Матричные интегродифференциальные операторы и их применение Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.3:517.956

А.А. Андреев, Е.Н. Огородников

МАТРИЧНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Рассматривается обобщение оператора дробного интегродифференцирования на матричный порядок. Обсуждаются и доказываются некоторые свойства, тождества и утверждения. Указана область приложений матричного интегродифференциалъного оператора к системам интегральных уравнений абелевского типа и нелокальным краевым задачам для вырождающихся систем дифференциальных уравнений с частными производными.

Дробным исчислением принято назьюать область математического анализа, в которой исследуются производные и интегралы произвольного комплексного порядка. Они применяются в самых различных областях естествознания - в физике, механике, химии, биологии и др. Наиболее полную библиографию, охватывающую практически все публикации по дробному исчислению и его применению вплоть до 1986 года, можно найти в монографии С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. И. Маричева [1] , а также работах [2 - 6] других авторов, в которых затрагиваются различные прикладные аспекты.

Среди приложений дробного интегродифференцирования особое место занимают вопросы существования, единственности и возможности получить в явном виде решение уравнений и систем уравнений абелевского типа. Как известно [1], именно уравнение Абеля первого рода лежит в основе одной из конструкций дробного интеграла.

Развитие идей и методов в теории дробного исчисления привело к появлению различных обобщений операторов дробного интегродифференцирования (операторы типа Эрдейи-Кобера, Джбрашана, дробные интегралы и производные Вейля и Чженя, операторы со степенно-логарифмическим ядром, операторы М.Сайго и др.) [1].

В данной работе рассматривается обобщение оператора дробного интегродифференцирования на матричный порядок. Введенный одним из авторов статьи [7,8] матричный интегро-дифференциальный оператор позволяет с единых позиций подойти к вопросу о разрешимости некоторых классов систем интегральных уравнений абелевского типа, среди которых следует особо отметить систему обобщенных уравнений Абеля в связи с ее приложениями, например, к смешанным задачам теории упругости [9-12].

Основные определения и некоторые свойства матричного интегродифференциалъного оператора

Пусть Л - любое комплексное число, Г(г) - гамма-функция Эйлера [13], функция Лх) еЦа,Ь).

Для оператора дробного интегродифференцирования Римана-Лувилля используем обозначения [1,6].

где [ЯеЯ] - целая часть числа ЯеЛ, а значение многозначной функции / при Л=а+{И выбирается следующим:

тк =та\с.05ф\пг) + 1&т.ф]пт)\ г>0. (2)

Если а>х , то вместо записывают £>“/ . Если ЯеЛ<0 , то, обозначая -Л=/л , пишем

£>£, что представляет собой дробную производную порядка /л.

*Мх-а) | /№ _КеЯ>0.

- а)

Г<*> а\х-*\

(и + А)

1-Я

(1)

д\п

дх

А.

/ , ЫеХ.<0,п = [-КеА] + 1,

Известно, что дробный интеграл / определен почти всюду на (а, Ъ) и принадлежит классу Ь{а,Ь), а интегралы (производные) комплексного порядка Л (ЯеЛ^О) являются аналитическим продолжением по параметру Л дробных интегралов (производных), определенных первоначально при 1тЛ=0 [1].

В случае чисто мнимого порядка дробные производные определяются в соответствии с (1) по формуле

(3)

Дробные интегралы чисто мнимого порядка принято определять как = — ^)„(1+^). Та-

дх

ким образом,

(4)

Подобно формулам (1) определяются операторы со степенно-логарифмическим ядром [14]:

,Ке А>0, те И;

Jk'm = в~к т /” =

ах ах J

Г(Л) Цх-А'

д У дк (

«^(х-а)— — Г

дх) *=0 дЛ

(5)

Л + п

-(п+А),т-к

Из определения (4) видно, что, например, возникает при дифференцировании по

параметру Л дробного интеграла (1):

^ = ь-"/- г(Я)^Л/, (6)

где ц/{г) - пси-функция Эйлера [13].

В работах M.Saigo [15 -17] введены интегральные операторы

з1%р{х - а) Г(а)(х-а)а+/)

л*-г

Г у — / \

а + р,-т]\а; Л 1

V х-а )

/(*)<# ,Ке Я > 0;

(7)

5г£и(* - а)— | , Яе в < 0, п = [-Ие а] +1,

сводящиеся при /3--а к операторам дробного интегродифференцирования (1), где 2Р\ (а, Ду, г)-гипергеометрическая функция Гаусса [13].

