CC BY
35
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Матрицы гиперграфов
МГ1=^({Х-К^=^ J j МГ2=\К2*К3\=^ ^ J 5
9 15 2 11
Мп=\К3хК4\=1 1 0 , Мг4=\К4хК5\=9 0 114 0 1 15 1 О
Произведение матриц
2 11
Мг = МГ1 х МГ2 х Мгъ х МГ4 =
р 1,2 = 1 Р1,11 = 1 mi = 1 m2 = 3 Kc=0 С точки зрения оценки показателя
сложности этот вариант является оптимальным. Следует отметить, что и показатель избыточности для такого варианта (рис.8) равен нулю.
Предложенный метод описания структуры компоновки распределенной системы управления и способы количественной оценки структурной избыточности и сложности в комплексе с технико-экономическими показателями эффективности используются для многокритериального синтеза систем.
Библиографический список
1. Дорошенко, В.А. Анализ методов выбора вариантов для структурного синтеза распределенных систем управления / В.А. Дорошенко, Л.В. Друк, М.С. Усачев // сб. науч. тр. - Вып. 353. - М.: МГУЛ, 2011 - С. 106-116.
2. Курейчик, В.М. Дискретная математика. Ч. 3. Оптимизационные задачи на графах / В.М. Курейчик. - Таганрог: ТРТУ, 1998. - 352 с.
3. Гладков, Л.А. Генетические алгоритмы / Л.А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 368 с.
4. Усачев, М.С. Количественная оценка избыточности структур распределенных систем управления / М.С. Усачев, В.А. Дорошенко // Технология и оборудование для переработки древесины. Сб. науч. тр. - Вып. 358 - М.: МГУЛ, 2012. - С. 108-114.
5. Дорошенко, В.А. Математическое описание компоновки технологической структуры первичной обработки древесного сырья / В.А. Дорошенко, Л.В. Друк // Вестник МГУЛ - Лесной вестник, 2010 - №5 (74). - С. 178-185.
6. Дорошенко, В.А. Синтез технологической структуры автоматизированных технологических процессов первичной обработки древесины: Монография / В.А. Дорошенко. - Красноярск: КГТА, 1996. - 299 с.
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ КОНСТРУИРОВАНИЯ
оси динамического трубопровода
ВС. ГОРЯЧЕВСКИЙ, асп. каф. начертательной геометрии черчения МГУЛ
Свойства трубопровода, предназначенного для перемещения сыпучих материалов, жидкости и газа с дозвуковыми скоростями, во многом зависит от свойств его оси. Так, например, наименьшее сопротивление имеют тройники с боковыми ответвлениями в виде плавных обводов [1].
Поэтому обеспечение плавности слияния потоков является основной задачей в конструировании разветвляющихся трубопроводов. Решение этой задачи требует исследования теоретико-конструктивных вопросов проектирования осей трубопроводов как пространственных кривых линий в виде одномерных гладких обводов. Приходится учитывать влияние геометрических характеристик осей на динамику движущихся частиц. Такие же обводы применяются при конструировании автомобильных и железных дорог, спортив-
caf-graph@mgul.ac.ru ных сооружений типа трамплинов, велотреков, санно-бобслейных трасс и т.д.
Для конструирования плавного сопряжения осей трубопровода необходимо использовать такие кривые, которые содержат меньше экстремальных точек и точек перегиба. Лучше всего для этого подходят кривые нулевого жанра - рациональные кривые [2].
Среди рациональных кривых особое внимание следует уделить циркулярным кривым. У циркулярных рациональных кривых по сравнению с рациональными кривыми того же порядка графики изменения первых и вторых производных вдоль кривой будут более монотонными [2], а значит обводы, состоящие из таких кривых, будут более динамичными.
Исходя из решаемой прикладной задачи, необходимо задать ось трубопровода упорядоченным массивом точек A(i = 1,2,3,...,n)
202
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
с фиксированными в них касательными t моделирующими направление движения потока. В связи с этим основную задачу проектирования осей можно сформулировать следующим образом: даны две скрещивающиеся прямые a а с принадлежащими им точками A. е a
A.+1 е a.+1, требуется построить дугу рациональной алгебраической кривой m = (A. Am) минимально возможного порядка, соприкасающуюся с прямыми a., a.+l в данных точках по первому или второму порядку гладкости.
В планиметрии простейшим способом сопряжения двух компланарных прямых является обвод первого порядка гладкости с составляющей в виде дуги окружности (рис. 1).
Распространенным является инженерный способ составления пространственных обводов, когда их проекции конструируются независимо друг от друга. Такой подход имеет главное достоинство - простоту конструирования, так как составление пространственного обвода сводится к независимому конструированию двух плоских обводов - проекций [3]. Для получения обвода первого порядка гладкости используется кривая второго порядка (рис. 2).
