CC BY
45
ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2004. №26
Дифференциальные уравнения
УДК 517.95
А. С. Еремин, А. А. Андреев
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С МАТРИЧНЫМ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ
Поставлена краевая задача для матричного уравнения с интегродифференциальным оператором. В случае матриц определенного спектра доказана теорема о корректности этой задачи по Адамару. Приведен метод решения задачи.
В настоящей работе развиваются результаты, изложенные в [1].
1. Матричный интегродифференциальный оператор. Пусть а - любое комплексное число; р(х) е 1(0, Т). Оператор дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля по / порядка а с началом в точке 0 (/ > 0) определяется соотношением [2]
i j (t) ° d0-> (t)=
f 9(t)dt Rea >
Y/тЛ J i
Г(а )0(t -1 )1-"' (1)
Sd-<( n+aj (t)' Re" £ 0,
n -1 < Re[-a] £ n, а значение многозначной функции ta при а = u + iv выбирается следующим образом:
tа = tu [cos(vlnt) + isin(vlnt)]'t > 0. (2)
Подобно формулам (1) определяются операторы со степенно-логарифмическим ядром [3]:
= Re" > 0* (3)
Из определения (3) видно, что, например, J"/' (Rea > 0) возникает при дифференцировании по параметру а выражения i(t):
J a' u 0(
где y(z) - пси-функция Эйлера [4]:
J"j (t) = y (а) (t) + i"? (t), (4)
9a
y (z) = — ln Г( z) = G(z). (5)
dz Г( z)
Определим оператор J0a/' при Rea < 0 равенством (4), полагая в нем Rea < 0. Справедливо равенство
J'atj(t) = [[ (a) + y (n - a)]] j (t) - —р0Г> (t), Rea < 0. (6)
Обозначим Mn - множество постоянных матриц порядка n. Пусть матрица G е Mn. Обозначим L(G) = {A¡} - спектр матрицы G ; A¡ - собственные значения матрицы G , A е C; J(G) - жорданова форма [5] матрицы G . Последняя имеет квазидиагональный вид и специальную структуру клеток:
J (G) = {J,(G), J 2(G),..., Js (G)}, (7)
J.(G) = A/(m) + H(m-\ ¡ = ü, (8)
где у матрицы H(m,) элементы первой наддиагонали равны единице, а все остальные - нулю:
(0 1 0 ... 0 ö 0 0 1 ... 0
H(m-) =
(9)
0 0 0 ... 1
0 0 0 ... 0
Ч У
Нетрудно убедиться, что у матрицы (Н ) элементы р -й наддиагонали равны единице, а все остальные равны нулю.
f
Рассмотрим дифференцируемое отображение f (¿)\ Н ® X , где X, в частности, может быть областью на комплексной плоскости, множеством функций комплексной или действительной переменной, зависящих от 1 е Н как параметра, и т.д.
С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра [5] можно определить значение отображения на множестве квадратных матриц:
f (G) = £ ¥k (G)S У ^
k=1 j=0 J !
d lj
f (l) ¥k (l)
(10)
¥ (l ) s
где mt - кратность собственного значения ht; ¥k (l) =-m~; ¥(h) = П (l_ h )mk - мини-
(1 - К )mk k=1
мальный многочлен матрицы О ,} = 1, тк ; к = 1,5. Если X с С, а f (7) - аналитическая функция, то (10) является определением функции от матрицы.
В работах [6-9] определение (10) было распространено на понятие интегродифференци-ального оператора, являющегося матричным аналогом оператора дробного интегродифферен-
цирования Римана-Лиувилля. Пустьф(х) = ((х), ф1(х),...,фп(х))Т, а отображение
f: Я ® ¿(0,Т) определяется формулой f (1) = ф(т). Тогда, в соответствии с [6], (10) является определением матричного интегродифференциального оператора:
ф) ° ф) = ±¥к (G)S (JG-Iiy ^
k=1 j=0 J !
d hj
Dg, ) ¥k (h)
(11)
i=hk
В случае G = pI, p e R имеем s = n, mk = 1, ¥k (h) = (h - P)n 1 и из определения (11) следует
DPI ф(т) = Dp, ф(т).
В частности,
D^ ф(т) = ф(т), Dp,1 ф(т) = } ф(т )dt, D0m/ ф(т) = .
(12) (13)
Если G e M2, ф(x) = (j(x), j (x)) , то (11) записывается в виде:
D0G ф(т) =
D ф(т) + G-hIDhф(т), к * к; IDф(т) + (G — hli)-dD0tф(т), Л = h ° h.
