ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ ПРОДОЛЬНО НАПРЯЖЕННОГО СТЕРЖНЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

УДК 519.633

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ ПРОДОЛЬНО НАПРЯЖЕННОГО СТЕРЖНЯ С

ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

ХАНКИШИЕВ ЗАКИР ФАРМАН ОГЛЫ

Доцент кафедры Уравнений математической физики Бакинского Государственного

Университета, Баку, Азербайджан

Аннотация. В работе рассмотрена одна задача для уравнения колебания продольно напряженного стержня с интегральными условиями. Известно, что колебание продольно напряженного стержня выражается дифференциальным уравнением в частных производных четвертого порядка. Для таких уравнений ставятся различные задачи, в том числе задачи с интегральными условиями. При наличии интегрального условия в задаче, в ее решении возникают определенные трудности. В настоящей работе после замены интегральных условий нелокальными граничными условиями, к решению полученной новой задачи применяется метод конечных разностей и строится разностная задача, аппроксимирующая эту задачу с первым порядком точности.

Ключевые слова: Разностная задача, интегральные условия, аппроксимация, погрешность аппроксимации, нелокальные условия.

1. Постановка задачи

Задачи для дифференциальных уравнений с интегральными условиями часто встречаются в математической литературе. Это связано с тем, что такие задачи имеют большие прикладные значения [1]. В настоящей работе рассмотрена следующая задача: в замкнутой прямоугольной области О = {0 < х < /, 0 < t < Т} найти функцию и = и(х, t), удовлетворяющую уравнению

а^О^ аЧ^О^ а^О = о < х </,о ^ <т, (1)

аt2 ах4 ах2

граничным условиям

а2ч(о, t) л аV/, t) л

—= о, —V-2 = о, о < t < Т, (2)

ах2 ах2

интегральным условиям " и(

J С (x) u(x, t)dx = jux (t),

0 I

J c2 (x) u( x, t )dx = ju2 (t),

0

0 < t < T, (3)

и начальным условиям

и(х,о) = ^(х), аи(хо) = ^(х), о < х < /. (4)

аг

Здесь /(х, t), ¡их (t), ¡лг (^), (рх (х), (рг (х) - известные непрерывные функции, а > о, Ь > о -действительные числа. Предполагается, что функции с (х) и с2 (х) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

|с;(х) = а11с1 (х)+а12 с2 (хХ [с;(х) = а21с1 (х) + а22с2 (x),

где ак, /, к = 1,2 - известные действительные числа.

2. Замена интегральных условий (3) нелокальными граничными условиями

Рассмотрим первое интегральное условие в (3) и продифференцируем его по t два раза:

i

J Ci(x)

d2u(x, t)

dt2

dx = jul(t).

С учетом уравнения (1), это равенство можно переписать в виде

J Ci( x)

- a

д 4u(x, t) 2 д 2u(x, t)

dx4

- + b

dx2

+ f (x, t)

dx = jul(t),

или в виде

- a

J Ci(x) d U(t t) dx + b2 J Ci(x)

d2 u(x, t)

dx + J c (x)f (x, t )dx = ju"(t).

(6)

-х4 -х2

0 дх 0 дх 0 Применяя формулу интегрирования по частям, первым двум интегралам в этом равенстве, с учетом равенства (5) и граничных условий (2), после элементарных преобразований, получим:

i

J Ci( x)

d4u(x, t) , . 4d3u(x, t) dx = c (x)

0

dx4

dx3

+ (aiici(x) + ai2c2( x))

du(x, t)

dx

(a„c;(x) + ai2c2(x)Hx,t)lx=0 +(ai2i + ai2a2i )/"i(t) + (aiiai2 + ai2a22 (t).

