Квадратичные инволюции плоскости как базовый метод получения кривых в системах автоматизированного конструирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.512.2.012.122

КВАДРАТИЧНЫЕ ИНВОЛЮЦИИ ПЛОСКОСТИ КАК БАЗОВЫЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ КРИВЫХ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ

И.Ф. Боровиков, Е.Г. Фисоченко

Юргинский технологический институт ТПУ E-mail: [email protected]

Предлагается способ задания нецентральных квадратичных инволюций плоскости, основанный на использовании пучков окружностей, выводятся операторы преобразования, приводятся примеры рациональных циркулярных кривых, конструируемых с использованием данного способа.

Конструирование технических кривых (всевозможные аэро- и гидродинамические профили, оси трубопроводов, шпангоуты, линии-параметроно-сители) сводится к построению кривых, сопрягающих точки заданного дискретного массива с выполнением некоторого набора краевых условий (фиксированные касательные, круги кривизны и т. д.). В свою очередь, технические поверхности (различные зализы, воздухозаборники, лонжероны, лопатки турбин) можно трактовать как поверхности, сопрягающие по определенному порядку гладкости исходные кривые. В настоящее время технические кривые в большинстве случаев представляются в виде составных обводов определенного порядка гладкости. Несмотря на то, что при этом используется большая номенклатура функций (показательные, степеннные, логарифмические и др.), составляющие обводов зачастую выбираются без необходимого геометрического обоснования. В результате этого обвод не отвечает своему функциональному назначению, а число составляющих является завышенным. Кроме того, в различных расчетах важно иметь кривые, которые описываются одним уравнением. Поэтому поиск базового метода получения кривых в системах автоматизированного конструирования, который был бы достаточно универсальным и простым, остается актуальным.

При конструировании кривых целесообразно использовать нелинейные преобразования [1, 2]. Причем желательно, чтобы аппарат преобразования включал в себя простые геометрические образы, например, прямые и окружности. В этом плане интерес могут представлять предлагаемые квадратичные преобразования, для задания которых используются пучки окружностей.

Пусть на плоскости задан эллиптический пучок окружностей двумя базисными точками /1(0,а), /2(0,-а) (рис. 1). Тогда произвольная точка А(хА,уА) выделяет из пучка единственную окружность к, уравнение которой имеет вид:

= 0.

2 2 x + У x У 1

a2 0 a 1

a2 0 -a 1

2 2 xA+у А xa Уа 1

2 2 2 V

a - XA - Уа

2 xA

/ 2 2 2\2 2 2 (a - xA - yA )

+ y2 = a + --A 2 7

4 xA

Рис. 1. Задание инволюции с помощью эллиптического пучка окружностей

Центром окружности является точка

( J2.

S ..

XA + УА - a 2 xA

0

ее радиус определяется выражением

R =4 a

2,(a2 -xA-yA)2

4 x2

Диаметрально противоположную точку А'(хА',уА) будем считать соответственной точке А. Таким образом, на плоскости индуцируется нелинейное преобразование, расслаивающееся в пучке окружностей на центральные симметрии. Нетрудно показать, что координаты точки А' определяются выражениями:

x =

2 2 У A - a

yA =- yA •

Так как в качестве точки-прообраза А может быть выбрана любая точка плоскости, то индексы в последних выражениях можно опустить. В результате этого получаем операторы прямого преобразования:

x =-

2 2 У - a

После преобразования получаем:

У =- У.

A

с/ \ 4-+ 4

/ X

сХ

1 Л ) \ 11

Рис. 2. Различные формы кривых для эллиптического пучка окружностей

Операторы обратного преобразования имеют симметричный вид.

