализованные в виде актуаторов.
Задача анализа кинематика платформы Гью-Стюарта заключается в установлении отношений между положением и ориентацией подвижной платформы и обобщенными координатами, т.е. длинами телескопических штанг [3]. Выделяют прямую и обратную позиционную задачу, первая из которых предполагает вычисление координат шарниров подвижного основания в соответствии с заданными значениями длин штанг. А вторая -формулируется как задача поиска длин штанг по известным положениям узлов.
В процессе исследования приняты следующие допущения [4]:
- основным элементом штанги является интегрально встроенный электропривод поступательного движения с беззазорной передачей, жесткое соединение штанг с основаниями гарантирует отсутствие «мертвого хода»;
- штанги моделируются невесомыми стержнями переменной длины.
Постановка задачи исследования
ъ
Рис. 2. Кинематическая схема исследуемого механизма
Математическая модель обратной задачи кинематики
Для упрощения математической модели параллельного механизма положим, что начало инерционной декартовой системы координат 0 Х1У21 совпадает с центром треугольника А1В1С1, лежащего на неподвижном основании, а начало относительной системы координат °2 х2 у 27 2 - с центром правильного треугольника А2В2С2. Оси систем координат направлены так, как показано на рис. 2.
Запишем однородные координаты шарниров верхнего и нижнего оснований в соответствующих системах координат, используя введенные на рис. 3 обозначения:
В' ~ R cosa1 R sina1 0 0" " В2" R2 cos J R2 sin J 0 0
А = R cosa2 R sina2 0 0 А2 = R2 cos J2 R2 sin J2 0 0
Ci _ R cosa3 R sina3 0 0 C2 R2 cos JJ R2 sin J3 0 0
(1)
где а, $ (*= 1 ^ 3) - это полярные углы, соответствующие вершинам равносторонних треугольников А1В1С1 и А2В2С2. В соответствии с принятым расположением осей а = 0 $ = 0, поэтому на рис. 3 не указаны.
а) б)
Рис. 3. Расчетная схема положений шарниров неподвижного (а) и подвижного (б) оснований платформы Гью-Стюарта
Для перехода из относительной системы координат O х2 y 2z 2 в абсолют
ную Ol Xl y z воспользуемся обобщенной матрицей преобразования [5]:
cos p cos A cos p sin Asín/- sinocos/ cos p sin Acosy + sin p sin y xO 2
sin p cos A sin p sin A sin y + cospcosy sin p sin Acosy- cospsin y yO2
Т =
sin A
0
cosAsin y 0
cos Acosy 0
z,
o 2
(2)
где ф, X и у - углы между осями абсцисс, ординат и аппликат систем 01Х1 у1и 02 х2 у2 72 соответственно. Используя правило сложения векторов, вычислим перемещение теле-
1
скопическои штанги соответствующее заданному положению шарниров верхнего основания как модуль вектора В1С2:
£А = ОА + 02 в2 - ос
__(3)
где векторы 0102 = (х°2 - Х°1 Уо2 - У01 2 - 7°1 0 ) = (( ] + [В2 ] + [С2 1)/3 ,
о2 В2 = [В2 ]* т . ОА = [С1 ] ?
Остальные длины штанг рассчитываются аналогично формуле (3).
Математическая модель прямой задачи кинематики
Множество известных подходов к решению прямой задачи о положении подвижного основания платформы можно разделить на две группы, первая из которых использует аппарат векторной алгебры [5], а вторая - аналитическую геометрию [6ф]. В общем виде, математическая модель кинетики исследуемого механизма представляет собой систему нелинейных уравнений, для решения которой требуется априорное знание большого числа параметров, описывающих конструктивные особенности.
При построении математической модели кинематики платформы Стюарта (рис. 2) использованы неподвижная декартовая система координат
01Х1 У171 с началом в центре основания А1В1С1 и относительная система координат 02 *2 У 2 7 2, центр которой лежит в точке пересечения медиан правильного треугольника А2В2С2.