Приведем определение и сформулируем некоторые свойства функций от матриц [18-20], используемые в дальнейшем.

Обозначим М„ - множество постоянных матриц порядка п, Л(0) ={Л,) - спектр матрицы б; (5 е Мп; Л - собственные значения матрицы С, А, еС. Пусть НаС - произвольная область на комплексной плоскости : Л(С) сН.

/

Рассмотрим отображение Дг): /(г): Н -» X , где X, в частности, может быть областью на комплексной плоскости, множеством функций комплексной или действительной переменной, зависящих от ЛеН как от параметра, множеством операторов дробного интегродифференцирования или их различных обобщений и т.д.

С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра [18] можно определить значение отображения на множестве квадратных матриц [7]:

* тк

где у/к{Л) =

ИЛ)

(Л-Л,Г

; <*и =

1

/(0 = 11 а,(0-ЛкЕу-'Г(0),

*=1 у=1 10-1)

ЛЯ)

У*(Я).

, , У — 1, 772 д. , к --1,

я=я*

Очевидно, если X а С, а/*) - аналитическая функция, то определение (9) является определением функции от матрицы и при п~2, в частности, дает следующие представления:

/(<?) =

Т^ГДЛ')+ТГГ/(Л*>'

1 2 2 1

ЕДЯ) -{в- ЛЕ)/\Л), Я, = Я2 = Я.

(9)

Л е м м а 1 [18]. Пусть Ае Мп, $?) - аналитическая функция с областью определения

£>(/): А(А) с£)(/). Тогда спектр А(В) матрицы В=/(А) состоит из чисел Д-До;), о^е А(А)

Лемма 2 [18]. Если суперпозиция двух аналитических функций §(г)=/г(Дг)) определена на спектре матрицы А, то ^А)=к(/(А)).

Лемма 3 [21]. Пусть а(г) и Д(г) - некоторые аналитические функции, определенные на спектре А(0) матрицы б, и а(0)=А, Д((7)=5. Пусть (р{г) - аналитическая функция с областью определения Щф) : А(А)иА{В)с: В{<р). Тогда матрицы <р(А) и <р(В) коммутативны и обе записываются в терминах матрицы О.

Например, для матрицы АеМ2: А=а(Сг) с учетом перечисленных свойств и формулы (9) матрица

0-Л2Е а 0-Л.Е а

2 -та'+------—т , Я,*Я2;

Я, ~ Я2

Я2 — Я[

(10)

та[Е-(в-ЛЕ)Ыт]

где т>0, а, еА(А)< Я, еА(<5), г=1,2 , а функции г ' при а, еС определены в (2).

Дадим теперь определения некоторых специальных символов и функций, зависящих от матричного аргумента или зависящих от матрицы как от параметра.

1. Гамма-функцией Д (7) называется матрица, определяемая для ОеМп по формулам (8), а если ОеМ2, то в соответствии с (9) получим

Г{С) =

Я, -Я2

Я2 - Я,

(11)

_£Г(Я) + (в - ЛЕ)Г\Л) , Я, = Я2 а Я,

где Дг) - гамма-функция Эйлера [13].

Используется также логарифмическая производная гамма-функции, назьюаемая пси-функцией Эйлера [13]:

^(г) = ^-1пГ(г) = ^. (12)

ах Г(г)

Соответствующая матрица, например, для Ое М2 , определяемая по формулам (9), имеет

вид

¥{в)=

й-Л2Е

¥(Л{) + ----—¥(Л2), Я,*Я2;

1 2 2 1

Еу/{Л) + (б - ЛЕ)у/\Л) , Я, = Я2 = Я.

(13)

2. Символ Похгаммера (А)„,АеМ„ определяется равенством [22]

(А)„ = Л(Л+Е)...[А+(п-1)Е]=Г(А+пЕ) [ДЛ)]1, «=1,2,.., (14)

где (А)о =Е, Г{г) - гамма-функция Эйлера.

3. Гипергеометрическая функция Гаусса с коммутативными матричными параметрами определяется как сумма ряда [22]

1Р1(А,В;С;г) = г»

(15)

»“ о и-(0„

который сходится абсолютно при I г I < 1.

Пусть о(г), Дг), у{£) - аналитические функции, определенные на спектре Л{0) матрицы Є. Тогда, используя леммы 1-3 и формулы (8), можно построить аналитическое продолжение матричного ряда (15) на всю комплексную плоскость г с разрезом по лучу \argi\-z) 1 < ж, если использовать интегральное представление гипергеометрической функции Эйлера [13]

Р(а, Д; у, г) = К1 (1 - (1 - 2()~а Л. (16)

Г{р)Г(у-Р)1

Пусть ЄєМ2 , А=а(Є), В=@{0) и С-у{С). Их собственные значения соответственно ХієЛ(0), (ХієЛ(А), ДєЛ(В) и у. є Л(С), причем Яе у >Яе Д>0. Тогда

Р(А, В;С;г) =

Лх — я2

(17)

ЕГ(а,/3;у;г)+(0-АЕ)—р(а,/3;у;г) , Л,=Л2=Л,

. аЛ

^ яг а 1 \ дР <*а дР с1(} дЕ с1у

где —р(а,р;Я;г) =------------+-------+--------, причем частные производные гипергеометри-

с1Л да с1Л др с1Л ду с1Л

ческой функции по параметрам определяются через ассоциированные гипергеометрические функции [23 - 25].

4. Функцию Миттаг-Леффлера [13] с матричным параметром определим как сумму ряда

ЕА{г) = І\ПкА + Е)У2к,

(18)

где Яєосі>0, ОієА(А), а [Г(кА+Е)У - матрица, обратная к Г(кА+Е).

Для матрицы АєМ2,в частности, получим

А-а2Е , ч А-ахЕ ( ч

—КМ)+------------*а,-

еА*)=

ах -а2

а2

Е'Еа{2)+{А~^)-ГЕа{г) > а,=а2=а.

аа

(19)

В работах [7,8] определение (8) было распространено на понятие интегродифференциаль-ного оператора, являющегося матричным аналогом оператора дробного ингегродифференци-рования Римана-Лиувилля. В соответствии с определением, данным, например, в [7] для матрицы ЄєМ2и вектор-функции (в.ф.) /(х) = (/і;/2)г є Ца,Ъ), получаем

2>°/ =

ах^

Л2 Лу

сі

(20)

£»І/ + (Є-АВ)—СІ/ , Л,=Л,шЛ.

ал

Из формул (20) следует, что если КеЛі и ЯеЛ2 имеют одинаковые знаки, то оператор может ассоциироваться с дробным интегралом или дробной производной матричного порядка.

Пусть ЯеЛі >0. Тогда с учетом определений (1) и (8) представление матричного интегрального оператора /Гс / можно записать в виде

/ = м§п(х - я)[АС)Г ||х - /|с'£/(0<*

(21)

Формула (21) имеет один и тот же вид при Х\ ^Я2 и при Яі=Я2, однако, с учетом формул (10), (11) и (15) явное представление матричного оператора /)ж° через скалярные операторы при Х\ =Х2 =Х будет следующим:

Л» / = + {О - ХЕІр-"/ - (22)

где оператор й'^л определен в (5), а ц/(Х) определена в (12).

Как и в скалярном случае [1], класс в.ф. /(х) є Ьр{а,Ь), представимых матричным инте-

гральным оператором От (22) , обозначим (Ьр).

Таким образом,

/(х)є/«(і;,)^>3^):^)єІДа,*)Д<р<оо и Дх) = /£*

Пусть для определенности ЯеЯі е(0,1). Подобно скалярному случаю формула

К/ = ^п{х-а)~В^-с)/

ОХ

(23)

определяет матричный оператор дробного дифференцирования. Если Х\^Х2, то явное представление оператора 0° через скалярные операторы дается первой формулой в (20), а при Х\-Х2 =Х оно будет следующим:

В%ї = аірі{х-а)—

ОХ

ад(ЬЛ 7+(0- то?* 7 - - ВДГЛ7)

(24)

Заметим, что определяя дифференциальный оператор при Я1=Я2=Я формально равенством (22)

= Ыёп(х - а)

ад/+(<?- я^х^'7 - и-ад,/)

и сопоставляя эту запись с формулой (24), получаем явное представление дифференциального оператора Д^;1 через дробные интегралы (см. (4)):

А» / = «#*(*- а)—

ох

1

о:|'л7+1^-)/1,

(25)

где использовано тождество ^(-г) - цК.1-2) - 1/г [13].

Лемма 4. (Полугрупповое свойство). Пусть й е Мп; а(г), Дг) - любые аналитические функции, определенные на Л(А) ={Я,}. Пусть Л(Л)={а,} и Л(5)={Д} - спектры матриц Л=а((т) и В=Р{С) соответственно, причем Л(А),Л (В)сС+. Тогда равенство

КК/=О'ЛКГ = о;(л+г7 (26)

вьшолняется для любой в.ф. /(х) = (/,;/2 )г е Да, 6).

Доказательство леммы 4. Ограничимся случаем п= 2. Используя леммы 1-3 и записывая операторы и по определению (20) в терминах матрицы О, в случае Х\^Хг получим

С-Х,Е ГО-ЦД , а-Х‘Ес-^ ,

ах ах •/

Я, -Я2

Я, Я2

Я2 - Я,

у Я2 Я,

в-Х,Е

в-ЯЕ

\

--—/Ч----— £ГА /■

Ял ах ./ л л ах У

ч

в-Я2Е Я\ — Я2

Є — Я2Е о с — ЯхЕ , .

2 -В 'В +----------1—В'В~^{ =

ах ах J ' л л ах ах J

Я2 Я1

Гу(Ь+Р0 Ґ , ^ ^ Д-ОЧ+А) /* _ Т\-<А+В) *

ах / т -і л ах J ах J *

Я2 Я[

Коммутативность матричных интегральных операторов является очевидным следствием коммутативности дробных интегралов в скалярном случае.

В случае Я, =Я2 гЯ с учетом (20) и (22) имеем

ах ах ^ ах

ЕВ^/ + (0-АЕ)^-В^/

. эр .

+{<Э~ХЕ){^£>~: х[£^/+

+ (в-ЯЕ)—И'*/ д/З

= ЕВ?*»/ + {0- ЛЕ)[В2 +

I оД да

= ЕВ2а+Р) / + (<5-Щ Аналогично

£>г ^-7+- й«)+ид))аг^7

ъ:кГ = щ^+а7 + (С? - яе( + />^-“’7 - (К/?) + уу(а))в-^/

Равенство правых частей полученных выражений теперь является следствием коммутативности операторов В~:,В^ и В^,В^1 и , следовательно, можно писать

ККГ=ев^ 7+(о - Я£)

/

Г)-(<*+/?) /* . ^ Г\~{а+Р) *

ах У Лл йог У

9а д/3 х

откуда вытекает утверждение леммы и для случая Х\ =Я2 .□

Лемма 5. Пусть выполнены все условия леммы 4 , тогда равенство

КЛ \х - <КА К\х- а\~в / = ВТ* |дг - а\'В ОтА \х - а\А /

(27)

выполняется для в.ф. \х - а\А /,\х - а\~в / - Ь{а,Ъ) и Л(Л) и Л(В) с \т.: г е С, Лег е (0,1)} почти всюду на {а, Ъ).

Приведем доказательство этого свойства для левосторонних операторов с началом в нуле и А, В еМг.

В условиях леммы 4 матрицы А и В определены как функции от матрицы <5. Для матрицы Ое М2 и матриц А=а(С) и В=/3(Сг) по определению (20) в случае Л\^Л2 , Х\ еЛ(0) запишем левую часть равенства (27) при а=0:

^^К'Х-а'в-^'/^^^в-:^в:^^, (28)

А>\ . 2 /Ч

где а, еЛ(А), Д<=Л(В).

Согласно определению (1) для каждой композиции дробных интегралов в (28) имеем

J. =----- -----](х - - з)‘в‘4 5'А /(*)сЬ =-- -----:

1 Да()АД)Г ' Г Д«,)ДД)

х]*-'1/(*)<&)(*-0в,_| Л , і = 1,2.

(29)

Полагая во внутреннем интеграле (29) 1=х-(х-в)г и воспользовавшись формулой (16) , получим

*л=-

Г(а, + Д) о

Аналогично для правой части равенства (27) найдем

*"А

(30)

(32)

Да, + Д,) о

После применения формулы автотрансформации [13] следует равенство J\ = Jг .□ Замечание 1. В процессе доказательства леммы возникли два интегральных оператора (31) и (32) с гипергеометрической функцией в ядре. Сопоставляя их с оператором M.Saigo (7) , ВИДИМ, ЧТО Jx = Зг І“УР"~Р‘~а‘Х~Рі/ = /^+А’~“' ~А.*■“'/ и является одним из известных тождеств

для операторов этого типа [15].

Замеченное обстоятельство позволяет ввести в рассмотрение матричный аналог оператора М.Баідо. Запись, дающая его определение , не отличается от (6), если положить в ней а=а((7), Д=Д((7), ц-іХС7), где ОєМп , а а(г), Д(г), т^г) - произвольные аналитические функции.

В терминах матричного оператора М.8а1§о свойство, доказанное в лемме 5 , может быть записано так:

= 1м.-л,-вх-л/ > (32)

где А=а(С), В=/3{С).

Замечание 2. Часто встречающаяся в нелокальных краевых задачах [26 - 32] композиция интегральных операторов 0~хАх~А0^Е~Л)ф с учетом леммы 5 и замечания к ней может быть записана в терминах матричного оператора M.Saigo. Действительно ,

В1лх~лВ^9 = у[л, А;= ^^9 ■ (33)

Рассмотренные ниже свойства касаются основных композиционных тождеств с интегральными и дифференциальными матричными операторами.

Пусть матрица А еМт и обладает следующим спектром:

Л(а)={сс, :а, еС+,п-\<Кеа, <я,ие.ЛГ}. (34)

В этом случае, обобщая (23), матричный дифференциальный оператор можно определить формулой

= (35)

Как обычно класс абсолютно непрерывных на отрезке О в.ф. / (х) обозначаем АС(П).

Известно [ 33 ], что он совпадает с классом первообразных от суммируемых по Лебегу функ-

ций. Через АС” (/2), где и=1,2,... обозначается класс в.ф. таких, что

/(х)е АС"(&)<=>/(х)е Са-'(п)п {/(х): /М)(х)е АС(п) . Нижеследующие теоремы отражают основные полугрупповые свойства матричных интег-родифференциальных операторов.

Теорема 1. Пусть матрица АеМ,„ , а ее спектр л(л) а С+. Тогда равенство

(36)

выполняется почти всюду на (а,Ь) для любой в.ф. /(х)еЬ(а,Ь), а равенство

КАК/ = /(х) (37)

- для в.ф. /(х)е1^(ь).

Доказательство теоремы 1. В довольно частном , но весьма важном для приложений случае, когда собственные значения матрицы А удовлетворяют условию (35), доказательство теоремы 1 с учетом формулы (35) полностью повторяет аналогичные рассуждения в скалярном случае.

Действительно, равенство (36) немедленно следует из леммы 4, так как

КК/^г^х-а)^ ОТ-А)К/^Кп{х-а)^ 2)^/=/(4

Теперь пусть /(.х) е (х). Тогда существует в.ф. <р(х) е ь(а,Ь) : /(х)е 2)^ <р и равенство

(38) 2)^ (2)^2)^ V становится верным для любой в.ф. <р(х) в силу (37).

Если же о спектре матрицы А известно лишь, что Л(а)с С+, то для доказательства теоремы нужно обратиться к определению (8).

Ограничиваясь для простоты множеством М2 , заметим, что формулы (36) и (37) для а1 Ф а2 являются очевидным следствием аналогичных формул в скалярном случае. Действительно, используя (20), получим

\"

2>АОл / = А а*Е 2)“'

ах ах^ ах

а 1 -а2

—____а"1^ /)-“■ р~а> /■

ах У 1 ах У

ка1-аг а2-а1

+

а2 -а]

аг-ах ах-аг

Так же обосновывается (37) для «, ^ а2 в классе в.ф.

В случае, когда собственные значения а, = а2 = а, можно указать единичный отрезок , такой, что ае[п-1,п\, пеК Но в этом случае имеет место формула (35) и справедливы рассуждения, приведенные в начале доказательства.

Теорема доказана.П

Доказанное в теореме 1 свойство (36) матричных интегродифференциальных операторов имеет прямое отношение к проблеме разрешимости систем интегральных уравнений Абеля.

Пусть матрица А еМт, а ее спектр Л(а) с С+.

Систему интегральных уравнений (с.и.у.)

££> = /(4 (38)

где х > а > -со, <р(х)и /(*) - т- мерные в.ф., рассматриваемую на конечном отрезке [а, Ь\, будем называть матричным уравнением Абеля первого рода.

Рассмотрим вначале случай, когда Ява, е (ОД), а, е л{а)

Действуя, пока формально, оператором на левую и правую части равенства (38) на основании теоремы 1 и формулы (36), получим

<р{х)=оАт/,

или, учитывая (23),

= (39)

ох

Таким образом, если уравнение (38) имеет решение, то это решение необходимо имеет вид (39) и , следовательно, единственно.

Приведем одно достаточное условие разрешимости уравнения (38) в классе в.ф. Ь(а,Ь).

Лемма 6. Если /(х)е АС([а,Ь, ]), то и П^Е~А)/ е АС([а, &]), при этом

п-(Е-л)/ = [Г(2£ _ л)]-' (х - а)Е-л /{а)+ £Г(2^>/'. (40)

Доказательство леммы 6. Так как /(х)е АС([а,Ъ$), то в.ф. /(*) можно представить так [33]:

/(>)=/(<*)+(41)

а

Подставляя (41) в левую часть равенства (40), получим

ft \

dt. (42)

D-JE'A)f = [Г(2Е - А)]'1 (х - af-A f{a)+ [г(Д - A)]1 f(x - if*

а \а J

Непосредственной перестановкой порядка интегрирования нетрудно убедиться в справедливости равенства

dt = X\ -SYAf'{s)ds dt. (43)

a \a J a\a /

Очевидно, что первое и второе слагаемые в (42) являются первообразными от суммируемых в.ф. и, следовательно, абсолютно непрерывны. Представление (40) следует из того, что

[Г{Е - А)\1 = ]{DTA)f')dt .

а\а J а

По лемме 4 D^D^E~A^f = D^1E~A^f, что и доказывает лемму 6.D

Теорема 2. Пусть матрица А еМт , а ее спектр Л(а) = {а, : а, е С+,0 < Rea, < l}.

Если f(x)е AC§a,b\), то матричное уравнение Абеля (38) разрешимо в b(a,b), а решение

(39) можно представить в виде

V>{x) = [r{E-A)]-1(x-a)-Af{a)+D-JE-A)f. (44)

Доказательство теоремы 2. Так как в силу леммы 4 D^E~A^f е ЛС[(а,б)], то, дифференцируя равенство (40), получим формулу (44). Разрешимость уравнения (38) теперь обосновывается непосредственной подстановкой (44) в (38), что и доказывает теорему. □

Замечание. Пусть для простоты матрица А еМ2. В теореме не охвачены случаи, когда одно или оба собственных значения матрицы А принимают значения 0 или 1. Эти случаи не являются особыми. Как следует из определения (20) они сводятся к очевидным соотношениям между скалярными операторами дробного интегродифференцирования.

Случай, когда спектр матрицы А удовлетворяет условию (34), сводится к рассмотренному дифференцированием обеих частей (38).

Теорема 3. Пусть матрицы АиВ удовлетворяют условиям леммы 4. Тогда равенство

KKf = Di:Bf{x) (45)

выполняется почти всюду на (а, Ъ) в следующих случаях:

1) Л(В) с С_, А{А + В) с Сf(x) е L(a, b);

2) A(iOс С+,Л(Л)с С_,/(*)€/*(!);

3) A(A)cC+,A(A + B)c:C+,f(x)eli+B(L).

Доказательство теоремы 3. 1) уели a(a\a(b)<zC_, то равенство (46) установлено в лемме 4. Пусть л(а) с С+. Тогда учитывая, что Л(в)сС иЛ(А + В)сС , по лемме 4 D~JDmBf = D~JHA~B) = Dif, откуда, используя (36), получим

DaDb / = DaD'aDa+b =Da+b f;

ax ax J ах ах ax ax J 5

2) в этом случае существует в.ф. <p(x)eL(a,b): f(x) = D~£<p. Поскольку 4^)сС и Л{а)с1 С_ и, следовательно, A(A + B + (-B))<zC_ , то согласно первому случаю

г\А+В / jr\A+B т\—В-л тл А+В-В та Л Т\А т\В 4?

получим / - Diu Dax<p = Dax <р = Dm<p = DaxDaxf ;

3) в этом случае существует в.ф. <р(х) 6 L(a,b): f{x) = Тогда, замечая, что Л(В + Н-В)) = Л(-^)сС и A{-A-B)<zC_ , в соответствии с первым случаем и (36), получим DAmDBmf = DiD-jD-J-B<p = KDBmA-B<P = DiD-J<p = <p = DAJB f.

Теорема доказанаЛ

Замечание. В теореме допустимы случаи а( =0,Д = 0 и а,+ Д = 0, при а,, Д е R, а, е A(A),/3i е Л(В) , а при некоторых дополнительных требованиях и случаи, когда

ЛеД = 0 ,Reat > 0; Rea, = 0, Re/3, < 0; Re{at + Д ) = 0, Re/3t > 0.