-(a,c

l ^2

J Ci( x)

d u(x, t)

dx2

dx = c (x)

du(x, t)

dx

- c[( x)u(x, t } x=0 + an^i (t) + ai2^2 (t).

x=0

Подставив найденные выражения для этих интегралов в левую часть равенства (6), после простых преобразований, получим:

d3u(l,t) d3u(0,t) , . du(l,t) J/V^du(0,t) Ci (l)-^ - ci (0)-+ di (l) —^^ - di (0) v 7 7 - d; (l)u(l, t) +

dx3 1 dx3 + d[ (0)u(0, t) = Д (t),

dx

dx

(7)

где

d ( x ) =

f

b

aii - 2 v a J

2 ^ - i if

- ci (x) + ai2C2 (x), Mi (t) =--2 ^r(t) - J Ci (x)f (X, t)dx

a i

2

2

aii ^ ai2a2i aii ' 2

v a J

Mi(t) -

f

0

2

aiiai2 ^ ai2a22 ai2 ' 2 v a J

M2(t).

Используя второе интегральное условие, аналогичным образом, справедливость равенства

/;ч-3и(/,-) ,Л.д3и(0,Г) , ._-и(/,Г) , ^-и(0,Г) с2 (/) -иг^ - ^ (0) д') + а 2 (/) —^ - а2 (0) —^ _ а2 (/)и(/, г) +

получим

dx3 2 4 ' dx3 + d2 (0)u(0, t) = M (t),

dx

dx

(8)

где

Г

d2 (x) = a2iCi(x) +

f

a22 ' 2 a2

b2 ^ - i Г f '

— C2( x), M2(t) =--2 M2O) - I C2( x)f (X, t )dx

™ a J

,2 Л

aiia2i ^ a2ia22 a2i ' 2 v a J

f

Mi(t) -

2

0

2

a2iai2 ^ a22 a22 ' 2 v 2i i2 22 22 a2 J

M2(t).

Таким образом, интегральные условия (3), при выполнении условий (5), заменили нелокальными граничными условиями (7) и (8).

- 3и (/, -) - 3и(0, -)

Если исключить из условий (7)-(8), сначала ——;—, затем ——-—, то вместо этих

dx3

dx3

условии получим условия

0

0

x=0

x=0

0

д3u(0,t) ди(0,t) SU(l,t) . .

Л + а11 \ + «12 + ^13U(0, t) + «!4U(l, t) = ft (t), (9)

д. д. д.

^ + A ^ + A + AU0 t) + £„u(l, t) = д,(,), (10)

где

a,, =

д. д. д.

с2 (l)di (0) - Ci (l)d2 (0) _ Ci (l)d2 (l) - C2 (l)di (l)

Ci(0)c2(l) - Ci(l)C2(0) '

Ci(l )d 2 (0) - C2(l )d1(0)

Ci(0)c2(l) - Ci(l)C2(0)'

C2(0)di(0) - Ci(0)d 2(0)

Ci(0)c2(l) - Ci(l)C2(0) '

ci(0)d; (0) - -C2(0)d1(0)

Ci(0)c2(l) - -Ci(l)C2(0) '

_ C1(l)^2(t) - C2(l)Ai(t)

11 ------- ------ i2 Ci(0)c2(l) - cl(l)c2(0Y

= ^ ^ ...........= C2(l)d1(l)-Ci(l)d2(l)

13 14 Ci(0)c2(l) - Ci(l)c2(0)'

= C2(Q)di(Q) clVy;u2^ ff = C1(0)d2 (l) - C2 (0)d1 (l)

Ai1 ------„ ------ Ai2 Ci(0)c2(l)-Ci(l)c2(0)'

_C2(0)d1(l) - Ci(0)d; (l)

Pi3 = /74 /ГЧЧ , A14 =

Ci(0)c2(l) - Ci(l )C2(0)'

> J~2 (t) =

q(0)^(t) - C2(0)^i(t)

Ci (0)C2 (l) - Ci (l)C2 (0) 2 Ci (0)C2 (l) - Ci (l)C2 (0)

3. Построение разностной задачи

В дальнейшем рассмотрим задачу нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего граничным условиям (2), (9)-(10) и начальным условиям (4). К решению этой задачи будем применять метод конечных разностей. С этой целью определим в замкнутой области Б ={0 < х < 1,0 < t < Т} сеточную область

= {(хп , tJ X хп = пк> П = 0,1,-) Я, tJ = - = 0,1,-) jo, ЯИ = ^ ЛТ = Т }.

