Решение полного матричного аналога обобщенного уравнения Абеля с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968.78

РЕШЕНИЕ ПОЛНОГО МАТРИЧНОГО АНАЛОГА ОБОБЩЁННОГО УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Р. Р. Исмагилова

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: [email protected]

Рассмотрена система обобщённых интегральных уравнений Абеля с постоянными коэффициентами в матричной форме в терминах интегральных операторов Римана—Лиувилля матричного порядка на отрезке. Обоснована её редукция к системе сингулярных интегральных уравнений. Решение этой системы найдено в явном виде в случае коммутативных матриц простой структуры.

Ключевые слова: дробное исчисление, функции матричного аргумента, интегро-дифференциальные операторы матричного порядка, система обобщённых интегральных уравнений Абеля.

Пусть Л £ C, f (ж) — измеримая, в общем случае, комплексно-значная функция с областью определения D(f) С Q = [a, b], где —те < a <b < +те. Пусть с — произвольная точка отрезка Q: a ^ с ^ b.

Интегро-дифференциальный оператор Римана—Лиувилля порядка Л определяется так [1]:

IЛ f = d^ f =

cx — cx

где Г(А) — гамма-функция Эйлера, [ ■ ] — целая часть числа. При а ^ с < х ^ Ь (1) определяет левостронний интегро-дифференциальный оператор а при а ^ х < с ^ Ь — правосторонний оператор 1*_ [2]. При А = 0 в силу определения (1) І0Х = О0Х = I — тождественный оператор.

Обозначим Мп — множество постоянных матриц порядка п, Л(О) — спектр матрицы О є Мп, Аі Є С — собственные значения матрицы О, і = 1, 2,..., п. Обозначим С+ = [г Є С : И,ег > 0} и С_ = [г Є С : И,ег ^ 0}.

В соответствии с определением, введенным в работах [3,4], для матрицы

О Є Мп действие матричного оператора дробного интегро-дифференцирова-ния Римана—Лиувилля на функцию / (х) = (/і, /2,..., /п)т даётся формулой

sign(x — c) fx f(t)dt > 0

г(Л) X ix—ti^■ ReЛ>0; (1)

/ d 1 n

sign(x — c)^—J ІП+ЛІ', ReЛ ^ 0, n = [—ReЛ] + І,

S mk 1 / Г1 \ T?\n / ЛП

(lcGx)f — (Dc-xG)f = Е ^k(G) Е (G — E) r d

k=1

n=0

n! vdЛn ,4>k(Л)

if

Л Лк

(2)

где ^k(Л) = (Л — Лk) mk Пk=1(Л — Лk)mk , Лk Є Л(G).

Рина Ринатовна Исмагилова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.

Если Л(О) С С+, то ІСХ/ определяет матричный аналог интегрального оператора Римана—Лиувилля, в частности, при с = а и х > а имеем левосторонний интегральный оператор І^+/ матричного порядка, а при с = Ь и х < Ь — правосторонний оператор І^І/. Если Л(О) С С_, то формула (2) определяет матричный аналог дифференциального оператора Римана—Ли-увилля. А при Л(О) С С имеем матричный аналог интегро-дифференциаль-ного оператора Римана—Лиувилля.

Пусть матрицы А, В, О Є Мп и пусть матрица О является матрицей простой структуры, а Л(О) С М+, где М+ = [х : х Є М, х > 0}. Систему интегральных уравнений

Аіа+^+віь_ ^=/ (x), (3)

где ^>(х) — искомая, а /(х) —заданная п-мерные вектор-функции, будем называть системой обобщённых интегральных уравнением Абеля на отрезке [а, Ь].

Если одна из матриц А или В нулевая, получим матричные аналоги классических уравнений Абеля с правосторонним или левосторонним интегралом матричного порядка, рассмотренные в работах [5,6].

Пусть detA = 0. Тогда система интегральных уравнений (3) может быть записана в виде

£Іас+^ + Р^ = 5(х), (4)

где Р = А-1В, ^(х) = А-1/(х).

С помощью свойств интегро-дифференциальных операторов матричного порядка [6, 7], система уравнений Абеля (3) редуцируется к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода

Г ь

Г-1(О) / (С + В 8іип(х — і)) |х — і|с_е^>(і)йі = #(х), (5)

^ а

где С = (Е + Р)/2, В = (Е — Р)/2, а Г(О) — гамма-функция Эйлера матричного аргумента. Заметим, что когда В — нулевая матрица, уравнение (5) является матричным аналогом уравнения Карлемана [2,8].

