CC BY
6
УДК 514.18
МОДЬЛИРОВАНИЬ КРИВОЙ Н0СЮЯНН01 Ü ХОДА с моноюнным измьньниьм РАДИУСОВ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ОКРУЖНОСТЕЙ И СФЕР
F. А Глкрилгнкп1, A R Нийдыш" Ю R Хплоцнчн1, ТО А Дмтригк1
' Тс.еричесхий государственный я£ротехнологическ:/Я университет, г. Мелитополь. Украина 2 Мелитопольский государственный педагогический )iiucepci*men¡ им. Б. Хмельницкого, г. Мелитополь, Украина
Аннотация - В статье предложен метод сгушенпя лпскретн© представленной кривой, предполагающий пнрнднлннин д.» iic'xii 1н<11 и шчнчнпш |in i:i нримнжу шчнмх тичнк. Дискрежли мид ил к криний пн r.iimi м{ шчнчнпш [ii.u, одлннкп i Н11Л1НЦ1ПЧН1 км\ 14|1»К1Н(1НГ1ИК н ».ni пршьы пушения. Ci именин исходного точечного ряда осуществляется по участкам, которые возможно интерполировать кривой посто-янвого хода с монотонным изменением радиусов кривизны н соприкасающихся сфер. Назначение точек сгушсппя внутри области возможного решения, о пределе, обеспечивает формирование кривой лишш с регулярным изменением геометрических характеристик п минимальным по условиям задачи числом особых точек. Преимуществом предложенного способа является то, что не требуется аналитическое
11|ЩСиК.№НИР УЧИПКМШ ||м)|1\1И||уН1\1И1 ii uflKlIU- а. II 1Ц1И1М |}||||i»1II|iuhjhhh H'jllIKIlM НИ IH'HIIHf ii мнении IIH
вечного ряда обеспечивает устойчивость к изменению исходных условий и сходимость к единственному решению.
Ключевые слова: дискретно представленная кривая (ДПК), соприкасающаяся окружность, сопрпка слкщаяся сфера.
Т ВШМРНИЕ
<1>ормнрсванке одномерных обводов по заданным условиям - одна из наиболее востребовгнных задач геометрического моделирования. Одномерные сбводы могут не пользоваться дтя приближенных вычислений, построения графиков. описывающих явления и процессы, в качестве линейных >леме1ггоз определителя поверх поста. Условиями, определяющими обвод является пеходщлн ряд. фиксированные геометрические характер« с тики, назначенные в исходных точках, заданная закономерность изменения характеристик вдоль обвода.
Н-1 ,01нный момгн! наиГх>Л!Г рнмряПоI 1нк| VIгIоды мо;к-.ии[Н)к^нич <1дномг~[!нмх ооьодпк учлпъаии анллти-ЧГГКИ ЧЯДИННЫХ К]1НКЫХ. (И'ГМкОКНННЫК К ИГХО/1НЫХ 1ПЧКИХ С. обл'ПГЧГНИГМ «1ДЯНК) О Ш^ХДКИ Г.1ЯДк(ЯТИ
Наращивание условий, накладываемых на участок обвода, требуег увеличения параметрического числа формирующей его привой. При этом неизбежно возникают особые точки точки перемены во1рает?лия-убывания кривизны н кручения, точки перегиба и самопересечения кривой. Неконтролируемое возникновение особых точек снижает качество полагаемого решения. Особенно важен ко:ггроль возшплювешгя особых точек при моделиро ваннн динамических поверхностен, функциональное назначение которых взаимодействие со средой
Повышенные динамические качества необходимы поверхностям, ограничивающим корпусные изделия авиа- автомобиле-, судостроения [1. 2]. лопатки турбин и смесителей [3]. центробежные компрессоры [4]. ра-(и)чиг о)л инк ["глкгкохо-ожпкгнны* уишин [5. 6]
С геометрической точки зрения, хорошие динамические качества обеспечивают поверхности е закономерным. плавным изменением дифогрениналвно-геомегрическиххарактеристик [7. 8].
Основное требование к линейным элементам моделей таких поверхностен - закономернее, желательно монотонное изменение дноференцнальпо геометрических характеристик вдоль кривой.
11. ПОСТАПОСКА ЗАДАЧИ
!ЪдИЧЛ МПЖГ1 Г|МТЬ ргшгни КИ]1И»1ИКНММ дискрпхым 1Г1И1Н]1ННЯ'|1И« МОДГЛИрОНИНИГМ, К()1()]К1Г 11]К*ДШ111И-
гает формирование дтя исходного ряда промежуточных точек сгушения. Дискретная меделв кривой состоит из точечного ряда, гаданнвгх геометрических характеристик и алгоритма сгущения. Основная проблема вариативного подхода к формированию обводов в том. что кривая н ее характеристики не определены однозначно на всех этапах моделиооваиия
Разработка алгоритм о з формирования одномерных обводов, не требующих аналитического представления его участков, способных обеспечить заданные геометрические свойства кривой, даст эффективный инструмент ргшгния ча.лич I гомпричггкшо модглирпкиним
цг-льк« , 1/И-НЛЙ ПИГКИ уклипгм ипмгдикмннк углпкий |[:<1])МИ(ч1клним дигкрггно пргдпиклг-ьных ьриных
(ДПК) постоянного хода с монотонным изменением радиусов соприкасающихся окружностей и сфер.
