CC BY
0УДК 519.633
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
ХАНКИШИЕВ ЗАКИР ФАРМАН ОГЛЫ
Доцент кафедры Уравнений математической физики Бакинского Государственного Университета
АЗИЗОВА САБИНА РАФАИЛ ГЫЗЫ
Магистрант кафедры Уравнений математической физики Бакинского Государственного Университета
Аннотация. В работе рассмотрена одна задача для нагруженного дифференциального уравнения параболического типа с интегральными условиями. Для таких уравнений ставятся различные задачи, в том числе задачи с интегральными условиями. При наличии интегральных условий, в решении подобных задач возникают определенные трудности. В настоящей работе после замены интегральных условий нелокальными граничными условиями, к решению полученной новой задачи применяется метод конечных разностей и строится разностная задача, аппроксимирующая эту задачу со вторым порядком точности. При выполнении определенных условий, доказывается сходимость решения построенной разностной задачи к решению исходной, определяется скорость сходимости и дается алгоритм решения разностной задачи.
Ключевые слова: Нагруженное уравнение, интегральные условия, аппроксимация, разностная задача, погрешность аппроксимации.
1. Постановка задачи
Задачи для дифференциальных уравнений с интегральными условиями часто встречаются в математической литературе. Это связано с тем, что такие задачи имеют большие прикладные значения [1]. В настоящей работе рассмотрена следующая задача:
в замкнутой прямоугольной области Б ={0 < х < 1, 0 < г < Т} найти функцию и = и{х, г), удовлетворяющую уравнению
ди(х г) д2и(х г)
—= а2-^^ + Ьи(х, г) + Ьхи(х, 1Х) + Ь2и(х, 12) + /(х, г), 0 < х < 1,0 < г < Т, (1)
дг дх
интегральным условиям )и
|С (x) u(x, t)dx = /ux (t),
0 I
J c 2 ( x) u (x, t )dx = /u2 (t),
0
0 < t < T, (2)
и начальному условию и(х,0) = <(х), 0 < х < I. (3)
Здесь /(х, г), ¿иг (г), /л2 (г), <р(х) - известн ые непрерыв ные ф ункции , а > 0 , Ь, Ь, Ь2 - действительные числа, 1Х, 12 - точки интервала (0, Т]. Предполагается, что функции с (х) и с2 (х) удовлетворяют условиям |с;(х) = ахсх( х),
[С2"( х) = а2 с2( х),
где а, а _ действительные числа.
2. Замена интегральных условий (2) нелокальными граничными условиями
Рассмотрим первое интегральное условие в (2) и продифференцируем его по /:
ды(х, /)
j
dt
-dx = /л[ (t).
С учетом уравнения (1) это равенство можем переписать в виде
i
j ci( x)
a
2 d 2u(x, t)
dx2
+ bu( x, t) + \u( x, tx) + b2u( x, t2) + f (x, t)
dx = / (t),
или в виде
a
jq (x)d u(x t) dx + bjq (x)u(x, t)dx + bx j q (x)u(x, tx )dx +b2 jq (x)u(x, t2 )dx
Л dx Л Л Л
+
+
j Ci( x)f ( x, t )dx = /1(t).
Используя первое интегральное условие в (2), перепишем последнее равенство в следующем виде:
a
jci(x) —dx = /1(t)" b/i(t)" bi/i (ti)" b2/i (t2)" jci(x)f (x, t)dx •
n dx n
(5)
Применяя формулу интегрирования по частям интегралу в левой части этого равенства, после элементарных преобразований, получим:
ci( x)
du( x, t)
dx
- q (x)u(x,t^ x=0 = (/[ (t) - b/i (t) - bi/i (ti ) - b2 / (t2 ) -
x 0 a
x=0
j q (x) f (x, t)dx - a / (t).
(6)
Используя второе интегральное условие в (2), аналогичным образом получим справедливость равенства
^ x)
du( x, t)
dx
- c2 (x)u(x,t^x=0 = (t) - b/ (t) - bi/2 (ti ) - b2/2 (t2 ) -
x 0 a
i \ j^x)f (x> t)dx - a2/2(t).