Рассмотрим случай коммутативных матриц О и Р, считая их матрицами простой структуры. Известно [9], что в этом случае существует невырожденное преобразование с матрицей Т, приводящее матрицы О и Р одновременно к диагональным матрицам. Пусть О = Т-1Л^Т, Р = Т-1ЛрТ, где Лс, Лр —соответствующие диагональные матрицы. Тогда (х — і)с_е = = Т_1|х — £|_Лс-ЕТ. Обозначим Н(х) = Т^(х) и ф(х) = Т^(х), где ф(х) = = (^1(х), ф2(х),..., фк(х))т, Н(х) = (^1(х), Н2(х),..., Нк(х))т. Тогда система уравнений (5) при Л(Р) = [рк}, к = 1, 2,..., п, расщепляется на п уравнений вида

1 I'ь

^Г_1(Аи^ ((1+ Рк) + (1 — Рк)йіип(х — і))|х — ^|Лк_1фк(£)^ = Нк(х). (6)

Известно [8], что порядок особенностей решений уравнений системы (6) определяется числом

вк = ащНк(а)=2ащ(1 — рке(1_Лк)пі) (к = 1,2, ...,п), 0 < 0 < 2п, (7)

где

Ик (а) = 1 Рк е

1 — Рк е-(1-Лк)™

— коэффициент задачи Римана, соответствующей каждому уравнению системы (6).

Вернёмся к системе интегральных уравнений (4). Покажем, что в случае коммутативных матриц С и Р она редуцируется к системе сингулярных интегральных уравнений.

Лемма 1. Пусть Л(С) С (0,1),

1 /* ^«

— сингулярный интегральный оператор, Гь = Ь — ж. Тогда матричные ите-гральные операторы /0++, и оператор Б связаны соотношением

1ь-<р = со8(Сп)/ас+^ + 8т(Сп)г^5У-С/а+^ (^> е ЬР,Р ^ 1). (8)

Доказательство. Для простоты ограничимся множеством М2. Пусть С е М2 и является матрицей простой структуры. Тогда, используя определение (2) и определение функции матричного аргумента [9], правую часть (8) можно записать в виде

/С — Л2Е , , С — Л1Е , V С — А2Е ГЛ! , с — Л1Е ГЛ2 4 ,

(тт—Х7СО8 Л1П + Х—Л7СО8 Н 1^1—Л7 4+ + ^2—ЛТ 4+)

, /С — Л2Е С — Л1Е . ч/С — Л2Е л1 С — Л1Е л24

П ^=-д781п Л1П + Х—л7 81п Н Ть + "Л—лГ г*2) х

X Б / С — Л2ЕГ-Л1 + С — Л1ЕГ-Л2Ч/ С — Л2Е/Л1 + С — Л1ЕТЛ2 V Л1 — Л2 - Л2 — Л1 - Я Л1 — Л2 “+ Л2 — Л1 “+/^

Используя свойства идемпотентов матрицы С, легко получить

СЛ1 —ЛЛЕ (СОй(Л1п)/^ +81П(Л1п)гЛ1 Бг-Л1 /Л_1 )^+

+ С2 —ЛЛЕ (СОй(Л2п)/^ + Й1П(Л2П)ГЬ2БГ-Л2/Л+V =

откуда следует формула (8). □

Лемма 2. Система интегральных уравнений Абеля (4) в классе суммируемых функций эквивалентна системе сингулярных интегральных уравнений

А1Ф(ж) + — / = г-сд(ж), (9)

п ./а ^ ж

где А1 = Е + Рсов(Сп), А2 = Рв1п(Сп), Ф(ж) = г-с/0+|_^.

Доказательство. В системе интегральных уравнений (4) заменим

Очевидно, что с помощью матрицы Т система интегральных уравнений (4) расщепляется на п уравнений вида

где Фк(ж) — компонента вектора Ф(ж) = ТФ(ж) = (Фі(ж), Ф2(ж),..., Фп(ж))т• Используя известные решения уравнений (11) [8], нетрудно найти выражения дробных интегралов от компонент вектора ^(ж):

в случае б1. ^ 2п(1 - ), где = 1 - 2р. еов(1 - )п + р., га = х - а, с. —

произвольная постоянная.

Для определения компонент вектора ^(х) остаётся решить обычные уравнения Абеля. Таким образом, уравнение (10) будет иметь в классе гёльде-ровских функций с интегрируемыми особенностями на концах единственное решение тогда и только тогда, когда а^(1 - рке(1-Лк)пг) ^ (1 - Лк)п. Следовательно, справедлива следующая лемма.