Так как проекции сД c22 составляющей с4 кривые порядков n = 2 и п2 = 2, то порядок составляющей с4 равен nxn2 = 4 [3]. Однако построить обвод первого порядка гладкости можно кривой с меньшим порядком. Т.И. Миролюбова [3] для сопряжения скрещивающихся прямых использует дугу кубической окружности. Метод основан на пересечении двух конических поверхностей с общей образующей, при этом составляющей обвода является кривая третьего порядка.
Для построения обвода второго порядка гладкости необходимо обеспечить трехточечное касание проекций составляющей с проекциями скрещивающихся прямых в стыковых точках. В качестве проекций составляющей возьмем циркулярные кубики сД с23 с изолированными точками и потребуем, чтобы кубики касались проекций данных прямых в точках перегиба (рис.
3). Полученная в результате пространственная кривая будет рациональной циркулярной кривой девятого порядка [3]. Такая составляющая имеет достаточно высокий порядок для применения ее в инженерной практике, так как с уве-
Рис. 1. Сопряжение компланарных прямых дугой окружности
Рис. 2. Конструирование пространственного обвода первого порядка гладкости кривой четвертого порядка
Рис. 3. Конструирование пространственного обвода второго порядка гладкости кривой девятого порядка
Рис. 4. Конструирование пространственного обвода второго порядка гладкости кривой шестого порядка
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
203
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
личением порядка составляющей ухудшаются динамические свойства обвода, появляются лишние перемены знаков кручения и кривизны, увеличивается диапазон изменения их значений. Задачей является разработка способа построения динамического обвода с составляющей меньшего порядка.
Эту задачу можно решить, если составляющую получать как линию пересечения линейчатых поверхностей третьего Ф3 и второго А2 порядков (рис. 4).
Поверхность Ф3 - горизонтально проецирующий цилиндр с направляющей гиперциссоидой, А2 - гиперболический параболоид, заданный направляющими a, b и взаимно однозначным соответствием, установленным между их точками. Прямые a, b принадлежат касательным к Ф3 плоскостям а и в соответственно. Полученная в результате их пересечения кривая с6 имеет шестой порядок и является составляющей обвода второго порядка гладкости. Если взять в качестве поверхности А2 гиперболический параболоид с образующей на Ф3, то можно сократить порядок образующей до пятого.
Более сложную задачу представляет конструирование плоского обвода, заданного упорядоченным массивом точек с фиксированными в них касательными и кругами кривизны. Построить такой обвод можно, используя кремоновые преобразования плоскости с совпавшими F-точками. В качестве
Рис. 5. Конструирование динамического обвода с использованием квадратичной инволюции
примера рассмотрим применение квадратичной инволюции I для построения составляющей c обвода между двумя смежными точками A, B с заданными в них касательными t tB и кругами кривизныpA, pB (рис. 5).
С точкой A совмещен центр F1 = = F2 = F3 квадратичной инволюции I2, для которой круг кривизны pA является предельной окружностью. В полученной инволюции I строим образ B’ точки B. Кругу кривизны pB будет соответствовать некоторая кривая четвертого порядка pB,4. С целью упрощения построений кривую pB,4 аппроксимируем дугой окружности. Для этого на окружности pB в окрестности точки B возьмем две точки 1,
2. Определяем образы точек 1’, 2’ и B’ . Через эти три точки строим окружность Рцу которая аппроксимирует кривую pB,4. Дуге В'Т\ T -точка пересечения окружности рв, с осью Oy, в квадратичной инволюции I2 соответствует кривая четвертого порядка с4 - искомая составляющая обвода. При этом из двух точек пересечения окружности рв, с осью Oy выбирается та, которая лежит на образе конструируемого обвода.
Если к окружности рв, в точке B ’ провести касательную tB,, то аппроксимирующую окружность можно задать касательной tB, и двумя точками. Одной из которых будет B’, а второй K’ - образ некоторой точки K. Положение точки K выбираем из условия ее принадлежности к искомой составляющей обвода. Вариативность выбранной точки K дает возможность управлять формой составляющей.
Применяя такой алгоритм для построения составляющих между точками массива, получим конструируемый обвод.
Библиографический список
1. Идельчик, И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям / И.Е. Идельчик; Под ред. М.О. Штейнберга. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1992. - 672 с.
2. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований) / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.
3. Миролюбова, Т.И. Геометрические модели фасонных элементов однорукавных каналовых поверхностей. автореферат дисс. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / Т.И. Миролюбова. - М., 2004. - 149 с.
204
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