(7)
Таким образом, интегральные условия (2), при выполнении условий (4), заменили нелокальными граничными условиями (6) и (7).
Перепишем эти нелокальные граничные условия в следующем виде:
q (/) - q (0) du(0, t) - q (/)u(/, t) + q' (0)u(0, t) = / (t),
dx
du(l, t) C2 (/--C2 (0)
dx du(0, t)
(8)
где
dx
i
dx
- c2 (/ )u(l, t) + c2 (0)u(0, t) = / (t),
/i(t) = -r
a
(/i(t) - b/i (t) - bi/i (ti ) - b2/i (t2 ) - jqi (x)f(^ t)dx - ai/i (t),
0 У
0
0
0
0
x=0
0
if - - 1 Л
fa2 (t) = T fa2 (t) - bfa (t) - bifa (ti ) - b2^2 (t2 ) - i C2 (x)f(x> t)dx ~ «2^2 (t)• a i
„ ды(1,*) ды(0,*) Если исключить из условии (8), сначала —:-, затем —:-, то вместо этих
dx
дх
условии получим условия
du(0,t) . ,, . ~ ,.
+ а0 и(0, t) + ах u(l, t) = fa (t),
(9)
дх du(l, t)
дх
+ Д u(0, t) + Д u(l, t) = fa (t),
где
а0 =
Ci(i )c2(0) - c2(i к (0)
а=
c2(i )c; (I) - Ci(i )c2(i)
ci(0)c2(l) - ci(l ^(0)' 1 ci(0)c2(l) - ci(l ^(0)'
_ci(0)c2(0) - c2(0)c; (0) _c2(0)ci (l) - ci(0)c2(l)
Д0 = Sl\ /7\ //4\ ' Д =
ci(0)c2(l) - ci(l )c2(0)
) = ci(l)fa2(t) - c2(l)fa(t) , ~(t) = fa() c,(0)c2(l)-ci(l^(0)' fa2()
c,(0)c2(l) - ci(l ^(0)' q(0)fa(t) - c2(0)fai(t)
ci(0)c2(l) - ci(l )c2(0)
3. Построение разностной задачи
В дальнейшем рассмотрим задачу нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего граничным условиям (9) и начальному условию (3). К решению этой задачи будем применять метод конечных разностей. С этой целью определим в замкнутой области Б = {0 < х < 1,0 < * < Т} сеточную область
®>гг = {(Х , *] X Хп = П = 0,1,-) Я, *] = jГ, 3 = 0,1,-) j0, т = 1, 30Г = Т } Шаг г определим таким образом, что точки 1Х, 12 находились среди точек *. = з'г.
Пусть *! = jгг, **2 = з'г.
Рассмотрим сначала уравнение (1) в узлах (хп, *.), сеточной области при
п = 1,2,..., N -1, 3 = 1,2,...,30 -1, и заменим в нем, значения частных производных соответствующими разностными выражениями:
u( xn > tj+i) - u( xn > t, )
a
u(xn-i , t j+i ) - 2u(xn , t Ш ) + u(xn+i > t j+i )
+ -
т 2
u(xn-i > tj ) - 2u(xn > tj ) + u(xn+i > tj )
Л2
+ b-
h2
u(xn > t,-+i) + u(xn > tj )
+
2
+ biu(xn > ) +
+ bu(xn,tj) + f(xn,t3 + 0,5т) + o(h2 +т2) n = i,2,...,tf-i, j = 0,i,...,j0 -1.
(10)
Очевидно, что эти равенства справедливы тогда, когда решение уравнения (1) в области D = {0 < x < l, 0 < t < T} имеет ограниченные частные производные по x до четвертого и по t до третьего порядков.
Если отбросим в равенствах (10) слагаемые порядка o(h2 +т2), и при этом обозначим приближенное значение u(xn, t.) через yj, то относительно функций yj получим разностные уравнения
yj+i - yj
J n J n
a 2
j - 2yj+i + yj-i - 2УП + yi+i
h2
h2
yj+i + y] + byn-+
2
+ biyj + b2УП2 + fn, n = i,2,..., N -1, j = 0,i,..., j -1,
(11)
где /П = f (хп, г1 + 0,5).