Положение и ориентацию платформы определяет вектор
х = (х°^Уо^ 2°А у), первые три элемента которого - декартовы координаты центра подвижного основания, а последние три - тройка углов, которая однозначно определяет ориентацию системы координат подвижной платформы относительно системы координат основания. В результате решения прямой задачи кинематики необходимо установить функциональную зависимость =/ (()
Уравнения голономных стационарных идеальных связей между сферическими шарнирами верхнего и нижнего оснований запишем средствами аналитической алгебры как евклидовы расстояния между точками в пространстве:
(А А2 )2 = (А1 - ХА2 )2 + (Улг - Уа2 )2 + (гЛ1 - 7А2 )2 .
(ЛВ2 )2 = (А1 - ХВ 2 )2 + (А1 - У В 2 )2 + (А1 - 7 В 2 )2 .
ч ((В1В2 )2 = (В1 - ХВ 2 )2 + (В1 - У В 2 )2 + (В1 - 7 В 2 )2
(В1С2 )2 = (В1 - ХС 2 )2 + (УВ1 - У С 2 )2 + (В1 - 7С 2 )2 .
(<С1С2 )2 = (С1 - ХС 2 )2 + (УС1 - УС 2 )2 + (С1 - 7С 2 )2 .
^(С1 А2) = (С1 - ХА2) +(УС1 - УА2) + (С1 - 7А2) . (4)
Недостающие уравнения для расчета положения шарниров верхнего основания определим, используя формулы аналитической геометрии в пространстве:
(хА2 - ХВ 2 )2 + ((А 2 - У В 2 )2 + (^А2 - 2В 2 )2 = ^ (ХА2 - Хс2 )2 + ((А2 - Ус2 )2 + (А2 - 2с2 )2 =
(ХС2 - ХВ2 )2 + ((с 2 - УВ2 )2 + (( 2 - 2В2 )2 =
(5)
Математическая модель (4) - (5) представляют собой нелинейную систему уравнений относительно девяти неизвестных
(xA2, yA2, ^ Хв2, Ув2, 2в^ Хс2, Ус2,7с2), которая решается известными численными методами, например, методом Ньютона.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки - вершины треугольника А2В2С2, сформируем в матричном виде:
Х - Х
А2
ХВ2 ХА2
ХС2 ХА2
У - УА2 УВ2 - УА2 Ус2 - Уа2
г - г
А2
2В2 2 А2
2с2 2 А2
= 0
. (6) Преобразуем выражение (6) к общему виду уравнения прямой, проходящей через заданную точку, в пространстве, разложив определитель третьего порядка по элементам первого столбца:
(х - ХА2 )ё1 -(( - У А2 )ё 2 +(г - 2А2 )' ё3 = 0, (7)
где переменные (1=1,...,3) - координаты вектора нормали, которые рассчитываются как определители квадратных матриц:
ё1 = (Ув2 - УА2 ) • (гс2 - гА2 ) - (Ус2 - Ул2 ) ' (гВ2 - 2А2 ).
ё2 = (хВ2 - ХА2 ) • (гс2 - 2 А2 ) - (хс2 - ХА2 ) • (гВ2 - 2А2 ). ё1 = (хВ2 - ХА2 (ус2 - УА2 )- (хс2 - ХА2 (уВ2 - УА2 ).
Вектор переноса р = (х°2, Уо2,2°2) в матрице однородного преобразования найдем аналогично как (3), а направляющие косинусы вектора нормали
п =((.- . ^) к плоскости (7) вычислим как результат из скалярного произведения:
ё1 п ё2
-=====; ау = соеР°22 =-=====;
у] Л2 + ё 22 + ё 32 + ё 22 + ё32
аг = со*У° 2 г =
^ё; + ё 22 + ё 32
°2 Х2 У 2 2 2
(8)
Элементы Х' У' 2 матрицы поворота вокруг оси °2у определим как
угол между ортом оси °2г и вектором 02с2, совпадающим с осью ординат относительной системы координат
5Х = С08«° 2у = ^= 2 2
У(хс 2 - Х° 2 ) +(ус 2 - У°2 ) + (с 2 - 2 °2 ) (9)
. = С0Ч П = Ус2 - У°2 .