(14)
C учетом (4) соотношения (14) принимают вид: D0G ф(т) =
d
G — h 1 dh ф(т ) + G-hl ^ ф(т),
h * h^;
Л -1 1 - Л ..........' (15)
Iф(т) + (О - II) (( ф(т) -у(1)О ф(т)), Л = 12 ° 1. 2. Уравнение с матричным интегродифференциальным оператором. Пусть матрицы О,А еМп коммутативны. В области ^ = {(х,/):0 <х <¿,0 < t <Т} рассмотрим уравнение
О0О и = Аи хх (16)
относительно неизвестной вектор-функциии(хД) = (и1(х^),и2(хД),...,ип(х^)).
Жорданова форма матрицы О имеет вид (7). Существует такая неособенная матрица Т (айТ ф 0), что
в = и (в)Т(17) Поскольку матрицы О и А коммутативны, то имеет место равенство
А = П (А)Т Л (18)
причем жорданова форма J(А) матрицы А имеет структуру (17):
3 (А) = {^(А), ^(А),..., Js (А)}, (19)
Ji(А) = т) + Н(т-\ , = й. (20)
Выполним в уравнении (16) замену неизвестной вектор-функции
и = Ту. (21)
Уравнение (16) заменится уравнением
03,(в V = 3 (АК. (22)
Из (7), (19), (22) видно, что замена (21) сводит уравнение (16) к 5 независимым уравнениям
Б3;(в) w = (А)*„, , = , (23)
(в) w '--Ъ^
чт ,, (в) , .ч т 1 Ак-1
где w(х,;) = (ур(х,;),ур+1(х,;),...,ур+щ_1(х,;)) , (((в)w(r,х)) = £^П)]^[^кТ,х)]я==
Действие оператора Б0;(в) на вектор-функцию w(х, t) в соответствии с определением (11) записывается в виде
\к
т, -1 (Н(т) ) Ак
Б;(в) жт, х) = ^У^ ААк [ Б>(т, х)]^. (24)
Отсюда для у -го элемента вектора £)о';(в)у(т, х) (у = 1, т,) справедлива формула
0;
лк-1
т, 1 Ак
(((в) w(т, х) ) =х — ^ [ Д^к (т, х)]^. (25)
В силу (25) матричное уравнение (23) равносильно системе скалярных уравнений
1-^4>0>к(т,х)] = а/У) + у = 1^, (26)
к=у (к -1)! АЯ-1 [ 0; А 7]я=я, 'Ах2 Ах2 7 1 ^ '
где полагается w1 ° 0.
Таким образом, матричное уравнение (16) с помощью замены (21) приводится к 5 независимым системам из т1 уравнений вида (26) каждая. Заметим, что уравнения (26), при наличии для них соответствующих граничных условий, решаются последовательно, начиная с уравнения у' = т1. Действительно, последнее уравнение системы (26) содержит только производные
я А2 wm
^а^п, (т, х) и-Если для этого уравнения задана корректная задача, то в результате полу-
Ах2
чаем решение wm (х,;) задачи. Подставляя wm (х,;) в уравнение с номером ' = т ,, -1, получаем
я А2 wm -1
неоднородное уравнение, содержащее производные Б0'twm-1(т,х) и-2—. Если для него
Ах2
также задана корректная задача, то при ее решении получим функцию wm -1(х,;). И так далее,
до тех пор, пока не определятся все неизвестные функции w1 (х,;).
Из вышеизложенного следует, что для того чтобы ставить и решать задачи для уравнения (16), требуется уметь ставить и решать задачи для уравнений вида
(т, х) = аих + Г (х,;), (27)
где а, а е С . Этому посвящен следующий пункт работы.
3. Краевые задачи для уравнения со скалярным интегродифференциальным оператором. В области О = {(х,;) :0 <х <Ь,0 <; <Т} рассмотрим уравнение
(т, х) = аихх + / (х,;), (28)
где а, а е С , /(х,;) - некоторая, в общем случае, комплекснозначная функция.
Уравнение (28) с 0 < а < 2, а > 0, / ° 0 относительно хорошо изучено. Краевые задачи для него рассматривались ранее в работах [10-12].
Пусть а, а е Я , /(х,;) ° 0. В этом пункте п = 1 -[1 - а].
12-au e C(W), uxx e C(W), — e C(W), (31)
Задача 1. В области О в классе функций, удовлетворяющих условиям
— ди
и е С (О), их е С (О), —е С (О), (29)
дt
найти решение и (х^) уравнения (28), удовлетворяющее условиям
и (0,0 = и (р, 0 = 0, Нш О0а/'и = т (х). (30)
Задача 2. В области О в классе функций, удовлетворяющих условиям
о«
дt2
найти решение и (х^) уравнения (28), удовлетворяющее условиям
и(0,0 = и(р,0 = 0, Нш Б^и = т5 (х), 5 = 12. (32)
t ®0
Задача 3. В области О в классе функций, удовлетворяющих условиям
— ди
и е С (О), их е С (О), — е С (О), (33)
дt
найти решение и (х,Г) уравнения (28), удовлетворяющее условиям
и(0,0 = и(р, t) = 0, О0а/'и[ = т (х). (34)
Задача 4. В области О в классе функций, удовлетворяющих условиям
— д" Г" и е С (О), и^ е С (О), -и е С (О), (35)
дГ
найти решение и (х,Г) уравнения (28), удовлетворяющее условиям
и(0,о = и(р,о = 0, о0";2и[ 0 = ^(х), о0";2и[ т = т2(х). (36)
Задача 1 при а > 0 решена в [10] методом сведения к системе уравнений меньшего порядка. При а > 0 задача 2 решена в [12] методом разделения переменных. Задачи 3 и 4 являются корректными при а < 0 .