Ш. ТЕОРИЯ
Спссоо формирования гладкой ДП1С постоянного хода предложен в [7. £]. ДПК формируется на основе исходного точечного ряда назначением промежуточных точек сгушегаи. Каждые три последовательные точки онредглмкгг 11]>илп У1К11Ц.уК1 плтки чь (1111) Чпы!* ШН'ЛГДПКИЖЛЬНЫК 1111. И|Х»ХПДЯ1ЦИГ ЧГрГ< 1-К1 И ¡+1-И) 11»Ч-ки, 01]ыничикикп тпршдр Цгппчьл иоелгдоюиелкнмх гп|1ич;ци;к. смцж-дглгнныч ни кггх учж гаях, чнляпгн областью расположения гладкой кривой линии постоянной: хода, интерполирующей исходный точечный ряд. Кручение на участках ДПК оценивается величиной {В,") отношення }~ла между соседними ГШ (<?,) к длине соответствующе!-: хорды сопровождающей ломаной линии (/?, — |//2 + Точка сгущения назначается внутри
тетраэдра расположения ДНК. В результате последовательных сгущений. в пределе, получим непрерывный обвод постоянного хода, в каждой точке которого существует единственное положение основного трехгранника. Выполнение при каждом сгушенки условия > Я, > обеспечивает регулярность значений кручения (Д,) к очках омкодн
Ниюжгниг на формируем} к: Д11К дополнительны х углокий фгоуп определении < оожегегкукмп.ей оплапи возможного решения внутри тетраэдра расположения ДПК
IV. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ Э результате проведенных нселедований разработан способ моделирования пространственной кривой лк-ник. интерполирующей упорядоченное множество исходных точек и соответетвуюшен заранее заданным гео-
МГфНЧП'КНМ углокихм У<ЛОМКИМИ Н/ИкЛИЛМКЯГМММИ формируемую 1фИКуН>, МК.1МНШ Х рп у. ирное I К -ИМГНГНИМ ьрикиччы кручения. ридиусок гоприкжмющихеи «-«[¡Г]»
Рассмотрим точечный ряд. расноложенивш на кривой линии } постоянного хода, вдолв которой радиусы соприкасающихся окружностей и сфер монотонно возрастают в одном направлении. Каждые чегаре поеледова-тельпые точки определяют сферу -Сф/1 1. г. 2+1,1+2) и дсе нр1шадлежащие ей окрузспостн - Окр^! 1, г, 1+1) и Окр,-10', г+1,1+2) (рнс. 1).
На рис. 1 кривая 1 расположена таким образом, что тгляд наблюдателя направлен вдоль прямой (г, 1+1). Контуры Сфм, Сф1: Сф,-! - окружности максимального радиуса, расположенные в плоскости Р., проходящей перпендикулярно хорде П, 1+1] через ее середину. 0?ф, н Охт?1~; проецируются хорды копгура Сфг.
Когда расстояние между точками 1-1, г, /11, /12 бесконечно мало, то они определяют соприкасающуюся сферу (ССфд н соприкасающиеся окружности (СО; и СО,*Д Взаимное расположение центров соприкасающихся сфер (Г,) и соприкасающихся окружностей I[Ц,) в соответствии с условием > означает мопо
тонное возрастание вдоль I радиусов соприкгхающихся сфер а выполнение условия <
означаег возрастание ради) сиз кривизны ( Л, ).
ССф^2 определим прохождением через СО^О, / 1, И2)п бесконечно близкую точку /13. Монотонное вез-ржпиник »«йчяп, чн1 точка /+.?¡исшиюкгналл иргу делами ССф1 Точки 1+1, 1+Я /+3 Ш1|1еу|гл»к1Т СО - и
1фИ -пом Я^^Лщ
Таким образом, кривая линия постоянного хода, вдоль которой радиусы соприкасающихся окружностей и сфер монотонно возрастают в одном направлении, располагается за пределами своих соприкасающихся сфер. В результате аналогичных рассуждений можно показать, что кривая постоянного хода, вдоль которой радиусы кривизны и радиусы соприкасающихся сфер возрастают в различных направлениях, расположена внутри своих соприкасающихся сфер.