Рассмотрим сначала уравнение (1) в узлах (хи, tj), сеточной области аИт при п = 2,3,..., N — 2, j = 1,2,...,- — 1, и заменим в нем, значения частных производных соответствующими разностными выражениями:

и(хп , tj+1 ) — 2и(хп , tj ) + и(хп , t j—1 )

г2

■ +

2 и(Хп—2 , tj ) — 4и(Хп—1 , tj ) + 6и(Хп , tj ) — 4и(Хп+1 , tj ) + и(Хп+2 , tj )

+ а ---------—

И2

— Ъ 2 и( ХП—1, ^ ) — 2и( ^ , ^ ) + ^ ( ХП+1, ^ ) = / ( ^ , ^ ) + ОИ 2 Л

п = 2,3,...,N — 2, - = 1,2,...,-о -1. (11)

Очевидно, что эти равенства справедливы тогда, когда решение уравнения (1) в области Б = {0 < х < I, 0 < t < Т} имеет ограниченные частные производные по х до шестого и по t до четвертого порядков.

Если отбросим в равенствах (11) слагаемые порядка 0(И2 + т2), и при этом обозначим приближенное значение и (хп, tj) через у-, то относительно функций у- получим разностные уравнения

уГ1— 2уп + у-1, 2у-—2— 4у-—1 + 6у п — 4уп+1 + уп+2 ,2уп—1— 2у п + у^ _

-п--+ а ----ъ ---=

т2 И4 И2

= / -, п = 2,3,...,N — 2, - = 1,2,...,-0 — 1, (12)

где / п = / (х п, tJ).

Impact Factor: SJIF 2020 - 5.497 2021 - 5.81

В этих разностных уравнениях при каждом фиксированном значении j, участвует N +1 значение yj, n = 0,i,..., N, а число уравнений равно N - 3. Недостающих четырех уравнений мы получим с использованием условий (2) и (9)-(10).

Пусть x = ah, i < а < 2.Рассмотрим уравнение (1) в точке (x,t.):

d2u(x, tj) 2 d4u(x, tj) 2 d2u(x, tj)

1 " — b

dt2

■ + a

dx4

dx2

= f (x, t,).

(13)

Разложим функцию u(x, t ) по формуле Тейлора в окрестности точки (x, t ) :

u(x, tj) = u(x,t.) + (x - x)

du(x, tj) (x - x)2 d u(x, tj) (x - x)3 d3u(x, t,)

dx

- +

2!

dx2

+ -

3!

dx3

- +

+

(x - x)4 d u(x,tj) (x - x)5 d u(x,tj) (x - x)6 d6u(x,t})

4!

dx4

+

5!

dx5

+ -

6!

dx6

(14)

где х — точка, лежащая между точками х и х.

- 2и( х, -.)

Аналогичным образом, для функции

dx2

имеем:

d2u(x,tj) d2u(x,tj) d3u(x,tj) (x - x)2 d4u(x,tj) (x - x)3 d5u(x,tj)

dx2

dx2

- + (x - x)

dx3

+ -

2!

dx4

3!

dx5

■ +

(x - x)4 d6u(~, tj)

+

(15)

4! -х6 ' где ~ — точка, лежащая между точками х и х.

