CC BY
12
УДК !> 14.18
РЕШ ЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫ X ЗАДАЧ МЕТОДАМИ ВАРИАТИВНОГО ДИСМ'Ь I Н01 О МОДЕЛИРОВАНИЯ
Ю. В. Холодпяк, и. А. 1 аврилешсо. Ю. А. Дмитриев
Тясрический государственный асротехнолог.пеский ун'мерситст, с. Мелитополь, Украина
Аннотация В статье с помошыс метода базисных треугольников решается задача взаимного распо л оженил дискретно представленной кривой п прямой линии: определение топки пересечения или каса пня кривой с прямой линией. Эта задача может быть использована при формировании поверхностей па основе линейчатого каркаса по заданным условиям. Решение задачи предполагает определение области возможного решения исходя из условии, накладываемых на поверхность: отсутствие осцилляции, заданный порядок гладкости, динамика изменения положений касательных и значении радиусов кршшзпы вдоль крпвых и т.д. Область возможного решения уточняется в процессе моделирования.
Ключебые слоен: дискретно представленная кривая (ДПК), область расположения кривой, второй порядок гладкости, монотонность изменения кривизны.
1. Введение
Поверхности ограннчлваюпше сложны? технически? изделия, могут быть сформированы на основе дискретного линейчатого каркаса. Дифференциально-геометрические характеристики поверхности определяются характеристиками линии, которые являются линейными элементами каркаса. При формировании поверхностен по заданным условиям такими характеристиками могут быть: отсутствие осиилляции. заданный порядок гладкости. динамика изменения положений касательных н значений радиусов кривизны вдоль кривых и т.д. В случае если почерхногть чядана гетча-ым каркасом, во-никяет необходимость го-.тагования характеригтик кривых. принадлежащих различным семействам
П. Постановка загачи
При использовании б качестве элементов каркаса дкекрегне предетавленных кривых (ДШС) естественным является использование соответствующих методов дискретного геометр1гчесхого моделирования, а именно ва риагивного дискретного геометрического моделнрозання (ВД1М}. В этом случае согласование характеристик кроткгс принадлежащих разным семейггшш будет рептатыя я рамках соотяетггнуюлтего метода В; 1,1 М (к нашем случае это метод оазисных трехдольников) в терминах и средствах этого метода, исходя из алгоритма метода.
Целью статьи является разработка алгоритмов, позволяющих решать следующие позиционные запани: определение точки пересечения ДПК с прямой линией: определение касательной к ДПК з произвольной точке.
ш. Теория
ВДГМ предполагает формирование обвола в зиде сколь угодно большого количества точек, получаемых е результате последовательных сгущении исходного точечного ряда [1]. Положения точек геометрического сюра за назначаются внутри диапазонов возможного расположения, определяемых исходя из условий задачи.
В работе [?] предложен способ опреде.гения положений касательных к ДПО я исходных точках и точках получаемых в результате сгушекия. Положения касательных назначаются внутри диапазонов, обеспечивающих выполнение условий, накладываемых на кривую: отсутствие осцилляции, второй порядок гладкости, монотонное изменение радиусов кривизны. Данный способ не предусматривает определение положения прямой, кото рая касательиа с ДШС в произвольной точке.
Для расширения перечня я л дач, при ретпекии которых может применяться метол баяигных треугольников необходимо реышь задачи юшнши расположения ДПК и щдхмой линии
iv. результаты экспериментов
Пусть ДПК задана в исходной декартовой системе координат координатами принадлежащих ей точек. Определим точку пересечения ДПК с ттроичнстт.ной прямой!
Для решения нолавленной задачи снуедемимнся точки пересечении прямой / с 1ран>шами области возможного расположения кривей, определяемой исходя ш условии, накладываемых на кривую (отсутствие осцилляции. зторей порядок гладкости, мо не тонное изменение радиусов кривизны едоль кривой). Отрезок прямой, ограниченный полученными толка.\ш. определяет диапазон возможного расположения искомой точки (точ-т;и 0 В ттрпгессе после.тскателкнктх г тушений этот лиапачон уменьлтяе-ся Если чели^нна диапазона меньше заданною значения. ш пшюжение ючки 0 назначаем* но 1_ен.ру диапазона.
Участок, на котором ДПК пересекается с прямой I, определяете я хордой исходной сопровождающей ломаной линии (СЛЛ). котермо пересекает эте прямая. Пусть 1 псресекает хорду ? +1~\ в точке I (рис. 1]. Точку I будем рассмахуииахь как комку пересечения ирхмой и ДПК и первом ириОлиженин.
Так как на кривую накладывается условие отсутствия осцилляшш. то формируемая кривая на участке 1...! + / располагается внутри базисного треугольника (БТ) (:;Т;'1 + 1) [1]. Базисный треугольник ограничен
гага-еткнкши преходящими через соседние точки ДШС (^ п ) и хордой соединяв")птей гги точки ). Точка С> расположена внутри отрезка, ограниченного точками пересечения прямой / со сторонами бт.
Пусть иржмах / пересекает строну 5Т а ючке О .резок [/"./ /)] является диапазоном возможною
расположения точки пересечения прямой с ДПК. Если величина отрезка [/.; /)] иревышаег заданную ючнисть определения точки О. то диапазон уточняется исходя из условия монотонного изменения радиусов кривизны вдоль ДПК.
