CC BY
31
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОТСЕКА КАНАЛОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННОЙ ДИСКРЕТНЫМ КАРКАСОМ ОБРАЗУЮЩИХ
Я.А. ГРЯЗНОВ, асп. каф начертательной геометрии черчения МГУЛ
При конструировании каналовых поверхностей, с целью уменьшения сопротивления движению, желательно, чтобы площади поперечных сечений оставались постоянными или изменялись по заданному закону. Такие требования часто предъявляются каналовым поверхностям, предназначенным для транспортировки газа, жидкости и сыпучих материалов. В силу технологических, конструкторских или других ограничений они могут иметь переменные сечения, изменяющие свою форму. В таких местах возникают местные сопротивления, что приводит к увеличению затрачиваемой мощности на их преодоление. Таким образом, возникает задача геометро-динамического проектирования таких трубопроводов.
Для решения этой задачи мы предлагаем использовать преобразования пространства, расслаивающиеся в пучке плоскостей, на эквиформные преобразования как сохраняющие площади соответственных фигур. В этих преобразованиях замкнутые кривые (окружность, эллипс, овал, прямоугольник и т.д.) переходят также в замкнутые кривые более сложной формы, которые удовлетворяют динамическим требованиям к конструкции трубопровода [2].
Построение каналовой поверхности с заданным законом изменения формы и площадей поперечных сечений показан на рис. 1.
Пусть требуется сконструировать (получить математическую модель) каналовую поверхность, удовлетворяющую следующим требованиям:
- ось u каналовой поверхности должна проходить через точки А и В - центры входного и выходного сечений;
- входное сечение а должно быть управляемым и изменять форму;
- выходное сечение b должно быть окружностью.
Для получения математической модели поверхности Ф зададимся инволюци-
caf-graph@mgul.ac.ru
онным центральным преобразованием пространства In_n с несобственным центром F™ принадлежащим оси Оу. Как известно, такие преобразования имеют инвариантную поверхность An, порядок n которой равен порядку преобразования.
В плоскости Z(z = 0) входного сечения инвариантная парабола d2 = A nnZ имеет уравнение
X2 = -2py. (1)
Поэтому оператор преобразования I2 имеет вид
x = x,
У = (-x2 -py) / p. (2)
В операторе преобразования присутствует один параметр p, управляя которым можно изменять форму входного сечения m.
Выведем уравнение инвариантной кривой d инволюции I, возникающей в плоскости Г = Oyz (где d = Ann Г), отображающей ось u каналовой поверхности, проходящей через точки A(zA; yA), B(zB; yB) и C((zA + yB) / 2; уС) на ось u’ поверхности-прообраза (рис. 2).
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
193
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рис. 2. Конструирование оси каналовой поверхности
Рис. 3. Конструирование оси каналовой поверхности
Пусть U параллельна оси Oz системы отнесения. Тогда ее уравнение имеет вид
У = —h.
Из алгоритма преобразования I1 следует, что точки кривой d являются серединами отрезков C.C.', и точки A и А’ симметричны относительно начала координат. Отсюда следует
y = Az2 + Bz. (3)
Коэффициенты A и В находятся решением системы уравнений. Изменяя координату уа, можно управлять формой оси каналовой поверхности.
Выведем уравнение инвариантной поверхности А- носителя инвариантных парабол d.2. Поверхность А образуется плоскопараллельным движение параболы di2, вершина которой перемещается по кривой d, а параметр изменяется от —р до -да. График изменения параметра р можно задать равнобочной гиперболой
(z + l)y = —pl. (4)
Тогда для вывода уравнения инвариантной поверхности А подставляем в уравнение (1) параболы, вершина которой перемещается по кривой q (3), вместо фиксированного параметра р его текущее значение, равное y, выраженному из уравнения
(4). В итоге получаем
x2 = —(2pl/(z+l))(y — (Az2 + Bz)). (5)
Поверхность А полностью определяет искомое преобразование, чей оператор имеет вид
x' = x,
У = (—x2(z + l) + pl(Az2 + Bz) — ply) / pl, (6) z = z.