Теорема 1. Пусть в задачах 1-3 функции т5 (х) (5 = 1,2) удовлетворяют условию согласования т5 (0) = т5 (р) = 0 и разлагаются на (0, р) в ряд Фурье по синусам. Тогда при а > 0,
0 < а < 1, задача 1 при а > 0, 1 < а < 2; задача 2 при а < 0, 0 < а < 1; задача 3 при а < 0 ,
1 < а < 2; задача 4 - корректны по Адамару.
Замечание. Решения задач 1-4 имеют в t = 0 особенность порядкап - а . Под корректностью по Адамару для задач 1-4 понимается корректность на паре пространств С,С{п"а), метрики которых определяются следующим образом:
Рс (т1(х) т 2(х)) = ш ах |т1(х) - т 2 (х)|, (3 7)
0< х< Ь
р (г)(и1(х,t),и2(х,t)) = шахt1 |и1(х,t)-и2(х,Г)). (38)
С 0<х<Ь
Доказательство теоремы 1 при а > 0, 0 < а < 2 выполнено в [10-12]. При а < 0, 0 < а < 1 и при а < 0, 1 < а < 2 доказательство выполняется аналогично. Приведем явный вид решений, полученных методом разделения переменных. Решение задачи 1 имеет вид
и(х,О = £ Тк^Еш(-ак^а; а)вш+ £ О-; {{(-аk2(t -ц)аР. (39) к=1 Ь к=1 Ь Решение задачи 2 имеет вид
2 Ркх ¥ -а Г „ , , , ча ч _ „ ч) . ркх
u (x, t) = YY t*ta(-ak 2ta; a - * + 1)sin ^ + Y К {{ (-ak\t - h )a;a) /(h )}sin P .(40) k=1 L k=1 L Решение задачи 3 при / (x, t) ° 0 имеет вид
u(x,t) = Y V-1 E1/a (-ak^ a) Sin^. (41)
tí lk Eya {-ak2Ta; 1) L 1 '
Решение задачи 4 при /(x, t) ° 0 имеет вид
, Л ta-lEVa (-ak2ta; a)
u (x, t) = Y í-—---T2k +
' ' ' £ I TEV a (-ak Ta ;2) 2k
(ta-2TEVa (-ak2ta; a -1)El/a (-ak2Ta ;2) ta-lEl/a (-ak2ta; a)Eya (-akT; 1)
• p kx
sin-. (42)
L
TEi/ a (-ak 2T a ;2) TEVa (-ak 2T a ;2)
4. Краевая задача для уравнения с матричным интегродифференциальным оператором. Метод сведения уравнения (16) к системе скалярных уравнений вида (28) и теорема 1 о корректности задач 1-4 позволяют сформулировать краевую задачу для уравнения (16).
Пусть матрицы G, A еMn коммутативны и все собственные значения 1 (i = 1,5) матрицы
G удовлетворяют условию
0 <1t< 2, i = 1,5, (43)
а все собственные значения ai матрицы A действительны. Пусть T - матрица, определяемая условием (17); lk (k = 1,n) - вектора - транспонированные строки матрицы T-1.
Задача 5. В области W найти решение u( x, t) уравнения (16), дважды непрерывно дифференцируемое по x, t, удовлетворяющее граничным условиям
u (0, t) = u (L, t) = 0,; (44)
а также условиям:
lim Dl-1 (lt, u) = tik (x), если 0 < 1t < 1, at > 0 ; Vi: i = 1~s ; (45)
t ®0
limD01-1 (lt,u) = tik1 (x), limD^-2 (lt,u) = Tik2 (x), если 1 < < 2,at > 0; (46)
t ®0
lim D01-1 (lt, u) = tik (x), если 0 < < 1, at < 0; (47)
t ®T
liniD1;-2 (li, u) = Tfk1 (x), lünD1 -2 (li,u) = tik2 (x), если 1 < 1 < 2,at < 0. (48)
t ®0 t üT
В условиях (45) - (48) k = 1, mt .