Теперь перейдем к аппроксимации граничных условий (9). Для аппроксимации этих условий, предположим, что уравнение (1) выполняется и на участках границы х = 0 и х = /.
По формуле Тейлора имеем:
, Л ^ Л ди(0, Г) х2 д2и(0, Г) и( х, г) = и(0, г) + х—+--+ и\х
0(x3).
дх 2 дх 2 Пусть х = к. Тогда эта формула принимает вид
ч ^ ч , ди(0,г) к2 д2и(0,г) л, л и(к, г) = и(0, г) + к —^^ + —--^^ + О(к ).
dx
2 dx2
Отсюда имеем: ди(0, г) и (к, г) - и(0, г) к д 2и(0, г)
+
0(h2).
дх к 2 дх2
По предположению, уравнение (1) выполняется при
(12)
x = 0. Поэтому из этого
уравнения получим: d 2u(0, t) i
dx2
a
du(0, t) dt
- bu(0, t) - bu(0, ^) - b2u(0, t2) - f (0, t)
С учетом этого равенства, равенство (12) принимает вид
du(0, t) u(h, t) - u(0, t) h
dx
h
2a2
du(0, t) dt
- bu(0, t) - bu(0, t") - b2u(0, t2) - f (0, t)
+
0(h2).
ГГ ди(0, г)
Подставив это выражение —1—1 в левую часть первого условия в (9), получим:
dx
u(h, t) - u(0, t) h
h
2a2
du(0, t) dt
- bu(0, t) - bu(0, \ ) - b2u(0, t2 ) - f (0, t)
+
+ а0и(0, г) + аи(/, г) = Д (г) + о(к2). Взяв в этом равенстве г = г., и заменив частную производную по г соответствующим разностным выражением, окончательно получим:
u(h, tt) - u(0, tt) h
u(0, j) - u(0, tj)
к 2а2
+ а0и(0, г}) + а1и(/, г,) = Д (г,) + о(к2 + г), ] = 0,1,...,70 -1. Аналогичным образом, из второго условия в (9) получим:
- bu(0, t ) - bu(0, ti) - b2u(0, t2) - f (0, t )
+
u(i, t.) - u(l - h, t.) h
u(l, tj+i) - u(1, tj)
- bu(l, t ) - bu(i, ^) - b2u(l, t2) - f (l, t,)
+
к 2а2
+ Д,и(0, г,) + д и(/, г,) = Д (г,) + о(к2 + г), ] = 0,1,..., 7о -1.
Отбросив в последних двух равенствах слагаемые порядка о(к2 +г) и обозначив, как прежде, приближенное значение м(хп, гj) через ^, и присоединив полученные уравнения
г
относительно у3 к уравнениям (11), получим разностные уравнения, аппроксимирующие уравнение (1) и граничные условия (9) с точностью о(k2 + г):
yi- у0
h
h
2a2
yj1 - yj
- byj - bi y0ji - b2 y0j
j2
+а0 y0 +ai yN = Л7,
yj+i - yj
s n у n
a 2
yj-i - 2yj+i + y£ , yj-i - 2yj + yj+1
j1
,j+i
h2
+ -
h2
yj i yj 2
+ biy]j1 +b2yj2+ fjj, n = 1,2,..., N -1 h
(13)
yN У N -1
h
+ -
2a2
yN+1 - yN
- byN - bi yNi - b2 yN2
+Д> y0j + Д yN = f^,
где
к к
К =Й(*3)/(0,^), /Я =&(*3) + ТГ2/(!'^). 3 2а 3 3 2а 3
Из начального условия (3) имеем
У0 =^(Хп), п = 0,1,...,N. (14)
Таким образом разностная задача (13)-(14) аппроксимирует задачу (1)-(3) или (1), (9), (3) с точностью О (к2 + г).