В качестве поверхности прообраза Ф' примем цилиндрическую поверхность, образованную плоскопараллельным движением окружности m', центр которой перемещается по прямой, параллельной оси Оz.
(x ' )2 + (y' — h)2 = R2.
194
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Подстановкой в уравнение прообраза Ф' значений x', y, z' из (6) получаем уравнение каналовой поверхности в виде
-х2 (z+1)+pl(Az2 + Bz) - ply pi
\2
■h
+
+x2 - R2 = 0, (7)
где
0 < x < l
Данный способ нахождения математической модели каналовой поверхности удобен для построения линий тока.
Рассмотрим задачу в другой постановке. До этого мы задавали поверхность прообраз, и получали инвариантную поверхность. Теперь же зададимся простой инвариантной поверхностью и сначала сконструируем поверхность прообраз.
В плоскости Z(z = 0) входного сечения инвариантная парабола d2 = AnnZ имеет уравнение
x2 = -2py. (8)
Поэтому оператор преобразования I2 имеет вид
X = x,
у' = (-x2 - py) / р.
Таким образом, управляя параметром р, можно изменять форму входного сечения т.
Уравнение инвариантной прямой d, отображающей ось и каналовой поверхности проходящей через точки A(zA; yA), B(zB; yB) и C.((zA + yB) / 2; уС) на ось и’ поверхности-прообраза (рис. 3)
у = 0. (9)
В качестве оси поверхности прообраза примем параболу второй степени
у = Az2 + Bz + C.
Подставив в это уравнение координаты точек А, В, С решаем полученную систему уравнений и определяем коэффициенты А, В и C. Изменяя положение точки C, можно управлять формой оси каналовой поверхности.
Инвариантная поверхность A образуется плоскопараллельным движение параболы d 2, вершина которой перемещается по прямой d, а параметр изменяется от -р до -да. График изменения параметра р можно задать
любой однозначной функцией, в частности равнобочной гиперболой
(z + l)y = -pl. (10)
Тогда для вывода уравнения инвариантной поверхности A подставляем в уравнение (8) параболы, вершина которой перемещается по прямой d (9), вместо фиксированного параметра р его текущее значение, равное у, выраженному из уравнения (10). В итоге получаем x2 = (-2pl / (z + l)) у. (11)
Поверхность A определяет искомое преобразование, чей оператор имеет вид
у' = (-x2(z + l)- р1у) / pl,
(12)
В качестве прообраза Ф' примем поверхность, образованную плоскопараллельным движением окружности m', центр которой перемещается по кривой и\
(x)2 + (у' - (Az'2 + Bz' + C))2 = R2. Подстановкой в уравнение прообраза Ф значений x , у , z (6) получаем уравнение Ф каналовой поверхности в виде
f 2/ . A i \2
-x2(z+l^-ply
-(Az2+Bz+C)
+x2-R2= ft (13)
. Pl ,
где 0 < x < l.
В общем случае каналовая поверхность задана большим числом сечений (рис. 4). Выше были рассмотрены способы проведения отсека поверхности через три сечения. Так как поверхность сконструирована по трем сечениям, то в общем случае по потоку наш обвод будет негладким. Поэтому способы сопряжения смежных составляющих отсеков будут рассмотрены в следующих публикациях.
Библиографический список
1. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований) / Г.С. Иванов.
- М.: Машиностроение, 1987.- 192 с.
2. Грязнов, Я.А. Применение эквиформных преобразований для конструирования трубопроводов с заданным законом изменения пощади поперечного сечения / Я.А. Грязнов // Основные направления научно-педагогической деятельности факультета ландшафтной архитектуры: Науч.тр. - Вып.348.
- М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2010. - С. 125-129.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
195
