Основные свойства смешанного матричного интеграла и смешанной матричной производной Римана-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.95

А. С. Еремин

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СМЕШАННОГО МАТРИЧНОГО ИНТЕГРАЛА И СМЕШАННОЙ МАТРИЧНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМ АНА - ЛИУВИЛЛЯ

Вводится оператор смешанного матричного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и изучаются его основные свойства. Находятся необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости двумерного матричного уравнения Абеля, доказывается свойство композиции смешанного матричного интеграла и смешанной матричной производной одного (матричного) порядка.

В различных отраслях науки и ее инженерных приложениях все чаще возникают дифференциальные уравнения дробного порядка [1,2]. Существует целый ряд обобщений оператора дробного интегро-дифференцирования (операторы типа Эрдейи-Кобера, Джбрашяна, дробные интегралы и производные Вейля и Чженя, операторы со степенно-логарифмическим ядром, операторы М. Сайго и др.) [3]. В работах А. А. Андреева [4-6] операторы дробного интегро-дифференцирования обобщаются на случай матричного интегро-дифференцирования с помощью аппарата функции матриц [7]. В настоящей работе определение оператора матричного интегро-дифференцирования обобщается на случай смешанного интегро-дифференцирования. Предварительно приведем три свойства функции матрицы [7].

1. Пусть А є Мп, /(7) — аналитическая функция с областью определения 0(/): Л(А) с £(/). Тогда спектр Л (В) матрицы В = /(А) состоит из чисел Д = /(а),

а є л(А).

2. Если суперпозиция двух аналитических функций g (г) = р(/(7)) определена на спектре матрицы О, то g(О) = р(/(О)).

Пусть матрица О є М2, /(О) = А, тогда в силу свойств 1 и 2 матрица р(А) = р(/(О)) может быть записана в терминах матрицы О, ее собственных значений и собственных значений матрицы А :

3. Пусть а(х) и((х) — некоторые аналитические функции, определенные на спектре Л(0) матрицы О, и а(О) = А, (3(0) = В. Пусть р(х) — аналитическая функция с областью определения О(р): Л(А) и Л(В) с В(р). Тогда матрицы р(А) и р(В) коммутативны и обе записываются в терминах матрицы О.

Пусть для определенности / = / (х, у, х) — функция, аналитическая по каждой переменной, а(х),(( х) иу( г) — аналитические функции, определенные на спектре Л (О) матрицы

(1)

Ер(а) + (О -1е )р'(а>) / '(1),

О є М2, А = а (О), В = Д(О) и С = у (О). Тогда

/(а2 , Д2 ,у2), 1 * 1;

Е/ (а>, До, Уо) + (О -1Е ) — (1),

где ~Г((Я) = 1Х(а0 ,Д>^о)^(^о) + 1^Г(«0,До >Го)~~Д(Яо) + 1^(а0,Д ^“(оХ аЯ от аЯ оу аЯ ог аЯ

причем / (а,., Д) — определены для і = 0,1,2.

Итак, пусть а (г) и Д(г) — некоторые аналитические функции, определенные на спектре Л(О) матрицы G є Мт, и а^) = А, Д(О) = В.

Для вектор-функции f(х) = (/1;/;...;/т)Т вектор I'А^+Вс+f определяется по формуле:

Iü.f - o;ü*f_І У (G)Z(G - KE)'d"

n! dl”

ja(Ä),ß(Ä)e a +,c+

У (i)

(3)

1=1

где У (Я) =—У( ) т ; у(Я) = ^ (Я-Як )тк - минимальный многочлен матрицы О; ] = 1, тк;

(Я- Як )тк к=1

к = 1, 8 , 1^+ — оператор смешанного дробного интегро-дифференцирования Римана-

Лиувилля [3], а 1 е Л(О)-

Из формулы (3) видно, что еслиЛ(А) и Л(В) е С+, то оператор IА+с+ может ассоциироваться с дробным интегралом, а если Л(А) и Л (В) е С- — то с дробной производной.