Уточненный диапазон расположения точки О ограничен точками пересечения прямой с верхней и нижней |]мни11хми о1)лж~ги расположения ДГТК" (£ и .р*) Оипипь расположении крикой {11]»-1ничгн.-1 короГкжычи линиями окружностей [ 1 ]
- нижняя Гранина состоит из дуги / — А соприкасающейся окружности з точке 1 ( СО,) н дуги А — 7 +1 окружности, касательной с в точке 1+1 не СО,;
- верхняя граница состоит из дуги Б — ¡ +1 соприкасающейся окружности в точке 1+1 (СО^) н дуги окружности, касатеяьпои с /7 в точке /не .
Величина диапазона расположения точки пересечения прямой I и ДПК определяется длиной отрезка \Е;Р .
В процессе последовательных сгуаеннй диапазон Г] уменьшается. При достижении диапазона, величина которого меньше заданной точности решения задачи. точка 0 назначается по его центру.
РаГГМафИМ лл/улну ННрГДГЛГНИИ Ш11 С»*.ГНИЯ фЧМОЙ, КИСИ1ГЛКНОЙ К /1,1 |К К 1|рОгС<ШОЛКНОЙ ЮНЫ НоЧГ.Ю + НЫ
следующие варианты постановки задачи:
- касательная проходит через заданную точку, не принадлежащую ДПК; касательно к ДПК параллельна заданной прямей
В хачеспзе предварительного положения касательной к ДПК (). которая проходит через заданную точку Р\хр;ур}, назначается прямая, которая определяется точкой Р и точкой исходного ряда таким образем. чтс все остальные точки Д. 1К располагаются пс едну сторону от назначенного положения (рис. 2. а).
z ЛУ
а)
Рис. 2
Для определения предварительного положения tp предлагается следующая схема:
- назначается локальная система координат, начало которой совпадает с точкой Р. а ось аосиисс РХ1 направлена перпендикулярно одному из звеньев неходной СЛЛ, например [г;/ + i];
б указанной системе координат предварительное положение /р это прямые, преходящие через точку Р и
исходные точки ДПК таким оЗразом. чтобы углы между назначенными положениями tp н осью 1V были макс имальнымп
Если прямая / не пересекает ДПК. то предварительное положение касательной к ДПК () - прямая, параллельная J н проходящая через наиболее близко расположешгую к пей исходную точку Д11К. е противном случае наиболее удаленную точку от прямой I.
В процессе последовательных сгушсний положение касательной к ДПК уточняется исходя из положений точек сгущения, назначенных на предыдущем н последующем участке ДПК относительно предварительной точки касания (г ).
Погрешность, с которой назначенное положение представляет касательную к ДПК (бр ). оценивается величиной угла между 1р и прямой, проходящей через точку Р и касательной с верхней границей области возможного расположения ДПК на участке 1. I I 1 (на рис. 1 это корсбовая линия l Ь I I 1).
АНИЛПГИЧНО. ШМрГШНОСГЬ, С К1ГП1}Х)Й НИЧНЛЧГННЛ! lipxr.UOl If ||]к*дггашит' кж'я1глкнук1 К ДПК" оцени-
кагкк рап-шхниги мпкду 11 и примой, нирмллглкной / и ».аси1глкной с. хгрхнгй 1}1нницгй tifuMcm р-ипошожг-ння ДПК на участке.
Положение касательной к ДПК будем считать определенным в случае, если величина Úp или áj не превышает заданной величины.
V Обсуждение результатов
В результате исследований решены позиционные задачи:
- определение точки пересеченья ДПК с прямой линией;
- определение положения прямой произвольного направления касательной к ДПК.
Область возможного решения определяется в процессе последовательных сгущении исходя из следующих условий, накладываемых на ДПК: отсутствие осцилляции, второй порядок гладкости и монотонное изменение радиусов кривизны вдоль кривой.
Предложенные алгоритмы позволят согласовывать характеристики кривых, задающих дискретный сетчатый каркас поверхности. Это дает возможность обеспечивать в процессе последовательных сгущений пересечение ДПК. которые принадлежат различным семействам линий, и управлять динамикой изменения положений касательных вдоль поверхности.
VL Выводы И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Моделирование поверхности предполагает сгущение ДПК. которые являются элементами каркаса поверхности. и увеличение числа этих элементов - сгущение линейчатого каркаса. Элементами модели являются линии, сформированные на основе исходных узлов (исходные ДПК) и линии сформированные на основе исходного точечного ряда, состоящего из точек сгущения исходных ДПК (ДПК сгущения). Поверхность будем считать определенной в случае, если все ДПК. составляющие каркас поверхности, сформированы с погрешностью, не превышающей заданную величину.
Перспективой дальнейших исследовании является разработка алгоритмов позволяющих решать прикладные задачи: формирование ДПК заданной длины, формирование эквидистантной кривой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. НайдышВ. М.. Верещага В. М.. Найдыш А. В.. Малкина В. М Основы прикладной дискретной геометрии. Мелитополь: Люкс. 2007. 193 с.
2. Холодняк Ю. В. Определение положения касательных при моделировании монотонной дискретно представленной кривой /У Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев. 2012. Вып. 90. С. 367—371.