5у = С0® 2У = (-Х )2 , (у-Г^гтс-—'
Хс2 Х°2
а Х= С0^ ° 2 2 =
= COS Га2y
z
л1(хо2 - Ха2 )2 + {Ус2 - Уа2 )2 + (ZC2 - zO2 )2
nx xa 2
ny Sy ay Уа2
za 2
0 0 0 1
(11)
Первый столбец матрицы поворота (элементы Пх, Пу, П), характеризующий угол вращения вокруг оси 02х, вычислим из векторного произведения ортов осей 02х и 02,:
Пх = С°$ао2х = Эу • а, - ^ • ау ; (12)
Пу = СОЭ Ро2х = ^ • ах - Эх ■ аг ; (13)
П, = СО*7о 2 х = Эх • ау - ЭУ ■ ах ; (14)
Таким образом, сгруппировав выражения (8) - (14) получим матрицу однородных преобразований, определяющую положение связанной системы координат 02 х2 у27 2 относительно неподвижной 0 х1 у
Т =
где верхняя левая подматрица размерностью 3x3 представляет собой матрицу поворота, а верхняя правая подматрица размерностью 3x1 - вектор смещения.
Заключение
В работе решена прямая и обратная задача кинематики для платформы Гью-Стюарта с шестью степенями подвижности. Построенная имитационная модель исследуемого механизма в среде MathCad доказывает адекватность полученных математических зависимостей. Предложенные аналитические зависимости обратной задачи кинематики позволили оценить значения обобщенных координат параллельного механизма для заданного положения подвижного основания, а результаты решения прямой позиционной задачи - сформировать матрицу однородных преобразований для рассчитанных координат шарниров подвижного основания платформы.
Список литературы
1. Cruz P., Ferreira R., Sequeira J.S. Kinematic modeling of Stewart-Gough platforms. Режим доступа: http://users.isr.ist.utl.pt/ ~ricardo/publications/icinco2005.pdf (дата обращения 20.12.2013).
2. Lee T.-Y. , Shim J.-K. Elimination-Based Solution Method for the Forward Kinematics of the General Stewart-Gough Platform. Режим доступа: http://www-op.inria.fr/coprin/EJCK/Vol1-1/24_Lee_Shi.pdf.
3. Wang Q. Closed form direct kinematics of a class of Stewart platform. Режим доступа: http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/prost/proceedings/ifac2002/data/content/00906/906.pdf.
4. Song S.-K. , Kwon D.-S. New Direct Kinematic Formulation of 6 DOF Stewart-Gough Platforms Using the Tetrahedron Approach // Transactions on Control, Automation and Systems Engineering (journal of ICASE: The Institute of Control, Automation and Systems Engineers, Korea). 2002. Vol. 2, no. 1. P. 1-8.
5. Zarkandi S., Esmaili M.R. Direct position kinematics of a three revolute-prismatic-spherical parallel manipulator. Режим доступа: http://www.arpapress.com/Volumes/ Vol7Issue1/ IJRRAS_7_1_13.pdf (дата обращения 20.12.2013).
6. Лапиков А. Л. Решение прямой задачи кинематики для платформы Гью-Стюарта с использованием аналитического уравнения плоскости / А. Л. Лапиков, В.Н. Пащенко // Наука и образование: электронный научно-технический журнал.
РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ПО ССУДЕ
МЕТОДОМ НЬЮТОНА Губин Евгений Иванович, к.ф.-м.н., доцент (e-mail:g_ei@mail.ru) Томский университет систем управления и радиоэлектроники,
г. Томск, Россия
В данной статье предложен численный метод Ньютона для расчета эффективной процентной ставки IRR и приведены примеры использования для реальных расчетов банковских кредитных платежей.
Ключевые слова: метод Ньютона, численный метод, эффективная процентная ставка
1. Введение
В соответствии с разъяснением Банка России от 01.06.2007г. № 78-Т кредитные организации обязаны раскрывать заемщику эффективную процентную ставку IRR. В соответствии с Указанием ЦБ РФ от 12.12.2006г. № 1759 - У, эффективная процентная ставка (IRR) определяется исходя из следующей формулы[1]:
п CF
' dt-d0 0
i=0(1 + IRR)^ (1)
где di - дата i-ого денежного потока;
d() - дата начального денежного потока; n - количество денежных потоков;
CF
i - сумма i-ого денежного потока по договору о размещении денежных средств;
IRR- эффективная процентная ставка, в % годовых.
Для расчета эффективной процентной ставки считается известным гра-
CF
фик и сроки платежей заемщика (денежные потоки i ).
2. Алгоритм расчета
Представим формулу (1) в следующем виде:
