CC BY
46
УДК 621.791.75.039.053Ж62-408.64 С.В. Щербинин
Планирование траекторий электромехатронных манипуляторов
Рассмотрен способ планирования траекторий мультикоординатных электроктромехатронных манипуляторов, полученный с помощью нелинейных преобразований пространства. Траектории манипулятора должны быть ортогональны проекциям циркулярных рациональных кривых.
Ключевые слова: мультикоординатный манипулятор, траектория.
Плавное изменение скоростей и ускорения звеньев манипулятора является важной задачей в управлении их перемещением. В этом случае будет обеспечено качественное перемещение деталей манипулятора без перегрузок и поломок. Это возможно, если в качестве траекторий принять дуги циркулярных рациональных кривых или близких к ним по свойствам пространственных кривых.
Рассмотрим один из способов получения профиля с заданными дифференциальными характеристиками с помощью кубических преобразований плоскости, имеющих пучок слабоинвариантных окружностей.
Пучок окружностей опишется уравнением
аз х2 + аз у2 + щх - а2 у - с(у-1) = 0, (1)
2 2 2 где азх + азу + а^х-а2у-с(у-1) = 0, а2 = Х1 + у1 + а^, аз = у , а4 = а^аз, а =-2x1.
2
Произвольная точка А( хд, уд) выделяет из пучка окружность т при коэффициенте с, определяемом выражением
азхА + азуА + а4хА - а2уА с _-А-А---. (2)
уа-1
Прямая ^0А , описываемая уравнением
у=(х - х0) уА, (з)
ха - х0
2 г
пересекает т еще в одной точке А , которая является образом точки А в кубической инволюции Jз. Определив координаты этой точки и опустив индексы, получаем операторы прямого преобразования:
2 2 2 2 (х - х0)(аз х + аз у + а4 х + а4 х0 у + аз х0 у - а2 у - а4 х0 - аз х0)
х _ 2 2 2 , аз(у -1)(х + у - 2х0 х + х0)
2 2 2 2 (4) у(аз х + аз у + а4 х + а4 х0 у + аз х0 у - а2 у - а4 х0 - аз х0)
аз (у -1)(х2 + у2 - 2х0 х + х2) Подставляя значения х',у из (4) в уравнение прямой Ах + Ву +1 _ 0, получаем уравнение кривой третьего порядка.
Выведены операторы преобразования для случая, когда центр преобразования совмещен с началом координат, а пучок окружностей задан двумя точками х1,у), /2(х2,У2). Операторы прямого преобразования имеют вид
, = - х2 + у2 + аз х + а у х2 + у2 + аз х + а у
х _ х' 22, у _ у' 22, (5) (а4х + а2у + 1)(х + у ) (а4х + а2у + 1)(х + у )
где аг-(г _1...4) - коэффициенты.
С.В. Щербинин. Планирование траекторий электромехатронных манипуляторов
149
На рис. 1 показан график такой кривой.
На рис. 2 показано управление формой траекторией манипулятора с помощью плоскопараллельного перемещения прообраза.
На рис. 3 представлена кривая, образом которой является окружность.
т- прообраз (у=кх—Ъ)
^ 15.19 79.25
15
10 15 20 25
л
т \\
О
0 5 10 15 20 25 и " " -5 0 5 10 15 20
Рис. 1. График кубической циркуляр- Рис. 2. Управление формой Рис. 3. График кубической цирку-
ной рациональной кривой (прообраз - кривой при плоскопарал- лярной рациональной кривой
прямая линия) лельном перемещении (прообраз окружность)
прообраза
Рассмотрим пучок слабоинвариантных окружностей в базисной точке Fl( XI, л) с фиксированной горизонтальной касательной Л в этой точке. В качестве центра преобразования выберем точку Fo(хо,0). Пусть наша кривая проходит через начало координат и имеет в этой точке вертикальную касательную.