Используя известные свойства функций У (О) и матриц (О - ЯкЕ)п, доказывается, что дробный интеграл 1аа’^с+Г может быть определен с помощью формулы

х у

(12^ )(х, у) = [Г(А)Г(В)]-1 Ц (х - Г)А-Е (у - 8)В-Е Г (Г, з)йс18. (4)

а с

В дальнейшем п1 = -[-Яе а], д1 = -[-Яе Д ], к = 1,8, п = шах{п;}, д = шах{д;} .

В силу тождества

r\n; +qi

Dai ,ßi f _ ____________j”~ai ’Qi~ßi f _

a+’c+ dx”icyqi a+,c+

d n +qi d n+q-”i -(¡i

dx” dyqi dxnnn” dyq-qi

c n+q

j”-”i¡q-Qi j”i-ai,Qi-ßif ^ j”-ai,q-ßif

a +,c+ a+,c+ cX” Cyq a +’C+

определение дробной производной (3) можно записать через дробный интеграл

я п+д

^А,В г ^ IпЕ-А,дЕ-Вг (5)

а+,с+ ~ яхп яуд а+,с+ ' ( )

В случае матриц второго порядка имеем:

G-1E aß G- IE „ ß

2_______ja ß f + 5_________j ai’ßi f 1 ф 1-

0 0___1 a+,c+l T 0____0_1 a+,c+l ’ /{1 ^ 'h >

Я Я Яі

IAB f

a +, c+

EJaa+:ß:f+(g - я0e)f , я _ я ° 1 ,

(6)

где ____ j a0 : ß0 f _ da(1 ) — j a0 ’ ß0 f + dß(1 ) — j ^ ß f

, ,, 1 a+,c+ і \Л0‘ ~ 1 a+c+l + , ,, \Л0^01a+,c+

dl dl da dl oß

Непосредственным вычислением проверяется выполнение полугруппового свойства оператора матричного интегрирования. Пусть матрица G є Mm, а a1 (z), ß1 (z), a2 (z), ß2 (z) — произвольные аналитические функции, определенные на спектре ^(G), A1 _ a1 (G), A2 _ a2 (G), B1 _ ß1(G), B2 _ ß2(G), спектры Л(А1),L(B1),L(A2) ,L(B2) с C+. Тогда равенство

IA1, B1 IA2 :B2 f _ IA1 +A2 : B1 + B2 f (7)

a+,c^a+,c+ a+,c+ V /

выполняется для любой вектор-функции f (x) є L(W).

Пусть матрицы А,B є Mm, их спектры L(A),L(B) с C+ . Систему интегральных уравнений

1А+>_ f (x, У), (8)

где (x, у) єП_ {(x, y): a < x < b, c < y < d}, j( x, y) и f (x, y) — вектор-функции, будем называть

двумерным матричным уравнением Абеля. Уравнение обобщает двумерное уравнение Абеля, решенное в работе [8].

Теорема 1. Пусть матрица G єMm, а a(z), ß(z) — произвольные аналитические функции, определенные на спектре L(G), А _ a(G), B _ ß(G), и L(A) є C+, L(B) є C+.

Для того, чтобы уравнение (8) было разрешимо в Ь(П), необходимо и достаточно, чтобы

пЕ-А,цЕ -В. а

( д Л

I пЕ-А,цЕ-Вя

у~дх “+,с+ ,

(дк л

^ т пЕ-А,цЕ -В я

•л к а +,с+

ду

IпЕ+--сА+’дЕ-Вя е АСп’с‘ (£), (9)

(а, у) = 0 (с < у < ё, I = 0, п -1), (10)

(х,с) = 0 (а < х < Ь, к = 0,ц -1), (11)

( д‘+к

^ I пЕ-А,цЕ-Вя

/;х*£ь<к а+,с+

Х

дх' дук

(а, с) = 0 (I = 0, п -1, к = 0, ц -1). (12)

При выполнении этих условий уравнение имеет единственное решение, определяемое формулой

р( х, у) = ЪА’+Вс+я• (13)

Доказательство. Необходимость. Пусть уравнение (8) разрешимо в Ь(Н), и

р(х) е Ь(О) — его решение. Поскольку для спектров матриц пЕ - А и цЕ - В справедливы свойства Л(пЕ - А),Л(цЕ - В) с С+, то I"Е^-3 — интегральный оператор.