Теорема 4. Пусть матрицы А кВ удовлетворяют условиям леммы 4. Пусть

Reai е [o,l], Rej3j > 0,|Re(at - Д )| < 1. Тогда формула

DAJx - аГВ D~Jf = U- а[В D^lx -а\Л f (46)

справедлива для /(х) € Ь(а, Ь).

Доказательство этой теоремы в Ь(а,Ь) достаточно громоздко и мы его здесь не приводим. В скалярном случае тождество (46) доказано, например, в [6]. В монографии [1] приведены и другие весовые формулы композиций трех интегродифференциальных операторов.

Приведем здесь простое доказательство формулы (47) в классе в.ф. \х-а^ f є I^{L).

11/4 А

х - а\ f є I m (L), то существует вектор-функция

(р{х) є b(a,b): f(x) = |х - о| л D~J<p. Подставляя fix) в равенство (46) и учитьтая лемму 5 и теорему 3, получим

DA\x-c\A-BD^B\x-a\-AD-Jcp = DA\x-c\y-a\-BD-J\x-aYAD'J<p = DA\x-a\A\x-a\-A х

x |* " a\B К? = I* " a\B D*<P = I* " a\B DJK \x-a\A f = \x- a\~B DAmB\x -a\A f.

Теорема доказана.^

Следствия.

1. Если в (46) положить В=Е-А,получим матричный аналог известного при а=0 [34] тождества D^x2A~ED^E~A)f = x~(E~A)D™~AxAf, справедливого для любых

( О

а, : Rea, е (0,l), а, е Л(А), причем при at : Reat е 0,—

v 2 у

хА/{х)еЩ,Ь).

оно верно для

справедливое для любых Д : ЛеД е (0,1), Д е Л(в\ причем при Д : Re(it е [ 0,— оно

ч 2,

верно для xE~Bf(x)e L(0,b).

В качестве одного из приложений матричных интегродифференциальных операторов рассмотрим систему обобщенных интегральных уравнений (с.о.и.у.) Абеля в матричной форме

A(x)CU(x)u + B(x)I°V(x)u = f(x), (47)

где GeM„ , А(х), В(х), U(x) и V(x) - функциональные [ихи]-матрицы, и=и(х) и fx) - векгор-функции, IGm = D~° и 1°ь = - введенные выше матричные интегральные операторы.

Первая попытка решения с.о.и.у. Абеля содержится в работе N.Zeilon [35]. Более серьезные шаги были предприняты в уже упомянутых в начале статьи работах M.Lowengrub, J. Walton [11] и J.R.Walton [12]. В обеих работах рассматривается система двух уравнений (и=2) в весьма частных случаях. Так ,в работе [11] G=(l-ju)E, 0<//<1;

А(х) =

щ(х) 0

0

а2(х)

\ / ; в(х) =

0 Д,(*)

М*) 0 ,

; U = V = 0, а система уравнений (48) при-

водится методом аналитического продолжения к задаче Римана для двух пар функций. Содержащееся в этой работе решение задачи Римана ошибочно. В работе [12] дано сведение системы уравнений (48) к полному сингулярному уравнению для следующих матриц:

G =

U =

l-//i

0

0 1 -JU2

, 0 < /л < 1; А(х) =

а, (х) 0

. 0 «2 О).

, В(х) =

О Д(4 vAW 0 у

аи 0

V ^ а12J

о ьп

\^21 ® ;

В работах И.Л. Васильева [36,37] система уравнений (48) для ЄєМп , С=аЕ , А(х) и В(х)-матрицы-функции, Ц=У=0 сведена к системе сингулярных интегральных уравнений; аналогичное исследование проведено и для систем с матрицами А(х)=В(х) =0, V, Уе М„ .

В работе А.А. Андреева [8] система уравнений (48) рассмотрена в самом общем виде и указаны условия ее нормальной разрешимости.

Другим приложением матричных интегродифференциальных операторов является круг нелокальных краевых задач для вырождающихся систем дифференциальных уравнений с частными производными. Некоторые работы авторов [26-32] в этом направлении уже упоминались в начале данной статьи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688с.

2. Oldham КВ., Spanier J. The fractional calculus. N.Y.- London: Acad. Press, 1974. 234 p.

3. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 383 с.

4. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with the fractal geometry 11 Phis. Stst. Sol. (b) 133.1986.

5. Haxyuiee A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик-Майкоп: Логос, 1995. 59 с.

6. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. школа, 1995.301 с.