Пучок окружностей опишется уравнением
аз х2 + аз у2 + а\х - а2 у - с(у-1) = 0, (6)
2 2 2 где аз х + аз у + щх - а2 у - с(у-1) = 0 а2 = XI + У1 + а^1, аз = л , а4 = а1аз, а1 =-2 XI.
2
Произвольная точка А( хд, уд) выделяет из пучка окружность т при коэффициенте с, определяемом выражением
с =
аз хА + аз уА + а4 хА - а2 уА
Прямая FoА описываемая уравнением
у=
уа-1 (х - х0) уа
(7)
(8)
ха - х0
2
пересекает т еще в одной точке А , которая является образом точки А в кубической инволюции ^. Определив координаты этой точки и опустив индексы, получаем операторы прямого преобразования:
2 2 2 2 ' (х - Х0)(аз х + аз у + а4 х + а4 Х0 у + аз Х0 у - а2 у - а4 Х0 - аз Х0)
аз (у -1)( х2 + у у - 2 х0 х + х0)
2 2 У У
у(аз х + аз у + а4 х + а4 х0 у + аз х0 у - ау у - а4 х0 - аз х0)
аз (у -1)(х2 + у2 - 2х0х+х2)
(9)
Подставляя значения х',у' из (8) в уравнение прямой Ах' + Ву' + 1 = 0, получаем уравнение кривой третьего порядка.
Искомая кривая в начале координат должна иметь вертикальную касательную. Тогда производная по х в этой точке должна быть равна 0.
Оптимальная траектория звена манипулятора
* 20
Фронтальная проекция траектории
Горизонтальная проекция траектории
Рис. 4. Пространственная траектория с плавным изменением дифференциальных характеристик
Решив совместно систему уравнений (7) и (8), d
dx
2 2 2 2 (x - xq)(ü3 x + Ü3 y + Ü4 x + Ü4 X0 y + Ü3 X0 У - Ü2 y - 04 X0 - 03 X0 )
a3 (У -1)(x2 + У2 - 2x0x + xQ2)
+By(ü3 x2 + Ü3 y2 + Ü4 x + Ü4 xo y + Ü3 xQ y - Ü2 y - Ü4 xq - Ü3 xQ) +1 Ü3( y -1)( x2 + y2 - 2 xo x + xQ)
(10)
= 0
и приравняв х и у к нулю, определим коэффициенты А и В. Таким образом, определим положение прообраза, при котором полученная кривая будет удовлетворять всем перечисленным выше исходным требованиям.
Для построения пространственных траекторий манипулятора, предлагается рассматривать ортогональные проекции этих траекторий в виде циркулярных рациональных кривых. На рис. 4 траектория манипулятора состоит из двух плоских проекций, каждая из которых представляет собой циркулярную рациональную кривую.
Для получения траектории манипулятора, обеспечивающей плавное перемещение звеньев, требуется выполнить их ортогональные проекции в виде циркулярных рациональных кривых.
Литература
1. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: пер. с англ. / А. Фокс, М. Пратт. - М.: Мир, 1982. - 304 с.
2. Щербинин С.В. Конструирование гиперповерхностей с помощью нелинейных преобразований / С.В. Щербинин, И.Ф. Боровиков // Электронный журнал «Прикладная геометрия». - 2003. -Вып. 5, № 11. - С. 1-12. - Режим доступа: www.mai.ru/~apg
Щербинин Сергей Васильевич
Канд. техн. наук, доцент отделения каф. «ЮНЕСКО» ТУСУРа Эл. почта: Sherb@mail.ru Тел. (382-2) 41-38-64
Shcherbinin S.V.
Planning trajectories elektromehatronnyh manipulators
The way of planning trajectories multi coordinate elektro-mechatronic manipulators obtained by non-linear transformations of the space is considered. The trajectory of the manipulator must be orthogonal projections of circular rational curves.
Keywords: multikoordinate manipulator, trajectory.