Применим матричный оператор IВ к обоим частям уравнения Абеля (8):

тпЕ-А,цЕ-ВтА,В -шпЕ-А,цЕ-В& /л Л\

1 а +,с+ 1 а +,с+Р = 1 а+,с+ Я • (14)

В силу формулы (7) имеем

1пЕ,аЕ тпЕ-А,аЕ-Вс /л с\

а +,с+Р = 1 а +,с+ Я • (15)

Поскольку р(х) е Ь(О), то из последнего равенства следует (9).

Дифференцируя (15) I раз по х (I = 0,п -1) и полагая х = а, получим (10). Дифференцируя (15) к раз по у (к = 0,ц -1) и полагая у = с, получим (11). Наконец, дифференцируя (15) / раз

по х (/ = 0,п -1) и к раз по у (к = 0,ц -1) и полагая х = а, у = с, получим (12). Необходимость доказана.

Дифференцируя (15) п раз по х и ц раз по у, получим, что если решение р(х,у) существует, то оно необходимо имеет вид (13) и, следовательно, единственно.

Достаточность. Пусть выполняются условия (9)-(12). Тогда функция р(х,у), определяемая формулой (13), определена почти всюду ир(х,у) е Ь(Н). Покажем, что р(х,у) — решение уравнения (8). Для этого подставим ее в левую часть (8) и обозначим результат через g(x,у):

е( х, у) = тА+р (16)

Покажем, что почти всюду в £ g(х, у) = Я(х, у), что и докажет теорему. Равенство (16) есть

двумерное матричное уравнение Абеля относительно р(х, у). Оно заведомо разрешимо, поэто-

му, в силу уже доказанного,

р( х, у) = ЪА+В+ g. (17)

Сравнивая (17) и (13), приходим к выводу, что почти всюду

ЪА’В g = БЛВ Я

а+,с+& а+,с+

или

т аЕ+-:+’дЕ-В ((- g )=0• (18)

дх ду

Поскольку 1п+А+-ВЯ е АСп’т(£) по условию теоремы, а 10+“^ Ь 8 е АСп’т(£) согласно

формуле (16), то 1^“с+" Ь(^ - 8) е АСп,т (£), и из теории абсолютно непрерывных в области функций [9] следует, что

О" (ґ - 8) = 7—^------------^ ] ] (* - 0й-1 (У - * Г1 *) - 8 ^в (', s))dtds +

(и - 1)!(т -1)! ас

^(Є1-в (а,У) - 8І-°4,д-в (а,У))( , (ґй-^-в (х,с) - 8^ (х, с))( ^ (19)

-------- ------------ -------- ------------(* - а) -------------------- -----------------------------------(У - с) - (19)

1=0 і- к~0 к!

и і т-1 (Г(і ’к) (ас) - 8(',к) (а с))

-^ п П~* (* - а)1 (У - с)к.

=0 к=0

Согласно (18) їП-а)-В (¿, *) - 8("-лі-в У, *) = 0. Из того, что (16) — разрешимое уравнение, следует,

8п-л,д-в (а у) = 0 ' = 0п -1,

Уэп-Ад-В (* С) = 0 к = 0т - 1.

8Й-кА,д-в (а, с) = 0, і = 0, п -1, к = 0, т -1.