4. Решение разностной задачи
Перепишем разностную задачу (13)-(14) в матричном виде
Лy1+1 + By1 + B1yЛ +В2 у12 = , 3 = 0,1,..., 30 -1,
у0 =Р,
(16)
где
(15)
A =
1 0 0
- a c - a 0 - a c
000 000
0 0 0
0 0 0
0 0 0
- a c - a
0 0 1
B =
b - a 0 - a c - a
0 - a c
000 e 0 0
00
0 0
0 0
- a c
- d
0
0
-a
- ei gi
B„ =
- b т 0
- bkT 0
0 0
- bkT
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 - bk т 0
00
- bkT
k = 1,2,
т
т
T
0
0
0
y1 =
yj
yi
y2
yN-i yN
f1 =
2a 2r
h
r- fi1' r-fl
r- fN-i
2a 2r
f J 0
h
fj
fN
<p =
(p( xi) (P( x2)
(p( x3)
(P( xN-i) (P(xN )
a =
2a 2r
h2
с = i +
a 2r т 2a 2r
h2
b =
, 7 2a anr - , a r br 2a a,r
-—-1-br--—, q =-i + —---, d =-,
h2 h h2 2 h
_ 2a 2Pr _ 2a 2r _ 2a 2r , 7 2a 2Дг e =-—, e = ——, gj = —;— i - br--
h
h2
h2
h
Разностные уравнения (15) напишем для каждого значения ]
Ay1 + Б1у11 +Б2У12 = F0 - Бф, Ay2 +Бу1 + ВуЛ +Б2 у'2 = F \ Ау3 +Бу2 + Я,у 1 +Б2 у2 = Б2,
(17)
12 _ 1710-i
Ау10 +Бу1 0-1 +Бу 11 +Б2у1 2 = F Матрица А имеет обратную матрицу. Потому что, она имеет диагональное преобладание. C учетом этого факта, из первого равенства в (17), можем определить у1, из второго у2, и т. д., из последнего - у1 0, через сумму Бху1 +ВУ1 2. Пусть
у1 = - А-\Бху11 +Б2 у12) + А-(Б0 - Бф), у2 = А,( Бгу11 +Б2 у12) + 0, у 3 = А2( Б,у11 +Б2 у12) + 02, ............... (18)
у10 = А 00 -(Ву11 +Б2 у12) + 010 -1,
где А, А,. .,Ау 1 - известные матрицы, а 0,02,...,0 ! - известные векторы.
Среди равенств (18) есть два равенства, в левых частях которых стоят у11 и у1 2. Эти равенства имеют вид
у11 = А 1-1(Б1у11 +Б2 у12) + 0л-1,
у12 = АУ2 -1(Б1у11 +Б2 у12) + 0 ;2 -1.
Умножив обе части, первого из этих равенств слева на Б1, а второго на В2, получим равенства
Б1у11 = Б1 Ал-1(Б1у1 +Б2 у12) + Б10л-1,
Б2у12 = Б2А;.2-1(Б1 у11 +Б2у12) + Б01- . После сложения этих двух равенств приходим к равенству
Б1 у11 +Б2 у12 =(Б Ал -1 +Б2 А12-1)(Б1 у11 +Б2 у12) + Б1ел -1 + 82612-1. О тсюда имеем:
(Е - В Лл - - В 2 Л]2 -1)(В1 у31 +В2 у32) = В10л - +В20!2-1. Если рассматриваемая задача имеет решение, то отсюда получим, что
В:у* +В2у32 = (Е - ВЛл- - В2Лl2-)-1 (В1ел- +В20]2- ). Подставив это выражение суммы Вун +B2y]2 в правых частях равенств (18), можем найти решение задачи (15)-(16) или (13)-(14).
ЛИТЕРАТУРА
1. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. Москва, Наука, 2012, 232 с.
2. Ханкишиев З.Ф. Решение одной задачи для линейного нагруженного дифференциального уравнения параболического типа с интегральными условиями // Вестник Бакинского Университета, серия физико-математических наук.- 2021.- № 4.- с. 25-38.