Взяв в равенстве (14), по очереди, х = х0, хх, х2, х3 а в равенстве (15) х = х0, получим пять равенств. Пусть а, Ь, с, а, е — произвольные числа. Умножим, обе части полученных первых четырех равенств, последовательно, на числа а, Ь, с, а, а последнего равенства на

е^2. После сложения этих равенств, получится равенство, которое, легко можно проверить,

24 , 60 48 , 12 12 12

что при а =--, Ь = —, с =--, а = —, е = —, а = —, принимает вид

11 11 11 11 11 11

Я4 Гi2h

d u

ii

i2

(- 2u( x0, t j) + 5u( xj, t j) - 4u( x2, t j) + u( x3, tj))+ o(h2).

dx4 iih4 v 'j> ^ 3> j

Аналогичным образом можно получить справедливость равенства

(16)

d 4ul l -

i2h

dx4

(- 2u(xn , tJ ) + 5u(xN-i , tJ ) - 4u(xN-2 , tj ) + u(xN-3 , tj )) +

iih J J J J

+ o(h2).

(17)

Равенство (13), с учетом равенства (16) можно переписать в виде

л2 Г i2h ,

d ul-, t,.

V ii 1

dt2 i2h

+ (- 2u(x0, tj) + 5u(xi, tj) - 4u( x2, tj) + u(x3, tj))- b'

db^

dx2

= f 1 1ТГ''1 )+o(h!)

так как x = — h.

ii

(18)

Легко можно показать справедливость равенства

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

1 v ^ tj) + v [^, t, ) = v Г t,) + o(h 2), (19)

если функция v(x, t) имеет ограниченные частные производные по x до второго порядка. При

. . d 2u( x, t) v (x, t) = ——— это равенство принимает вид

дUl2k t I

1 д2u(0,tj) | д U 1,j J_ 12 д2u(xt,tj) 1 1 dt2 dt2 1 1 dt2

o(h2 ). (20)

„ , N д u(x, t)

Если v ( x, t ) =--—, то из равенства (19) получим справедливость равенства

дх

12h

1д 2u(0, tj )+^ ¿u^^u*

д 2u| ^^, t,

0(h2 )

11 дх2 дх2 11 дх2

или

52мf12h , |

Ч 11 , j )_ 12 дtj)+Ыи2

0(h2 ) (21)

дх2 11 дх2

д 2u (0, tt ) дх2

Учитывая равенства (20) и (21) в равенстве (18), приходим к равенству

так как в силу граничного условия в (2) -^ ' 1 = 0.

d2u(0,t,) d u(xl,t,) 12a2 / \ --—r~ +12-~2 + "^T" !" 2u(xo, t, ) + 5u( Xj, tj ) - 4u( X2, t, ) + u( x3, t, )j-

-12*'^ = 1 / f, tj V Oh 2 )■ (22)

Пусть ~ = ph, 0<p< 1.

d2u(x, t )

Разложим функцию u(x, t ) и --- по формуле Тейлора в окрестности точки

j дх

(~, t-):

, , ~ du(~, t, ) (x - ~)2 d2u(~, t, ) (x - ~)3 d3u(~, t, )

u(x, t.) = u(x, t .) + (x - x)-— + -----;Г— + -----T-O— +

^ ^ dx 2! dx2 3! dx3

(х -~)4 д u(x,tj) (х -~)5 д u(х,tj) (х -~)6 дХ^,tj) + 4! дх4 + 5! дх5 + 6! дх6 '

— и(х,г ) -2и(~,г ) ~д3и(~,г ) (х — ~)2 —4и(~,г ) (х — ~)3 —5и(~,г )

-1— =-;Г— + (х — х )--О— + ------О— + -----+

—х2 —х2 —х3 2! —х4 3! —х5

, (х — ~)4 —6и(х2, ^ )

4! —х6 ' где х1, .х2 — точки, лежащие между точками х и ~.

—3и(х, г )

Одновременно, функцию --- также разложим по формуле Тейлора в окрестности

—х

точки (~, г.):

д 3u( x, t,) д 3u(~, t,)

д4u(x, tj) (x - X)2 д5u(x, tj) (x - X)3 д6u(x.3, tj)

-=-+ (х — х)-+ --Ч- + --^^, (25)

сх3 сх3 дх4 2! дх5 3! дх6

где хз, — точка, лежащая между точками х и ~.