С учетом этих формул и формул (10)—(12), равенство (19) запишется в виде

ге-ме-в (ґ - 8) = 0. (20)

Последнее равенство является однородным уравнением Абеля. Очевидно, что это уравнение разрешимо (и имеет тривиальное решение ґ - 8 = 0). С другой стороны, в силу уже доказанного, это тривиальное решение единственно. Поэтому почти всюду в О

ґ (*, У) - 8( *, У) = 0.

Теорема доказана.

Обозначим через АСА,в (О) класс вектор-функций ґ(х,у) є Ь(О) таких, что

1^’дЕ-вї є АСп’т (О):

АСА,в (О) = {ґ(х,у) є Ь(П): І^Е-вґ є АСп,т(О)}.

В частном случае матриц А, в, когда п = 1, д = 1, из теоремы 1 имеем следующую теорему. Теорема 2. Пусть матрица О є Мт, а а(г), ((() — произвольные аналитические функции, определенные на спектреЛ(О), такие, что 0 < Яеа(() < 1, 0 < Яе((() < 1, А = а(О), в = (О). Тогда для того чтобы уравнение (8) было разрешимо в ДО), необходимо и достаточно, чтобы

ґ (х, у) є АСА,в (О) (21)

и выполнялись равенства

(I ( (а, У) = (1( ( ((х, с) = 0. (22)

Справедлива также следующая теорема.

Теорема 3. Пусть все собственные числа ( (к = 1,*) матрицы О є Мт действительны, а (г), ((() — произвольные аналитические функции, определенные на спектре Л(О), такие, что Яеа((к) > 0, Яе((() > 0 (к = 1,*), А = а(О), в = (О), Т — матрица, приводящая матрицу О к Жордановой форме, и{81,-, 8* }Т = 8 = Т_1ґ. Тогда условия (9)-(12) теоремы 1 эквивалентны условиям

Iам-+>к(аые-л(в)8к є АСпк* (О), (к = М), (23)

д_ іаЕ^к (аые-^(в) 8к (а, у) = 0 (с < у < й, к = 1, *, і = 0, пк -1), (24)

дх

\ 0

ду_Iа+Е^(АЫЕ-л(в)8к 1 (х,с) = 0 (а < х < Ь, к = М,} = 0*^1), (25)

ді+і ' __________________________ __________

I(АЫЕ-^(в) 8к (а, с) = 0 (к = 1, *, і = 0, пк -1, ] = 0, дк -1), (26)

дх' ду-

где пк =-[- Яеа((к)] ,Чк =-[-Яе (((к)].

Следующая теорема определяет формулы композиции оператора смешанного матричного интегрирования и дифференцирования одного порядка.

Теорема 4. Пусть матрица О є Мт, а а (г), ((г) — произвольные аналитические функции, определенные на спектре Л(О), А = а(О), в = ((О), и Л(А) є С+, Л(в) є С+. Равенство

ЪА’+вс+ ^ ґ = ґ (х, У) (27)

выполняется почти всюду для любой суммируемой функции, а равенство

С+ ВА+с+ґ = ґ (х, У), _ (28)

— для функции ґ(х,у) є ГА^ (Ц). Для любой функции ґ(х,у) є АСА,в (О) выполняется равенство

у4-(/+1) Е

рА-В ^ ґ ґ ^ (х - а)

а +,с+ а +,с+1 1\л> У/ /, г^, Л 1пЕ-А,0

1=0 Г (А - 'Е)

п 1 д-1 ( х а)А-('+1)Е ( у с)в-(к+1)Е

+ (х _ а) (у ~с) ґ(п-і-1,т-к-1)

+ ■■ Тґ Л 'Г\ГГП 1 Т7\ пЕ-А,дЕ-в

д-1 ( у с)в-(к+1)Е

^?)(а,У) -■ (У -с)

^ еі-1)( х, с)+

Г(в - кЕ) 0дЕ-в

(29)

=0 к=0

Г(4 - 1Е)Г(в - кЕ)

(а, с),

где ґ

пЕ-А,дЕ -в

(х, У) =I ^-в ґ, п = тах{п'}, д = тах{<21} (п = -[- ], ді = -[-Яе (] ,к = 1, *).