Замечание. Поскольку среди собственных чисел i матрицы G нет нуля, то среди собственных чисел матрицы A также нет нуля. Поэтому каждому i = 1,5 в задаче 5 соответствует одна строка условий из (45)-(48). При 1 < 1 - это строка (45) либо (47) и ровно m i «начальных» условий. При 1 > 1 это строка (46) либо (48) и ровно 2m i «начальных» условий. Кроме того, условия (44) содержат 2n скалярных условий - «граничных» условий. Исходя из этого, задача 1 содержит ровно
5 5 5
к = 2n + ^ mk + 2^ mk = 3n + ^ mk
i=1 i=1 i=1
1 <1 1 >1 1 >1
условий на n неизвестных функций ui (x, t), u2( x, t), ..., un (x, t). Из них 2n условий - «гранич-
5
ные» и n + ^ mk - «начальные».
i=1
1>1
Теорема 2. Пусть матрицы G, A е Mn коммутативны и все собственные значения 1 (i = 1,5) матрицы G удовлетворяют условию
0 < 1 < 2, i = , (49)
а все собственные значения матрицы A действительны. Тогда, еслитЛ(x)еC[0,L]nC2(0,L), и выполняются условия согласования tik (0) = (L) = 0, то решение задачи 5 существует, единственно и непрерывно зависит от (x).
Для доказательства теоремы достаточно провести в уравнении (16) и условиях (44) - (48) замену (21) и показать, что все получившиеся краевые задачи для скалярных уравнений исчерпываются задачами 1-4. Из этого и из теоремы 1 следует доказательство теоремы 2.
Решение задачи 5 находится заменой переменных (21) и с помощью формул (39) - (42). Рассмотрим в качестве примера случай n = 2 . Пусть спектр матрицы G е M2 имеет вид
L(G) = Ц, А^ < 1 < 1 <2}. (50)
Нетрудно получить явный вид матрицы G с заданным спектром:
G =
(p-ЛХp-Ä2)
q
Ä о
Ä +1 - p
p, q £ R, q Ф 0;
G2 = |- ä|, G2 =(12 0 |, w£R.
(51)
(52)
Рассмотрим случай О = . Из условия коммутативности матриц О и А получаем явный параметрический вид матрицы А:
( V V \
A =
(p - Äi)(p - Ä2)s r + (Ä + Ä - 2p)s
q q
Собственные числа матрицы A определяются формулами:
a1 = r -
p - Л
p - Ä
r, s £ R.
s.
(53)
(54)
Ч Ч
Собственные векторы у1 , у2 матрицы О имеют, с точностью до произвольных множителей, вид
V = (ЧЛ - Р)Т, V = (чА - Р)Т. (55)
Поэтому векторы 11, 12 задачи 5 в нашем случае определяются формулой
11 = (1 - Р, ч)Т ,12 = (1 - Р, Ч)Т. (56)
л л
Допустим, что 0 < 1 < 1 < 1. Тогда, если г - ——— я > 0, г - ——— я < 0, то задача (16), (44),
Ч ч
(45) (I = 1), (47) (/ = 2) с постоянными (51), (53), (56) является корректной и ее решение имеет вид
* '-' r - p-i s | kV -ЛЛ
u( X, t) =
1
(Ä - Ä2)
' 1 -1 ö p - Ä Л - p
V t 11-1E
1/ Ä
. pkx
sin-
L
Л
£ 12kt12
- r -
s | k2ta; Ä
Л
- r -
^^ s | k2ta; 1
. pkx
T^Sin-
L
. (57)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Андреев А. А., Еремин А. С. Краевые задачи для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 10. №2. 2003. С. 377-378.
2. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 702 с.
3. Килбас А.А. Степенно-логарифмические интегралы в пространствах гельдеровских функций// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. науки. 1975. №1. С. 37-43.
4. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Ле-жандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.:Наука, 1967. 576 с.
6. Андреев А. А. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Краевые задачи для уравнения математической физики. Куйбышев: Куйбышев. пед. ин-т, 1990. С.3-6.
7. Андреев А. А. Об одном обобщении операторов дробного интегродифференцирования и его приложениях // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Матер. Всесоюзной конф. Владивосток. 1990. С. 91.
8. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Матричные интегродифференциальные операторы и их применение // Вестник Самар. госуд. техн. ун-та. Сер.: физ.-мат. науки. 1999. Вып. 7. С. 27-37.
9. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Применение матричных интегродифференциальных операторов в постановке и решении нелокальных краевых задач для систем уравнений гиперболического типа // Вестник Самар. госуд. техн. ун-та. Сер.: физ.-мат. науки. 2001. Вып. 9. С. 45-53.
10. Псху А. В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференциальные уравнения. Т. 39. №9. 2003. С. 1286-1289.
11. Андреев А. А., Еремин А. С. Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды двенадцатой межвузовской конференции. Ч.2. Самара: СамГТУ, 2002. С. 3-9.
12. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. 299 с.
Поступила 10.12.2003 г.