Взяв в равенстве (23), х = х0, хх, х2, а в равенствах (24) и (25) х = х0, получим снова пять равенств. Пусть а, Ъ, с, ё, е — произвольные числа. Умножим, обе части полученных первых трех равенств, последовательно, на числа а, Ъ, с, четвертого равенства на ёИ2 а последнего

равенства на еИ3 . После сложения этих равенств, получится равенство, которое, легко можно

12 , 24 12 , 12 12 „ 3

проверить, что при а = —, Ъ =--, с = —, ё =--, е =--, В = —,

7 7 7 17 7 7

принимает вид

д 4u

3h

12

дх4

7h4

u(х0, t .) - 2u(Xj, t,) + u(x2, t.) - h

д 3u( x0, tj)

ax^

+

o(h2).

(26)

Аналогичным образом можно получить справедливость равенства

д 4u

, 3h

l--, tj

7 1

12

ax4

7h4

u(xw, tj) - 2u(xN-i, tj) + u(xw-2, tj) - h

3h

ди( xn , tj)

Л

ax3

+

o(h2). (27)

Если рассмотреть уравнение (1) в точке (~, tj) = 1 , ^ I, то это уравнение, с учетом

равенства (26) можем переписать в виде

12а2

f 3h

д 2ul —, t

V 7 -

дt2 ' 7h4

V

= f i f, tj )+ Oh)

u(x0, t .) - 2u(xx, t ) + u(x2, t.) - h

д 3u( x0, t j)

дx3

Л д 2u| - b2

3h

дx2

На этот раз нам понадобится равенство

4 - (^ t])+3 ^ и tj)=V (3И, ^ )+о(и 2),

которое справедливо, если функция V (х, t) имеет ограниченные частные производные по х

(28) (29)

до второго порядка. При V (х, t) =

4 д2u(0, tj) 3 д 2u(x, tj) 7 dt2 + 7 д2 д 2u( x, t)

д2u( x, t)

^ f3h

д 2ul —, t

a2

это равенство принимает вид

■ +

o(h2).

(30)

Если v (x, t) =

дx2

то из равенства (29) получим справедливость равенства

4 д 2u(0, t ) 3 д 2u(x, t )

7 дx2 7 дx

13h

д 2ul —, t

дx2

■ +

o(h2)

или

2 f 3h ^ IT-^ J_ 3 д2u(xi,tj)

o(h2)

(31)

дx2 7 дx2

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

t

7

3

3

t

7

3

7

7

так как в силу граничного условия в (2)

д 2u (0, tj) дx2

Учитывая равенства (30) и (31) в равенстве (28), после несложных вычислений получим справедливость равенства

4

д2 u(0, tj) д 2u(xi, tj) 12а ■ + 3-—— + ■

дt2

дt2

h4

u(x0, t,) - 2u(xx, t.) + u(x2, t.) - h

д 3u( x0, tj)

Л

дx3

- 3b:

д 2u (xx, tj)

aX2

= 7fГf, tj ) + 0(h2).

(32)

Если исключить из равенств (22) и (32), сначала

этих равенств получим равенства

д2 u( x, tj)

дt2

затем

д 2u(0, tj)

дt2

, то вместо

д 2u( x0, tj) 12а:

д'2 11

17 h4

6u(x0, t.) - 13u(x:, t.) + 8u(x2, t.) - u(x3, t.) - 4h

3 д 3u(tj)

дx3

17'

12h

11 , i2h 1 28 ,

= -- f —, t, 1 + 28 f

11

17

3h 1

T, ^ ) +

0(h2)

(33)

д 2u( xi, tj) 4а2

дt2

17h4

- 7u(x0, t.) + 18u(x:, t.) - 15u(x2, t ) + 4u(x3, t ) - h

3 д

дx3

д2u(xi, tj) 44 / 12h

- ьj

дx2

=41 f f , 'j)+51 f f 3h,'')+Oh2)

(34)

Аналогичным образом можно получить справедливость следующих равенств: 5 2и(хЯ—1, tj) 4а 2 /