Доказательство проводится аналогично одномерному скалярному случаю [3]. Докажем здесь только формулу (29). Пусть теперь ґ(х,у) є АСА,в (О), или IпЕ^^-вґ є АСп,т (О). Из теории абсолютно непрерывных в области функций [9] следует, что интеграл

пЕ-А,дЕ -в

(х, у) = I"Ц+А* вґ представим в виде

п-1 ґ (і '0)

I

пЕ - А,дЕ - в я тп,д я (п,д) .

а+,с+ пЕ-А,дЕ - в

Ла У)

(х - а)і +■

к!

-(У - с)к -

-1 д-1 ґ(і ,к) (а с)

1пЕ-А.дЕ - в \ы^> .

-■■ пЕ-А,дЕ Г ' (х - а)' (У - с)к.

і!к!

В силу полугруппового свойства имеем

тп,д с(п,д) тпЕ —А,с

а+,с+ пЕ —А,дЕ —В а +,с+

Непосредственно проверяется справедливость равенства

тп,д с(п,д) тпЕ-А,дЕ -в^А,в _г(п,т) тпЕ-А,дЕ -в

а+,с+ пЕ-А,дЕ -в а +,с+ а +,с+ пЕ-А,дЕ-в а +,с+

(I А,в р4в ґ).

\ а+,с+ а+,с+ /

I пЕ-А,дЕ -в а +,с+

(х - а)

(і-п) Е + А

Г((і - п + 1)Е + А)

ґ (i’„) (а У) 1пЕ-А,0 \и’У)

\ ґ О',0 (а у)

пЕ-А,дЕ-в \иіУ)

(х - а)і

Отсюда следует, что

ґ (а У)

пЕ-А,дЕ-в \и ’У/

(х - а) є в (¿1),

(30)

(31)

и, в силу уже доказанного,

ґ (i■’„) пЕ-А,дЕ-в

(a, у) (х а)і = IпЕ-А,дЕ-в ^пЕ-А,дЕ-в (а^ У) (х а)і =

а) -±а ++ и а ++ а) -

V. і

(

__I пЕ-А,дЕ -в

(х - а)(і-п) Е+А Г((1 + і - п) + А) Из последнего равенства следует, что

ґ (i’„) (а У) 1пЕ-А0 \итУ)

\

■

1 ґ (i’„)

пЕ-А,дЕ - в

( х - а)(і- п) Е+А

Е(х а)_______________ґ (i’„)

п

і=„ Г ((1 +і - п) + Л)

Ха у)

Откуда, переобозначая индекс суммирования, получаем

■

1 ґ (i’„) (а V)

^ lnE-Л’дE-B\U>У^

і!

( п-1

(х - а)у = I;

і упЕ-Л,дЕ-в

а +,с+

■ (х^ а^. ^--^(а, у)

Л-(і+1) Е

\ і=„

Г(Л - іЕ)

Аналогично получается равенство

д-1 ґ („л) (х с) (д-1 (У с)в-(к+1)е

1пЕ-Л,дЕ-в\Л’Ч , чк -.пЕ-А.дЕ-в V (у - с)

■

к=„ к!