Лемма 3. Система уравнений (10) разрешима в классе вектор-функций Н * при любых правых частях Л. (х) € Н* , если р. > 0, к = 1,2,..., п. Решение единственно и его компоненты определяются формулами

матричный интегральный оператор 7^1 его выражением по формуле (8). Тогда

(10)

а система уравнений (9) расщепляется на

</ а

Рк 8Іп(1 - Лк)п [6 (Ь - і)1-Л*-в*/(2п)(і - а)6*/(2п)

в случае < 2п(1 — Л&) и

(1 - Рк) 008(1 - Лк)

/

«/а

•6

(і - а)1-^/(2п)(6 - і)0*/(2п)-1+Л*(і - ж)

Zfc (ж) = r2-Afc-0fc/(2п)г-(1-Лк-0fc/(2n)). (12)

Замечание. Определение классов H* и H* см. в [2].

Окончательный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Пусть в системе обобщённых интегральных уравнений Абеля (4) матрицы G и Р коммутативны и являются матрицами простой структуры такими, что A(G) С (0,1), Л(Р) С R+. Пусть вектор-функция g(x) такова, что компоненты вектора h(x) = Tg(x) принадлежат классам функций H*, k = 1, 2,..., n, где А& € Л^) — собственные значения матрицы G, а T — матрица преобразования G к диагональному виду Л^ = TGT-1. Тогда единственное решение системы уравнений (4) в классе вектор-функций H* имеет вид

^(ж) = L-1r-1(G)DG+(E - PZ(x)Df+-G/f_-GZ-1(x))g(x),

где матрица Z(ж) = T-1diag(Z1(x), Z2(x),..., Zn(x))T, а Z&(ж) определены в (12).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физмалит, 2003. 272 с. [Nakhushev A. M. Fractional Calculus and Its Applications. Moscow: Fizmatlit, 2003. 272 pp.]

2. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с с. [Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987. 688 pp.]

3. Андреев А. А. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типах/ В сб.: Краевые задачи для уравнений математической физики. Куйбышев: Куйбыш. гос. пед. ин-т, 1990. С. 3-7. [Andreev A. A. Non-local boundary value problems for one degenerate model system of hyperbolic type / In: Boundary value problems for equations of mathematical physics. Kuibyshev: Kuibysh. Gos. Ped. In-t, 1990. Pp. 3-7].

4. Андреев А. А. Об одном обобщении операторов дробного интегро-дифференцирова-ния и его приложениях/ В сб.: Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики: Матер. Всессоюзной конф. Владивосток. Владивосток, 1990. С. 91. [Andreev A. A. On one generalization of fractional integro-differentiation operators and its applications / In: Integral Equations and Boundary Value Problems of Mathematical Physics. Vladivostok, 1990. Pp. 91].

5. Андреев А. А., Огородников Е. Н. Матричные интегродифференциальные операторы и их применение// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 1999. №7. С. 27-37. [Andreev A. A., Ogorodnikov E. N. Matrix integro-differential operators and their application// Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 1999. no. 7. Pp. 27-37].

6. Исмагилова Р. Р. Свойства оператора обращения матричного уравнения Абеля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. Т. 5(21). С. 237-243. [Ismagiliva R. R. Properties of inversion operator of the Abel matrix equation // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. Vol. 5(21). Pp. 237-243].

7. Исмагилова Р. Р. О некоторых свойствах операторов дробного интегро-дифференциро-вания матричного порядка/ В сб.: Тр. Седьмой Всероссийской научн. конф. с между-нар. участием Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Мат. моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2010. С. 129-132. [Ismagiliva R. R. On some

properties of fractional integro-differentiation operators matrix order / In: Proceedings of the Seventh All-Russian Scientific Conference with international participation. Part 3 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2010. Pp. 129-132].

8. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматлит, 1963. 640 с.; англ. пер.: Gakhov F. D. Boundary Value Problems. Oxford: Pergamon Press, 1966. 561 pp.

9. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с. [Gantmakher F. R. Theory of matrices. Moscow: Nauka, 1988. 549 pp.]

Поступила в редакцию 20/XII/2010; в окончательном варианте — 27/II/2011.

MSC: 47G20, 26A33

THE SOLUTION OF THE FULL MATRIX ANALOGUE OF THE GENERALIZED ABEL EQUATION WITH CONSTANT COEFFICIENTS

R. R. Ismagilova

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia.

E-mail: [email protected]

The system of generalized integral Abel equations in the matrix form with constant coefficients on the segment. Was considered at the terms of the integral Riemann-Liouville operators of matrix order. It’s reduction to the system of singular integral equations was founded. Solution of this system was found for the case of the commutative matrices of the simple structure in the explicit form.

Key words: fractional calculus, functions of matrix argument, integro-differential operators matrix order, system of generalized Abel integral equation.

Original article submitted 20/XII/2010; revision submitted 27/II/2011.

Rina R. Ismagilova, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.