--2—— + —4 (— 7и(хя, tj) +18и(хя—1, tj) — 15и(хя—2, tj) + 4и(хя—3, tj)

дt 17И J J J J

- h

д 3u( xn , tj)

)

д2u(xn , t,) 12а

дx3

- b2

7

' 2 ^u^ = 44ffl - 12h,j 1+Lffl - ,j )+Oh2) (35)

дx 51 Г 11 1) 51 Г 7 1) V Л

дt2 11

17 h4 12h

6u(xn ,tj) - 13u(xn-i, tj) + 8u(xn-2, tj) - u(xn-3, tj) - 4h

3 д u(xN , tj )

Л

ax3

=-17 f f l - Tt , 'i)+28- f (l - f, 'I )+o(h •).

(36)

В этих четрех равенствах участвуют значения частной производной функции и( х, t) по х третьего порядка в точках х = 0 и х = I. Используя равенства (9)-(10), их можно заменить следующими разностными выражениями:

д 3u( x0, tj) u( xi, tj) - u( x0, tj) u( xn , tj) - u( xn-i, tj)

дx

3 = -aii

h

-a

12

h

ai3u(x0 ,

tf) -

ai4u(xN , ' j

( xn , tj) + ~i(tj) + o(h2),

д3u(xw, t)

дx3

= -Ai

u(X1, ',, ) - u(x 0 , tj ) „ u(xN , 'j ) (xN-1, 'j )

h

h

-A

12

^^ X0, 'j ) -

-Ai4"(xn , 'j ) + /X2('; ) + O(h 2 ).

3

d2u(x;, t ) d 2u(xn-1, t )

и

, участвующих в

С другой стороны значение частных производных и

dx dx

этих равенствах, можно заменить обычными разностными выражениями с точностью o(h2). В результате таких замен, равенства (33)-(36) примут следующий вид:

d2u(x0,tf) i2a2 / \ -0— +--1 (6u( x0, tj) - 13u( x, tj) + 8u( x2, tj) - u( x3, tj))+

+ -

dt2 17hj 48a2 [ u(x;,tj) -u(x0,tj) u(Xn,tj) -u(x^i,tj)

17 h

a

h

+ a

h

+ auu( x0, tj) + a;4u( xn , tj)

11 / 12h 1 28 / 3h 1 48a2 ~ , .

=--fl-, t, l + — f l —, t, 1 +-цМ,) + o(h),

17 l 11 j J 17 | 7 j) 17 h 1 j V '

d2u(x;,tj) 4a2 / ч -+ Г7/Й (- 7u( x0, tj) + 18u(x;, tj) - 15u( x2, tj) + 4u(x3, tj))+

+ ■

4a2 [ u(x;,tj) -u(x0,tj) u(Xn,tj) -U(XN-;,tj)

17 h

a

h

+ a

h

+ a;3u( x0, tj) + a;4u( xn , tj)

J

- b 2 »(x0, 'j)- 2u<x;,,,) + u( x2,,,) = 44 112Г, , ) + 2. f [ 3Г, ,)+ 4ai , + ^

h2 51 | 11 jJ 51 | 7 jJ 17h j w

d2u(xN-1, tj) 4a2 / \

-172-+ ^TT (- 7u(x N, t j) + i8u(xN-1, t j) - i5u( XN-2, t j) + 4u(xN- 3, t j))+

dt 17h

4a2 [_ u(x;,tj) -u(x0,tj) u(Xn,tj) -U(XN-;,tj)

+ ■

17 h

- b

Pi;

h

+ P;

h

■ + P13u(X0, tj ) + P14u(xN , tj )

2 u(xN, tj) - 2u(xN-i, tj) + u(xn-2, tj) = 44 f[r_ 12Г ^

= ' ii ,tj У 5У Г 7 j

h2

= 44 f 11 - ;2T, tj 1+7 f[ l - ?, tj 1+

+ — M2(t;) + o(h),

17 h j W d2 u( xn , tj) 12a2

+ ;27T (6u(xn , tj) - i3u(xN-i > tj) + 8u(xn-2, tj) - u(xN-3 > tj )) +

17h4 j j J J

dt2 17hv N-1' j

48a2 [rt u(x;,tj)-u(x0,tj) u(Xn,tj)-U(XN-;,tj)

+ ■

17 h

Pi,

h

+ P;

h

+ P13u(^ tj ) + P14u(xN , tj )

11 / 12Л 1 28 / 3й 1 48а2 ~ , .