Образом прямой т', описываемой уравнением Ах +Вх+1=0, будет являться кривая второго порядка т, уравнение которой имеет вид: Ау2—Вху+х-Аа=0. Таким образом, получаем квадратичную инволюцию с пучком слабоинвариантных окружностей. Точки /1, являются простыми /-точками. Им соответствуют ^-прямые, уравнения которых имеют вид: у=а, у=—а. Предельной прямой является ось Оу. Уже на стадии задания прообраза можно иметь представление о форме конструируемой кривой. Так, например, кратность точек кривой в фундаментальных /-точках определяется количеством точек пересечения прообраза с ^-прямыми, наличие несобственных точек - расположением прообраза относительно предельной прямой. Если в качестве прообраза взять окружность, то ее образом будет являться кривая четвертого порядка, уравнение которой имеет вид:

у4 + у2 х2 - 2х0ху2 + 2у0ух2 - 2а2у2 + +у2х2 - Я2х2 + х02х2 + 2а2х0х + а4 = 0,

где х0, у0 - координаты центра окружности, Я0 - радиус окружности.

Рис. 3. Задание инволюции с помощью параболического пучка окружностей

В однородной форме его можно представить следующим образом:

х2 + х! х2 — 2хо х1 х2 хз + 2уо х2 х1х3 - 2а х2 х3 +

222 тр2 2 2 222 о 2 3 4 4 _ А

++ уо хз ^Я х1 хз ^г хо хз ^г 2а хох1хз ^г а хз 0.

Координаты циклических точек /1(1,/,0), —г",0) В случае параболического пучка окружностей,

удовлетворяют этому уравнению, следовательно, по- когда а=0 (рис. 3), операторы преобразования име-

лученная кривая является циркулярной кривой. ют вид: Причем форма кривой зависит от положения образа относительно фундаментальных точек, принципиальных кривых и предельной прямой (рис. 2).

У

х = —, у = -у. х

а

=0

=0

У

/ \ +4 1 1 у

к \П

X

и

1

«УТЬ

Рис. 4. Различные формы кривых для параболического пучка окружностей

Все гомолоиды в этом случае в точке /¡=/2=0 касаются оси Оу. Обе принципиальные ^-прямые совпадают с осью (Ох. Образами окружностей, имеющих уравнение (х -х0)2+(у -у0)2=Л2, являются кривые четвертого порядка. Они описываются уравнением:

у4 + у2х2 - 2х0ху2 + 2у0ух2 + у2х2 - Я2х2 + х2°х2 = 0 или в однородной форме:

+у^хз2 - Я2х°х32+ х02х^2 = 0.

Возможные формы кривых в зависимости от положения окружности-прообраза относительно элементов фундаментальной и принципиальной систем, а также оси Оу, являющейся предельной прямой, представлены на рис. 4.

Рассмотрим преобразования, индуцированные гиперболическим пучком окружностей (рис. 5).

с>4 "Г"Ьт ,У X

С

получаем координаты мнимых базисных точек Ц(0,ш), Г(0,-ш). Точка Л(хл,ул) выделяет из пучка окружность к, описываемую уравнением:

2

(

х —

2 2 2 Л

хл + уа + т

2 хА

+ у 2 = (хА + уа + т ) _ т 2

4 хА

Точку А (хА,уА), диаметрально противоположную точке А, будем считать образом точки А в нелинейной инволюции, индуцируемой на плоскости. Используя операторы преобразования для эллиптического пучка при а=ш, получаем операторы преобразования для рассматриваемого случая:

2 2 , у + т

х

у' = _у.

Рис. 5. Задание инволюции с помощью гиперболического пучка окружностей

Такой пучок удобно задать нулевой окружностью Ы(ш,0) и радикальной осью, в качестве которой принимаем ось Оу. Решая систему уравнений

(х - т)2 + у2 = 0, х=0

Прообразом окружности с уравнением (х -х0)2+(у -у0)2=Л2 является кривая четвертого порядка:

у4 + у2 х2 - 2х0 ху2 + 2уу2 + 2т2у2 + +(у02 - Я2 + х0°)х2 + 2т2х0х - т4 = 0.

В однородном виде уравнение имеет вид:

+(у°х° - Я2х° + х°х° )х12 + 2т2х0х1х3 - т4х34 = 0.

Это рациональная циркулярная кривая, различные формы которой представлены на рис. 6.