-(У - с)к = I

к -^пЕ-Л^Е-в

а+,с+

■

Г( в - кЕ)

Непосредственным вычислением получается, что

(32)

(33)

(34)

(35)

п

n-1 q-\ f(i,k) (a o')

Z Z nE-A,qE-B \u^)

fn-1 q-1 (x - a)A-(i+1)E (y - c)B-(k+1)E

ik

(x - a)i (v - c)k = 1nE-A’qE-B V V ,

(x a)(y c) іa+^+ k=0 G( A - iE )Г( B - kE) nE-AqE -B

fn(n:i;1qm:B-1)(ac) . (36)

С учетом (31), (34)-(36) равенство (30) запишется в виде

тйй-A,qE-Bf _ -wnE-A,qE-BjA,B T\A,B f , T a +,c+ _ a +,c+ a +,c+ a +,c + a+,c+

nE - A,qE -B

(x - a)

A-(i+1) E

f n-1

\Z-

{ Г (A - iE)

-f(n-i-1,0)(a v) lnE-A,0 \и’У)

+1

nE - A,qE - B

f q-1 (y - c)B-(k+1)E

z-

k=0 Г(B - kE) 0,qE-B

f n-1 q-1

1 nE - A,qE - B

zz

У i=0 k-

ое м

n-1

1 nE-A,qE-B if іA,B A,B f V ' a+,c+ \ a+,c+ a+,c+ / j

f0(0qm-B-1)( x, c)

^ (x - a)A-(i+1)E (y - c)B-(k+1)E

/

V i=o *=o G(A - iE)G(B - kE)

Получаем однородное двумерное матричное уравнение Абеля

я (n-i-1,m-k-1) nE -A,qE -B

1=1 ^ (x - a)

+zz

i=0 Г(A - iE)

A-('+1)E (y - C)B-(k+1)E

(x - a)A-(i+1)E q-1

(x a) fnE--A00)(a, V) -Z

(a, c)

(V - c)B-( k+1) E Г(B - kE)

(37)

f(0m-k-1)(x c) + l0,qE-B ^

f (n-i-1,m-k-1) nE-A,qE -B

(38)

(a, c) \ = 0,

=о ,=о Г(А - /Е)Г(В - кЕ)

которое, как было показано в ходе доказательства теоремы 1, имеет единственное тривиальное решение

”-1 (х — а)А-(/+1)Е ^-1 ( у — с)В-(к+1)Е

г — ТА,В ^А’В Г — (Х а)________Г(”-/-1,0) (п у) — ^ \У С)__________г(0,т-к-1) (у ^) +

1 ±а+,е+1^а+,е+1 п л ,п 1пЕ-А.0 \и^У) / , , 0 , *0,дЕ-В ^А51'^“г

/=0 Г (А — /Е) к=0 Г (В — кЕ)

”-1 ^-1 ( х а)А-(/+1)Е ( у с)В-(к+1)Е

+ а)_________\У С)_________г (п-1-1,т-к -

^ к"0 Г(А - /Е)Г(В - кЕ) ”Е-А’дЕ-В

Теорема доказана.

(39)

(a, c) = 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. PodlubnyI. Fractional differential equations// Mathematics in Sciences and Engineering. 1999. Vol. 198. P. 1-89.

2. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Fractional differential equations: An emergent field in applied and mathematical sciences// Factorization, Singular Operators and Related Problems. Proceedings of the Conference in Honour of Professor Georgii Litvinchuk / Ed. by S. Samko, A. Lebre, A. Santos; Kluwer. Dordrecht-Boston-London: 2003. P. 151-173.

3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения.

Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

4. Андреев А. А. Об одном обобщении операторов дробного интегро-дифференцирования и его приложениях// Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Матер. всесоюзной конф. Владивосток: 1990. С. 91.

5. Андреев А. А., Огородников Е. Н. Матричные интегро-дифференциальные операторы и их применение // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 1999. № 7. С.27-37.

6. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения с матричным интегро-дифференциальным операто-

ром // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2004. № 26. 2004. С.5-11.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 670 с.

8. Vasilache S. Asupra unei ecuatii integrale de tip abel cu doua variabile// Comun. Acad. R. P. Romane. 1953. Vol. 3,

No. 3-4. P. 109-113.

9. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: ОГИЗ, Т. 5. 1947. 584 с.

Поступила 3.07.2005 г.