7. Андреев А.А. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Краевые задачи для уравнений математической физики. Куйбышев: Куйбыш. пед. ин-т, 1990. С. 3-6.

8. Андреев А.А. Об одном обобщении операторов дробного ингегродифференцирования и его приложениях // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики : Мат. Всесоюз. конф. Владивосток, 1990.. С. 91.

9. Самко С.Г. О сведении некоторых интегральных уравнений первого рода теории упругости и гидродинамики к уравнениям второго рода // Прикл. мат. и мех. 1967. T.31. N2. С. 343-345.

10. Lowengrub М. Systems of Abel type equations I I Function theoretic methods in defferencial equations / R.P. Gilbert, R.J. Weinacht, eds. Pitman Publ. 1976. P. 277-296.

11. Lowengrub М., Walton J. Systems of generalized Abel equations // SIAM J. Math. Anal. 1979. Vol. 10. N4. P. 794-807.

12. Walton J. Systems of generalized Abel integral equations with applications to simultaneous dual relations // SIAM J. Math. Anal. 1979. Vol.10, N4. P. 808-822.

13. Бейтман Г., Эрдейн A. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т.1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.

14. Килбас А.А. Степенно-логарифмические интегралы в пространствах гельдеровских функций // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1975, N1. С.37-43.

15. Saigo М. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. Vol. 11, N2. P. 135-143.

16. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation // Math. Japon. 1979. Vol.24, N4. P. 377-385.

17. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Сарат. ун-т, Самар, филиал, 1992. 162 с.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

19. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

20. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 368 с.

21. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1957.

22. Андреев А.А. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического типа: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1981. 100 с.

23. Андреев А.А., Килбас А.А. О решениях неоднородного гипергеометрического уравнения и вычислении интегралов // Докл. АН БССР. 1983. Т.27, N6. С. 493-496.

24. Андреев А.А., Килбас А.А. О некоторых ассоциированных гипергеометрических функциях // Изв. вузов. Сер.-Мат. 1984. N12. С .3-12.

25. Андреев А.А. О некоторых приложениях ассоциированных гипергеометрических функций // Диффер. уравнения (математическая физика): Мат. Куйбыш. обл. межвуз. науч. совещ.-сем. Куйбышев, 1984. N12. С.8-9.

26. Огородников Е.Н. О нелокальной краевой задаче для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Некласс. уравн. мат. физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1988. С.150-151.

27. Андреев А.А., Огородников Е.Н. О некоторых нелокальных краевых задачах для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Линейные операторы в функциональных пространствах : Мат. регион, конф./ Чечен.-ингуш. ун-т. Грозный, 1989. С. 23-24.

28. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Нелокальные краевые задачи для вырождающейся системы и интегральные уравнения третьего рода // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики : Мат. Всесоюз. конф. Владивосток, 1990. С. 97.

29. Андреев А.А., Линьков А.В. Нелокальные краевые задачи для модельной вырождающейся системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и их применения : Мат. междунар. конф. Саранск: МГУ, 1994. С.41.

30. Огородников Е.Н Две нелокальные краевые задачи для вырождающейся системы гиперболического типа // Математическое моделирование и краевые задачи : Тр. пятой межвуз. конф. / Самар, техн. ун-т. Самара, 1995. С. 81-82.

31. Огородников Е.Н. Краевые задачи со смещением для вырождающейся системы гиперболического типа // Математическое моделирование и краевые задачи : Тр. шестой межвуз. конф./ Самар, техн. ун-т. Самара, 1996. С. 75-77.

32. Огородников Е.Н. Об одной нелокальной краевой задаче для вырождающейся системы гиперболического типа // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. седьмой межвуз. конф./ Самар, техн. ун-т. Самара, 1997. С. 60-65.

33. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1986.496с.

34. Смирнов ММ. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 295 с.

35. Zeilon N. Sur quelque points de la theorie de Pequation integrale d’Abel // Arkiv. for Mat., Astr. och Fysik. 1924. Bd 18, N5. S.l-19.

36. Васильев ИЛ. О единственности решения системы уравнений Абеля с постоянными коэффициентами // Докл. АН БССР. 1981. Т.25, N2. С. 105-107.

37. Васильев И.Л. Системы интегральных уравнений с ядром Абеля на отрезке вещественной оси // Изв. АН БССР. Сер. мат.-физ. наук. 1982. N2. С.47-53.