Предлагаемый способ позволяет конструировать кривые в широком диапазоне изменения форм и параметров. Уже на стадии задания прообраза можно иметь представление о форме конструируемой кривой. Так, например, кратность точек кривой в фундаментальных /-точках определяется количеством точек пересечения прообраза с ^-пря-

"Ы У X

с

,У

с

б У .X

с

Рис. 6. Различные формы кривых для параболического пучка окружностей

мыми, наличие несобственных точек - расположением прообраза относительно предельной прямой. Для того, чтобы конструируемая кривая была замкнутой, необходимо, чтобы окружность-прообраз не пересекала предельную прямую.

Для использования данного способа в практике реального конструирования на алгоритмическом языке Турбо Паскаль разработана программа, которая позволяет строить кривые, отвечающие наперед заданным требованиям.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). - М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.

2. Sturm R. Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften. -Leipzig und Berlin: Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1908. -Bd. 4. - 484 S.

Поступила 02.06.2006 г.

УДК 629.11.012(075.8)

ОБОСНОВАНИЕ ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТИ ОСНАЩЕНИЯ КАРЕТОК ТРАКТОРА ДТ-75М РЕКУПЕРАТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В.И. Посметьев, Е.А.Тарасов, Е.В. Снятков, М.А. Латышева

Воронежская государственная лесотехническая академия E-mail: [email protected]

С помощью имитационной динамической модели лесного почвообрабатывающего агрегата изучена возможность оснащения кареток трактора ДТ-75М рекуперативными элементами. При этом отбор энергии в каждой каретке до 0,7 кВт не ухудшает спектры колебаний корпуса трактора.

Снижение потерь энергии на преодоление инерционных и сил тяжести при вертикальных и горизонтальных перемещениях лесных почвообрабатывающих агрегатов - одно из перспективных и актуальных направлений повышения их эффективности. Наиболее целесообразным способом снижения указанных потерь является рекуперация (возвращение) в энергетическую установку машины той части потенциальной и кинетической энергии, которая бесполезно рассеивается в окружающую среду при непроизводительных холостых перемещениях рабочих органов и машины в целом. В этой связи подвижные элементы ходовой части гусеничного трактора могут быть оснащены рекуперативными элементами [1]. Рекуперативный элемент здесь играет роль демпфера и уменьшает горизонтальные и вертикальные колебания корпуса трактора в процессе движения по лесным объектам с большим количеством препятствий и неровностями поверхности.

Для того, чтобы в модели наиболее полно учесть все особенности работы агрегата изучался не изолированный трактор, а агрегат полностью в снаряженном состоянии - вместе с навешенным на него дисковым орудием (рис. 1).

Имитационная модель была построена в соответствии с методикой [2]. В основе математической модели лежит система из 34-х дифференциальных уравнений. Для составления системы уравнений на основе уравнений Лагранжа I рода с неопределенными множителями использован конечноэлементный подход [3]. При этом агрегат рассматривался как совокуп-

ность семи плоских твердых тел, соединенных между собой в некоторых контактных точках связями в виде шарниров, невесомых нерастяжимых тяг и пружин. Для численного интегрирования полученной системы дифференциальных уравнений использовался модифицированный метод Эйлера. Компьютерные эксперименты проводились с помощью специально составленной программы в среде Borland Delphi 7.

Внешние возмущения в системе задавались через силы, действующие со стороны почвы и препятствий на катки кареток, ведущий и направляющий катки и на дисковый рабочий орган. Так как в рамках модели гусеница непосредственно не рассматривается, для генерации возмущающей функции q(x), т. е. рельефа поверхности был использован алгоритм позволяющий получить достаточно плавную q(x). В частности, функция q(x) являлась суперпозицией гауссовских пиков с параметрами x (положение препятствия), Ц (высота препятствия) и о (среднеквадратичное отклонение, задающее ширину препятствия).

Гауссовские пики распределялись по длине контрольного участка случайным образом по равномерному закону. При этом параметры Ц и о также выбирались случайным образом по равномерному закону из интервалов: [0; 0,1 м] для Ц и [0,05 м; 0,15 м] для о. Представленные в данной работе результаты соответствуют линейной плотности препятствий 1000 шт./км и скорости движения агрегата 2 м/с. При вычислении сил, действующих на тела агрегата со стороны поверхности, была использована общепринятая вязкоупругая модель почвы [4].