При увеличении расстояний между последовательными точками, принадлежащими /, определяемые этими точками окружности и сферы (Охр, и Сф,) будут пересекал, кривую. Сф( пересекает / в точках 1-1, г, 1—1, :+2 (рис. 2).
Участки кривой . ./-/, г-/11, /12... расположены за пределами Сфь а участки ¡-14 и / I /-/12 — внутри нес. Из этого следует, что последовательные Cфi ¡. Сф,. Сфы ограничивают область (о,), внутри которой расположен
уЧ/ЯТСШ 1—1+ 7 КрИКОН ?
Н.-1 ]1ИС 1 1НКИ:<ИН11 ГГЧГНИГ Н.11ХКОС1МО Р,-
Аналогичные области, определенные на остальных участках, составляют область возможного расположения ДГЖ. Все кривые пинии интерполирующие точечный ряд. характеристики которых соответствуют характеристикам 1, находятся внутри области возможного расположения ДПК. Для кривой / область S, расположена за пределами Сф,:, а для кривой, вдоль которой радиусы соприкасающихся окружностей и сфер возрастают в противоположных направлениях, 6г расположена внутри Сфу
Кривую линию постоянного хода, вдоль которой радиусы кривизны и соприкасающихся сфер монотонно возрастают или убывают, будем называть монотонной: Возможны восемь различных вариантов сочетаний указанных характеристик кривой. Любую кривую линию можно рассматривать как состоящую из участков монотонных кривых.
Монотонные участки ДПК формируются назначением точек сгущения внутри области возможного по условиям задачи решения.
V. Обсуждение результатов
Предложен способ формирования на основе точечного ряда произвольной конфигурации дискретно представленной кривой (ДПК) с заданными геометрическими свойствами ДПК задана упорядоченным множеством принадлежащих ей точек и дифференциально-геометрическими характеристиками кривой Эти характеристики формируются в процессе моделирования. В процессе последовательных сгущений точечного ряда, в пределе, получаем кривую линию с регулярным изменением кривизны, кроения, радиусов соприкасающихся сфер и минимальным по условиям задачи числом особых точек.
VI. ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложенный способ формирования одномерных обводов основан на сгущении точечного ряда и не требует аналитического представления участков обвода. Необходимым этапом формирования обвода является анализ. в результате которого определяется область возможного расположения кривой и диапазоны возможных значений ее геометрических характеристик.
Определение области возможного расположения кривой позволяет оценить абсолютную погрешность, с которой формируемая ДПК представляет обвод, отвечающий условиям задачи.
Формирование обвода по участкам с монотонным изменением геометрических характеристик обеспечивает устойчивость алгоритмов к изменению исходных условий.
Последовательная локализация области расположения кривой и диапазонов значений ее характеристик гарантирует сходимость процесса моделирования к единственному7 решению - непрерывному7 множеству точек с заданными геометрическими свойствами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Qingvao Hail. Jun Jia. Ying Yue Application of NURBS Curve Interpolation Algorithm in Steam Turbine Blade NC Machining // Information and Computing 2011 Fourth International Conference oil Information and Computing. Phuket Island. Thailand, 2011 P 83-86.
2. Wen A. S., Shanisuddiu S. M. H.. Sanuan H. Y. Ship hull fining using NURBS /■■' International Conference on Computer Graphics, Imaging and Visualization. — Computet Graphics. Imaging and Vision: New Trends. Washington. Brussels, Tokyo, 2005 P. 431-436.
3. Ampofo J., Ferguson F. Optimal design of aircraft wmg smicmres: a computer aided design method // Robotics, automation control and manufacturing: trends, principles and applications Greensboro. USA. 2002. Vol. 14. P. 471— 480.
4 Zhou Y.. Schulze J.. Schaffler S. Flank millable blade design for centrifugal compressors i! Control and Automation. Ihessaloniki. Greece. 2009. P. 646-650.
5. Hongli W Zliang Wei Z. Modeling of the njo-tillage planter and simulation of the cutting-stubble kmfe // System Science. Engineering Design and Manufacturing Informatization. Chengdu. China, 2012. P. 335—338.
6. Wang R.. Zhang Y.. Huang Yi. [et al.JMechanization of deep tillage and mulching to improve soil water content and spring maize yield .7 Electronic & Mechanical Engineering and Information Technology Harbin. China. 2011. Vol. 9. P. 2098-2101
7. Гаврнленко E. А.. Дмитриев Ю. А. Дискретное геометрическое моделирование пространственных одномерных обводов по заданным условиям П Динамика систем, механизмов и машин. 2014. № 3 С. 150—152.
8. Gavnlehko Е. A., Kholodnyak Yu. V. Discretely geometrical modelling of one-dimensional contours with a regular change of differential-geometric characteristics // Dynamics of Systems. Mechanisms and Machines. 2014. P. 1-5.