= — л—, г, 1 + —Л1—, г, 1 +-/~2(г;) + 0Ш.

17 ^ 11 1) 17 ^ 7 1) 17 И 1 У ' Заменив в этих равенствах частные производные по г, соответствующими разностными выражениями, отбросив слагаемые порядка 0(И), обозначив, как в начале, приближенное значение и (хп, tj), через у-, получим еще четыре разностных уравнения, которых если

присоединим к разностным уравнениям (12), то придем к следующей разностной задаче, аппроксимирующей исходную задачу (1)-(4):

У0 ~ 2yj + У0- + ^ (6У0 - 13yj + 8yi - yj )+

+ ■

48a

17 h

2 a y;j , y° + a yN yN-; + a,3y0 + a,4yN

v

h

h

11 / 12h 1 28 13h 1 48a2 ~ . .

= -iif 1 ;11h• 'j )+18f(3T• 'J )+Mi(,j',

^-j11 + t40t (- 7yj +18yi -15 У2 + 4y3)+

+ ■

г2 17h ^

4а2f W _ W W _ W ^

aii ZL-y°L + ai2 yN /N-i + ai3yj + ai4yj

V h h )

17 h

-b2 y° 2yi ' y2 = 44fl —,t, 1 + -fl-,t, 1 + —£(',), h2 51 V 11 1) 51 V 7 1) 17h 1

JiMlZNL^ yJ-2-^-ynf'-i + 6УП-4yj+i + y;f+2 ,2 ynf-i-2УП + yj+i _

-^--+ а ---b ---=

r2 h4 h2

= fj, n = 2,3,...,N - 2, j = 1,2,..., j -1, (37)

yN+-1 - 2yj-1 +1 + ^T (- 7yN +18yj-i -15yNj-2 + 4yN-3)+

+

2 117 4 V s N s N-1 У N-2 У N-3 ,

г 17h

4а 2 f~ yi-yj^R yN - y^-i , A J

17 h

Ai —;-+ P12-;-+ A3 Уь + Ai4 yj

V h h )

,2 yjJ -2yN-1 + yjJ-2 44 12h 1 7 3A 1 4а2 x , .

-b ---= — f l l--,t, I + — fl l--,t, I + +-fi2(t,),

h2 51 г 11 1) 51 г 7 1) 17h 1

,J+1 -1 i"»-2

yj - 2yN + yj- + 12а (6yj 13yj + 8yj yj )+

-2-+ ^Г7Т (6-yN - 13yN-1 + 8yN-2 - yN-3 ) +

г 1/h

48а

+

2 Ay—^ + A12 + A13 У0 + A yN ^ h h

)

17 И

11 / 12И ^ 28 /3И ^ 48а2 ~ , .

= — п / [ "57,'-)+17/ [ Т,]+Т7И ^).

у,0 =«(х,), уп =«(х„) + тр2(х,), п = 0,1,2,...,N. (38)

Отметим, что первые два и последние два уравнения в (37) имеют погрешность О(И), а погрешность аппроксимации остальных уравнений равна о(и 2).

Разностная задача (37)-(38) есть явная разностная схема. На основе этой схемы можно написать однопараметрическую неявную схему, которую можно решить известными методами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ханкишиев З.Ф. Решение одной задачи для линейного нагруженного диффе-ренциального уравнения параболического типа с интегральными условиями // Вестник Бакинского Университета, серия физико-математических наук.- 2021.- № 4.- с. 25-38.